华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第一章 随机事件与概率 §1.3 事件的概率及计算

$1.3事件的概率及计算一、统计概率事件的频率fh(A)="4=4发生的次数试验次数n统计规律：频率趋于概率（见P2掷硬币试验）定义：P(A)=lim"AY二、古典概率 P(A)=1.问题：A=（般子点数≤2)P(B)=B（任何一个人的生日在元月份】P(C)=C-{任何一个人出生在1月1日零点)P(D)=D={任何一名学生的数学分数>90)2.古典概型试验：（1）有限性：2=（0,①2，①）(2）等可能性：P(o)=P(の2)==P(の)设Q=の2,の为试验E下的样本空间，事件3.定义A={Oal,Oa2,,Oam}, 则P(A)= mn例1一批外形相同的产品，由6件正品和4件次品组成，考察下面事件的概率：4_2P(A)=Ei：从中任取一件，A/=(取到次品)105E2:有放回地任取三件，A2=（恰有两件次品)

§1.3 事件的概率及计算 一、统计概率 事件的频率 fn(A)= n nA = 试验次数 A发生的次数 统计规律：频率趋于概率（见 P2 掷硬币试验） 定义：P(A)= n nA n lim 二、古典概率 1．问题：A={骰子点数≤2} P(A)= B={任何一个人的生日在元月份} P(B)= C={任何一个人出生在 1 月 1 日零点} P(C)= D={任何一名学生的数学分数 > 90} P(D)= 2．古典概型试验：（1）有限性： { , , , }   1 2  n （2）等可能性： ( ) ( ) ( ) P 1  P 2  P n 3 ．定义 设 { , , , }   1 2  n 为试验 E 下 的 样 本 空 间 ， 事 件 { , , , } A  a1 a2  am ，则 n m P(A)  例1 一批外形相同的产品，由 6 件正品和 4 件次品组成，考察下面事件的概 率： E1：从中任取一件，A1={取到次品} 5 2 10 4 ( ) P A1   E2：有放回地任取三件，A2={恰有两件次品}

P(A)2E：不放回地任取三件，A3=（恰有两件次品！?P(A,)=?E：不放回地任取六件，A=【第6次取到的是次品)?P(A4)=2将10件产品任意分配到10个位子上，考虑第6个位子放次品的情况：5792346810-?P(A)2P(A)或注：这一结果说明了抽签的合理性Cl*4*68Es：不放回地任取两件，A,={恰有1件正品和1件次品)，P(A)=1510*9记B=（第一次取到次品，第二次取到正品！B2一（第一次取到正品，第二次取到次品）A, = B,UB

? ? ( ) P A2  E3：不放回地任取三件，A3={恰有两件次品} ? ? ( ) P A3  E4：不放回地任取六件，A4={第 6 次取到的是次品} ? ? ( ) P A4  将 10 件产品任意分配到 10 个位子上，考虑第 6 个位子放次品的情况： ? ? ( ) P A4  或 ? ? ( ) P A4  注：这一结果说明了抽签的合理性 E5：不放回地任取两件，A5={恰有 1 件正品和 1 件次品}， 15 8 10*9 * 4*6 ( ) 1 2 5   C P A 记 B1={第一次取到次品，第二次取到正品} B2={第一次取到正品，第二次取到次品} A5  B1  B2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

444*66*4P(B,)P(B,)1510*910*91544P(A)= P(B, + B,)=P(B)+ P(B,)15154.性质：（1）非负性P(A)≥0P(2)=1（2）规范性(3）可加性若AB=Φ，则P(A+B)=P(A)+P(B)设Q=(0,02,",0,, A=(011,012,,0,), B=(021,022,",02)证明（3）由AB=Φ知A+B={011,12,.,01s,021,022,,02}，则s+tsP(A + B) ==P(A)+ P(B)+nnn三、几何概率1.问题：P(五分钟内对时)=?对A的测量值P(A)= μ(A)2.定义对2的测量值μ(2)例2（戒毒检测问题P14）解设x为复吸时间（0≤x≤L)；设y为检测时间（0≤y≤L）即3Q=((x,y): 0≤x,y≤L)y=x+sA={复吸且被检测出)L=((x,y): 0≤ y -x ≤S) -[ +(-S)]故 P(A)=y=xL?2=1- [ +(L - S)]0LLt

15 4 10*9 4*6 ( ) P B1   15 4 10*9 6* 4 ( ) P B2   ( ) ( ) 15 4 15 4 ( ) ( ) P A5  P B1  B2    P B1  P B2 4．性质： （1）非负性 P(A)≥0 （2）规范性 P() 1 （3）可加性 若 AB   ，则 P(A+B)=P(A)+P(B) 证明（3） 设 { , , , }   1 2  n ， { , , , } A  11 12  1s ， { , , , } B  21 22  2t 由 AB   知 { , , , , , , , } A B  1 1 1 2  1s 2 1 2 2  2t ，则 ( ) P(A) P(B) n t n s n s t P A B        三、几何概率 1．问题：P{五分钟内对时}= ? 2．定义 对 的测量值 对 的测量值     A A P A ( ) ( ) ( )   例 2 （戒毒检测问题 P14） 解 设 x 为复吸时间（0≤x≤L）；设 y 为检测时间（0≤y≤L） 即  ={(x,y): 0≤x,y≤L} A={复吸且被检测出} ={(x,y): 0≤ y - x ≤S} 故 2 2 2 2 1 2 2 1 [ ( ) ] ( ) L L L L S P A     2 2 2 2 1 [ ( ) ] 1 L L  L  S  

=1- P(A)点评：1.统计概率无法精确计算出概率值2.古典概率要求有限性和等可能性要求等可能性3.几何概率性4.共非负性，规范性，可加性例3（贝特朗Bertrand奇论）在一半径为r的圆C内任意作弦，试求此弦长度1大于圆内接等边三角形边长3r的概率p7/2Br1P(A)=P(A)=P(A)=32r2r元A

1 P(A) 点评：1．统计概率 无法精确计算出概率值 2．古典概率 要求有限性和等可能性 3．几何概率 要求等可能性 4．共 性 非负性，规范性，可加性 例 3 （贝特朗 Bertrand 奇论）在一半径为 r 的圆 C 内任意作弦，试求此弦长 度 l 大于圆内接等边三角形边长 3 r 的概率 p 4 1 ) 2 ( ( ) 2 2     r r P A 3 1 P(A)  2 1 2 ( )   r r P A