复旦大学：《数学分析》精品课程教学课件（讲稿）Green公式、Gauss公式和Stokes公式

s3Green公式、Gauss公式和Stokes公式Green公式设L为平面上的一条曲线，它的方程是r(t)=x(t)i+y(t)j，α≤t≤β。如果r(α)=r(β)，而且当t,t E(α,β)，t ≠t, 时总成立r(t)≠r(t)，则称L为简单闭曲线（或Jordan曲线）。这就是说，简单闭曲线除两个端点相重合外，曲线自身不相交。设D为平面上的一个区域。如果D内的任意一条封闭曲线都可以不经过D外的点而连续地收缩成D中一点，那么D称为单连通区域。否则它称为复连通区域。例如，圆盘（(x,y)x2+2<1)是单连通区域，而圆环(x,)<x2+y?<1是复连通区域

Green 公式 设L为平面上的一条曲线，它的方程是 = + tytxt )()()( jir ，α ≤ t ≤ β 。 如果 α = rr β )()( ，而且当 ),(, tt 21 ∈ α β ， 21 ≠ tt 时总成立 )()( 1 2 ≠ rr tt ，则称 L 为简单闭曲线（或 Jordan 曲线）。这就是说，简单闭曲线除两个端 点相重合外，曲线自身不相交。 设D为平面上的一个区域。如果D内的任意一条封闭曲线都可以 不经过D外的点而连续地收缩成D中一点，那么D称为单连通区域。 否则它称为复连通区域。例如，圆盘 }1|),{( 22 yxyx <+ 是单连通区域， 而圆环 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ <+< 1 21 ),( 22 yxyx 是复连通区域。 §3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式

单连通区域D也可以这样叙述：D内的任何一条封闭曲线所围的点集仍属于D。因此，通俗地说，单连通区域之中不含有“洞”，而复连通区域之中会有“洞”。对于平面区域D，给它的边界aD规定一个正向：如果一个人沿aD的这个方向行走时，D总是在他左边。这个定向也称为D的诱导定向，带有这样定向的aD称为D的正向边界。例如，如图14.3.1所示的区域D由L与I所围成，那么在我们规定的正向下，L为逆时针方向，而1为顺时针方向。门图14.3.1

单连通区域D也可以这样叙述：D内的任何一条封闭曲线所围的 点集仍属于D。因此，通俗地说，单连通区域之中不含有“洞”，而 复连通区域之中会有“洞”。 对于平面区域D，给它的边界∂D规定一个正向：如果一个人沿∂D 的这个方向行走时，D总是在他左边。这个定向也称为D的诱导定向， 带有这样定向的∂D称为D的正向边界。例如，如图 14.3.1 所示的区域 D由L与l所围成，那么在我们规定的正向下，L为逆时针方向，而l为 顺时针方向。 D l L 图14.3.1

定理14.3.1（Green公式）设D为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通闭区域。如果函数P(x,y),Q(x,J)在D上具有连续偏导数，那么apag[Pdx+Qdy=dxdyOxoyDaD其中D取正向，即诱导定向

定理 14.3.1（Green 公式） 设 D为平面上由光滑或分段光滑的 简单闭曲线所围的单连通闭区域。如果函数 P( , ), ( , ) xy Qxy 在 D上具有 连续偏导数，那么 ∫∫∫ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ − ∂∂ =+ ∂D D dxdy yP xQ QdyPdx ， 其中∂D取正向，即诱导定向

证先假设D可同时表示为以下两种形式D=((x,y)lyi(x)≤y≤y2(x), a≤x≤b)= ((x,y) lx,(y)≤x≤x2(y), c≤ y≤d)的情形（这时平行于x轴或轴的直线与区域D的边界至多交两点）。这样的区域称为标准区域下面在这种假设下证明定理（参见图14.3.2）。山y=y2 (x)dx=xyx=X(y)Cy=y)(x)b0Xa图14.3.2

证 先假设 D可同时表示为以下两种形式 }),()(|),{( 1 2 D = ≤ ≤ ≤ ≤ bxaxyyxyyx ),()(|),{( } = 1 ≤ ≤ 2 ≤ ≤ dycyxxyxyx 的情形（这时平行于 x轴或 y 轴的直线与区域 D的边界至多交两点）。 这样的区域称为标准区域。 下面在这种假设下证明定理（参见图 14.3.2）。 ( ) 2 x = x y )( 1 = yxx yy x = 2 ( ) yy x = 1( ) O a b x y c d 图14.3.2

'dfrmap[dxdy=]dJy(x)=J,[P(x,y2(x)- P(x, y(x)]dx=-" P(x, y(x)dx-[, P(x, y(x)dx=-[ P(x,y)dx ,aD式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有1o -roa['[0(x,(y), y)-Q(x;(y), y)]dy=["o(x,(y), y)dy+ ,0(x(y), y)dy= [ o(x,y)dy 。aD两式合并就得到所需的结果

[ ] 2 1 ( ) ( ) 2 1 1 2 ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) (, ) , b yx a yx b b a a a b P P dxdy dx dy y y P x y x P x y x dx P x y x dx P x y x dx P x y dx ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ =−= − − = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ D D 式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有 [ ] 2 1 ( ) ( ) 21 2 1 ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) (, ) d xy c xy d d c c c d Q Q dxdy dy dx x x Q x y y Q x y y dy Q x y y dy Q x y y dy Q x y dy ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ =−= + = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ D D 。 两式合并就得到所需的结果

再证区域D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图14.3.3的区域，在这种区域上，平行于轴的直线与D的边界的交点可能会多于两个。如图所示用光滑曲线AB将D分割成两个标准区域D,与D，（D,的边界为曲线ABMA，D，的边界为曲线ANBA）。因此可以应用Green公式得到apaQ[ Pdx +Qdy =dxdy,ayOxaD,DMapa[Pdx+Qdy=dxdyOxayaD20D,BAD2xN图14.3.3

再证区域 D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图 14.3.3 的区域，在这种区域上，平行于 y 轴的直线与 D的边界的交点 可能会多于两个。如图所示用光滑曲线 AB 将 D分割成两个标准区域 D1与D2（D1的边界为曲线 ABMA，D2的边界为曲线 ANBA）。因此可以 应用 Green 公式得到 ∫∫∫ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ − ∂∂ =+ ∂D1 D1 dxdy yP xQ QdyPdx , ∫∫∫ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ − ∂∂ =+ ∂D2 D2 dxdy yP xQ QdyPdx 。 D2 D1 O x N A B M y 图14.3.3

注意D,与D,的公共边界AB，其方向相对于aD,而言是从A到B，相对于aD，而言是从B到A，两者方向正好相反，所以将上面的两式相加便得apaQ[Pdx+Qdy=dxdyayaxaDD对于Green公式一般情形的证明比较复杂，这里从略

注意D1与D2的公共边界 AB ，其方向相对于 D1 ∂ 而言是从 A到B ， 相对于 D2 ∂ 而言是从B 到 A，两者方向正好相反，所以将上面的两式 相加便得 D Q P Pdx Qdy dxdy x y ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ += − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫D 。 对于 Green 公式一般情形的证明比较复杂，这里从略

Green公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。以只有一个洞为例（见图14.3.4），用光滑曲线连结其外边界L上一点M与内边界I上一点N，将D割为单连通区域。由定理14.3.1得到/M图14.3.4opa[+厂+一 +~Pdx+QdydxdiaxQyNMMN1Pdx+Qdy=[Pdx+QdyaD其中L为逆时针方向，1为顺时针方向，这与D的诱导定向相同

Green 公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。 以只有一个洞为例（见图 14.3.4），用光滑曲线连结其外边界L 上一 点M 与内边界l上一点N ，将D割为单连通区域。由定理 14.3.1 得到 图 14.3.4 , MN NM Q P dxdy Pdx Qdy x y Pdx Qdy Pdx Qdy ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = + ++ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ =+ + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ D L l L l D 其中L 为逆时针方向，l为顺时针方向，这与∂D的诱导定向相同。 D l L M N

Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论：1.记取诱导定向的aD上的单位切向量为，单位外法向量为n（见图14.3.5），那么显然有cos(n,y) =-cos( t ,x), cos(n,x)=sin( t,x) 。因此得到Green公式的另一种常用表示形式aFOGdxdy = [Fdy-Gdx = 「 [F sin(t,x)-Gcos(t,x)]dsaxayaDaD{[F cos(n,x)+Gcos(n, y)]ds ,aDaD这个形式便于记忆和推广。D图14.3.5

Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二 类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论： 1. 记取诱导定向的∂D 上的单位切向量为τ ，单位外法向量为n （见图 14.3.5），那么显然有 n y = −cos(),cos( τ x), ， n x),cos( =sin( τ x), 。 因此得到 Green 公式的另一种常用表示形式 ∫∫ ∫∫ ∂ ∂ =−= ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ + ∂∂ D D D dxdy GdxFdy yG xF τ − τ )],cos(),sin([ dsxGxF ∫ ∂ = D n + n )],cos(),cos([ dsyGxF ， 这个形式便于记忆和推广。 ∂D τ n D 图14.3.5

2.Green公式是Newton-Leibniz公式的推广。设f(x)在[a,bl上具有连续导数，取D=[a,b]x[0,1]（见图14.3.6)。在Green公式中取P=0，Q=f(x），就得到[[ f'(x)dxdy= [ f(x)dy 。aDD利用化累次积分的方法，等式左边就是l"dy"(x)dx=["f(x)dx。而等式右边等于[+J+[+[ f(x)dy= [+[ f(x)dy= f"f(b)dy+ [° f(a)dy = f(b)- f(a) ABBCCDDABCDAy.这就得到Newton-Leibniz公式[" f'(x)dx= f(b) - f(a) 。Db0ax图14.3.6

2. Green 公式是 Newton-Leibniz 公式的推广。设 xf )( 在 ba ],[ 上具 有连续导数，取D = ba × ]1,0[],[ （见图 14.3.6）。在 Green 公式中取P = 0， = xfQ )( ，就得到 ∫∫∫ ∂ ′ = D D )( )( dyxfdxdyxf 。 利用化累次积分的方法，等式左边就是 ∫∫∫ ′ = ′ ba ba )()( dxxfdxxfdy 10 。而等 式右边等于 )( )()()()()( 0 1 1 0 afbfdyafdybfdyxfdyxf DACDBCAB DABC +++ += = + −= ∫∫∫∫∫∫∫∫ 。 这就得到 Newton-Leibniz 公式 ∫ ′ ba )( dxxf = − afbf )()( 。 a b x 1 D y O 图14.3.6