复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题十六（题目）

习题16.11.设交流电的变化规律为E(t)=Asinのt，将它转变为直流电的整流过程有两种类(a)型：(1)半波整流（图16.1.5(a)A(b)(sin ot+sinotl);f.(t) =图16.1.5(2）全波整流（图16.1.5(b))f,(t)= A|sin otl;现取 =1，试将f(x)和f(x)在[-元,元]展开为Fourier级数。2.将下列函数在[-元，元]上展开成Fourier级数：(1) f(x)=sgnx;(2) f(x)=|cosx l;x2[x, xe[-元,0](3) f(x)=元2;(4) f(x) =[0, xe[0,元];2[ax, xe[-元, 0),(5) f(x) =[bx,xe[0,元).3.将下列函数展开成正弦级数：(1) f(x)=元+x, xe[0,元];(2) f(x)=e-2x, x e[0, 元];TX[2x, xe[0, 号),Jcos-xe[0,1],(3) f(x)=(4) f(x)=[元，xe[，元];0,xe[1,2].4.将下列函数展开成余弦级数：(2) f(x)= e*, xe[0,元];(1) f(x)= x(元 -x), xe[0,元];[sin2x, xe[0,),元+x元(4) f(x)= x-,xe[0,元](3) f(x) :221xe[,];5．求定义在任意一个长度为2元的区间[a,a+2元]上的函数f(x)的Fourier级数及其系数的计算公式。6.将下列函数在指定区间展开成Fourier级数：(1) (x)-“_, xe[0,2元];(2) f(x)= x2, xe[0,2元];2[e3x, xe[-1,0),(4) (x) =(3) f(x)=x, x e[0, 1];0.xe[0,1];[C, xE[-T,0) (C 是常数),(5) f(x) =0.xe[0,T]1

习 题 16.1 (a) (b) 图 16.1.5 ⒈ 设交流电的变化规律为 E t( ) = Asin ωt ， 将它转变为直流电的整流过程有两种类 型： ⑴ 半波整流（图 16.1.5(a)） f t A 1 2 ( ) = (sin f t A t 2 ( ) = ω |sin | ω ω t t +|sin |) ； ⑵ 全波整流（图 16.1.5(b)） ； 现取ω = 1，试将 f1(x)和 f 2 (x)在[−π ,π ] 展开为 Fourier 级数。 ⒉ 将下列函数在[−π ,π ]上展开成 Fourier 级数： ⑴ f (x) = sgn x ; ⑵ f x( ) = |cos x |; ⑶ 2 2 2 ( ) = − π x f x ; ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0, ); , [ ,0), π π x x x ⑸ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = , [0, ). , [ , 0), π π bx x ax x ⒊ 将下列函数展开成正弦级数： ⑴ f (x) = π + x , x ∈[0,π ]; ⑵ f x x ( ) = e−2 , x ∈[0,π ]; ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = , [ , ]; 2 , [0, ), 2 2 π π π π x x x ⑷ f x( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = 0, [1,2]. , [0,1), 2 cos x x πx ⒋ 将下列函数展开成余弦级数： ⑴ f x( ) = x(π − x) , x ∈[0,π ]; ⑵ f x x ( ) = e , x ∈[0,π ]; ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = 1, [ , ]; sin 2 , [0, ), 4 2 4 π π π x x x ⑷ 2 2 ( ) π π f x = x − + x − , x ∈[0,π ]. ⒌ 求定义在任意一个长度为2π 的区间[a, a + 2π ]上的函数 的 Fourier 级数 及其系数的计算公式。 f x( ) ⒍ 将下列函数在指定区间展开成 Fourier 级数： ⑴ 2 ( ) x f x − = π , x ∈[0, 2π ]; ⑵ f x( ) = x 2 , x ∈[0, 2π ]; ⑶ f (x) = x , x ∈[ , 0 1]; ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0,1); e , [ 1,0), 3 x x x ⑸ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0, ) , [ ,0), x T C x T (C 是常数). 1

7.某可控硅控制电路中的负载电流为0,0≤t<To,I(t) =5sinot,T≤t<T,2元其中の为圆频率，周期T=。现设初始0T导通时间T。=（见图16.1.6)，求I(t)在8[0,T]上的Fourier级数。8.设f(x)在[-元，元]上可积或绝对可积，证明：(1）若对于任意xe[-元,元]，成立图16.1.6f(x)=f(x+元),则a2u- = bzu-t = 0;(2）若对于任意xe[一元,元]，成立f(x)=-f(x+元），则α2=bz，=0.9.设f(x)在(0.元/2)上可积或绝对可积，应分别对它进行怎么样的延拓，才能使它在[-元，元]上的Fourier级数的形式为Eb, sin 2nx.(2) f(x) ~2(1) f(x)~Za, cos(2n-1)x;10.设周期为2元的函数f(x)在[-元，元]上的Fourier系数为α，和b，，求下列函数的Fourier系数a,和b：(1) g(x)= f(-x);(2)h(x)=f(x+C）（C是常数);(3) F(x)= -[" f()f(x-t)dt（假定积分顺序可以交换）。习题16.21.设(x)在[0,+)上连续且单调，1limy(x)=0，证明lim (* y(x)sin pxdx= 02.设函数(u)在[-元,元]上分段连续，在u=0点连续且有单侧导数，证明ucOs-cospu12" [y(u)-y(-u)]cot=du.lim ["y(u)du=2sin"2J02423.设函数(u)在[-8,8]上单调，证明1sin pu du= 0.lim3y(u)-[(0+) +(0-)]2p→+o.u4.证明Dirichlet引理对y(u)是分段单调有界函数的情况依然成立。5．证明Lipschitz判别法的推论。6.对$16.1的习题2、3、4、6中的函数，验证它们的Fourier级数满足收敛判别法的条件，并分别写出这些Fourier级数的和函数。7.利用之证明：in?62

⒎ 某可控硅控制电路中的负载电流为 图 16.1.6 ≤ < ≤ < , 0 , 0 0 T t T t T ⎩ ⎨ ⎧ = 5sin , 0, ( ) t I t ω 其中ω 为圆频率，周期 ω 2π T = 。现设初始 导通时间T T 0 8 = （见图 16.1.6），求 在 上的 Fourier 级数。 I t( ) [ , 0 T] ⒏ 设 f x( )在[−π ,π ]上可积或绝对可积，证明： ⑴ 若对于任意 x ∈[−π ,π ]，成立 f (x) = f (x + π ) ，则a b 2 1 n n − = 2 −1 = 0； ⑵ 若对于任意 x ∈[−π ,π ]，成立 f (x) = − f (x + π ) ，则a b 2 2 n n = = 0 . ⒐ 设 f x( )在(0, π / 2)上可积或绝对可积，应分别对它进行怎么样的延拓，才能 使它在[ , −π π]上的 Fourier 级数的形式为 ⑴ f x a n x n n ( ) ~ cos(2 1) 1 − = ∞ ∑ ; ⑵ f x b nx n n ( ) ~ sin 2 =1 ∞ ∑ . ⒑ 设周期为2π 的函数 f x( )在[ , −π π]上的 Fourier 系数为 和 ，求下列函数 的 Fourier 系数 和 an bn ~an ~ bn ： ⑴ g x( ) = f (−x); ⑵ h x( ) = f (x + C) (C 是常数)； ⑶ ∫− = − π π π F x f (t) f (x t)dt 1 ( ) （假定积分顺序可以交换）。 习 题 16.2 1．设ψ (x) 在[ , 0 +∞) 上连续且单调， lim ( ) = 0 →+∞ x x ψ ，证明 lim ( )sin 0 0 = ∫ +∞ →+∞ x pxdx p ψ . 2．设函数ψ (u) 在[−π ,π ]上分段连续，在 u = 0点连续且有单侧导数，证明 ∫ ∫ = − − − →+∞ − π π π ψ ψ ψ 0 2 [ ( ) ( )]cot 2 1 2 2sin cos 2 cos lim ( ) du u du u u u pu u u p . 3．设函数ψ (u) 在[−δ ,δ ]上单调，证明 0 sin [ (0 ) (0 )] 2 1 lim ( ) = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + + − →+∞ ∫− δ δ ψ ψ ψ du u pu u p . 4．证明 Dirichlet 引理对ψ (u) 是分段单调有界函数的情况依然成立。 5．证明 Lipschitz 判别法的推论。 6．对§16.1 的习题 2、3、4、6 中的函数，验证它们的 Fourier 级数满足收敛判 别法的条件，并分别写出这些 Fourier 级数的和函数。 7．利用∑ ∞ = = 1 2 2 6 1 n n π ，证明： 2

222111111(1) 1-(2)-32+52721288.求sinx全部非零零点的倒数的平方和。证明下列关系式：9.(1)对08=(2n-1)23

⑴ 4 12 1 3 1 2 1 1 2 2 2 2 π − + − +" = ； ⑵ 7 8 1 5 1 3 1 1 2 2 2 2 π + + + +" = . 8. 求sin x 全部非零零点的倒数的平方和。 9. 证明下列关系式： ⑴ 对0 < x < 2π 且a ≠ 0，有 ax π e ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − +∑ ∞ =1 2 2 2 cos sin 2 1 (e 1) n a a n a nx n nx a π ； ⑵ 对0 < x < 2π 且a 不是自然数，有 π cosax ∑ ∞ = − + − = + 1 2 2 sin 2 cos (cos 2 1)sin 2 sin 2 n a n a a nx n a nx a aπ π π ； ⑶ 对⑵，令 x = π ，有 ∑ ∞ = − − = + 1 2 2 2 ( 1) 1 2 sin n n a n a a a π π . 10． ⑴ 验证函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0 , 0, ln 1 ( ) 2 | | x x f x x π 满足 Dirichlet-Jordan 判别法条件而不满足 Dini-Lipschitz 判别法条件。 ⑵ 验证函数 ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0 cos , 0, ( ) 2 x x x f x x π 满足 Dini-Lipschitz 判别法条件（今后会学到，它不满足 Dirichlet-Jordan 判别法条件，在此从略）。 习 题 16.3 ⒈ 由例 16.1.2 的结果 x ~ ∑ ∞ = + − 1 1 sin ( 1) 2 n n nx n ， x ∈ (−π ,π ) ， 用逐项积分法求 x 2和 x 3 的 Fourier 级数。 2．证明定理 16.3.2 的推论 16.3.1： a a nx b n n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin x)是某个可积或 绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 b n n n= ∞ ∑ 1 收敛。 3．说明级数 ∑ ∞ =2 ln sin n n nx 和 ∑ ∞ =2 ln ln sin n n nx 点点收敛，但不可能是任何可积或绝对可 积函数的 Fourier 级数。 4．利用例 16.1.1 的结果 f x( ) [ ) ⎩ [ ) ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = π π 0, 0, 1, ,0 x x ∑ ∞ = − − − 1 2 1 2 sin(2 1) 2 1 ~ n n n x π 和 Parseval 等式，证明 1 2 1 2 n=1 ( ) n − ∞ ∑ 8 2 π = . 3

5.利用例16.1.2的结果xe[0,元]元,2一(-1)"-1xf(x)=cosnx,-× x[元,0)~+元h1和Parseval等式，求冶(2n-1)46.利用x元+45(-1)"coSnx，xE(-元元)3n?R=l1和Parseval等式，求-int7.设f(x)为（-00,+o0）上以2元为周期，且具有二阶连续导数的函数，记b, =-{" f(x)sin nxdx, b' --["5"(x)sin nxdx证明：若b”绝对收敛，则n=l1(2+2151]8.设f(x)为(-oo,+oo)上的以2元为周期的连续函数。证明：若f(x)的Fourier系数全为零，则f(x)=0。9.设f(x)是周期为2元的任意一个连续函数，证明对于任意给定的8>0，存在三角多项式+Z(4 coskx+B in kx),V,(x)=-22k=l使得[1f(x)-,(x) dx0;{o，其它;[e-2x,x≥0,(3)f(x)=e-ax, a>0;(4)f(x)=0.x8;002.求f(x)=e-ax（xe[0,+o)，a>0）的正弦变换和余弦变换。0≤xs"Je-, x≥0,sinx,fz(x) =求f *fz(x)。3.设f(x)=2’[0,x<0,10,其它,4

5．利用例 16.1.2 的结果 f x( ) [ ) [ ) ~ ,0 0, ⎩ ⎨ ⎧ − ∈ − ∈ = π π x x x x ∑ ∞ = − − + 1 2 cos 2 ( 1) 1 2 n n nx π n π ， 和 Parseval 等式，求 ∑ ∞ =1 − 4 (2 1) 1 n n 。 6. 利用 ∑ ∞ = − = + 1 2 2 2 cos ( 1) 4 3 n n nx n x π ， x ∈ (−π ,π ) 和 Parseval 等式，求 ∑ ∞ =1 4 1 n n 。 7．设 f (x) 为 (−∞,+∞) 上以 2π 为周期，且具有二阶连续导数的函数，记 ∫− = π π π b f x nxdx n ( )sin 1 , ∫− ′′ = ′′ π π π b f x nxdx n ( )sin 1 。 证明：若∑ 绝对收敛，则 ∞ = ′′ n 1 n b ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ 0 ，存 在三角多项式 ψ n (x) = ∑= + + n k k k A kx B kx A 1 0 ( cos sin ) 2 ， 使得 ψ ε π π − 0 ; ⑶ f x a x ( ) = e− 2 ， a > 0 ; ⑷ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ = 0, | | ; cos , | | , ( ) 0 δ ω δ x A x x f x ω0 ≠ 0是常数， ω0 π δ = 。 2．求 f x( ) = e− ax （ x ∈[0,+∞) ，a > 0 ）的正弦变换和余弦变换。 3．设 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − 0, 0, e , 0, ( ) 1 x x f x x ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = 0, , , 2 sin , 0 ( ) 2 其它 π x x f x 求 ( ) 1 2 f ∗ f x 。 4

习题16.5N-1x(n)e%可以看成Fourier 变换1.说明离散Fourier变换X(i)=n=0f(o)-[ f(x)e- dx的离散近似形式的推广。2.证明正交关系式1-2元12元／mkNe2"N-ojk.N0N3．设N=pq（p,qeN），构造只需O(p+q)N)次运算的Fourier变换算法。4.对N=23，具体写出以2为底的FFT的计算流程。计算实习题（在教师的指导下，编制程序在电子计算机上实际计算）1.利用现成的数学通用软件（如MATLAB、Mathematica、Maple等），对于N=32,64,128:(1)生成实数序列(x(k)-；(2)）用FFT计算(x(k))-的离散Fourier变换序列(X()W-；(3)作出(x(k))和(IX(j)I)的图并进行分析（参见图16.5.4);(4）设定8>0，将(IX(j)I中满足/X()K。的数据全部置为零，再进行离散Fourier逆变换，将得到的数据与(x(k))比较；(5）改变8。的值，重复（4)，分析不同的。对逆变换所得到的数据的影响。2.对于N=32.64,128，(1)产生两个实数序列(x(k))=-和(y(k))=；(2)用直接方法计算(x(k))和((k))的卷积(z(k))=l;(3)改用离散Fourier变换的思想，用FFT计算(z(k))；(4)结合N比较两种算法所用的时间。严(-1)"x2n+"(-1)"x2n, sin 2×的 Taylor的乘积，并与S和3.用FFT计算多项式2=o (2n+1)!(2n)!级数的相应项比较。5

习 题 16.5 1． 说明离散 Fourier 变换 X j x n i n j N n N ( ) = ( ) e − = − ∑ 2 0 1 π 可以看成 Fourier 变换 ∫ +∞ −∞ − f = f x dx iωx (ω) ( )e ˆ 的离散近似形式的推广。 2． 证明正交关系式 j k N nk i N n N n j i N , 2 1 0 2 e e 1 δ π π ∑ = − = − 。 3． 设 N = pq（ p, q ∈N ），构造只需O(( p + q)N) 次运算的 Fourier 变换算法。 4． 对 N = 23，具体写出以 2 为底的 FFT 的计算流程。 计 算 实 习 题 （在教师的指导下，编制程序在电子计算机上实际计算） ⒈ 利用现成的数学通用软件（如 MATLAB、Mathematica、Maple 等），对于 N = 32, , 64 128 ： ⑴ 生成实数序列{ ( x k )}k N = − 0 1 ； ⑵ 用 FFT 计算{ ( x k )}k N = − 0 1 的离散 Fourier 变换序列{ ( X j)}N j= − 0 1； ⑶ 作出 { ( x k )}和{ | X j ( )| }的图并进行分析（参见图 16.5.4）； ⑷ 设定δ 0 > 0 ，将{ | X j ( )| }中满足 0 | X ( j)|< δ 的数据全部置为零，再进行 离散 Fourier 逆变换，将得到的数据与{ ( x k )}比较； ⑸ 改变δ 0 的值，重复⑷，分析不同的δ 0 对逆变换所得到的数据的影响。 ⒉ 对于 N = 32, , 64 128 ， ⑴ 产生两个实数序列 { ( x k )}k N = − 0 1 和{ ( y k )}k N = − 0 1 ； ⑵ 用直接方法计算 { ( x k )}和{ ( y k )}的卷积{ (z k )}k N = − 0 1； ⑶ 改用离散 Fourier 变换的思想，用 FFT 计算{ (z k)} ； ⑷ 结合 N 比较两种算法所用的时间。 ⒊ 用 FFT 计算多项式 ( ) ( ) − + + = ∑ 1 2 1 2 1 0 n n n m x n ! 和 ( ) ( )! − = ∑ 1 2 2 0 n n n m x n 的乘积，并与 sin 2 2 x 的 Taylor 级数的相应项比较。 5