复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十二章 多元函数的微分学 12. 1 偏导数与全微分

第十二章多元函数的微分学习题12.1偏导数与全微分1.求下列函数的偏导数：(1) z= x5-6x*y2 +y%;(2) z=x2In(x2 +y2);(3) 2= y+(4) z= sin(xy)+cos (xy) ;J(6) z= tan(5)z=e*(cosy+xsiny);(7) ≥=sin cos±;(8) z=(1+xy)";yxx+y（10)z=arctan(9) z=In(x+lny);1-xyl(11) u=er(r+y+);(12)u=x=1(14) u=x";(13）u=x2 +y2 +2?Zaxy,a≥4x，a,为常数；(16) u=(15)u=a=a,为常数。i.j=l02Oz=5x*-24x3y2,解 (1)=6y5-12xy。axay2x3O -2x2yOz(2)= 2xln(x? +y2)+axx2+y2ayx2 +y2Oz"+azx(3)= x-JaxayyOz%= x[cos(x)-sin(2x)] 。(4)y[cos(xy) - sin(2xy)] ,axayOz= = e*(xcos y -sin y)。(5)= e*(cosy+xsin y+sin y),oxay(μ)x2(μ)=2xOz(6)secsecoxy()ayy2y1OzOzxxyyXsinxysinsin之(7)sin-COS-CoscoscosTaxayyxxxyyyxxy1

第十二章 多元函数的微分学 习 题 12. 1 偏导数与全微分 1． 求下列函数的偏导数： （1） z = x 5 − 6x 4 y 2 + y 6 ； （2） z = x 2 ln(x 2 + y 2 )； （3） y x z = xy + ； （4） z = sin(xy) + cos 2 (xy) ； （5） z = ex (cos y + xsin y)； （6） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x z 2 tan ； （7） x y y x z = sin ⋅ cos ； （8） ； y z = (1+ xy) （9） z = ln(x + ln y)； （10） xy x y z − + = 1 arctan ； （11） ( ) ； （12） 2 2 2 ex x y z u + + = z y u = x ; （13） 2 2 2 1 x y z u + + = ； （14） ； z y u = x （15） ， 为常数； （16） 为常数。 1 n i i i u a = = ∑ x ai ij ji n i j ij i j u = ∑a x y a = a = , , 1 解 (1) 4 3 2 5x 24x y x z = − ∂ ∂ ， y x y y z 5 4 = 6 −12 ∂ ∂ 。 (2) 2 2 3 2 2 2 2 ln( ) x y x x x y x z + = + + ∂ ∂ ， 2 2 2 2 x y x y y z + = ∂ ∂ 。 (3) y y x z 1 = + ∂ ∂ ， 2 y x x y z = − ∂ ∂ 。 (4) y[ ] cos(xy) sin(2xy) x z = − ∂ ∂ ， x[ ] cos(xy) sin(2xy) y z = − ∂ ∂ 。 (5) e (cos y x sin y sin y) x z x = + + ∂ ∂ ， e (x cos y sin y) y z x = − ∂ ∂ 。 (6) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ y x y x x z 2 2 sec 2 ， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∂ ∂ y x y x y z 2 2 2 2 sec 。 (7) x y y x x y z cos cos 1 = ∂ ∂ x y y x x y sin sin 2 + ， x y y x y x y z cos cos 2 = − ∂ ∂ x y y x x sin sin 1 − 。 1

OzOzxy(8)= y2(1+ xy)= (1 + xy)In(1+ xy) +axay1+xyaz1Oz1(9)axayx+lnyy(x+Iny)Oz1Oz1(10)注意≥=arctanx+arctany,1+x2'axay1+ y2auou(3x? + y2 + 2) ex(r*+y2+)= 2xy e(2+y2+3)(11)axayou2xz ex(*+y*+2) 。=az1A2auInxauouylnx业(12)x=,Ozax2ayZ2ouxouyou7(13)OxdyOz(x2 + y2 + 2x2(x? + y2 + 2?+ououou=y'x=yixJ"-I(14)InxInxlnyaxOzayou(15)=a, i=1,2,.,noax;u-Zayau=Zax,(16)i=12,...,n,j = 1,2,...,n oax,ayji=1j=l2. 设f(x,y)=x+y-/x2 +y2，求f,(3,4)及f,(3,4)。xy解所以因为f,=1,J, =1-Vx?+y2Vr?+y?21f (3,4) =J,(3,4) =15SloOz2验证2x3.设z=e=0。+y.axay2e由于Oz证所以a"e2J3ayOzaz2x=0。+yaxay2

(8) 2 1 (1 ) − = + ∂ ∂ y y xy x z ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = + + + ∂ ∂ xy xy xy xy y z y 1 (1 ) ln(1 ) 。 (9) x x y z ln 1 + = ∂ ∂ ， ( ln ) 1 y y x y z + = ∂ ∂ 。 (10) 注意 z x = + arctan arctan y， 2 1 1 x x z + = ∂ ∂ ， 2 1 1 y y z + = ∂ ∂ 。 (11) (3 ) 2 2 2 x y z x u = + + ∂ ∂ ( ) 2 2 2 x x y z e + + ， = ∂ ∂ y u 2xy ( ) 2 2 2 x x y z e + + ， = ∂ ∂ z u 2xz ( ) 2 2 2 x x y z e + + 。 (12) −1 = ∂ ∂ z y x z y x u ， = ∂ ∂ y u z y x z ln x ， = ∂ ∂ z u z y x z y x 2 ln − 。 (13) ( )2 3 2 2 2 x y z x x u + + = − ∂ ∂ ， = ∂ ∂ y u ( )2 3 2 2 2 x y z y + + − ， = ∂ ∂ z u ( )2 3 2 2 2 x y z z + + − 。 (14) −1 = ∂ ∂ z z y y x x u ， = ∂ ∂ y u zy x x z z y ln −1 ， = ∂ ∂ z u y x x y z z y ln ln 。 (15) a i n x u i i = , = 1,2,", ∂ ∂ 。 (16) a y i n x u n j ij j i , 1,2, , 1 = = " ∂ ∂ ∑ = ， a x j n y u n i ij i j , 1,2, , 1 = = " ∂ ∂ ∑ = 。 2. 设 2 2 f (x, y) = x + y − x + y ，求 f x (3,4)及 f y (3,4)。 解 因为 2 2 2 2 1 , 1 x y x y f f x y x = − = − + + y ，所以 5 2 f x (3,4) = ， 5 1 f y (3,4) = 。 3. 设 2 e y x z = ，验证2 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ y z y x z x 。 证 由于 2 2 2 3 1 e , e x x y y z z x y y y ∂ ∂ = = − ∂ ∂ 2x ，所以 2 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ y z y x z x 。 2

x? + y?4．曲线，在点(2.4.5)处的切线与x轴的正向所夹的角度是4=4V多少？解以x为参数，曲线在点(2,4,5)处的切向量为(会,,)=(1,0,1) ;dx'dxdx设它与x轴的正向所夹的角度为e，则(1,0,1) (1,0,0) =1COSO=92V2所以=。45.求下列函数在指定点的全微分：(1）f(x,y)=3x2y-xy2，在点(1,2);(2)F(x,J)=ln(1+x2+y2)，在点(2,4);(3）(x,)=i，在点(0.1)和(2)。4J2解（1）因为df(x,J)=(6xy-y2)dx+(3x2-2xy)dy，所以df(1,2)= 8dx - dy 。2x2ydy，所以(2)因为df(x,J)=dx-i+x?+y?V1+x+y?4dx+8df(2,4) =dy21212sinxcos.xdy，所以(3）因为df(x,J)=y3y2V2V2dr(,2) :dxdf(0,1)= dx,dy8486.求下列函数的全微分：(2) z= xye;(1) z=y*;(3) z=x+yy(4) z=x-yVx?+y(5) u= /x2 +y2 +2 ;(6) u= ln(x2 +y? +22)。解(1) dz = y*In ydx + xyr-ldy(2) dz = e(1+ xy)(ydx + xdy) 3

4. 曲线 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 4 , 4 2 2 y x y z 在点 处的切线与 轴的正向所夹的角度是 多少？ (2,4,5) x 解 以 x 为参数，曲线在点(2,4,5)处的切向量为 2 ( , , ) (1,0,1 x dx dy dz dx dx dx = = )， 设它与 x轴的正向所夹的角度为θ ，则 (1,0,1) 1 cos (1,0,0) 2 2 θ = ⋅ = ， 所以 4 π θ = 。 5. 求下列函数在指定点的全微分： （1） f (x, y) = 3x 2 y − xy 2，在点(1,2)； （2） f (x, y) = ln(1+ x 2 + y 2 )，在点(2,4)； （3） 2 sin ( , ) y x f x y = ，在点(0,1) 和 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ,2 4 π 。 解 (1) 因为df ( , x y) = − (6xy y 2 2 )dx + (3x − 2xy)dy ，所以 df (1,2) = 8dx − dy 。 (2) 因为 2 2 2 2 2 2 ( , ) 1 1 x y df x y dx dy x y x y = + + + + + ，所以 df dx dy 21 8 21 4 (2,4) = + 。 (3) 因为 2 3 cos 2sin ( , ) x x df x y dx dy y y = − ，所以 df (0,1) = dx , df dx dy 8 2 8 2 ,2) 4 ( = − π 。 6. 求下列函数的全微分： （1） z = y x ； （2） z = xy exy； （3） x y x y z − + = ； （4） 2 2 x y y z + = ； （5） 2 2 2 u = x + y + z ； （6）u = ln(x 2 + y 2 + z 2 )。 解 (1) dz = y x ln ydx + xy x−1 dy 。 (2) dz = e xy (1+ xy)( ydx + xdy) 。 3

2x2y(3) dzb(x-y)(x-y)x2xydx (4) dz :dy(x2 +y2)2(x2 +y2)2xdx + ydy + zdz(5) du=Vr?+y? +2?2(xdx + ydy + zd)(6) du= 3x? + y? +2?7.求函数z=xe2在点P(1,0)处的沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)方向的方向导数。PO(2, -1)-(1,0)1解由于=-(1,-1)=(,)，且[PQ]1(2, -1)-(1,0)/2==e2y, C=2xe2,axay所以.OzOz_Oz1av+V2=V2y中8.设z=x2-xy+y2，求它在点(11)处的沿方向v=(cosα,sinα)的方向导数，并指出：（1）沿哪个方向的方向导数最大？（2）沿哪个方向的方向导数最小？（3）沿哪个方向的方向导数为零？解由于Oz0zOzsinα=(2x-y)cosα+(2y-x)sinα,cosα+av"axay所以Oz元元元-α)+sinα=2sincos(=cosα+sina=sin(-α)ovla,1)2X4(1)当α=时，沿v=(cos≤,sin≤)，方向导数最大。4A44

(3) dy x y x dx x y y dz 2 2 ( ) 2 ( ) 2 − + − = − 。 (4) dx x y xy dz 2 3 2 2 ( + ) = − dy x y x 2 3 2 2 2 ( + ) + 。 (5) 2 2 2 x y z xdx ydy zdz du + + + + = 。 (6) 2 2 2 2( ) x y z xdx ydy zdz du + + + + = 。 7. 求函数 在点 处的沿从点 到点 方向的方 向导数。 y z x 2 = e P(1,0) P(1,0) Q(2,−1) 解 由于 1 2 (2, 1) (1,0) 1 (1, 1) ( , ) | | | (2, 1) (1,0) | 2 PQ v v PQ − − = = = − = − − JJJG v ，且 2 2 e , 2 e z z y y x x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ ， 所以 1 2 1 2 z z z v v x y ∂ ∂ ∂ = + = − ∂ ∂ v ∂ 。 8. 设 z = x 2 − xy + y 2，求它在点(1,1)处的沿方向v = (cosα,sinα)的方向 导数，并指出： （1）沿哪个方向的方向导数最大？ （2）沿哪个方向的方向导数最小？ （3）沿哪个方向的方向导数为零？ 解 由于 cos sin (2 ) cos (2 )sin z z z x y y x x y α α α ∂ ∂ ∂ = + = − + − ∂ ∂ v ∂ α ， 所以 (1,1) cos sin z α α ∂ = + ∂v sin( ) sin 2sin cos( ) 2 4 4 π π π = −α + α α = − , (1) 当 4 π α = 时，沿 ) 4 ,sin π π 4 v =(cos ，方向导数最大。 4

5元5时，沿v=(cos5元），(2) 当α =，方向导数最小。sin4443元，7元时，沿v=（cos3元3元方向(3）当α=,sin或V=(cos-4444.4导数为零。9.如果可微函数f(x,y)在点(1,2)处的从点(1,2)到点(2,2)方向的方向导数为2，从点(1,2)到点(1,1)方向的方向导数为-2。求（1）这个函数在点(1,2)处的梯度；（2）点(1,2)处的从点(1.2)到点（4.6)方向的方向导数。%.1+%.0=%=2。解=(2,2)-(1,2)=(1,0),aw"axtayax-%.0+%(-1)=-02=-2。v, = (1,1) -(1,2) = (0, -1) ,Ov"axaydy所以在(1,2)处，0===2。axay(1) grad f(1,2)=(2,2) 。(3,4)(3,4) ,所以(2) 因为(4,6)-(1,2)=(3,4)，5V32 + 4=2.2+2.4-14af5Ov l(1,5510.求下列函数的梯度：x(1) z= x? + y2 sin(xy);(2) z=1-（3）u=x2+2y2+3z2+3xy+4yz+6x-2y-5z，在点(1,1,1)。解 (1) grad ≥=(2x+ y3 cos(xy), 2 ysin(xy)+ xy2 cos(xy))。(2) grad==(-,-)。a262(3) grad u=(2x+3y+6,4y+3x+4z-2,6z+4y-5), grad u(1,1,1)=(11,9,5)。11.对于函数f(x,y)=xy，在第I象限（包括边界）的每一点，指出函数值增加最快的方向。5

(2) 当 5 4 π α = 时，沿 ) 4 5 ,sin 5π π 4 v =(cos ，方向导数最小。 (3) 当 3 7 , 4 4 π π α = 时，沿 ) 4 3 ,sin 3π π 4 v =(cos 或 ) 4 7 ,sin 7π π 4 v =(cos ，方向 导数为零。 9． 如果可微函数 在点 处的从点 到点 方向的方向 导数为 2，从点 到点 方向的方向导数为-2。求 f (x, y) (1,2) (1,2) (2,2) (1,2) (1,1) （1）这个函数在点(1,2)处的梯度； （2）点(1,2)处的从点(1,2)到点(4,6)方向的方向导数。 解 v =1 (2, 2) − = (1, 2) (1,0)， 1 1 0 z z z z x y x 2 ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ = = ∂ ∂ v ∂ ∂ 。 2 v = (1,1) − = (1, 2) (0,−1) ， 2 0 ( 1) z z z z x y y 2 ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ − = − = − ∂ ∂ v ∂ ∂ 。 所以在(1,2)处， 2 z z x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ 。 (1) grad f (1,2) = (2,2)。 (2) 因为(4,6) − = (1, 2) (3, 4) ， 2 2 (3, 4) (3, 4) 3 4 5 = = + v ，所以 (1,2) 3 4 1 2 2 5 5 ∂f 4 5 = ⋅ + ⋅ = ∂v 。 10. 求下列函数的梯度： （1） z = x 2 + y 2 sin(xy)； （2） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 2 2 2 2 1 b y a x z ； （3）u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + 3xy + 4yz + 6x − 2y − 5z ，在点(1,1,1)。 解 (1) grad z = ( 2x + y 3 cos(xy), 2y sin(xy) + xy 2 cos(xy)) 。 (2) ) 2 , 2 grad ( 2 2 b y a x z = − − 。 (3) grad ( u x = + 2 3y + 6, 4y + 3 4 x + z − 2,6 4 z + y − 5)，grad u(1,1,1) = (11,9,5)。 11. 对于函数 ，在第Ι象限（包括边界）的每一点，指出 函数值增加最快的方向。 f (x, y) = xy 5

解在(x,y)(0,0)点，函数值增长最快的方向为gradf=(y,x);在(0.0)点，由于梯度为零向量，不能直接从梯度得出函数值增长最快的方向。设沿方向v=(cosα,sinα)自变量的改变量为Ax=tcosa, Ay=tsinα,则函数值的改变量为1t sin2α,f(Ax,Ay)-f(0,o)=AxAy=t cosαsinα2由此可知当α=,时函数值增长最快，即函数值增长最快的方向为44(1,1)和(-1,-1) 。12.验证函数f(x,y) =/xy在原点(0,0)连续且可偏导，但除方向e,和-e（i=1,2）外，在原点的沿其它方向的方向导数都不存在。解lime(x,y)=lim/xy=0=f(0,0),x.v)-→(0Ar-0-03/0.Ay-0=0,J,(0,0)=lim=0，J(0,0)= limAr-0Ax-→0Ay所以函数在原点(0,0)连续且可偏导。取方向v=(cosα,sinα)，则af = limf(0+tcosα,0+tsinα)-f(0,0)Ov1→0+ticosa-tsina/sin2α= lim:lim32t0t当sin2α=0，即α=时，极限存在且为零；当sin2α0，即α时，22极限不存在。所以除方向e,和-e，（i=1,2）外，在原点的沿其它方向的方向导数都不存在。13.验证函数xyx2+y2+0,f(x,y)=Vx?+y0,x2+y2=06

解 在(x, y) ≠ (0,0)点, 函数值增长最快的方向为grad f = ( y, x); 在 点, 由于梯度为零向量，不能直接从梯度得出函数值增长 最快的方向。设沿方向 (0,0) v = (cosα,sinα)自变量的改变量为 ∆ = x t cosα, ∆y = tsinα ， 则函数值的改变量为 2 2 1 ( , ) (0,0) cos sin sin 2 2 f x ∆ ∆y − f = ∆x∆y = t α α α = t ， 由此可知当 3 , 4 4 π π α = 时函数值增长最快，即函数值增长最快的方向为 (1,1)和(−1,−1)。 12． 验证函数 3 f (x, y) = xy 在原点(0,0) 连续且可偏导，但除方向ei 和 i − e （ ）外，在 原点的沿其它方向的方向导数都不存在。 i = 1,2 解 3 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim ( , ) lim 0 (0,0) x y x y f x y xy f → → = = = ， 3 0 0 0 (0,0) lim 0 x x x f ∆ → x ∆ ⋅ − = = ∆ ， 3 0 0 0 (0,0) lim 0 y y y f ∆ → y ⋅ ∆ − = = ∆ ， 所以函数在原点(0,0) 连续且可偏导。取方向v = (cosα,sinα)，则 0 (0 cos ,0 sin ) (0,0) limt f f t t f t α α → + ∂ + + − = ∂v 3 0 cos sin limt t t t α α → + ⋅ = 3 0 3 sin 2 lim 2 t t α → + = ， 当sin 2α = 0，即 2 kπ α = 时，极限存在且为零；当sin 2α ≠ 0，即 2 kπ α ≠ 时， 极限不存在。所以除方向ei 和 i − e （i = 1,2 ）外，在原点的沿其它方向 的方向导数都不存在。 13. 验证函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 6

在原点（0.0)连续且可偏导，但它在该点不可微。解由于xyx2 + y2 →0 (x,J) →(0,0),1x2所以xylimf(x,y)=lim=0=f(0,0)。(x,y)→(0,0)(x,y)-(0.0) /x2 + y2由定义，0.AyAx-0OOV0+4y2Ar+0=0。f.(0,0)= lim=0,f.(0,0)= limAr>0Ax4p>0Ay所以函数在原点(0.0)连续且可偏导。但f(0+△r,0+Ay)-f(0,0)-[f,(0,0)Ax+ f,(0,0)Ay)AxAyo(/x?+Ay)，f(Ax,Ay)=VAr? +Ay?所以函数在(0.0)不可微。验证函数14.(x? + y2)sinx2+y2+0x?+y2,f(x,y) =0x?+y2=0的偏导函数f,(x,y),f,(x,J)在原点(0,0)不连续，但它在该点可微。解由定义，(Ar? +0°)sin-0Ar2 +02f.(0, 0)= lim=0，AxAr→0当(x,J)+(0,0)时,2x11x2+y2±0。f,(x,y)=2xsinx? + y2x2+y2x? + y?由于7

在原点(0,0) 连续且可偏导，但它在该点不可微。 解 由于 2 2 2 2 0 (( , ) (0,0)) xy x y x y x y ≤ + → → + ， 所以 ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → = ( , ) (0,0) 2 2 lim 0 (0,0) x y xy f x y → = = + 。 由定义， 2 0 0 0 0 (0,0) lim 0 x x x x f ∆ → x ∆ ⋅ − ∆ + = = ∆ ， 2 0 0 0 0 (0,0) lim 0 y y y y f ∆ → y ⋅∆ − + ∆ = = ∆ 。 所以函数在原点(0,0) 连续且可偏导。但 (0 ,0 ) (0,0) [ (0,0) (0,0) ] x y f + ∆x y + ∆ − f − f ∆x + f ∆y = f x ( , ∆ ∆y) = 2 2 x y x y ∆ ∆ ∆ + ∆ 2 2 ≠ ∆ o x ( ) + ∆y ， 所以函数在(0,0) 不可微。 14. 验证函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ + + = 0, 0 , 0, 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 的偏导函数 f x (x, y), f y (x, y)在原点(0,0) 不连续，但它在该点可微。 解 由定义， 2 2 2 2 0 1 ( 0 )sin 0 0 (0,0) lim 0 x x x x f ∆ → x ∆ + − ∆ + = = ∆ ， 当( , x y) ≠ (0,0)时， 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( , ) 2 sin cos , 0 x x f x y x x y x y x y x y = − + + + + ≠ 。 由于 7

1lim f (x, y)= lim (2xsin-COS2x2x22xH极限不存在，所以.(x,J)在原点(0,0)不连续。同理f,(x,J)在原点(0,0)也不连续。但由于f(0+ Ax,0+Ay)- f(0, 0)-[f,(0, 0)Ax+ f,(0,0)Ay)=(x2 + y)sin-"+=0(/Ar+y),所以函数在(0,0)可微。15.证明函数2xy22+y2±0,x+y4f(x,y) =0,x2+y?=0在原点（0.0)处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因而不可微。解函数沿方向v=(cosα,sinα)的方向导数为%=lim /(0+1cosa,0+1sina)-(0.0)OvtOt2cosαsin'α.t3= lim=0,Vα,-→0+(cos α+ sin'α.t)?所以函数在原点(0,0)处沿各个方向的方向导数都存在。但当(x,J)沿曲线x=hy2趋于(0.0)时，极限2ky42klim f(x,y)= limy-oky+y-k?+110与k有关，所以函数在原点不连续，因而不可微。16.计算下列函数的高阶导数：(1)≥=arctan，求="=ax2axoy'ay2x求(2) z=xsin(x+y)+ ycos(x+ j)，ax?axoy'ay?(3）2=xe，求=0’ax'oy'axoy?:8

0 0 lim x ( , ) lim x x f x y → → = x y = 2 2 1 1 1 (2 sin cos ) 2 2 2 x x x x − ， 极限不存在，所以 ( , ) x f x y 在原点(0,0) 不连续。同理 ( , ) y f x y 在原点 也不连续。但由于 (0,0) (0 ,0 ) (0,0) [ (0,0) (0,0) ] x y f + ∆x y + ∆ − f − f ∆x + f ∆y = 2 2 2 2 1 ( ) x y sin x y + + 2 2 = ∆ o x ( ) + ∆y ， 所以函数在(0,0) 可微。 15. 证明函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, 2 ( , ) 2 2 2 2 2 4 2 x y x y x y xy f x y 在原点 处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因 而不可微。 (0,0) 解 函数沿方向v = (cosα,sinα)的方向导数为 0 (0 cos ,0 sin ) (0,0) limt f f t t f t α α → + ∂ + + − = ∂v 2 3 2 4 2 2 0 2cos sin lim 0, , (cos sin ) t t t t α α α → + α α ⋅ = = + ⋅ ∀ 所以函数在原点(0,0) 处沿各个方向的方向导数都存在。但当( , x y)沿曲 线 2 x = ky 趋于(0,0) 时，极限 2 4 2 4 4 2 0 0 2 2 lim ( , ) lim y y 1 x ky ky k f x y → → k y y k = = = + + 与 k 有关，所以函数在原点不连续，因而不可微。 16．计算下列函数的高阶导数： （1） x y z = arctan ，求 2 2 2 2 2 , , y z x y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （2） z = x sin(x + y) + y cos(x + y)，求 2 2 2 2 2 , , y z x y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （3） z = x exy ，求 2 3 2 3 , x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； 8

at2(4) u= ln(ax+by+ ca),求u,axrt"ax"ay?(5) ==(x-a)P(y-b)°, 求p=OxPoy9ap+g+"ru（6）u= xyze*+y*，求axPayazr解(1)由OzOzy-17xaxx? + y2ay2+yxyJ1+x得到a?zy?-x2022a?z2xy2xyOy2(x2 + y2)2(x2 +y2)2ax?(x2 + y2)2axay(2) 由%=(1-)sin(+)+xcos(++),Oz= = (1+ x)cos(x+ y)- ysin(x+ y)axay得到a?z=(2-y)cos(x+y)-xsin(x + y),ax?a?z= (1-y)cos(x+ y)-(1+x)sin(x+ y),axoya?2- ycos(x+y)-(x+2)sin(x+y) 。ay2(3) 由a2z==xe,a?=xe,(2x+x"y)e)Oy2ayaxoy得到32a32=(2+4xy+ x2y2)e,=(3x? +x'y)e。axoy2ax'ay9

（4）u = ln(ax + by + cz)，求 2 2 4 4 4 , x y z x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （5） z = (x − a) p ( y − b) q ，求 p q p q x y z ∂ ∂ ∂ + ； （6）u = xyz ex+ y+z ，求 p q r p q r x y z u ∂ ∂ ∂ ∂ + + 。 解 (1) 由 2 2 2 2 1 y 1 z y x y x x y x ∂ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ = − ∂ + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 1 1 1 z x y x y x y x ∂ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 得到 2 2 2 2 2 ( ) 2 x y xy x z + = ∂ ∂ , = ∂ ∂ ∂ x y z 2 2 2 2 2 2 (x y ) y x + − , = ∂ ∂ 2 2 y z 2 2 2 ( ) 2 x y xy + − 。 (2) 由 (1 )sin( ) cos( ) z y x y x x y x ∂ = − + + + ∂ ， (1 ) cos( ) sin( ) z x x y y x y y ∂ = + + − ∂ + 得到 (2 ) cos( ) sin( ) 2 2 y x y x x y x z = − + − + ∂ ∂ , = ∂ ∂ ∂ x y z 2 (1− y) cos(x + y) − (1+ x)sin(x + y), = ∂ ∂ 2 2 y z − y cos(x + y) − (x + 2)sin(x + y)。 (3) 由 2 e z xy x y ∂ = ∂ ， 2 3 2 e z xy x y ∂ = ∂ ， = ∂ ∂ ∂ x y z 2 2 (2 ) xy x + x y e 得到 xy xy x y e x y z (2 4 ) 2 2 2 3 = + + ∂ ∂ ∂ , xy x x y e x y z (3 ) 2 3 2 3 = + ∂ ∂ ∂ 。 9

(4）经计算，可依次得到1oua(ax + by + cz)aaxaxax+by+czax+by+czouα?aa(ax + by + cz)ax?ax(ax + by + cz)?(ax+by+ cz)2a3"u2a?o(ax + by+ cz)ax3(ax+by+cz)ax(ax+ by + cz)36a4a*u3.2a2a(ax + by + cz)axs(ax + by + cz)4 'ax(ax + by + cz)4a'u2a2au2a2b(ax +by + cz)ax'ayOyaxr?(ax + by + cz)3ay(ax + by + cz) o*uatu3.2a?b6a'b2a(ax + by + cz)ay'ax?ax'ay?(ax + by + cz)4ay(ax +by + cz)*ap+2ap(092)ap09(y-b)9(5)axPay!axPay!axpayy_dP(x-a)p d(y-b)=plq!。dxpdy9(6）对x，y，z应用Leibniz公式op+*ruoP(xe") o"(ye") a"(ze')_ dP(xe') d'(ye") d'(zei)dy9axPay'a"axpaygazrdxpdzr=(x+ p)e* (y+g)e.(z+r)e=(x+ p)(y+q)(z+r)e*+17.计算下列函数的高阶微分：(1) z=xln(xy)， 求d2z;(2）z=sin(ax+by)，求d’z;(3) u=er+y+=(x?+y?+z)，求d3u; ;(4)z=e*siny,求d*z。解(1) dz=(In(x)+1)dx+二dy,y10

(4) 经计算，可依次得到 u a 1 ( x by cz) a x ax by cz x ax by cz ∂ ∂ + + = = ∂ + + ∂ + + ， 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) u a ax by cz a 2 x ax by cz x ax by cz ∂ ∂ + + = − = − ∂ + + ∂ + + ， 3 2 3 3 3 2 ( ) 2 ( ) ( ) u a ax by cz a 3 x ax by cz x ax by cz ∂ ∂ + + = = ∂ + + ∂ + + ， 4 3 4 4 3 2 ( ) 6 ( ) ( ) u a ax by cz a 4 4 x ax by cz x ax by cz ∂ ⋅ ∂ + + = − = − ∂ + + ∂ + + ， 3 3 2 2 u u x y y x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 3 3 2 ( ) 2 ( ) ( ) a ax by cz a b ax by cz y ax by cz ∂ + + = + + ∂ + + ， 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 2 ( ) 6 ( ) ( ) u u a b ax by cz a b x y y x ax by cz y ax by cz ∂ ∂ ⋅ ∂ + + = = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ + + 。 (5) ( ) ( ) p q p q p q q p p q p q p q z z y x a x y x y x y + ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ∂ − = = ⎜ ⎟ ⎜ − ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ∂ b ⎞ ⎟ ⎠ ( ) ( ) p p q q p q d x a d y b dx dy − − = = p q! !。 (6) 对 x，y，z 应用 Leibniz 公式， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( p q r p x q y r z p x q y r z p q r p q r p q r u xe ye ze d xe d ye d ze ) x y z x y z dx dy dz + + ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 。 =( ) ( ) ( ) x y z x + ⋅ p e y + q e ⋅ z + r e =( )( )( ) x y z x p y q z r e + + + + + 。 17．计算下列函数的高阶微分： （1） z = x ln(xy)，求d2 z ； （2） z = sin 2 (ax + by) ，求d3 z； （3）u = ex+ y+z (x 2 + y 2 + z 2 )，求d3 u ；； （4） z = ex sin y ，求dk z 。 解 (1) (ln( ) 1) x dz xy dx dy y = + + ， 10