复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第八章 反常积分 8.2 反常积分的收敛判别法

习题8.2反常积分的收敛判别法1.(1）证明比较判别法（定理8.2.2)；(2）举例说明，当比较判别法的极限形式中1=0或+时，。(x)dx和。(x)dx的敛散性可以产生各种不同的的情况。解（1)定理8.2.2(比较判别法）设在[a,+0)上恒有0≤f(x)≤Kp(x)，其中是正常数。则当[0(x)dx收敛时[f(x)dx也收敛；当[f(x)dx发散时[o(x)dx也发散。证当[tp(x)dx收敛时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，V6>0, 34o ≥a, VA,A≥A: [o(x)a。于是 (x)d≤ K0(x)d0, VA ≥a, 3A,A'zAo: [A f(x)dx≥K8 。于是[0()≥(≥80所以[to(x)dx也发散。(2) 设在[a,+8)上有(t)≥0,0()≥0,且lim=0。则当(n)d0 (p(x)发散时，Jtp(x)dx也发散；但当Jtf(x)dx收敛时，Jtp(x)dx可能收敛，278

习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理 8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l = 0 或 时， 和 的敛散性可以产生各种不同的的情况。 + ∞ ∫ +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 解 （1）定理 8.2.2（比较判别法） 设在[ , a + ∞)上恒有0 ≤ f (x) ≤ Kϕ(x)， 其中 K 是正常数。则 当∫ 收敛时 也收敛； +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 当∫ 发散时 也发散。 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a ϕ(x)dx 证 当∫a +∞ ϕ(x)dx 收敛时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理， ∀ε > 0 ，∃A0 ≥ a， 0 ∀A, A′ ≥ A ： K x dx A A ε ∫ ϕ 0，∀A0 ≥ a， 0 ∃A, A′ ≥ A ： f x dx Kε A A∫ ≥ ′ ( ) 。 于是 ∫ ≥ A′ A ϕ(x)dx 0 ( ) 1 ≥ ε ∫ A′ A f x dx K ， 所以∫ 也发散。 +∞ a ϕ(x)dx （2）设在[ , a + ∞)上有 f (x) ≥ 0,ϕ(x) ≥ 0，且 0 ( ) ( ) lim = →+∞ x f x x ϕ 。则当 发散时，∫ 也发散；但当 收敛时，∫ 可能收敛， ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx 278

也可能发散。，Q()=(0++0 (p(x)h2J"f(x)dx发散，而对于to(x)dx，则当。1时收敛。2.证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3）。证定理8.2.3(Cauchy判别法）设在[a,+o)c(0,+co)上恒有f(x)≥0，K是正常数。(1)若f(x)，且p>1，则(x)d收敛；K(2)若f(x)≥，且p≤1，则(f(x)dx发散。XP推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[a,+o)c(0,+)上恒有f(x)≥0，且lim xP f(x)= l ,则(1)若0≤11，则f(x)dx收敛；279

也可能发散。 例如 2 1 ( ) x f x = ， (0 2) 1 ( ) = x x p ϕ ，则 = +∞ →+∞ ( ) ( ) lim x f x x ϕ 。显然有 ∫ +∞ 1 f (x)dx发散，而对于∫1 +∞ ϕ(x)dx ，则当 1 2 1 1 ⒉ 证明 Cauchy 判别法及其极限形式（定理 8.2.3）。 证 定理 8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[ , a + ∞) ⊂ ( , 0 + ∞)上恒有 f x( ) ≥ 0， K 是正常数。 ⑴ 若 f x K x p ( ) ≤ ，且 p > 1，则 收敛； ∫ +∞ a f (x)dx ⑵ 若 f x K x p ( ) ≥ ，且 p ≤ 1，则 发散。 ∫ +∞ a f (x)dx 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在 [ , a + ∞) ⊂ + ( , 0 ∞) 上恒有 f x( ) ≥ 0，且 lim ( ) x p x f x l →+∞ = ， 则 ⑴ 若0 ≤ l 1，则 收敛； ∫ +∞ a f (x)dx 279

(2)若0<1≤+00，且p≤1，则(f(x)dx发散。证直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式)，将函数p(x)取为一xp3.讨论下列非负函数反常积分的敛散性：arctanx1dx(2) Ji(1) [t=dx;1+ x3x3 -e-2x + In x +1xq1"I+xpdr(pqeR*)(4) J,(3) J。 1+×/sin xdx解（1）当x→+∞时，13V3-e-2x +Inx+121dx收敛。所以积分Jx3-e-2* +Inx+1(2）当x→+8时，arctanx元1+x32x3+ arctanxdx收敛。所以积分「1+x（3）因为当x≥0时有1 + xsin x+dx发散。而积分-dx发散，所以积分。1+x sinx1± x（4）当x→+8时，x91xp-91+xp280

⑵ 若0 < l ≤ +∞ ，且 p ≤ 1，则 发散。 ∫ +∞ a f (x)dx 证 直接应用定理 8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极 限形式），将函数ϕ(x)取为 p x 1 。 ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 1 3 2 x e x dx x − + + − +∞ ∫ ln ; ⑵ ∫ +∞ 1 + 3 1 arc tan dx x x ; ⑶ 1 1 0 + +∞ ∫ x x dx |sin | ; ⑷ x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ （ ）. + p,q ∈ R 解 （1）当 x → +∞时， ln 1 1 3 2 − + + − x e x x ～ 2 3 1 x ， 所以积分 1 1 1 3 2 x e x dx x − + + − +∞ ∫ ln 收敛。 （2）当 x → +∞时， 3 1 arctan x x + ～ 3 2x π ， 所以积分∫ +∞ 1 + 3 1 arc tan dx x x 收敛。 （3）因为当 x ≥ 0时有 x x + x ≥ + 1 1 1 sin 1 ， 而积分 dx x ∫ +∞ + 0 1 1 发散，所以积分 1 1 0 + +∞ ∫ x x dx |sin | 发散。 （4）当 x → +∞时， p q x x 1+ ～ p q x − 1 ， 280

所以在p->1时，积分[”一dx收敛，在其余情况下积分X9dx发散。J1+xp4．证明：对非负函数f(x)，(cpv)[f(x)dx收敛与[tf(x)dx收敛是等价的。证显然，由[f(x)dx收敛可推出(cpv)「f(x)dx收敛，现证明当(x)≥0时可由(cpv)[f(x)dx收敛推出[f(x)dx收敛。由于(cpv)J.f(x)dx收敛，可知极限lim F(A)= lim [A, f(x)dx→存在而且有限，由Cauchy收敛原理V6>0, 3A >0,VA,A'≥A0: |F(A)-F(A)<8,于是VA,A'≥A与VB,B≥Ao，成立[f(x)dx≤|F(A)-F(4)]< 与[-βf(x)dx≤|F(B)-F(B)<6,这说明积分+f(x)dx与1f(x)dx都收敛，所以积分[f(x)dx收敛。5.讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同):(1) Jm mln sin xdx; (2) Jr"sinxd（peR*) ;Inxxp+sinxaretanxax (peR*);(4) J"sin(x)dx;(3)（xP[B(sinxd（pe(1)和g,(x)分别是m和n次多项式,q,(x)(5)q,(x)在xe[a,+0)范围无零点。)Inlnx=0,解（1)因为F(4)=[,sinxdx有界，Inlnx在[2,+o0)单调，且limIn.x+o0Inx由Dirichlet判别法，积分nlnsinxa收敛；Inx281

所以在 p − q > 1时，积分 x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ 收敛，在其余情况下积分 x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ 发散。 ⒋ 证明：对非负函数 ， 收敛与 收敛是等 价的。 f x( ) (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f x( )dx −∞ +∞ ∫ 证 显然，由 收敛可推出 收敛，现证明当 时可由 收敛推出 收敛。 f x( )dx −∞ +∞ ∫ (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f (x) ≥ 0 (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f x( )dx −∞ +∞ ∫ 由于(cpv) f x( )dx 收敛，可知极限 −∞ +∞ ∫ A→+∞ lim F(A) = A→+∞ lim ∫− A A f (x)dx 存在而且有限，由 Cauchy 收敛原理， ∀ε > 0，∃A0 > 0， 0 ∀A, A′ ≥ A ： F(A) − F(A') < ε ， 于是∀A, A′ ≥ A0与∀B, B'≥ A0 ，成立 ∫ ≤ A′ A f (x)dx F(A) − F(A') < ε 与 ∫ ≤ − − B B f x dx ' ( ) F(B) − F(B') < ε ， 这说明积分∫0 +∞ f (x)dx与∫− 0 ∞ f (x)dx 都收敛，所以积分 −∞ f x( )dx 收敛。 +∞ ∫ ⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散， 下同）： ⑴ ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ ; ⑵ sin x x dx 1 p +∞ ∫ （ ）; + p ∈ R ⑶ ∫ +∞ 1 sin arc tan dx x x x p （ ）; + p ∈ R ⑷ sin(x )dx 2 0 +∞ ∫ ; ⑸ ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) （ pm (x)和qn (x)分别是m和n次多项式， q (x) n 在 x ∈[a,+∞)范围无零点。） 解（1）因为 = ∫ 有界， A F A xdx 2 ( ) sin x x ln ln ln 在[2,+∞) 单调，且 0 ln ln ln lim = →+∞ x x x ， 由 Dirichlet 判别法，积分 ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ 收敛； 281

1In In xInInxInlnx由子-cos2x)，而积分sin.sinInxInx2Inxn.nnnInlnX sin xdx 发os2xdx收敛，所以积分『发散nxIn[lnlnxsinxadx条件收敛。散，即积分Inxsin x而一d收敛，所以当p>1时积分（2）当p>1时，xPxP+sSinxdx绝对收敛；xp当01时，[sinxarctan元，而[一ax收敛，所以当p>1时2xxp"sinxarctanxax绝对收敛；积分xP当0<p≤1时，因为F(4)=J’sinxdx有界，arctanx在[,+o)单调，且aretanx=0，由Dirichlet判别法，积分tsinxarctanxax收敛；但因limxPxP为当0<p≤1时积分aretan*jinxlax发散，所以当o<p1时积分YP+sinxarctanxdx条件收敛。xp+sindt条件收敛，可知+sin!dt，由于(4)令t=x2，Jt"sin(x2)dx= J2/t2Vt积分sin(x2)dx条件收敛。282

由于 x ≥ x x sin ln ln ln x x x 2 sin ln ln ln (1 cos 2 ) ln ln ln 2 1 x x x = − ，而积分 ∫ +∞ 2 ln ln ln dx x x 发散， ∫ +∞ 2 cos 2 ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分 ∫ +∞ 2 sin ln ln ln x dx x x 发 散，即积分 ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ 条件收敛。 （2）当 p > 1时， p p x x sin x 1 ≤ ，而∫ +∞ 1 1 dx x p 收敛，所以当 p > 1时积分 sin x x dx 1 p +∞ ∫ 绝对收敛； 当 0 1时， ≤ p x sin x arctan x p 2x π ，而∫ +∞ 1 1 dx x p 收敛，所以当 时 积分 p > 1 ∫ +∞ 1 sin arc tan dx x x x p 绝对收敛； 当0 < p ≤ 1时，因为 = ∫ 有界， A F A xdx 1 ( ) sin p x arctan x 在[1,+∞)单调，且 0 arctan lim = →+∞ p x x x ，由 Dirichlet 判别法，积分∫ +∞ 1 sin arctan dx x x x p 收敛；但因 为当0 < p ≤ 1时积分∫ +∞ 1 sin arctan x dx x x p 发散，所以当0 < p ≤ 1时积分 ∫ +∞ 1 sin arctan dx x x x p 条件收敛。 （4）令t = x 2，∫ = +∞ 0 2 sin(x )dx ∫ +∞ 0 2 sin dt t t ，由于∫ +∞ 0 2 sin dt t t 条件收敛，可知 积分 0 sin(x 2 )dx 条件收敛。 +∞ ∫ 282

KPm(x)（5）当n>m+1且x充分大时，可知当n>m+1时有sinxqn(x)积分[P(sinxdt绝对收敛。q,(x)当n=m+1时，因为F(A)=J"sinxd有界，且当x充分大时，Pm()qn(x)单调且 lim Pa(=0，由Dirichlet 判别法可知"Pa(sin xd收敛；但+0 qn(x)q,(x)由于当x→+o时，(～，易知0Pm(x)sinxdx发散，所以当qn(x)xqn(x)n=m+1时，积分["Pa(sinxd条件收敛。q,(x)当n<m+1时，由limPm()=A，A为非零常数、+8或-00，易知+o qn(α)积分a(sinxdx发散。q,(x)6.设f(x)在[a,b]只有一个奇点x=b，证明定理8.2.3'和定理8.2.5'。定理8.2.3（Cauchy判别法）设在[a,b)上恒有f(x)≥0，若当x属于b的某个左邻域[b-no,b)时，存在正常数K，使得K(1) (x)≤(-x)，且p<1，则(x)收敛;K(2) f(x)≥7(b-x)，且p≥1，则'()d发散。证（1）当p<1时，积分°，α收敛，由反常积分的Cauchy收(b-x)P敛原理，283

（5）当n > m +1且 x充分大时，有 x q x p x n m sin ( ) ( ) 2 x K ≤ ，可知当 时 积分 n > m +1 ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 绝对收敛。 当n = m +1时，因为 = ∫ 有界，且当 充分大时， A F A xdx 1 ( ) sin x ( ) ( ) q x p x n m 单调且 0 ( ) ( ) lim = →+∞ q x p x n m x ，由 Dirichlet 判别法可知∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 收敛；但 由于当 x → +∞ 时， ( ) ( ) q x p x n m ～ x a ，易知 ∫ +∞ 1 sin ( ) ( ) x dx q x p x n m 发散，所以当 n = m +1时，积分∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 条件收敛。 当n < m +1时，由 A q x p x n m x = →+∞ ( ) ( ) lim ，A为非零常数、+ ∞ 或 ，易知 积分 − ∞ ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 发散。 ⒍ 设 f x( ) 在 [ , a b]只有一个奇点 x = b ，证明定理 8.2. 和定理 8.2. 。 3' 5′ 定理 8.2.3′（Cauchy 判别法） 设在[ , a b)上恒有 f x( ) ≥ 0，若当 x属 于b的某个左邻域[b − η0 , b)时，存在正常数 K ，使得 ⑴ f x K b x p ( ) ( ) ≤ − ，且 p < 1，则 a f x dx 收敛； b ( ) ∫ ⑵ f x K b x p ( ) ( ) ≥ − ，且 p ≥ 1，则 a f x dx 发散。 b ( ) ∫ 证 （1）当 p < 1时，积分∫ − b a p dx (b x) 1 收敛，由反常积分的 Cauchy 收 敛原理， 283

V6>0, 38>0,Vn,ne(0,8):A(h-x)rb-n(-)0, V8>0, 3n,n'e(0,8):K(b-x)prb-nKdx≥60，所以[,f(x)dx发散。由于门-n f(x)dx≥-n (b-x)p推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[a,b)上恒有f(x)≥0，且lim(b-x)P f(x)= l ,则(1)若00, Vxe(b-8,b): ()0,Vxe(b-8,b): f(x)>2(b -x)p再应用定理8.2.3°的（2）。定理8.2.5若下列两个条件之一满足，则f(x）g(x)dx收敛284

∀ε > 0，∃δ > 0，∀η,η'∈ (0,δ )： K dx b x b b p η ε η 0，∀δ > 0，∃η,η'∈ (0,δ )： K dx b x b b p 0 ' ( ) η 1 ε η ≥ − ∫ − − 。 由于 ∫ ≥ − − ' ( ) η η b b f x dx 0 ' ( ) ε η η ≥ − ∫ − − b b p dx b x K ，所以 a f x dx 发散。 b ( ) ∫ 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[ , a b)上恒有 f x( ) ≥ 0，且 lim( ) ( ) x b p b x f x l → − − = ， 则 ⑴ 若0 ≤ l 0，∀x ∈ (b − δ ,b)： p b x l f x ( ) 1 ( ) − + 0，∀x ∈ (b − δ ,b)： p b x l f x 2( ) ( ) − > ， 再应用定理 8.2.3′的（2）。 定理 8.2.5′ 若下列两个条件之一满足，则 a f x g x dx 收敛： b ( ) ( ) ∫ 284

(1）（Abel判别法）[f(x)dx收敛，g(x)在[a,b)上单调有界；(2)（Dirichlet 判别法）F(n)=[b-" f(x)dx在(0,b-a)上有界，g(x)在[a,b)上单调且 lim g(x)=0 。证（1）设|g(x)飞G，因为f(x)dx收敛，由Cauchy收敛原理，V>0, >0, VA,Ae(b-8,b):[()由积分第二中值定理， (x)g(x)dg(A,(x)axlg(A)H) (x)dx≤()axl+G()+号=6(2）设|F(n)M，于是VA,A'[a,b)，有[,f(x)d0，38>0，Vxe(b-5,b)，有g(x)<。由积分第4M二中值定理，[" f(x)g(x)dx ≤g(A) f(x)dx(g(A)/ f(x)dx≤2MIg(4)+2MIg(A)]<+号=6 2所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有(+"f(x)g(x)dx收敛的结论。7.讨论下列非负函数反常积分的敛散性Inx（1)dxx2(1-x)+1- cosx dx;1(3) [0cos*xsin'xdr;(5) J°ln x /p dx;(6) J’xp-(1- x)9- dx ;(7) Jaxp-1(1-x)9- [Inx|dx11解（1）因为20+) 1-) xXNI3/x2(1- x)/x(1-x)(1 - x)3285

⑴（Abel 判别法） f x dx收敛， 在[ , 上单调有界； a b ( ) ∫ g x( ) a b) ⑵（Dirichlet 判别法） ∫ 在 − = η η b a F( ) f (x)dx (0,b − a]上有界，g x 在 上单调且 ( ) [ , a b) lim ( ) = 0 → − g x x b 。 证 （1）设| g(x) |≤ G ，因为 a f x dx 收敛，由 Cauchy 收敛原理， b ( ) ∫ ∀ε > 0，∃δ > 0，∀A, A′∈ (b − δ ,b)： G f x dx A A 2 ( ) ε 0，∃δ > 0，∀x ∈ (b − δ ,b)，有 M g x 4 ( ) ε < 。由积分第 二中值定理， ∫ A′ A f (x)g(x)dx ∫ ∫ ′ ≤ ⋅ + ′ ⋅ A A g A f x dx g A f x dx ξ ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ≤ 2M| g(A)|+2M | g(A′)| ε ε ε < + = 2 2 。 所以无论哪个判别法条件满足，由 Cauchy 收敛原理，都有 ∫ 收敛的结论。 +∞ a f (x)g(x)dx ⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 0 3 2 1 x x dx ( ) − ∫ ; ⑵ ln x x dx 0 2 1 −1 ∫ ; ⑶ 1 0 2 2 2 cos x sin x dx π ∫ ; ⑷ 1 0 2 − ∫ cos x x dx p π ; ⑸ |ln x | dx p 0 1 ∫ ; ⑹ x x d p q − − ∫ − 1 1 0 1 ( ) 1 x ; ⑺ ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x) | ln x | dx p q . 解 （1）因为 3 2 (1 ) 1 x − x ～ 3 2 1 x (x → 0+) ， 3 2 (1 ) 1 x − x ～ 3 1 (1 ) 1 − x (x →1−)， 285

收敛。所以积分dr/x2(1-x)Inx+Inx=0，即当x>01且对任意00充分小时，有n；且nx～~(1-1)(x→1-)。所以当p>-1时,积分'InxPdx收敛，当p≤-1时，积分Inxpdx发散。(6) xp-I(1-x)9-1 ~(x→0+), xP-l(1-x)9-1,(1-x)l- (x→1-),所以在p>0,q>0时积分xp-1(1-x)g-ldx收敛，在其余情况下积分J。xp-(1-x)9-Idx 发散。(7) xp-l(1-x)g-1 [In x / ~(x→1-),且(1- x)-1-Plim[x-(xP-(1-x)9-|InxD)=0，即当x>0充分小时，有xP-1 (1 - x)9-1lln x| 0,q>-1时积分Jxp-1(1-x)9-1|lnx|dxx收敛，在其余情况下积分xp-1(1-x)9-1/lnx|dx发散。286

所以积分 1 1 0 3 2 1 x x dx ( ) − ∫ 收敛。 （2）因为 1 ln lim 2 →1− x − x x 2 1 = ，且对任意0 0 δ x x x 1 1 ln 2 0 δ x x p 1 ln −1 |ln x | dx p 0 1 ∫ p ≤ −1时，积分 0 |ln x | p dx 发散。 1 ∫ （6） x p−1 (1− x) q−1～ p x 1− 1 (x → 0+) ， x p−1 (1− x) q−1～ q x − − 1 (1 ) 1 (x →1−)，所 以在 p > 0, q > 0时积分∫0 x x p−1 − q−1 d 收敛，在其余情况下积分 1 ( ) 1 x x x dx p− q− ∫ − 1 1 0 1 ( ) 1 发散。 （7） x p−1 (1− x) q−1 | ln x |～ q x − (1− ) 1 (x →1−)，且 lim [ ( (1 ) | ln |)] 0 2 1 1 1 0 − = − − − → + x x x x p q p x ，即当 x > 0充分小时，有 2 1 1 1 1 (1 ) ln p p q x x x x − − − − 0, q > −1时积分 收敛，在其余情况下积分 发散。 ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x) | ln x | dx p q ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x) | ln x | dx p q 286

8.讨论下列反常积分的敛散性：1 xp-1 -xq-(1)(2)dx(p,qeRt);dx3/x(x-1)2(x-2)Inx(3) J t In(1 + x) g+m are tan x dx ;dx（4）Xpxp[x/2tanx(6) Jt" xp-l e-* dx ;(5)[dxxp11-dx(7) (8)dxxPIn'xxP+xxp~1x9-1cl xP-1 xq-11 xP-1-xq-1.解（1）dx dxdxdxInxInxInxInx2p-!19~1dx与积分当p>0，q>0时积分dx显然收敛，且当InxInxx→1-时,[1+(x-1)p- _1-[1+(x-1)- -1] ~ (p-g)(x-1)xP-1 - x9-1 p-q,InxIn(1 +(x - 1)x-1rgx97x不是反常积分，所以积分P即dx收敛。InxInx1-1(2)dx=dxdx +3/x(x - 1)2(x - 2)/x(x-1)2(x-2)3/x(x-1)(x -2)-dx/x(x-1)°(x-2)因为1→0+)2/x(x-1)(x-2)x3-(x →1-),2/x(x-1)°(x-2)(x -1)31dx收敛；所以积分x(x-1)(x -2)287

⒏ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x x dx p q − − − ∫ 1 1 0 1 ln ( ); + p,q ∈ R ⑵ 1 1 2 0 3 2 x x x dx ( ) − − ( ) +∞ ∫ ; ⑶ ln(1 ) 0 +∞ + ∫ x x dx p ; ⑷ ∫ +∞ 0 arc tan dx x x p ; ⑸ ∫ / 2 0 π tan dx x x p ; ⑹ x d p x − − +∞ ∫ 1 0 e x ; ⑺ 1 0 x x dx p q + +∞ ∫ ; ⑻ ∫ +∞ 2 ln 1 dx x x p q . 解（1） x x x dx p q − − − ∫ 1 1 0 1 ln ∫ − = 2 1 0 1 ln dx x x p ∫ − − 2 1 0 1 ln dx x x q ∫ − − − + 1 2 1 1 1 ln dx x x x p q 。 当 p > 0 ， q > 0 时积分 ∫ − 2 1 0 1 ln dx x x p 与积分 ∫ − 2 1 0 1 ln dx x x q 显然收敛，且当 x →1−时， = − − − x x x p q ln 1 1 [( ) ] [( ) ] ln( ) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 1 + − + − − − + − − − − x x x p q ～ p q x p q x = − − − − 1 ( )( 1) ， 即∫ − − 1 − 2 1 1 1 ln dx x x x p q 不是反常积分，所以积分 x x x dx p q − − − ∫ 1 1 0 1 ln 收敛。 （2） = − − ∫ +∞ 0 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x ∫ − − 1 0 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x ∫ − − + 2 1 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x ∫ +∞ − − + 2 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x 。 因为 3 2 ( 1) ( 2) 1 x x − x − ～ 3 3 1 1 2 1 x − ⋅ (x → 0+) ， 3 2 ( 1) ( 2) 1 x x − x − ～ 3 2 ( 1) 1 − − x (x →1−)， 所以积分∫ − − 1 0 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x 收敛； 287