复旦大学：《数学分析》精品课程教学课件（讲稿）闭区间上的连续函数

S4闭区间上的连续函数有界性定理定理3.4.1若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界。证用反证法。a+b与若f(x)在[a,b]上无界，将[a,b]等分为两个小区间2[,b]，则(1)至少在其中之一上无界，把它记为[4,4];a,+b,与再将闭区间[a,b]与等分为两个小区间α2同样f(x)至少在其中之一上无界，把它记为[α2，b,];

§4 闭区间上的连续函数 有界性定理 定理3.4.1 若函数 xf )( 在闭区间 ba ],[ 上连续，则它在 ba ],[ 上有 界。 证 用反证法。 若 f x( ) 在 ba ],[ 上无界，将 ba ],[ 等分为两个小区间 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 2 , ba a 与 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + b ba , 2 ，则 f x( ) 至少在其中之一上无界，把它记为[a b 1 1 , ]； 再将闭区间[a b 1 1 , ]与等分为两个小区间 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 2 , 11 1 ba a 与 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 1 11 , 2 b ba ， 同样 f x( ) 至少在其中之一上无界，把它记为[ a 2 ,b 2 ]；

这样的步骤一直做下去，便得到一个闭区间套{[a,,b,1})，f(x)在其中任何一个闭区间[a.,b.1上都是无界的。根据闭区间套定理，存在唯一的实数属于所有的闭区间[α,b,],并且E=lim a,=lim b, o因为e[a,b]，而f(α)在点连续，所以存在>0，M>0，对于一切xeO(5,s)n[a,b]，成立[f(x)]≤M 。由于lima,=limb,=三，又可知道对于充分大的n，n>0[an,b,] c O(5,o) n [a,b] ,于是得到f(x)在这些闭区间[a,,b,]（n充分大）上有界的结论，从而产生矛盾。证毕

这样的步骤一直做下去，便得到一个闭区间套{[,] n n a b }， f x( ) 在 其中任何一个闭区间[,] n n a b 上都是无界的。 根据闭区间套定理，存在唯一的实数ξ 属于所有的闭区间[,] n n a b ， 并且 ξ =lim n→∞ an =lim n→∞ bn 。 因为ξ ∈ ba ],[ ，而 f x( ) 在点ξ 连续，所以存在δ > 0，M > 0，对于一切 x∈O ξ δ ),( ∩ ba ],[ ，成立 f ( ) x M≤ 。 由于lim n→∞ an =lim n→∞ bn =ξ ，又可知道对于充分大的n， [,] n n a b ⊂ O ξ δ ),( ∩ ba ],[ ， 于是得到 f x( ) 在这些闭区间[,] n n a b (n充分大)上有界的结论，从而产生 矛盾。 证毕

开区间上的连续函数不一定是有界的。例如f(x)=一在开区间(0,1)上连续，但显然是无界的

开区间上的连续函数不一定是有界的。 例如 1 f x( ) x = 在开区间(0,1)上连续，但显然是无界的

最值定理定理3.4.2若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必能取到最大值与最小值，即存在和ne[a,b]，对于一切xe[a,b]成立f()≤ f(x)≤ f(n) 。证集合R,=（f(x)|xe[a,b]|是有界数集，所以必有上确界与下确界，记α=infR,， β=supR,由于对任意给定的>0，存在xe[a,b]，使得f(x)<α+。于是取（n=1,2,3,.）相应地得到数列（x,}，x,=[a,b]，满足n1α≤f(x,)<α+=n

最值定理 定理3.4.2 若函数 f x( ) 在闭区间 ba ],[ 上连续，则它在 ba ],[ 上必 能取到最大值与最小值，即存在ξ 和η ∈[,] a b ，对于一切 x∈[,] a b 成立 f () () ξ ≤ f x ≤ f ( ) η 。 证 集合 Rf = { f ( )| [ , ] x x ab ∈ }是有界数集，所以必有上确界与下 确界，记 α inf = Rf ， β sup = Rf 。 由于对任意给定的ε > 0，存在 x∈[,] a b ，使得 f ( ) x < α + ε 。于是取 ε n = 1 n （n = 123 ,"）相应地得到数列{ xn }， xn ∈ ba ],[ ，满足 α ( ) n ≤ f x < 1 n α +

因为（x是有界数列，应用Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列(xm/:lim x.=，且e[a,b]。考虑不等式k=1,2,3,...α≤f(xm)<α+-h令k→α，由极限的夹逼性与f(x)在点的连续性，得到f()=α。这说明f(α)在[a,b]上取到最小值α，即α=minR,。同样可以证明存在ne[a,b]，使得f(n)=β=maxR,。证毕

因为{ xn }是有界数列，应用Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列 { xnk }： lim k→∞ xnk =ξ ，且ξ ∈ ba ],[ 。 考虑不等式 α ( ) k n ≤ f x < α + 1nk ， k = 1,2,3，.， 令k→∞，由极限的夹逼性与 f x( ) 在点 ξ 的连续性，得到 f ( ) ξ =α 。 这说明 f x( ) 在 ba ],[ 上取到最小值α，即α min = Rf 。 同样可以证明存在η ∈[,] a b ，使得 f η)( = β = max Rf 。 证毕

同样，开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到它的最大(小）值。例如，f(x)=x在(0,1)连续而且有界，因而有上、下确界α=inf / f(x)x E(O,1)/=0 ,β= sup ( f(x) /xe (0,1)} =1但是f(x)在区间(0,1)上取不到α=0与β=1

同样，开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到它的最大 （小）值。例如， f ( ) x x = 在(0,1)连续而且有界，因而有上、下确界 α = inf { f ( ) x | x ∈(0,1) } = 0， β = sup { f ( ) x | x ∈(0,1) } = 1， 但是 f x( ) 在区间(0,1)上取不到 α = 0 与 β = 1

零点存在定理定理3. 4. 3若函数f(x)在闭区间[a,b]连续，且f(a)·f(b)0，定义集合V:V= (xf(x)0，Vxe[a,a+]:f(x)0,日8,>0，V x e(b-82,b):f(x)>0。于是可知a+o,≤b-,'即E(a,b)

零点存在定理 定理3.4.3 若函数 f x( ) 在闭区间 ba ],[ 连续，且 fa fb () () 0 ⋅ ，定义集合V： V = { x f x x ab ( ) 0, [ , ] 0， 1 ∀x aa ∈ + [, ] δ ：f x() 0 ， ∃ δ 2 > 0，∀ x ∈ 2 ( ,) b b −δ ： f x() 0 > 。于是可知 1 a +δ ≤ ξ ≤ 2 b −δ ， 即ξ ∈ ba ),(

取x,eV(n=1,2,)，x,→5 (n→),因f(x,)0，VxeO(,8):f(x)<0,这就与=supV产生矛盾。于是必然有f(5)=0。证毕

取 ( 1, 2, ) n x Vn ∈ = " ， n x →ξ （n→∞），因 ()0 n f x 0， ∀x O∈ (, ) ξ δ ： f x() 0 < ， 这就与ξ = supV 产生矛盾。于是必然有 f () 0 ξ = 。 证毕

例3.4.1讨论多项式p(x)=2x3-3x2-3x+2零点的位置。解3-201x2-220-20p(x)p(x)的三个零点（或根）分别落在区间(-2,0)，(0,1)与(1,3)内。事实上p(x)=2(x+1)(x-(x-2)，它的三个零点为xi =-1，x2=，x;=2

例3.4.1 讨论多项式 3 2 p() 2 3 3 2 x xxx = − −+ 零点的位置。 解 x -2 0 1 3 p( ) x -20 2 -2 20 p( ) x 的三个零点（或根）分别落在区间( 2,0) − ,(0,1)与(1,3)内。事实上， 1 ( ) 2( 1)( )( 2) 2 px x x x = +− − ，它的三个零点为 1 x1 = − ， x2 = 12 ， 2 x3 =

例3.4.2设函数f(αx)在闭区间[a,b]上连续，且f([a,b)c[a,b]，则存在三E[a,b]，f()=（这样的三称为f(x)的一个不动点。)证设g(x)=f(x)-x，则g(x)在[a,b]上连续，由f([a,bl)C[a,b]，可知g(a)≥0， g(b)0，g(b)<0,则由定理3. 4. 3，必存在三 E(a,b)，使得g()=0，即 f(5)=三。本例中闭区间[a,b]不能改为开区间。例如f(x)=二在开区间(0,1)上连续，且f(0,1)c(0,1)，但f(x)在开区间(0,1)中没有不动点

例3.4.2 设函数 f x( ) 在闭区间 ba ],[ 上连续，且 baf ]),([ ⊂ ba ],[ ，则存在ξ ∈ ba ],[ ，f ξ )( = ξ（这样的ξ 称为 f x( ) 的一个不动点。） 证 设 gx f x x () () = − ，则 g x( )在 ba ],[ 上连续，由 f ([ , ]) a b ⊂ ba ],[ ，可知 g a() 0 ≥ ， g b() 0 ≤ 。 若 g a() 0 = ，则有ξ = a ；若 g b() 0 = ，则有ξ = b；若 g a() 0 > ，g b() 0 < ， 则由定理3.4.3，必存在ξ ∈ ba ),( ，使得 g() 0 ξ = ，即 f ( ) ξ = ξ 。 本例中闭区间 ba ],[ 不能改为开区间。例如 ( ) 2x f x = 在开区间(0,1)上连续， 且 f ((0,1)) (0,1) ⊂ ，但 f ( ) x 在开区间(0,1)中没有不动点