复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十六章 Fourier级数 16.1 函数的Fourier级数展开

第十六章Fourier级数习题16.1函数的Fourier级数展开1.设交流电的变化规律为E(t)=Asinot，将它转变为直流电的整流过程有两种类型：(1）半波整流（图16.1.5(a)）(a)Afi(t) = (sin ot+/sin otl) ;(2)全波整流（图16.1.5(b))f(t)= A|sin otl;现取=1，试将f(x)和f(x)在(b)[-元,]展开为Fourier级数。解（1)=()ax=24图16.1.5元2Af(x)cos nxdx = -(n=2,4,6,..)a:元(n2-1)a,=[(x)cosnxdx=0, (n=1,3,..);b=(a)sin dx=,2b,--[(x)sinnxdx=0, (n=2,3,4..)。2Acos2kxTi(x)~ A+Asinx元2元4k2-1[" (x)dx = 4A(2) α=元，4Aa, -- f(n)cosmxd =-(n=2,4,6...),元(n2-1)a, =-/"f(x)cosxdx=0 (n=1,3,5...);b, =f(x)sinnxdx=0, (n=1,2,3..)。(n)~ 24_ 44g cos 2kr.元元台4k2-12.将下列函数在[-元,元]上展开成Fourier级数：(2) f(x)=/cosx l;(1) f(x)= sgnx;-

第十六章 Fourier 级数 习题 16.1 函数的 Fourier 级数展开 (a) (b) 图 16.1.5 ⒈设交流电的变化规律为 ，将它转变为直流电 的整流过程有两种类型： E t( ) = Asin ωt ⑴ 半波整流（图 16.1.5(a)） f t A 1 2 ( ) = (sin f t A t 2 ( ) |sin | ωt t +|sinω |)； ⑵ 全波整流（图 16.1.5(b)） = ω ) x) ； 现取 ω = 1 ，试将 f x 1( 和 f 2 ( 在 [−π ,π ]展开为 Fourier 级数。 解 （1） 0 a = 1 1 f ( ) x dx π π ∫−π 2A π = ， an = 1 1 f ( ) x n cos xdx 2 2 ( 1 A π n = − − ) ( n = 2, 4,6,"), π π ∫−π n a = 1 1 f ( ) x cos nxdx 0 π π −π = ∫ ，（n = 1,3,5,"）； 1 b = 1 1 ( )sin 2 A f x xdx π π −π = ∫ ， bn = 1 1 f ( ) x sin nxdx 0 π π −π = ∫ ，( n = 2,3, 4,")。 1f ( ) x ∼ 2 1 2 cos 2 sin 2 4 k 1 A A A x π π k ∞ = + − kx − ∑ 。 （2） 0 a = 2 1 f ( ) x dx π π ∫−π 4A π = ， an = 2 1 f ( ) x n cos xdx 2 4 ( 1 A π n = − − ) ( n = 2, 4,6,.), π π ∫−π n a = 2 1 f x( ) cos nxdx 0 π π −π = ∫ （n = 1,3,5,.）； bn = 2 1 f ( ) x sin nxdx 0 π π −π = ∫ ，( n =1, 2,3,")。 2f ( ) x ∼ ∑ ∞ = − − 1 2 4 1 2 4 cos 2 k k A A kx π π 。 ⒉ 将下列函数在[−π ,π ]上展开成 Fourier 级数： ⑴ f (x) = sgn x ; ⑵ f x( ) = |cos x |; 1

[x, xe[-元,0)x-(3) f(x) =(4) f(x) =元22[0,xE[0,元);[ax, xe[-元,0),(5) f(x) =[bx, xe[0,元)解（1）f(x）为奇函数，所以a=0，（n=0,1,2...），b, = [ (x)sinxdx 2(1-cos(mn), (n=1,3..) 。n元1(x)~ 4g sin(2k-1)x 元2k-1（2）f(x）为偶函数，所以b,=0，（n=1,2,3,）J"(x)dx = 4ao=元，[,f(x)cos nxdx =- 4(-1)(n=2.4.6....)a=元(n2-1)a,==" f(x)cos nxdx=0, (n=1,3,...)。()~ 2_4号(-1)*cos2kx。元元4k2-1（3）f(x）为偶函数，所以b,=0，（n=1,2,3）52- (x)dx =-ao=-3元Ta, = = f(x)cos nxdx = 2(-1"(n=1,2,3..n? 2(-1)"5+2f(x)~cosnx。6n? F(x)dx =-(4) α =2J' f(x)cos nxdx = 1-(-1).(n=1,2.3....)a,=元n f(x)sin nxdx =_ cos(nz).(n=1,2,3,...)2=ng(-1)n+1f(x) ~ - "+ 2 g cos(2k+1)xsinnx。+24元k=0(2k+1)2nn=1 f(x)dx = r(b-a)(5)α:22

⑶ 2 2 2 ( ) = − π x f x ; ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0, ); , [ ,0), π π x x x ⑸ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = , [0, ). , [ , 0), π π bx x ax x 解（1） f x( ) 为奇函数，所以 0 n a = ，（n = 0,1, 2,. ）， bn = 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫−π 2(1 cos(n )) n π π − = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = − − 1 2 1 4 sin(2 1) k k k x π 。 （2） f x( ) 为偶函数，所以 0 n b = ，（n =1, 2,3,"）， 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π 4 π = ， n a = 1 f ( ) x n cos xdx 2 2 4( 1) ( 1 n π n − = − − ) ，( n = 2, 4,6,"), π π ∫−π n a = 1 f x( ) cos nxdx 0 π π −π = ∫ ，（n = 1,3,5,"）。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = − − − 1 2 cos 2 4 1 2 4 ( 1) k k kx π π k 。 （3） f x( ) 为偶函数，所以 0 n b = ，（n =1, 2,3,"）， 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π 5 2 3 = − π ， n a = 1 f ( ) x n cos xdx 2 2( 1) n n − = ( n =1, 2,3,")。 π π ∫−π f x( ) ∼ nx n n n cos 2( 1) 6 5 1 2 2 ∑ ∞ = − − π + 。 （4） 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π 2 π = − ， n a = 1 f ( ) x n cos xdx 2 1 ( 1) n π n − − = ，( n =1, 2,3,"), π π ∫−π bn = 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫−π cos(n ) n π = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = + + − + 0 2 (2 1) 2 cos(2 1) 4 k k k x π π nx n n n sin ( 1) 1 1 ∑ ∞ = + − + 。 （5） 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π ( ) 2 π b a − = ， 2

=-"()cos ixdx a-b)-(-1), (n=1,2,..),a.=元n?b,=[(v)sinxdx=-(a+)cos(mm), (n=1,2,3.)。n+(a +b)(-1)"+1(n) ~- α-b)+ 2(a-b) ≥cos(2k+)x,sinnx。4元k=0 (2k+1)21n=l3．将下列函数展开成正弦级数：(1) f(x)= 元 + x, xe[0, 元],(2) f(x)= e-2*, x e[0, 元];/cos[2x, x[0, 号),xe[0,1],(3) f(x) =(4) f(x) =2元，xe[号,元];0.xe[1,2].解(1) b,-="()sindx =2.1-2(-1, (n=1,2,3.)。nF(x)~ 2岁1-2(-1)"sinnx。ne/2n[1-(-1)"e-2*f(x)sin nxdx (2)b(n=1,2,3,...)。π(4+n)2 gni-(-1)"e-2x]f(x)~ 3sinnx。元=n2+4n元-2 n元(-1)"-2 sin '2(3)b."f(x)sin nxdx (n=1.2.3...)元n?42[2(-1)+ +n元f(x)~)sinnxrm2-n(x)sin xdx = (4) b:元n2(n-sin2f(x)sin nxdx2.34.元(n2-1)+2gh-sinn1sin2n元f(x)~r+sin22元元2n2-14.将下列函数展开成余弦级数：(1) f(x)= x(元- x), xe[0, 元];(2) f(x)= e*, xe[0,元];3

n a = 1 f ( ) x n cos xdx π π ∫−π 2 ( )(1 ( 1) n a b π n − − − = ) ，( n =1, 2,3,"), bn = 1 f ( ) x n sin xdx ( ) a b cos(n n + π ) = − ，( n =1, 2,3,")。 π π ∫−π f x( ) ∼ ∑ ∞ = + − + + − − 0 2 (2 1) 2( ) cos(2 1) 4 ( ) k k a b a b k x π π nx n a b n n sin ( 1) ( ) 1 1 ∑ ∞ = + − + + 。 ⒊ 将下列函数展开成正弦级数： ⑴ f (x) = π + x , x ∈[0,π ]; ⑵ f x x ( ) = e−2 , x ∈[0,π ]; ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = , [ , ]; 2 , [0, ), 2 2 π π π π x x x ⑷ f x( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = 0, [1,2]. , [0,1), 2 cos x x πx 解（1）bn = 0 2 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 1 2( 1) 2 n n − − = ⋅ ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ 1 1 2( 1) 2 s n n nx n ∞ = − − ∑ in 。 （2）bn = 0 2 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 2 2 2 1 ( 1) (4 ) n n e n π π − ⎡ − − ⎤ ⎣ ⎦ = + ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ [ ] nx n n e n n sin 4 2 1 ( 1) 1 2 2 ∑ ∞ = − + − − π π 。 （3）bn = 0 2 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 2 2 ( 1) 2sin 2 n n n n π π π ⎡ ⎤ − − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n n n n sin 2 sin 4 ( 1) 2 1 2 1 ∑ ∞ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + π π 。 （4） 1 b = 2 0 2 1 ( )sin 2 f x xdx π = ∫ ， bn = 2 0 2 ( )sin 2 f x nxdx ∫ 2 2( sin ) 2 ( 1) n n n π π − = − ，( n = 2,3, 4,")。 f x( ) ∼ x n n n n x n 2 sin 1 2 sin 2 2 sin 1 2 2 π π π π π ∑ ∞ = − − + 。 ⒋ 将下列函数展开成余弦级数： ⑴ f x( ) = x(π − x) , x ∈[0,π ]; ⑵ f x x ( ) = e , x ∈[0,π ]; 3

[sin2x, xe[0,),nxe[0,元](4) f(x)= xY(3) f(x) =221xE[,];2"()d =解（1）α=3，I'()osd--2+, (n=2,3.)。27a.=n?元cos2kxF(x)~6台k2 f(x)dx = 2(e" -1),(2) ag=元2[e"(-1)"-12(n=1,2,3....).f(x)cos nxdx =a.:元(1+n)(n)~ I(e* -1) +22-1e*-1]osnxn2+1T二2+元(3)a(x)dx元 f(x)cos2xdx =_ 14*a=T2n元(0)cos2mdx= a.=n=2.3.4....)sin元(n2-1)n223n元111f(x)~(cos2xcos2nx。sin元+22元台n-1(n元27 f(x)dx=号(4) α= 2n元-D"-COS2" f(x)cos nxdx(n=1,2,3..)a.元?n元(-1)" _-COS元4g2f(x)~cosnx。Xn?元二5.求定义在任意一个长度为2元的区间[a,a+2元l上的函数f(x)的Fourier级数及其系数的计算公式。4

⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = 1, [ , ]; sin 2 , [0, ), 4 2 4 π π π x x x ⑷ 2 2 ( ) π π f x = x − + x − , x ∈[0,π ]. 解（1） 0 a = 0 2 f ( ) x dx π π ∫ 2 3 π = ， n a = 0 2 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 2(1 ( 1) ) n n + − = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = − 1 2 2 cos 2 6 k k π kx 。 （2） 0 a = 0 2 f ( ) x dx π π ∫ 2 (e 1 π π = − )， n a = 0 2 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 2 ( 1) 1 (1 ) n e n π π ⎡ ⎤ − − ⎣ ⎦ = + ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ( 1) 1 − π π e [ ] nx n e n n cos 1 2 ( 1) 1 1 ∑ 2 ∞ = + − − + π π 。 （3） 0 a = 2 0 4 f ( ) x dx π π ∫ 2 π π + = ， 1 a = 2 0 4 f ( ) x x cos 2 dx π π ∫ 1 π = − ， n a = 2 0 4 f ( ) x n cos 2 xdx π π ∫ 2 2 sin ( 1) 2 n n n n π π ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠，( n = 2,3,4,")。 f x( ) ∼ 1 1 1 ( ) cos 2 2 2 2 1 1 sin 1 cos 2 n 1 2 n nx n n π π ∞ = ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∑ 。 2 x π π + − （4） 0 a = 0 2 f ( ) x dx π π ∫ 2 π = ， n a = 0 2 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 4 ( 1) cos 2 n n n π π ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n n n cos 2 ( 1) cos 4 4 1 ∑ 2 ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + π π π 。 ⒌ 求定义在任意一个长度为 2π 的区间[a, a + 2π ] 上的函数 的 Fourier 级数及其系数的计算公式。 f x( ) 4

解设(x)~号+2(a,cosnx+b,sin)，则n+*f(x)cosmxdx= [a+(a, cosn+b, sinnx)cosmdxao2"* cos mxdx+ (a,. 2" sin nx cos mxdx)* cos nx cos mxdx +b, 2J=a.元，（m=0,1,2..),+(acos+b,sinx)sinmJ (x)sin mxdx=Ja22% [a+2+* sin mxdx+Z(a,. 2+2*cosnxsinmxdx+b."sinnxsinmxdx)=bm元,(m=1,2,.),所以[a+2" f(x)cosnxdx (n=0,1,2,..),a.=2nf(x)sinnxdx(n= 12....) cb=-6.将下列函数在指定区间展开成Fourier级数：(1) f(x)= -x, xe[0,2元];(2) f(x)= x2, xe[0,2元];2[e3*, xe[-1,0),(4) f(x) =(3) f(x)=x,x E[0,1];0,xe[0,1);JC,xe[-T,0),(c是常数)(5) f(x) =[O,xE[O,T)解（1）a,=f"f(x)cos nxdx=0,(n=0,1,2,..),b,=→(x)sinxdx=, (n=1,2,3..)。nf(x)~-sinnx。=in6(2) ag="f(x)dx =3a,=↓(x)cosmxdx=(n=1,2,3....)hb,=(x)sinxdtx=-4n,(n=1,2,3....)n42.8(1元f(x) ~4>sin nxcosnx3=nn5

解 设 f x( ) ~ a a nx b n n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin x)，则 2 2 0 1 ( ) cos ( cos sin ) cos 2 a a n n a a n a f x mxdx a nx b nx mxdx π π ∞ + + = ⎡ ⎤ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∑ 2 2 2 0 1 cos ( cos cos sin cos ) 2 a a a n n a a a n a mxdx a nx mxdx b nx mxdx π π π ∞ + + + = = +∑ + ∫ ∫ ∫ m = a π ，( m = 0,1, 2,.), 2 2 0 1 ( )sin ( cos sin ) sin 2 a a n n a a n a f x mxdx a nx b nx mxd π π ∞ + + = ⎡ ⎤ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∑ x 2 2 2 0 1 sin ( cos sin sin sin ) 2 a a a n n a a a n a mxdx a nx mxdx b nx mxdx π π π ∞ + + + = = +∑ + ∫ ∫ ∫ m = b π ，( m = 1, 2,.), 所以 an = ∫ + π π 2 ( ) cos 1 a a f x nxdx ( n = 0,1,2,"), bn = ∫ + π π 2 ( )sin 1 a a f x nxdx ( n = 1,2,")。 ⒍ 将下列函数在指定区间展开成 Fourier 级数： ⑴ 2 ( ) x f x − = π , x ∈[0, 2π ]; ⑵ f x( ) = x 2 , x ∈[0, 2π ]; ⑶ f (x) = x , x ∈[ , 0 1]; ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0,1); e , [ 1,0), 3 x x x ⑸ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0, ) , [ ,0), x T C x T (C 是常数). 解（1） n a = 2 0 1 f ( ) x cos nxdx 0 π π = ∫ ，( n = 0,1, 2,"), bn = 2 0 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 1 n = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n sin 1 1 ∑ ∞ = 。 （2） 0 a = 2 2 0 1 8 ( ) 3 f x dx π π π = ∫ ， n a = 2 0 1 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 4 n = ，( n =1, 2,3,"), bn = 2 0 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 4 n π = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 2 2 cos sin 1 4 3 4 n nx n nx n π π 。 5

(3) a = 2f,f(x)dx=1,a,=2[,f(x)cos2元nxdx =0,(n=1,2,3,...),b, = 2f" (x)sin 2axdx =-_二, (n=1,2,3..) 。n元(n)~1-;sn2mx 。2元怕n(4) a=J,(x)dx={(1-e-),a, = f", f(x)cos inxdx ="+[1--e], (n-1,.),1n元b, =[ f(x)sin πnxdx =9+[-1+(-1e], (n=12,3.)。≤[3(1-(-1)"e-3)n(l-(-1)"e-3)。I(1-e-3)+f(x)~osnxsinn62元2+9n2元2+9n=1(5) a=[ f(x)dx =C,()=0 (n=123)a.=T[, (x)sin dx = [-1+(-1], (n=1,2.3.) 。TnT(x)~%_2Cg_1(2n-1)元sin2T元怕2n-17．某可控硅控制电路中的负载电流为0.0≤1<To,I(t) =5sin@t,T≤t<T,其中α为圆频率，周期T=2。现设初0T（见图16.1.6)，求1(t)始导通时间T。=：在[0,T]上的Fourier级数。 F(x)dx = 5(V2-2),解a2元图16.1.6' (1)cos 2dx =-5a=T4元，1I' (n)cos 2m d =2 5T1(n+1)元(n-1)元ZCOSCOS44T2元n+1n-1n2-16

（3） 0 a = 1 0 2 ( f x d) x = 1 ∫ ， n a = 1 0 2 ( f x n ) cos 2π xdx = 0 ∫ ，( n =1, 2,3,"), bn = 1 0 2 ( f x n )sin 2π xdx ∫ 1 nπ = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n π π sin 2 1 1 2 1 1 ∑ ∞ = − 。 （4） 0 a = 1 3 1 1 ( ) (1 ) 3 f x dx e− − = − ∫ ， n a = 1 1 f ( ) x n cosπ xdx ∫− 3 2 2 3 1 ( 1) 9 n e n π − = ⎡ − − ⎤ ⎣ ⎦ + ，( n =1, 2,3,"), bn = 1 1 f ( ) x n sinπ xdx ∫− 3 2 2 1 ( 1) 9 n n e n π π − = −⎡ + − ⎤ ⎣ ⎦ + ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ (1 ) 6 1 −3 − e ( ) ( ) ∑ ∞ = − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − + − − + 1 2 2 3 2 2 3 sin 9 1 ( 1) cos 9 31 ( 1) n n n n x n n e n x n e π π π π π 。 （5） 0 a = 1 ( ) T T f x dx C T − = ∫ ， n a = 1 ( ) cos T T nx f x dx T T π ∫− = 0，( n =1, 2,3,"), bn = 1 ( )sin T T nx f x dx T T π ∫− 1 ( 1) C n nπ = −⎡ + − ⎤ ⎣ ⎦，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ x T n n C C n π π (2 1) sin 2 1 2 1 2 1 − − − ∑ ∞ = 。 ⒎ 某可控硅控制电路中的负载电流为 图 16.1.6 ≤ < ≤ < , , 0 , 0 0 T t T t T ⎩ ⎨ ⎧ = 5sin 0, ( ) t I t ω 其中ω为圆频率，周期 ω 2π T = 。现设初 始导通时间T T 0 8 = （见图 16.1.6），求 在[ , 上的 Fourier 级数。 I t( ) 0 T] 解 0 a = 0 2 5( ( ) 2 T f x dx T π − = ∫ 2 2) ， 1 a = 0 2 2 ( ) cos T x f x dx T 5 4π = − ， T π ∫ n a = 0 2 2 ( ) cos T nx f x dx T T π ∫ 2 5 1 ( 1) 1 ( 1) 2 cos cos 2 1 4 1 4 n n n n π π π + − n 1 ⎡ ⎤ = − + ⎢ ⎥ ⎣ + − − ⎦ ， 6

(n=2,3,4,..),2元x5(7元+2)f(x)sinT8元2元nxdx5[1(n+1)元(n-1)元1F(x)sinirsirTAn-142元[n+1(n=2,3,4,..)。535)5≤(2 - 2)f(x)~sino84元4元4元51.(n+1)元(n-1)元2cosnot20442元m=Ln+1n-1n2-150(n+1)元(n- 1)元1sinnot。442元m=2Ln+1n-18.设f(x)在[-元,元]上可积或绝对可积，证明：(1）若对于任意xe[-元,元]，成立f(x)=f(x+元)，则a2n-1=bau-1=0；(2）若对于任意xe[-元,元]，成立(x)=-f(x+元)，则a2,=b2,=0.证 (1) an-1== (x)cos(2n-1)xdx=二~ (x)cos(2n - 1)xdx +二, (x)cos(2n-1)xdx-→], f(0)cos[2n-1)-(2n-1) ]d +二] (x)cos(2n-1)xdx (t= + r)=0, (n=1,2,3..),ban- =-[ f(x)sin(2n-1)xdx(x)sin(2n-1)xdx+(x)sin(2n-1)xdx=]f(0)sin[(2n-1)-(2n-1)a]dt +=]。 f(x)sin(2n-1)xdx (t=x+ n)=0,(n=1,2.3....)。(2) an == (x)cos(2mx)dx(x)cos(2nx)dx+(x)cos(2x)dx] -(0)cos(2m -2mn)d +二" (x)cos(2mx)dx (t= x+ 元)=0, (n=1,2,3...),1

( n = 2,3, 4,"), 1 b = 0 2 2 ( )sin T x f x dx T T π ∫ 5(7 2) 8 π π + = ， bn = 0 2 2 ( )sin T nx f x dx T T π ∫ 5 1 ( 1) 1 ( 1) sin sin 2 1 4 1 4 n n n n π π π ⎡ + − ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ + − ⎦ ， ( n = 2,3, 4,")。 f x( ) ∼ t ω t π ω π π sin 8 35 4 5 cos 4 5 (2 2) 4 5 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − + + n t n n n n n n ω π π π cos 1 2 4 ( 1) cos 1 1 4 ( 1) cos 1 1 2 5 2 ∑ 2 ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − − + + + n t n n n n n ω π π π sin 4 ( 1) sin 1 1 4 ( 1) sin 1 1 2 5 2 ∑ ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + + + 。 ⒏ 设 f (x)在[−π ,π ]上可积或绝对可积，证明： ⑴ 若对于任意 x ∈[−π ,π ]，成立 f (x) = f (x + π ) ，则a b 2 1 n n − = 2 −1 = 0； ⑵ 若对于任意 x ∈[−π ,π ]，成立 f (x) = − f (x + π ) ，则a b 2 2 n n = = 0 . 证 (1) 2 1 n a − = 1 f ( ) x n cos(2 1)x π π −π − ∫ dx 0 0 1 1 f ( ) x n cos(2 1)xdx f (x) cos(2n 1)x π π π −π = − + ∫ ∫ − dx 0 0 1 1 f t( ) cos[(2n 1)t (2n 1) ]dt f (x) cos(2n 1)xdx (t x ) π π π π π π = − − − + − ∫ ∫ = + = 0 , ( n =1, 2,3,.), 2 1 n b − = 1 f ( ) x n sin(2 1)x π π −π − ∫ dx 0 0 1 1 f ( ) x n sin(2 1)xdx f (x n )sin(2 1)x π π dx π − π = − + ∫ ∫ − 0 0 1 1 f t( )sin[(2n 1)t (2n 1) ]dt f (x)sin(2n 1)xdx (t x ) π π π π π π = − − − + − ∫ ∫ = + = 0 , ( n =1, 2,3,.)。 (2) 2n a = 1 f ( ) x n cos(2 x) π π ∫ −π dx 0 0 1 1 f ( ) x n cos(2 x)dx f ( ) x cos(2nx) π π π −π = + ∫ ∫ dx 0 0 1 1 f t( ) cos(2nt 2n )dt f (x) cos(2nx)dx (t x ) π π π π π π = − − + = + ∫ ∫ = 0 , ( n =1, 2,3,.), 7

{" f(x)sin(2nx)dxb2n = - (x)sin(2nx)dx+, (x)sin(2mx)dx-→。-F(0)sin(2nt-2n元)d +二J f(x)sin(2nx)dx (t= x+ 元)=0,(n=1,2.3....)。9．设f(x)在(0,元/2)上可积或绝对可积，应分别对它进行怎么样的延拓，才能使它在[-元，元]上的Fourier级数的形式为(1) J(x)~Za, cos(2n-1)x;(2) J(x) ~ 2 b, in2nx .e-解（1）显然，f(x)为偶函数，而且2], f(x)cos(2)dxa2n==2,()cos(2mx)dx+[(x)cos(2m)d (令1=元-x)=2)(x)cos(2m)da+≥) (x-1)cos(2m)dt[()+()]cos(2m)=0,所以f(x)+ f(π -x)=0于是f(x）可以按下面方式进行延拓元(元+x)xE(-2元0f(-x)xE2f(x) =f(x)xe(0,2元f元-xrE元（2）显然，f(x)为奇函数，而且bam- = 2], f(x)sin[(2n-1)x]dx-2, f(x)sin[2n-1)x]dx+三[f(x)sin[2n-1)x]dx (令=元-x )8

2n b = 1 f ( ) x n sin(2 x) π π ∫ −π dx 0 0 1 1 f ( ) x n sin(2 x)dx f ( ) x sin(2nx) π π π −π = + ∫ ∫ dx 0 0 1 1 f t( )sin(2nt 2n )dt f (x)sin(2nx)dx (t x ) π π π π π π = − − + = + ∫ ∫ = 0 , ( n =1, 2,3,.)。 ⒐ 设 f x( )在(0, π / 2)上可积或绝对可积，应分别对它进行怎么样的延 拓，才能使它在[ , −π π]上的 Fourier 级数的形式为 ⑴ f x a n x n n ( ) ~ cos(2 1) 1 − = ∞ ∑ ; ⑵ f x b nx n n ( ) ~ sin 2 =1 ∞ ∑ . 解 （1）显然， f x( )为偶函数，而且 2n a = 0 2 f ( ) x n cos(2 x) π π ∫ dx 2 0 2 2 2 f x( ) cos(2nx)dx f x( ) cos(2nx)dx π π π π π = + ∫ ∫ （令t x = π − ） 2 2 0 0 2 2 f (x n ) cos(2 x)dx f ( t) cos(2nt) π π π π π = + − ∫ ∫ dt [ ] 2 0 2 f ( ) x f ( x) cos(2nx)dx 0 π π π = + − ∫ = , 所以 f x( ) + − f (π x) = 0 ， 于是 f x( )可以按下面方式进行延拓 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − ∈ ∈ − ∈ − − + ∈ − − = , ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) (0, ,0) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( , ( ) ~ π π π π π π π π f x x f x x f x x f x x f x 。 （2）显然， f x( )为奇函数，而且 2 1 n b − = [ ] 0 2 f ( ) x n sin (2 1)x π dx π − ∫ [ ] [ ] 2 0 2 2 2 f x( )sin (2n 1)x dx f x( )sin (2n 1)x dx π π π π π = − + ∫ ∫ − （令t x = π − ） 8

2,(x)sin[(2n-1)]dx+三,f(元-1)sin[(2n-1)]dt2,[(x)+ (元- x)]sin[(2n-1)x]dx =0 ,所以f(x)+ f(元-x)=0 ,于是f(x)可以按下面方式进行延拓元f(元+x)XE(-元,2元，0)-f(-x)xe(2F(x) =xe(0,3)f(x)DXE(，元）f(元-x)210.设周期为2元的函数f(x)在[-元，元]上的Fourier系数为a,和b,，求下列函数的Fourier系数a,和b：(1) g(x)= f(-x);(2)h(x)=f(x+C）（C是常数);(3)F(x)==-["f()F(x-1)dt（假定积分顺序可以交换)。[".g(x)cos nxdx==[" (-x)cos nxdx (令t=-x )解（1)a,=二二(0)cos ntdx,所以a, =an (n=0,1,2,..),b, ==[" g(x)sin nxdx=-[ f(-x)sin nxdx (令t=-x )" f(t)sin ntdx ,所以b, =-bn (n=1,2,.)。(2)因为x+Ce[-元,元]，所以xe[-元-C,元-C] 。9

[ ] [ ] 2 2 0 0 2 2 f ( ) x n sin (2 1)x dx f ( t)sin (2n 1)t π π π π π = − + − ∫ ∫ − dt [ ] [ ] 2 0 2 f ( ) x f ( x) sin (2n 1)x π π π = + − − ∫ dx = 0 , 所以 f x( ) + − f (π x) = 0 ， 于是 f x( )可以按下面方式进行延拓 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − ∈ ∈ − − ∈ − + ∈ − − = , ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) (0, ,0) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( , ( ) ~ π π π π π π π π f x x f x x f x x f x x f x 。 ⒑ 设周期为2π 的函数 f x( )在[ , −π π]上的 Fourier 系数为a 和 ，求下 列函数的 Fourier 系数 和 n bn ~an ~ bn： ⑴ g x( ) = f (−x); ⑵ h x( ) = f (x + C) (C 是常数)； ⑶ ∫− = − π π π F x f (t) f (x t)dt 1 ( ) （假定积分顺序可以交换）。 解（1） n a = 1 1 g( ) x cos nxdx f ( x) cos nxdx π π π π − − π π = − ∫ ∫ （令t = −x ） 1 f ( )t cos ntd π π −π = ∫ x ， 所以 an = an ~ (n = 0,1,2,")， n b =  1 1 g( ) x sin nxdx f ( x)sin nxdx π π π π − − π π = − ∫ ∫ （令t = −x ） 1 f ( )t sin ntd π π −π = − ∫ x， 所以 bn = −bn ~ (n = 1,2,")。 （2）因为 x C+ ∈[ , −π π ]，所以 x∈[ , − − π C π −C]。 9

a,==,h(x)cosnxdx==cf(x+C)cosnxdx(令t=x+C)-,()cos (t-C)dxf()cosnt cosnCdx+} ()sinn sinncdx=a, cosnC+b, sinnC (n=0,1,2,.)b,-h(x)sinxdx=(x+C)sinxdx(令=x+C)- ()sin n(t-C)dx-, ()simcosncax-,()cos msinca=b,cosnC-a, sinnC(n=1,2,.)。(3）a,F()cosnd=[()(x-1)cosd（交换次序）-[, (x-)cosa 1(0)d。当n=0时，(x-)dx ()dt=a()dt=,当n>0时，x[cox)osix)sim=(a, cosnt-b, sinn)()dt =a, -b,,(n=1,2,.)。6.=F(v)sindx=[)(x-1)alosnxax（交换次序）-[(x-)cosdx[six)o+om(x)in(10

1 1 ( ) cos ( ) cos C C n C C a h x nxdx f x C nxdx π π π π π π − − − − − − = = + ∫ ∫  （令t x = +C ） 1 f ( )t n cos (t C)d π π x π − = − ∫ 1 1 f ( )t n cos t cos nCdx f ( )t sin ntsin nCd π π π π x π − − π = + ∫ ∫ cos sin n n = a nC + b nC (n = 0,1,2,")， n b  1 1 ( )sin ( )sin C C C C h x nxdx f x C nxdx π π π π π π − − − − − − = = + ∫ ∫ （令t x = +C ） 1 f ( )t n sin (t C)d π π x π − = − ∫ 1 1 f ( )t sin nt cos nCdx f ( )t cos ntsin nCdx π π π − − π π π = − ∫ ∫ cos sin n n = b nC − a nC (n = 1,2,")。 （3） n a = 1 1 1 F( ) x cos nxdx f (t) f (x t) dx cos nxdx π π π π π − − π π π −π ⎡ = − ⎢ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ⎤ ⎥ （交换次序） 1 1 f ( ) x t cos nx dx f (t)dt π π π π − − π π ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 。 当n = 0时， 2 0 0 1 1 1 a f (x t) dx f ( )t dt a f ( )t dt a π π π π π − − π π π −π ⎡ ⎤ = − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫  = 0 ， 当n > 0时， 1 1 ( )[cos ( ) cos sin ( )sin ] ( ) n a f x t n x t nt n x t nt dx f t dt π π π π − − π π ⎡ ⎤ = − − − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫  1 ( cos sin ) ( ) n n a nt b nt f t dt π π −π = − ∫ 2 n a b2 = − n ， (n = 1,2,")。 n b =  1 1 1 F( ) x sin nxdx f (t) f (x t) dt cos nxdx π π π π π − − π π π −π ⎡ = − ⎢ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ⎤ ⎥ （交换次序） 1 1 f ( ) x t cos nx dx f (t)dt π π π π − − π π ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 1 1 f ( ) x t [sin n(x t) cos nt cos n( ) x t sin nt]dx f (t)dt π π π π − − π π ⎡ ⎤ = − − + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 10