复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第九章 数项级数 9.4 任意项级数 9. 5 无穷乘积

习题9.4任意项级数1.讨论下列级数的收敛性（包括条件收敛与绝对收敛）1+1_1+1.(1) 1-(2)(x-n);2!345n+xn=l-1)" in ±;(3)(4)>n/n7=naI(5) Z(-1)~ ln' n.n元(6)COS33iVnn1=2 sin(n+1)xcos(n -1)xn+14"sin2n(8)(7)12npnn=lIn| 2 +n(9)(10)n2″n=l/(3n-2)(3n+2)n=l(-1)*+x"a1(11)(12)(a>0).>2nPIn'n1+a"n111解（1）设级数1-·的部分和数列为S，，则2!43511n4S2n =)k=2k-1(2k)!3-由于级数之收敛，发散，所以limS2n=+o，因此级数胎(2n)!n=12n-11-+-+}-发散。2!345级数≥(-1)(2)（x≠-n）当n充分大（即n+x>0）时是交错级n+xn=l单调减少趋于零，所以(-1)"数，月（x≠-n）收敛；又由=l n+xn+xX.2发散，所以级数-1-nn+（x≠-n）条件+→8),(ninn+xn二n+x收敛。1

习 题 9.4 任意项级数 1. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛) ⑴ 1- 2! 1 + 3 1 - 4! 1 + − 5 1 .; ⑵ ∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ x≠− n）； ⑶ ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x ; ⑷ ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n n ; ⑸ ∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n ; ⑹ ∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − 1 2 1 4 sin ( 1) n n n n n x ; ⑻ ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x ; ⑼ n n n n x n ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 ( 1) ; ⑽ ∑ ∞ = + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 1 (3 2)(3 2) 1 ln 2 ( 1) n n n n n ; ⑾ ∑ ∞ =2 n ln p q n n n x ; ⑿ ∑ ∞ = + + − 1 1 1 ( 1) n n n a a n ( a > 0 ). 解（1）设级数 1- 2! 1 + 3 1 - 4! 1 + − 5 1 .的部分和数列为{Sn }，则 ∑ ∑ = = − − = n k n k n k k S 1 1 2 (2 )! 1 2 1 1 ， 由于级数 ∑ ∞ =1 (2 )! 1 n n 收敛， ∑ ∞ =1 2 −1 1 n n 发散，所以 = +∞ →∞ n n S2 lim ，因此级数 1- 2! 1 + 3 1 - 4! 1 + − 5 1 .发散。 （2）级数∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ x≠− n）当n充分大（即n + x > 0）时是交错级 数，且 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n + x 1 单调减少趋于零，所以∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ x≠− n）收敛；又由 于 n x n + − +1 ( 1) ～ n 1 (n → ∞), ∑ ∞ =1 1 n n 发散，所以级数∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ ≠ ）条件 收敛。 x − n 1

（3）当x=0时(-1)+ sin=的一般项都为零，所以级数绝对收敛。n=l2x(-1)"lsin=当n充分大（即n>）时是交错级数，且设x±0，n元n=lsin单调减少趋于零，所以之(-1)sin=收敛；又由于-1)-sin+-n2nn=lx≥四发散，所以级数之(-1)"sin=条件收敛。8).(n-1n=innn=l因此 lim(-1)+1不存在，所以之发散。(4) lim/n=1, Enn/nnoH>0naln""单调减少趋于零，所以In"n是交错级数，当n≥8(5)>nn=2"收敛；又由于"发散，房所以级数≥(-1)ln""条级数(-1)"nnnn=2n=2n=2件收敛。(6）设！s的部分和数列为(s)，则cOS3=n2 (-1)k-12 (-1)(-1)Son=周2/3k-2台2/3k-1*/3k由于(-1)"-1（-1)和1"都是Leibniz 级数，即都是收敛V3n=12V3n-2=2/3n-1的，所以limS,存在且有限。容易证明lim S6n+1 = lim S6n+2 = lim Son+3 = lim S6n+4 = lim S6n+5 = lim Son 'n+00n->00n-→0n->n→00n>00由此可知级数一元收敛。COS-n311n元1Lcos条件收由于发散，所以级数文COS>Nn2/n33n=12VnVn敛。2

（3）当 x = 0时∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 的一般项都为零，所以级数绝对收敛。 设 x ≠ 0，∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 当n充分大（即 π x n 2 > ）时是交错级数，且 n x sin 单调减少趋于零，所以∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 收敛；又由于 n n x ( 1) sin +1 − ～ n x (n → ∞)，∑ ∞ n=1 n x 发散，所以级数∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 条件收敛。 （4） lim = 1 →∞ n n n ，因此 n n n n 1 ( 1) lim + →∞ − 不存在，所以∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n n 发散。 （5）∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n 是交错级数，当n ≥ 8， n n 2 ln 单调减少趋于零，所以 级数∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n 收敛；又由于 ∑ ∞ =2 2 ln n n n 发散，所以级数∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n 条 件收敛。 （6）设∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n 的部分和数列为{Sn }，则 S6n = ∑ = − − − n k k k 2 1 1 2 3 2 ( 1) ∑ = − − + n k k k 2 1 2 3 1 ( 1) ∑ = − + n k k k 2 1 3 ( 1) ， 由于 ∑ ∞ = − − − 1 1 2 3 2 ( 1) n n n ， ∑ ∞ = − − 1 2 3 1 ( 1) n n n 和 ∑ ∞ = − 1 3 ( 1) n n n 都是 Leibniz 级数，即都是收敛 的，所以 n存在且有限。容易证明 n S6 lim →∞ 6 1 lim + →∞ n n S 6 2 lim + →∞ = n n S 6 3 lim + →∞ = n n S 6 4 lim + →∞ = n n S 6 5 lim + →∞ = n n S n n S6 lim →∞ = ， 由此可知级数∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n 收敛。 由于 n n n 2 1 3 cos 1 ≥ π ， ∑ ∞ =1 2 1 n n 发散，所以级数∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n 条件收 敛。 2

4"sin2m（7）当xe(k元-",k元+)时，由于(4sin2x)n66nn+14" sin2n81(4sin2x）"收敛，所以级数>绝对收敛。0≤4sin2x1,级n数的一般项趋于无穷大，所以级数发散。 sin(n +1)x cos(n-1)xki时，级数的一般项都为零，所以级数）(8)当x=np2h=I绝对收敛。设x*。当p>1时，由于[si(n+1)xcos(n-1)，所以级数2npsin(n+1)xcos(n-1)绝对收敛。2np当0<p≤1时，由于sin(n+1)xcos(n-1)x_sin2nx,sin2xnb2np2nPin2收敛，而sin2发散，所以级数由Dirichlet判别法,12nP=2nP≥si(n+D)eo(n-DI 发散。npn=l当p≤0时，由于级数的一般项不趋于零，所以级数 sin(n+1)xcos(n-1)x发散。Wnp3

（7）当 ) 6 , 6 ( π π π x ∈ kπ − k + 时，由于 n n n n x n n x (4sin ) 4 sin 1 ( 1) 2 2 1 − = + ， 0 4sin 1 2 ≤ x （8）当 2 kπ x = 时，级数的一般项都为零，所以级数∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x 绝对收敛。 设 2 kπ x ≠ 。当 p > 1时，由于 p p n n sin(n 1)x cos(n 1)x 1 ≤ + − ，所以级数 ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x 绝对收敛。 当0 < p ≤ 1时，由于 = + − p n sin(n 1)x cos(n 1)x p p n x n nx 2 sin 2 2 sin 2 + ， 由 Dirichlet 判别法，∑ ∞ =1 2 sin 2 n p n nx 收敛，而 ∑ ∞ =1 2 sin 2 n p n x 发散，所以级数 ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x 发散。 当 p ≤ 0时，由于级数的一般项不趋于零，所以级数 ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x 发散。 3

(9) 设x,=(-1)*I n24所以则lim/I..2"22→0-I)+I n?当2n=lh当>2时，-x"发散；(-台2"当=2时，级数的一般项不趋于零，所以之(-1)"""也发散。2"n=lIn|2 +。由于{u）单调减少趋于零，所以(10)设un(-1) uJ(3n-2)(3n+2)n=l是Leibniz级数，因此收敛。In222发散，所以级数之(-1)u,条件收敛。因为u(n→),3nn=13nn=xn（11）设x，则lim/x=风，所以nPIngn当1时，级数之一，发散；nPIn'nx"=当x=1时，，因此当p>1或p=1.g>1时级数nPln'nn=2nPIng（绝对）收敛，在其他情况下级数发散：当x=-1时，_x"=(-1)"，因此当p>1或p=1g>1时级nPn'n2anPIn'n数绝对收敛，当p=1,q≤1或00时级数条件收敛，在其他情况下级数发散。(-1)n+)a（12）设x.1+ann4

（9）设 n n n n x n x 2 ( 1) 2 +1 = − ，则 2 lim x x n n n = →∞ ，所以 当 x 2时， n n n n x n ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 ( 1) 发散； 当 x = 2时，级数的一般项不趋于零，所以 n n n n x n ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 ( 1) 也发散。 （10）设 1 ln 2 (3 2)(3 2) n n u n n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ = − + 。由于{un}单调减少趋于零，所以 1 1 ( 1) n n n u ∞ + = ∑ − 是 Leibniz 级数，因此收敛。 因为un～ 3n ln 2 (n → ∞)，∑ ∞ =1 3 ln 2 n n 发散，所以级数 1 条件收敛。 1 ( 1) n n n u ∞ + = ∑ − （11）设 n n x x p q n n ln = ，则 x x n n n = →∞ lim ，所以 当 x 1时，级数∑ ∞ =2 n ln p q n n n x 发散； 当 x = 1时，∑ ∞ =2 n ln p q n n n x ∑ ∞ = = 2 ln 1 n p q n n ，因此当 p > 1或 p = 1, q > 1时级数 （绝对）收敛，在其他情况下级数发散； 当 x = −1时，∑ ∞ =2 n ln p q n n n x ∑ ∞ = − = 2 ln ( 1) n p q n n n ，因此当 或 时级 数绝对收敛，当 或 p > 1 p = 1, q > 1 p = 1, q ≤ 1 0 0时级数条件收敛，在 其他情况下级数发散。 （12）设 n n n a a n x + − = + 1 ( 1) 1 。 4

所以级数(-1)*a绝对收敛；当a>1时，lim/x=1+a"2nnn=ln=1当03n+33n+66n6n6由于n可以取任意大，由Cauchy收敛原理可知级数发散。3.设正项级数x，收敛，（x，）单调减少，利用Cauchy收敛原理证n=l明：limnx,=0。由≥x收敛，对任意给定的ε>0，存在正整数N">0，对一切证n=lm>n>N"，成立C0N时，>N"，于是成立自2.6+x.Xn<x+5J5

当a > 1时， 1 1 lim = n n n " 6 1 6 2 > − > n n ， 由于n可以取任意大，由 Cauchy 收敛原理可知级数发散。 （ 2） 设级数的一般项为 xn，则 n n n x x x 3 +1 + 3 +2 +"+ 6 n n 6n 1 3 6 1 3 3 1 + + + + + > " 6 1 6 > = n n ， 由于n可以取任意大，由 Cauchy 收敛原理可知级数发散。 3. 设正项级数 收敛，｛ ｝单调减少，利用 Cauchy 收敛原理证 明： = 0。 ∑ ∞ n=1 n x n x n n nx →∞ lim 证 由 ∑ 收敛，对任意给定的 ∞ n=1 n x ε > 0，存在正整数 ，对一切 ，成立 N'> 0 m > n > N' 2 0 1 2 ε N 时，有 ' 2 N n >⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ，于是成立 2 2 0 1 2 2 ε < < + + + < +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ n ⎡ n n n x x x x n " ， 5

即00和任意正整数p，存在N(s,P)，使得I X+ + Xn+2 +... + X+p/N成立，问级数x，是否收敛？n=l解级数之x不一定收敛。二例如：级数≥×=2发散，但对任意6>0和任意正整数p，取n=in=lN(s,p)=P, 当n>N(s,p)时,++ +X+2 +..+Xn+p6。ntl5.若级数x，收敛，lim==1，问级数y，是否收敛？=n-→" ynZy，不一定收敛。解n=l反例：x,=(-1)1(-1)"+I1=1，但级数则limx收n=JnVnnyn敛，而级数y，发散。=6.设x≥0，limx,=0，问交错级数(-1)"+1x.是否收敛?2(-1)x,不一定收敛。解n=l[n=2kk则x,≥0，lim x,=0，但≥(-1)*+x,发反例：x1n=2k-12散。-7.设正项数列(x,)单调减少，且级数之(-1)"x发散。问级数）1+x是否收敛？并说明理由。6

即 0和任意正整数 p，存在 N(ε , p) ，使得 ｜ x n+1 + xn+2 + . + xn+ p｜ 0和任意正整数 p，取 ε ε p N( , p) = ，当n > N(ε , p)时， < ε + + + + + + + < 1 1 2 n p x x x n n " n p 。 5. 若级数∑ 收敛， ∞ n=1 n x lim n→∞ n n y x = 1，问级数∑ 是否收敛? ∞ n=1 n y 解 ∑ 不一定收敛。 ∞ n=1 n y 反例： n x n n 1 ( 1) + − = , n n y n n ( 1) 1 1 + − = + ，则lim n→∞ n n y x = 1，但级数 收 敛，而级数 发散。 ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n y 6. 设 ≥ 0， = 0，问交错级数 是否收敛? n x lim n→∞ n x n n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) 解 ∑ 不一定收敛。 ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n x 反例： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = 2 1 1 2 1 2 n k k n k k xn ，则 xn ≥ 0，lim n→∞ 0 n x = ，但 发 散。 n n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) 7. 设正项数列{xn }单调减少，且级数∑ 发散。问级数 ∞ = − 1 ( 1) n n n x ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1+ 1 n n n x 是否收敛？并说明理由。 6

解级数收敛。(1+x,因为正项数列(x,)单调减少，所以必定收敛。如果limx，=0，则(-1)"x，是Leibniz级数，因此收敛，与条件矛盾，所以必定有因此limx=α>0，于是当n充分大时d.1收敛。8.设级数之收敛，则当α>α时，级数也收敛。inn112-2(由于收敛，单调有界，利用证na-daa-an=ina=n%=InoAbel判别法，可知级数之收敛。ina注本题也可利用Dirichlet判别法证明。9.若（nx,）收敛，n(x,-xn--)收敛，则级数x,收敛。V4=2二1证令a=xb=l，则Bk=b,=k。利用Abel变换，得到i=l2x=mk(xk+)1-x) Kk=l由于Zn(xn+1 -xn) = >Z[(n + 1)(xn+1 - xn) .n=ln=l因为数列单调有界，级数(n+1)(x+1-x,)=n(x,-xa-)收敛，n+]=1≥mx-x,）)收敛。再由数列（nx,）的收敛性，即可由Abel判别法，n=l知级数之x，收敛。n=l7

解 级数∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1+ 1 n n n x 收敛。 因为正项数列 单调减少，所以必定收敛。如果 ，则 是 Leibniz 级数，因此收敛，与条件矛盾，所以必定有 { }n x lim = 0 →∞ n n x ∑ ∞ = − 1 ( 1) n n n x lim = > 0 →∞ n α n x ，于是当n充分大时， n n n x ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + α 0时，级数∑ ∞ n=1 n n x α 也收敛。 证 ∑ ∞ n=1 n n x α ) 1 ( 1 ∑ 0 0 ∞ = − = ⋅ n n n n x α α α , 由于 ∑ ∞ =1 0 n n n x α 收敛， ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − 0 1 α α n 单调有界，利用 Abel 判别法，可知级数∑ ∞ n=1 n n x α 收敛。 注 本题也可利用 Dirichlet 判别法证明。 9. 若｛nxn｝收敛，∑ 收敛，则级数 收敛。 ∞ = − − 2 1 ( ) n n n n x x ∑ ∞ n=1 n x 证 令a x n n = , bn =1, 则B b k 。利用 Abel 变换，得到 k i k ∑ i = = = 1 ∑ ∑ 。 = − = = − + − n k n k k n k k x nx k x x 1 1 1 1 ( ) 由于 ∑ ∞ = + − 1 1 ( ) n n n n x x ] 1 [( 1)( ) 1 1 + = ∑ + − ⋅ ∞ = + n n n x x n n n ， 因为数列 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n +1 n 单调有界，级数 收敛， 由 Abel 判别法，∑ 收敛。再由数列｛ ｝的收敛性，即可 知级数 收敛。 ∑ + − = ∞ = + 1 1 ( 1)( ) n n n n x x ∑ ∞ = − − 2 1 ( ) n n n n x x ∞ = + − 1 1 ( ) n n n n x x nxn ∑ ∞ n=1 n x 7

10.若之(x-x-)绝对收敛，厂y.收敛，则级数之xy.收敛。T=22=l由于,收敛,可知>0,,>,x，发散，证明级数也发散=nei(证采用反证法。令y,=(1+-)x)x，若，收敛，因为单调有界，n+1nn=lgnZxn则由Abel判别法y，收敛，与条件矛盾，所以级数=in+1n=l发散T=>0，证明：交错级数>(-1)"+x收敛，13.设x,>0，limn8

10. 若∑ 绝对收敛， 收敛，则级数 收敛。 ∞ = − − 2 1 ( ) n n n x x ∑ ∞ n=1 n y ∑ ∞ n=1 n n x y 证 由于 ∑ 收敛,可知 ∞ n=1 n y ε 0, N n , N p , N+ ∀ > ∃ ∀ > ∀ ∈ ： ∑ < ε + = + n p k n k y 1 。由于 ∑ 绝对收敛, 所以收敛,于是可知 ∞ = − − 2 1 ( ) n n n x x {xn }有界。 设 x x A n ∑ n − n = ∞ = − 2 1 , xn ≤ B , 令 n k n n n k B y y y + = +1 + +2 +"+ + , 利 用 Abel 变换，得到 ( ) ( )ε 1 1 1 1 x y x B x x B A B n p k n n p n p k k k n p k n ∑ k k = − ∑ − < + + − = + + + + + = + 。 由 Cauchy 收敛原理，可知级数∑ 收敛。 ∞ n=1 n n x y 11．设 f (x)在[−1,1]上具有二阶连续导数，且 0 ( ) lim 0 = → x f x x 。 证明级数∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 n n f 绝对收敛。 证 由 0 ( ) lim 0 = → x f x x 可知 f (0) = 0 , f '(0) = 0 , 于是 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n f 1 ～ 2 1 2 "(0) n f ⋅ （n → ∞）， 所以级数∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 n n f 绝对收敛。 12. 已知任意项级数∑ 发散，证明级数 ∞ n=1 n x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 1 n n x n 也发散。 证 采用反证法。令 n n x n y ) 1 = (1+ ，若 ∑ 收敛，因为 ∞ n=1 n y ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n +1 n 单调有界， 则由 Abel 判别法, ∑ = ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 +1 n y n n 收敛，与条件矛盾，所以级数 ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 1 n n x n 发散。 13. 设 xn ＞0，lim n n→∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 n 1 n x x ＞0，证明：交错级数 n收敛。 n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) 8

Xn证设limn=y>0，首先可知当n充分大时有x>xn+1，即数n>00(Xn+)列)当n充分大时是单调减少的。然后取α>0,β>0，使得>β>α>0，可知当n充分大时，成立>1+B>(+l)=(n+)nnanXn+1从而(n+1)axn+I0，使得n°x,≤A，即A0<x,he从而数列()趋于零。因此交错级数(-1)"lx,是Leibniz级数，所以=收敛。14.利用1+1+1l-lnn -→ (n→o),+...231其中是 Euler 常数(见例 2.4.8)，求下述之(-1)"的更序级数的和:nn=1++-+++++-1++++-++325749111611+1+...+-lnn,设级数解.设b,=1+23n111+1-+++++-++1.1113257491164n-34n-12n的部分和数列为s，则11(bn +Inn)=1+!+1+=+1+1S3n+4n-1359114n-37(b,+Inn)+=(b2, +In 2n)= b4n +ln 4n ,S3n +于是9

证 设 lim 1 0 1 = > ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ γ n n n x x n ，首先可知当 充分大时有 ，即数 列 当 充分大时是单调减少的。然后取 n n > n+1 x x {xn } n α > 0, β > 0 ，使得 γ > β > α > 0 ，可知当n充分大时，成立 α α β α n n x n n x n n ( 1) ) 1 1 (1 1 + > + > + = + ， 从而 1 ( 1) + n+ n x α n n x α 0 n xn ≤ A α α n A x 0 < n < ， 从而数列 趋于零。因此交错级数 是 Leibniz 级数，所以 收敛。 {xn } n n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) 14. 利用 1+ 2 1 + 3 1 +.+ n 1 - ln n → γ ( n → ∞ )， 其中γ 是 Euler 常数(见例 2.4.8)，求下述∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n 的更序级数的和： 1 + 3 1 - 2 1 + 5 1 + 7 1 - 4 1 + 9 1 + 11 1 - 6 1 + .。 解. 设bn = 1 1 2 + + 3 1 +.+ 1 ln n n − ，设级数 1+ 3 1 - 2 1 + 5 1 + 7 1 - 4 1 + 9 1 + 11 1 - 6 1 + . n n 2n 1 4 1 1 4 3 1 − − + − + +" 的部分和数列为{Sn }，则 + ( + ln ) = 2 1 3 S b n n n 1 + 3 1 + 5 1 + 7 1 + 9 1 + 11 1 + . 4 1 1 4 3 1 − + − + n n ， 3 2 1 1 ( ln ) ( ln 2 ) ln 4 2 2 n n n n S b + + n + b + n = b4 + n， 于是 9

1-In2S3n=17由limb,=，得到Alim S3nln2 -2n-→00lim S3n+2=lim S3n，所以由于limS3m+1=！n-0on->003lim S, =号ln2 。2n-0015.利用级数的Cauchy乘积证明：1. r(-1)*=1;(1)n=on!n!W!(2)>(n + 1)q"(q(1-a-2℃，则c=1，且当m≥1时，(-1)1设解（1)2n!n=on!n=0(-1)n!-→N-(-1)/=-(1-1)"= 0,7Cn=nliti-ni.j!ilj!n!i+j=n所以.(-1) =1。Zn!Zc，则(2）1=设Zqqn=0n=0J（n=0Cn = Z(q'q")=(n+1)q"。i+j=n1又由于q"-g-三10

ln 2 2 3 2 1 2 1 S3n = b4n − bn − b2n + 。 由 = γ →∞ n n lim b ，得到 ln 2 2 3 lim 3 = →∞ n n S 。 由于 + = ，所以 →∞ 3 1 lim n n S + = →∞ 3 2 lim n n S n n S3 lim →∞ ln 2 2 3 lim = →∞ n n S 。 15. 利用级数的 Cauchy 乘积证明： (1) ∑ ⋅ ∞ =0 ! 1 n n ∑ ∞ = − 0 ! ( 1) n n n = 1； (2) ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ∑ ∞ = + 0 ( 1) n n n q 2 (1 ) 1 − q (｜q｜＜1) 。 解 （1）设∑ ⋅ ∞ =0 ! 1 n n ∑ ∞ = − 0 ! ( 1) n n n ∑ ∞ = = n 0 n c ，则c0 = 1，且当n ≥ 1时， ∑ + = ⋅ − = i j n j n i j c ! ! ( 1) j i j n i j n n ( 1) ! ! ! ! 1 − ⋅ = ∑ + = (1 1) 0 ! 1 = − = n n ， 所以 ∑ ⋅ ∞ =0 ! 1 n n ∑ ∞ = − 0 ! ( 1) n n n = 1。 （2）设 ⎟ = ，则 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ∑ ∞ n=0 n c n i j n i j cn = ∑(q q ) = (n +1)q + = 。 又由于 q < 1，所以 q q n n − ∑ = ∞ = 1 1 0 ，从而得到 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q =∑ = ∞ = + 0 ( 1) n n n q 2 (1 ) 1 − q ( q < 1)。 10