复旦大学：《数学分析》精品课程教学课件（讲稿）多元连续函数

S2多元连续函数多元函数定义11.2.1设D是R"上的点集，D到R的映射f:D→R,XHz称为n元函数，记为z=f(x)。这时，D称为f的定义域，f(D)=(zeR[z=f(x),xeD)称为 的值域，I=((x,z)eR+I [z=f(x),xeD)称为f的图象

多元函数 定义 11.2.1 设 D 是 n R 上的点集，D 到 R 的映射 f : D →R， x 6 z 称为 n 元函数，记为 = fz x)( 。这时，D 称为 f 的定义域， f D)( = ∈ R = fzz xx ∈ D}),(|{ 称为 f 的值域，Γ= }),(|),{( 1 R ∈=∈ D + x fzz xx n 称 为 f 的图象。 §2 多元连续函数

是二元函数，其定义域为例11.2.12=hxD= (x,y)e R?-<622a函数的图象是一个上半椭球面i（见图11.2.1)。Z4xb2aC1x图 11.2.1

例 11.2.1 2 2 2 2 1 b y a x z −−= 是二元函数，其定义域为 D= ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ ),( ≤+∈ 1 22 22 2 by ax yx R ， 函数的图象是一个上半椭球面（见图 11.2.1）。 z 2 2 2 2 1 b y a x z −−= O y x 图 11.2.1

多元函数的极限定义11.2.2设D是R"上的开集，x。=(°,x,…,x)eD为一定点，z=f(x）是定义在D（x上的n元函数，A是一个实数。如果对于任意给定的>0，存在S>0，使得当xeO(xo,）1(x}时，成立[f(x)- Al<6,则称x趋于x时f收敛，并称A为f当x趋于x时的（n重）极限，记为lim f(x) = A,或 f(x)→A （x→x)，或-→Xolim f(xi,X2,"",xn)=A。X→XX2x2X-→x

多元函数的极限 定义 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集， = ( )∈ 0 0 2 010 , n x " xxx D 为一定 点， = fz x)( 是定义在 D \ { 0 x }上的 n 元函数， A是一个实数。如果 对于任意给定的ε > 0，存在δ > 0，使得当 ),( ∈O xx 0 δ \ { 0 x }时，成立 x)( Af <− ε ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛，并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（n 重）极限， 记为 0 lim →xx f x)( = A , 或 f x)( → A （ 0 → xx ），或 Axxxf n xx xx xx nn = → → → 21 ),(lim 0 0 22 0 11 " "

多元函数的极限定义11.2.2设D是R"上的开集，x。=(x°,x,.…,x)eD为一定点，z=f(）是定义在D/x上的n元函数，A是一个实数。如果对于任意给定的>0，存在>0，使得当xO(xo,）1(x}时，成立If(x)- Al<6,则称x趋于x时f收敛，并称A为f当x趋于x时的（n重）极限，记为lim f(x) = A,或 f(x)→A （x→x)，或-→Xolim f(xi,X2,"",xn)=A。X→X2-x9Xa→x注在上面的定义中，“xeO(xo,)I（x！”也可以用下面的条件Ix-xks, Ix-xks, ., Ix-xko,x±xo替代

注 在上面的定义中，“ ),( 0 ∈O xx δ \ { 0 x }”也可以用下面的条件 ,||,|| 022 011 δ xxxx 0，存在δ > 0，使得当 ),( ∈O xx 0 δ \ { 0 x }时，成立 x)( Af <− ε ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛，并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（n 重）极限， 记为 0 lim →xx f x)( = A , 或 f x)( → A （ 0 → xx ），或 Axxxf n xx xx xx nn = → → → 21 ),(lim 0 0 22 0 11 " "

2证明例11.2.2设f(x,y)=(x+y)sin++limo f(x,y) =0。(x,)-→(0.0)证由于I f(x,y)-0(x+y)sin0，只要取8=那么当x-oks1y-ok，2且(x,y)±(0,0)时,88[f(x,y)-0/≤1x[+/y/<8+8=+601212这说明了，lim。f(x,y)=0。(x,y)→(0.0

例 11.2.2 设 22 sin)(),( yx y yxyxf + += ，证明 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx 。 证 由于 22 sin)(|0),(| yx y yxyxf + +=− ≤ + yx || ≤ + yx |||| ， 所以，对于任意给定的ε > 0，只要取 2ε δ = ，那么当 − < δ yx − |0|,|0| < δ ， 且 yx ≠ )0,0(),( 时， yxf − |0),(| ≤ ε ε ε δδ =+=+<+ 22 yx |||| 。 这说明了 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx

对一元函数而言，只要在x。的左、右极限存在且相等，函数在x处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则要求当x以任何方式趋于x时，函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个函数在该点的极限一定不存在

对一元函数而言，只要在 0 x 的左、右极限存在且相等，函数在 0 x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则要求 当 x以任何方式趋于 0 x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不 同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个 函数在该点的极限一定不存在

对一元函数而言，只要在x的左、右极限存在且相等，函数在x处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则要求当x以任何方式趋于x时，函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个函数在该点的极限一定不存在。xy例 11. . 3 (, ) =-,) (. ) (0)。当点x=(x,y)沿x轴和y轴趋于(0,0)时，f(x,y)的极限都是0。但当点x=(x,y)沿直线y=mx趋于(0,0)时，mx?mlim f(x,y)= lim1 +m?x-→0x?+m2x?x-→0y=mx对于不同的m有不同的极限值。这说明f(x,y）在点（0.0)的极限不存在

例 11.2.3 设 )0,0(),(,),( 22 ≠ + = yx yx xy yxf 。 当点 x = yx ),( 沿 x 轴和 y 轴趋于 )0,0( 时， yxf ),( 的极限都是 0。但 当点 x = yx ),( 沿直线 y = mx 趋于 )0,0( 时， 222 2 2 0 0 1 lim),(lim mm xmx mx yxf x mxy x + = + = → = → ， 对于不同的m有不同的极限值。这说明 yxf ),( 在点 )0,0( 的极限不存在。 对一元函数而言，只要在 0 x 的左、右极限存在且相等，函数在 0 x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则要求 当 x以任何方式趋于 0 x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不 同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个 函数在该点的极限一定不存在

下例说明即使点x沿任意直线趋于x时，f(x,)的极限都存在且相等，仍无法保证函数f在x.处有极限。例 11. 2. 4 设 f(x,y)= (-x)y*+x, (x,J)*(0,0)。当点x=（xy）沿直线y=mx趋于(0,0)时，成立(m2x2-x)2lim f(x,y)= lim=1;m*x4+x?x-0x0y=mx当点x=(x,y)沿y轴趋于(0,0)时，也成立limf(xy)=1，因此当点x=(x,y)-x=0沿任何直线趋于(0,0)时，f(x,y)极限存在且相等。但f(x,y)在点(0,0)的极限不存在。事实上，f在抛物线2=x上的值为0，因此当点x=(x,y)沿这条抛物线趋于(0.0)时，它的极限为0

下例说明即使点 x 沿任意直线趋于 x0 时， yxf ),( 的极限都存在且 相等，仍无法保证函数 f 在 x0处有极限。 例 11.2.4 设 )0,0(),(, )( ),( 24 22 ≠ +− = yx xy xy yxf 。 当点 x = yx ),( 沿直线 y = mx 趋于 )0,0( 时, 成立 1 )( lim),(lim 244 222 0 0 = +− = → = → xxm xxm yxf x mxy x ； 当点 x = yx ),( 沿 y 轴趋于 )0,0( 时，也成立 1),(lim 0 0 = = → yxf x y ，因此当点 x = yx ),( 沿任何直线趋于 )0,0( 时， yxf ),( 极限存在且相等。 但 yxf ),( 在点 )0,0( 的极限不存在。事实上， f 在抛物线 = xy 2 上的 值为 0，因此当点 x = yx ),( 沿这条抛物线趋于 )0,0( 时，它的极限为 0

元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不再细述，请读者自行加以证明

一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不 再细述，请读者自行加以证明

一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不再细述，请读者自行加以证明。累次极限对重极限limf(x,J)（即limf(x,y)），人们很自然会想到的是，(x.V)>(xoXxoy-yo能否在一定条件下将重极限(x,J)→(xo,y)分解成为两个独立的极限x→x和y→yo，再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之？这后一种极限称为累次极限

累次极限 对重极限 ),(lim ),(),( 00 yxf → yxyx （即 ),(lim 0 0 yxf yy xx → → ），人们很自然会想到的是， 能否在一定条件下将重极限 yx ),( ),( 00 → yx 分解成为两个独立的极限 0 → xx 和 0 → yy ，再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之？ 这后一种极限称为累次极限。 一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不 再细述，请读者自行加以证明