复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第五章 微分中值定理及其应用 5.5 应用举例

习题5.5应用举例1．求下列函数的极值点，并确定它们的单调区间：(1) y=2x3-3x2-12x +1;(2) y=x+sinx;(3) y=Vxinx;(4) y=x"e-x(nent) ;(x+1)21-x(5) y=(6) y= I+x2x-2(7) y= 3x + 4:(8) = x - In(1+x);X(9) y= cos3x+sin3x;(10) y=arc tanx-x;(2) =2- /(x-1P ;(D y=2e*+e-*;1 + 3x(13) y=74+5x2(4) y=x)解（1）因为y(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2)有两个零点-1,2，根据一阶导数的符号，可知函数在(-00,-1]和[2,+o0)单调增加，在[-1,2]单调减少，所以x=-1是极大值点，x=2是极小值点。(2）因为y(x)=1+cosx≥0，函数在(-0+)严格单调增加，无极值点。(3) y(x)=(2+lnx)有零点e-2，根据一阶导数的符号可知函数在2 /x(0,e-]单调减少，在[e-2,+)单调增加，所以x=e-2是极小值点。(4）y(x)=(n-x)x"-le-*有零点0和n，当n是偶数时，函数在(-0,0]和[n,+)单调减少，在[0,n]单调增加，所以x=0是极小值点，x=n是极大值点；当n是奇数时，函数在(-0,n]单调增加，在[n,+)单调减少，所以x=n是极大值点。136

习 题 5.5 应用举例 ⒈ 求下列函数的极值点，并确定它们的单调区间： ⑴ y x = 2 3 − x − + 12x 3 2 1; ⑵ y x = + sin x ; ⑶ y x = ln x ; ⑷ y x n x = − e （ ）; + n∈ N ⑸ 3 2 2 ( 1) − + = x x y ; ⑹ y x x = − + 1 1 2 ; ⑺ y x x = 3 + 4 ; ⑻ y x = − ln(1 + x) ; ⑼ y x = cos + sin 3 3 x ; ⑽ y = arc tan x − x ; ⑾ y x x = + − 2 e e ; ⑿ y x = − 2 1 − 3 2 ( ) ; ⒀ y x x = + + 1 3 4 5 2 ; ⒁ y = x x 1 . 解（1）因为 y x'( ) = − 6x 2 6x −12 = 6(x +1)(x − 2)有两个零点−1, 2 ，根据一阶 导数的符号，可知函数在(−∞,−1]和[2,+∞) 单调增加，在[−1,2]单调减少， 所以 x = −1是极大值点， x = 2是极小值点。 （2）因为 y x'( ) =1+ cos x ≥ 0，函数在(−∞,+∞) 严格单调增加，无极值点。 （3） 1 '( ) (2 ln ) 2 y x x x = + 有零点 2 e− ，根据一阶导数的符号可知函数在 (0,e−2 ]单调减少，在[ , e−2 +∞)单调增加，所以 2 x e− = 是极小值点。 （4） 有零点 和 ， 1 '( ) ( ) n y x n x x e − − = − x 0 n 当n是偶数时，函数在(−∞,0]和[n,+∞)单调减少，在 单调增加， 所以 是极小值点， [0, n] x = 0 x = n 是极大值点； 当n是奇数时，函数在(−∞, n]单调增加，在[n,+∞)单调减少，所以 x = n 是极大值点。 136

（5）和具有相同的单调性，d)(+-有零点x=-1,5，dx(x-2)2x=-1是不可导点。根据一阶导数的符号，可知函数在(-0,-1]和[5,+)单调增加，在[-1,2)和(2,5]单调减少，所以x=-1是极大值点，x=5是极小值点。（6）(s)=-2号有零点x=1±V2，根据一阶导数的符号，可知(1+x)2函数在(-c0.1-V21和[1+V2.+)单调增加，在[1-V2,1+V21单调减少，所以x=1-V2是极大值点，x=1+V2是极小值点。2（7）(x)=3-4有零点x=±，根据一阶导数的符号，可知函数在V3x和,+0)单调增加，在[-,0)和(0,]单调减少，所以00V3/3V33号是极大值点，x=云是极小值点。=V33一=，二有零点x=0，函数在x=-1不可导，根据一阶(8) y(x)=1-1+x1+x导数的符号，可知函数在[0,+)单调增加，在(-1,01单调减少，所以x=0是极小值点。(9）y(x)=3sin xcos (sinx-cost)有零点x=,k元+，根据一阶导数24，5元和的符号，可知函数在[2k元+元，2k元+”]1，[2k元+元，2k元+44[2k元+号2k元+2】单调增加，在[2k元,2k+]，[2k元+号2k元+]】和221+2元+单调减少，所以×=2k元,2k元+号,(2k+1)元+22，keZ是[2k元 +4’224极大值点，×=2k元+，2k元+元，(2k+1)元+，keZ是极小值点。4Px21(10) y(x)<0，函数在(-0,+)严格单调减少，所以1+x21+x2137

（5） y 和 y 3具有相同的单调性， 3 2 ( ) ( 1)( 5) ( 2) d y x x dx x + − = − 有零点 ， 是不可导点。根据一阶导数的符号，可知函数在 和 单调增加，在 x = −1，5 x = −1 (−∞,−1] [5,+∞) [−1,2) 和(2,5]单调减少，所以 x = −1是极大值点， 是 极小值点。 x = 5 （6） 2 2 2 2 1 '( ) (1 ) x x y x x − − = + 有零点 x = ±1 2 ，根据一阶导数的符号，可知 函数在(−∞,1− 2]和[1+ 2,+∞)单调增加，在[1− 2,1+ 2]单调减少，所 以 x = −1 2 是极大值点， x = +1 2 是极小值点。 （7） 2 4 y x'( ) 3 x = − 有零点 2 3 x = ± ，根据一阶导数的符号，可知函数在 ] 3 2 (−∞,− 和 , ) 3 2 [ +∞ 单调增加，在 ,0) 3 2 [− 和 ] 3 2 (0, 单调减少，所以 2 3 x = − 是极大值点， 2 3 x = 是极小值点。 （8） 1 '( ) 1 1 1 x y x x x = − = + + 有零点 x = 0，函数在 x = −1不可导，根据一阶 导数的符号，可知函数在[0,+∞)单调增加，在(−1,0]单调减少，所以 是极小值点。 x = 0 （9） y x'( ) = − 3sin x cos x(sin x cos x) 有零点 , 2 4 k x k π π = π + ，根据一阶导数 的符号，可知函数在 ] 2 ,2 4 [2 π π π kπ + k + ， ] 4 5 [2 ,2 π kπ + π kπ + 和 ,2 2 ] 2 3 [2 π π π kπ + k + 单调增加，在 ] 4 [2 ,2 π kπ kπ + ， ,2 ] 2 [2 π π π kπ + k + 和 ] 2 3 ,2 4 5 [2 π π π kπ + k + 单调减少，所以 2 , 2 , (2 1) 2 4 x k k k π π = π π + + π + ， 是 极大值点， k ∈ Z 2 , 2 , (2 1) 4 2 x k k k π π = + π π +π + π + ，k ∈ Z是极小值点。 （10） 2 2 1 '( ) 1 0 1 1 x y x x x = − = − ≤ + + 2 ，函数在(−∞,+∞) 严格单调减少，所以 137

没有极值点。(11）y(x)=2er-e=(2e2x-1)e-*有零点x=-ln2，根据一阶导数的符号，可知函数在[-=In2,+0)单调增加，在（-0,ln2单调减少，所以2!ln2是极小值点。r：22.(x-1)3，x=1是不可导点，根据一阶导数的符号，可(12) y(x)=.知函数在(-00,1]单调增加，在[1,+)单调减少，所以x=1是极大值点。12-5x有零点x=，根据一阶导数的符号，可知函数(13) y(x)=(4 + 5x2)单调增加，在,+o)单调减少，所以x=是极大值点。在(-0055-nx有零点x=e，根据一阶导数的符号，可知函数(14) y(x)=x*x2在(0,e]单调增加，在[e,+)单调减少，所以x=e是极大值点。2．求下列曲线的拐点，并确定函数的保凸区间：(2)y=x+sinx;(1) y=-x3 +3x2;(3) y= /1+x2 ;(4) y=xe-x;1-x[(x + 1)?(6) y=(5)y=1+ x?x-2(7) y= x- In(1 + x);(8)y=arctanx-x;(9) y=(x +1)4 +er;(10) y= In(1+x2);() y=earetan;(12) y=x+/x-1解（1）y(x)=-3x2+6x,y(x)=-6x+6，二阶导数有零点x=1，根据二阶导数的符号，可知点(1,2)是曲线的拐点；函数的保凸区间：（-0,1]下凸，[1,+0)上凸。138

没有极值点。 （11）y x'( ) = − 2ex x e− − = (2e 2x −1)e x 有零点 ln 2 2 1 x = − ，根据一阶导数的符 号，可知函数在 ln 2, ) 2 1 [− +∞ 单调增加，在 ln 2] 2 1 (−∞,− 单调减少，所以 ln 2 2 1 x = − 是极小值点。 （12） 1 3 2 '( ) ( 1) 3 y x x − = − − ， x = 1是不可导点，根据一阶导数的符号，可 知函数在(−∞,1]单调增加，在[1,+∞)单调减少，所以 x = 1是极大值点。 （13） 3 2 2 12 5 '( ) (4 5 ) x y x x − = + 有零点 5 12 x = ，根据一阶导数的符号，可知函数 在 ] 5 12 (−∞, 单调增加，在 , ) 5 12 [ +∞ 单调减少，所以 5 12 x = 是极大值点。 （14） 1 2 1 ln '( ) x x y x x x − = 有零点 x = e ，根据一阶导数的符号，可知函数 在(0, e]单调增加, 在[e,+∞)单调减少，所以 x = e是极大值点。 ⒉ 求下列曲线的拐点，并确定函数的保凸区间： ⑴ y x = − + x 3 2 3 ; ⑵ y x = + sin x ; ⑶ y x = +1 2 ; ⑷ y x x = − e ; ⑸ 3 2 2 ( 1) − + = x x y ; ⑹ 2 1 1 x x y + − = ; ⑺ y x = − ln(1 + x) ; ⑻ y = arc tan x − x ; ⑼ y x x = + ( ) 1 + e 4 ; ⑽ y x = ln(1+ ) 2 ; ⑾ x y arc tan = e ; ⑿ y x = + x −1 . 解 （1） 2 y x'( ) = − + 3x 6x, y ''(x) = −6x + 6，二阶导数有零点 ，根据二 阶导数的符号，可知点 是曲线的拐点； x =1 (1,2) 函数的保凸区间：(−∞,1]下凸, [1,+∞)上凸。 138

(2）y(x)=1+cosx,y"(x)=-sinx，二阶导数有零点x=k元,keZ，根据二阶导数的符号，可知点（k元，k元），keZ是曲线的拐点；函数的保凸区间：[2k元，2k元+元］上凸，[2k元－元，2k元］下凸。x211x+“M+"(M+>0，所以曲线(3) y(x)=,J"(x):V1+x2没有拐点；函数的保凸区间：（-0,+）下凸。（4）y(x)=(1-x)e",J(x)=(x-2)e，二阶导数有零点x=2，根据二阶导数的符号，可知点(2,号)是曲线的拐点；函数的保凸区间：（-80,21上凸，[2,+0）下凸。(5) ()==)(+1)(x-2)， ()=-2(r-10x-2),二阶导数有零39(x+1)(x-2)3点x=5±3V5，根据二阶导数的符号，可知点5±3/5.号(±V5)）是曲线2的拐点；函数的保凸区间：（-00,5-3/3]和(2,5+3/3]下凸，[5-3/3,2)和[5+3/3,+0)上凸。(6) (x)=-2x-1 ,号()-2+，二阶导数有零点(x2 + 1)x=-1,2±V3，根据二阶导数的符号，可知点(-1,1),（2±V3,(1+V5)是曲线的拐点；函数的保凸区间：（-0,-1]和[2-/3,2+3]下凸，[2+V3,+)和[-1,2- 3]上凸。139

（2）y x '( ) = +1 cos x, y ''(x) = −sin x，二阶导数有零点 x = k k π , ∈ Z ，根据二 阶导数的符号，可知点( , k k π π ), k ∈ Z 是曲线的拐点； 函数的保凸区间：[2kπ ,2kπ + π ]上凸, [2kπ − π ,2kπ ]下凸。 （3） 2 2 2 2 3 2 3 1 '( ) , ''( ) 0 1 1 ( 1 ) ( 1 x x y x y x x x x x = = − = + + + + 1 ) > ，所以曲线 没有拐点； 函数的保凸区间：(−∞,+∞) 下凸。 （4） y x'( ) = − (1 x)e−x , y ''(x) = (x − 2)e−x ，二阶导数有零点 x = 2，根据二阶 导数的符号，可知点 2 2 (2, ) e 是曲线的拐点； 函数的保凸区间：(−∞,2]上凸, [2,+∞) 下凸。 （5） 1 4 3 3 ( 5) '( ) ( 1) ( 2) 3 x y x x x − − − = + − ， 2 4 3 3 2( 10 2) ''( ) 9( 1) ( 2) x x y x x x 7 − − − = + − ，二阶导数有零 点 x = ±5 3 3 ，根据二阶导数的符号，可知点 3 6 5 3 3, (1 3) 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ± ± ⎝ ⎠ 是曲线 的拐点； 函数的保凸区间： (−∞,5 − 3 3] 和 (2,5 + 3 3] 下凸, [5 − 3 3,2) 和 [5 + 3 3,+∞)上凸。 （6） 2 2 2 2 2 3 2 1 2( 1)( 4 1) '( ) , ''( ) ( 1) ( 1) x x x x x y x y x x x − − − + − = = + + + ，二阶导数有零点 x = −1, 2 ± 3 ，根据二阶导数的符号，可知点 1 ( 1,1), 2 3, (1 3) 4 ⎛ ⎞ − ± ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∓ 是 曲线的拐点； 函数的保凸区间： (−∞,−1] 和 [2 − 3,2 + 3] 下凸, [2 + 3,+∞) 和 [−1,2 − 3]上凸。 139

1(7) y(x)=1-(+>0，曲线没有拐点；1+xy(x)函数的保凸区间：（-1,+oo）下凸。2x1(8) y(x)=（1+，二阶导数有零点x=0，根据二阶2-1, y(x) =1+x2导数的符号，可知点（0,0)是曲线的拐点：函数的保凸区间：（-0001下凸，[0.+0）上凸。(9）y"(x)=12(x+1)2+e>0，曲线没有拐点；函数的保凸区间：（-00,+o）下凸。2-2x22x1+,J()=3(10) y(x)=（，二阶导数有零点x=±1，根据二阶导数的符号，可知点(1,In2)是曲线的拐点；函数的保凸区间：（-00,-1]和[1,+0)上凸，[-1,1]下凸。11+x2,J"(x)= ercmx _1-2x(11) y(x)=ertn*“(+x，二阶导数有零点x=2根据二阶导数的符号，可知点是曲线的拐点；函数的保凸区间：（-,下凸，[+）上凸。11(12) y(x)=1+0，则由140

（7） 2 1 1 '( ) 1 , ''( ) 0 1 (1 ) y x y x x x = − = > + + ，曲线没有拐点； 函数的保凸区间：(−1,+∞)下凸。 （8） 2 1 '( ) 1, ''( ) 1 ( 2 2 2 1 ) x y x y x x x = − = − + + ，二阶导数有零点 x = 0，根据二阶 导数的符号，可知点(0,0)是曲线的拐点； 函数的保凸区间：(−∞,0]下凸, [0,+∞)上凸。 （9） y x ''( ) = + 12(x 1) 2 + ex > 0，曲线没有拐点； 函数的保凸区间：(−∞,+∞) 下凸。 （10） 2 2 2 2 '( ) , ''( ) 1 (1 2 2 2 ) x x y x y x x x − = = + + ，二阶导数有零点 x = ±1，根据二阶 导数的符号，可知点( 1± ,ln 2)是曲线的拐点； 函数的保凸区间：(−∞,−1]和[1,+∞)上凸, [−1,1]下凸。 （11） arctan arctan 2 1 '( ) , ''( ) 1 ( x x 2 2 1 2 1 ) x y x e y x e x x − = = + + ，二阶导数有零点 1 2 x = ， 根据二阶导数的符号，可知点 1 arctan 2 1 , 2 e ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟ 是曲线的拐点； 函数的保凸区间： ] 2 1 (−∞, 下凸, , ) 2 1 [ +∞ 上凸。 （12） 3 2 1 1 '( ) 1 , ''( ) 0 2 1 4( 1) y x y x x x = + = − 0，则由 140

()= (0)+ (Xx-)+(x-0) +(x-)2- (0)+ g(x-x0) +(x- 0),2可知当xx充分接近x时，有()-()>0，与(x)在x。处取到极大(x-xo)值矛盾，所以"(x）≤0。f(x)在x。处取到极小值的情况可同样证明。4.设f(x)=(x-a)"p(x),p(x)在x=a连续且(a)±0，讨论f(x)在x=a处的极值情况。解首先有f(a)=0。当n为偶数时(x-a)"≥0，当p(a)>0时，f(x)=(x-a)"p(x)在x=a附近非负，所以x=a为函数f(x)的极小值点；而当p(a)0，则x=a为函数f(x)的极小值点；若("(a)<0，则x=α为函数f(x)的极大值点。当n为奇数时，x=a不是函数f(x)的极值点。141

0 2 2 0 0 0 0 0 "( ) ( ) ( ) '( )( ) ( ) (( ) ) 2 f x f x = + f x f x x − x + x − x + o x − x 0 2 2 0 0 "( ) ( ) ( ) (( ) ) 2 f x = + f x x − x + o x − x0 ， 可知当 0 x ≠ x 充分接近 x0 时，有 0 2 0 ( ) ( ) 0 ( ) f x f x x x − > − ，与 在 处取到极大 值矛盾，所以 f x( ) x0 f ′′(x0 ) ≤ 0。 f x( )在 x0 处取到极小值的情况可同样证明。 ⒋ 设 f x x a x n ( ) = ( − ) ϕ( ),ϕ(x)在 x = a 连续且ϕ( ) a ≠ 0，讨论 f x( )在 x = a 处的极值情况。 解 首先有 f a( ) = 0 。 当 n 为偶数时( ) x a − n ≥ 0，当ϕ( ) a > 0 时， f x x a x n ( ) = ( − ) ϕ( )在 x = a 附近非负，所以 x = a 为函数 f x( )的极小值点；而当ϕ( ) a 0 ，则 x = a 为函数 f x( )的极小值点；若 ( ) ( ) 0 n f a < ，则 x = a 为函数 f x( )的极大值点。 当 n 为奇数时， x = a 不是函数 f x( )的极值点。 141

6.如何选择参数h>0，使得h-h2x3y=1元在x=±（α>0为给定的常数）处有拐点？解y()=2,()=2(-2)。，可知曲线在x=±处1元元V2h1即可。有拐点，所以取h=，V2gx2在拐点处的切线方程。7. 求v=x2 +12x(1+x-(n)=2(1-3x),可知是曲线的拐点，由于解y(x)=3.4(1+x)+3V31得到在拐点处曲线的切线方程为9V3,3V31.1x2348即：3/3x-8y-1=0和3/3x+8y-5=0。8．作出下列函数的图象（渐近线方程可利用上一节习题8的结果）：x?2x(1) y=(2) y=1+x21+x(3)y=6x2-8x+3;(4) y=(2+x)ex;er+e-x1+x(5) y=(6) y= ln21-x(8) y=3/(x-2)(x +1)2 ;(7) y= x+arccotx;1- x2(9)y=arccos1+x222x(x+2)解(1)1+ x(1 + x)(1+x)3142

6．如何选择参数h > 0 ，使得 y h e h x = − π 2 2 在 x = ±σ （σ > 0为给定的常数）处有拐点？ 解 2 2 2 2 3 3 2 2 2 (1 2 '( ) , ''( ) h x h x h h x h x y x e y x e π π − − − − − = = 2 ) ，可知曲线在 1 2 x h = ± 处 有拐点，所以取 1 2 h σ = 即可。 7．求 1 2 2 + = x x y 在拐点处的切线方程。 解 2 2 2 2 3 2 2(1 '( ) , ''( ) (1 ) (1 ) x 3x ) y x y x x x − = = + + ，可知 1 1 , 3 4 ⎛ ±⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟是曲线的拐点，由于 1 3 ' 3 8 y ⎛ ⎞ ± = ± ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 ，得到在拐点处曲线的切线方程为 1 3 3 1 ( ) 4 8 3 y x − = ± ∓ ， 即：3 3x − 8y −1 = 0和3 3x + 8y − 5 = 0。 8．作出下列函数的图象（渐近线方程可利用上一节习题 8 的结果）： ⑴ y x x = + 2 1 ; ⑵ y x x = + 2 1 2 ; ⑶ 6 8 3 2 y = x − x + ; ⑷ y x = + ( ) 2 e x 1 ; ⑸ y x x = + − e e 2 ; ⑹ y x x = + − ln 1 1 ; ⑺ y = x + arc cot x ; ⑻ y x = − ( ) 2 1 (x + ) 3 2 ; ⑼ y x x = − + arc cos 1 1 2 2 . 解 ⑴ y x x = + 2 1 ， 2 3 ( 2) 2 ' , '' (1 ) (1 ) x x y y x x + = = + + 。 142

(-2,-1)(-1,0)0x(-0, -2)-2-1(0, +o)y'0无定义0++y"无定义+++极大值极小值y无定义-40渐近线为y=x-1和x=-1。y=x21((1+x)X=-1=X-1(2）因为y为奇函数,只要考虑x≥0的情况。2x2(1- x3)4x(x2 -3)'=y=12*1+x2,(1+x)2(1+x)3V30(0, 1)(V3,+80)x1(1, V3)y'+0+一0Jh-1+拐点极大值y0(V,E12143

x ( , −∞ −2) −2 ( 2− ,−1) −1 ( 1− ,0) 0 (0,+∞) y ' + 0 － 无定义 － 0 + y '' － － － 无定义 + + + y 极大值 -4 无定义 极小值 0 渐近线为 y x = −1和 x = −1。 (2) 因为 y 为奇函数,只要考虑x ≥ 0的情况。 y x x = + 2 1 2 ， 2 2 2 2 2 3 2(1 ) 4 ( 3) ' , '' (1 ) (1 ) x x x y y x x − − = = + + 。 x 0 (0,1) 1 (1, 3) 3 ( 3,+∞) y ' + + 0 － － － y '' － － －1 － 0 + y 0 极大值 1 拐点 3 ( 3, ) 2 143

渐近线是y=0。=2x/(1+x3)6x-42(3) y=~6x2-8x+3,V=V6x2-8x+3V(6x2 8x +3)32-3ea(0x山0+y"+++极小值y2V6和y=-V6x+2V6渐近线为y=V6x-332/3o144

渐近线是 y = 0。 (3) 6 8 3 2 y = x − x + ， 2 2 6 4 2 ' , '' 6 8 3 (6 8 3) x y y x x x x 3 − = = − + − + 。 x 2 ( , ) 3 −∞ 2 3 2 ( , ) 3 +∞ y ' － 0 + y '' + + + y 极小值 1 3 渐近线为 2 6 6 3 y x = − 2 6 6 3 和 y x = − + 。 144

5x+2！r-2ee.y=(2+x)ex)xx2(0,2)-8,-120,+8055无定义无定+-义极极无拐点定28-555V渐近线为y=x+3和x=0（5）由于y为偶函数，只要考虑x>0情况145

(4) y x = + (2 ) e x 1 ， 2 1 1 2 4 2 5 ' e , '' x x x x x y y x x − − + = = 2 e ) 。 x ( , −∞ −1 −1 2 ( 1, ) 5 − − 2 5 − 2 ( ,0 5 − ) 0 (0, 2) 2 (0,+∞) y ' + 0 － － － 无 定 义 － 0 + y '' － － － 0 + 无 定 义 ＋ + + y 极 大 值 1 e− 拐点 5 2 2 8 ( , 5 5 e − − ) 无 定 义 极 小 值 1 4 4e 渐近线为 y x = + 3和 x = 0。 （5）由于 y 为偶函数，只要考虑 x>0 情况。 145