复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第五章 微分中值定理及其应用 5.1 微分中值定理

第五章行微分中值定理及其应用习题5.1微分中值定理1．设f(x。)>0，f(x)0，可知当8>0足够小时，若00，于是()-()>0；同理，由J(xo)0X-xo足够小时，若--0。从而命题得证。2.（Darboux定理）设f(x)在(a,b)上可导，x,xzE(a,b)。如果(x)F(x2)0，则f(x)0，同样可证f(x)在[x,]的最小值点(xi,x2)，并且成立f()=0。3.举例说明Lagrange中值定理的任何一个条件不满足时，定理结论就有可能不成立。解[-1,1]上的符号函数sgn(x)在x=0不连续，所以Lagrange中值定理的条件不满足。而-=1，不存在e(-1),(5)=1。1-(-1)[-1,1]上的绝对值函数|x|连续，但在x=0不可微，所以Lagrange中值96

第五章 微分中值定理及其应用 习 题 5.1 微分中值定理 ⒈ 设 f x + ′( ) 0 > 0， f x − ′( ) 0 0 ，可知当 δ > 0 足够小时，若 0 − ，于是 f x( ) − f x( 0 ) > 0；同理，由 f x − ′( ) 0 0 足够小时，若 − δ 0。从而命题得证。 2．（Darboux 定理）设 f x( )在( , a b)上可导， x1 , x2 ∈ ( , a b)。如果 f x ′( ) 1 ⋅ f x ′( 2 ) 0，则 2 f x ′( ) 0，同样可证 f (x)在 1 2 [ , x x ]的最 小值点ξ 1 2 ∈( , x x )，并且成立 f ′( ) ξ = 0。 3． 举例说明 Lagrange 中值定理的任何一个条件不满足时，定理结 论就有可能不成立。 解 [ 1− ,1]上的符号函数sgn(x) 在 x = 0不连续，所以 Lagrange 中值定理 的条件不满足。而 (1) ( 1) 1 1 ( 1) f f − − = − − ，不存在ξ ∈( 1− = ,1), f '(ξ ) 1。 [ 1− ,1]上的绝对值函数| x |连续，但在 x = 0不可微，所以 Lagrange 中值 96

定理的条件不满足。而)-(-}=0,但e(-1,1),0, (5)=±10 。1-(-1)设函数f(x)在[a,b1上连续，在(a,b)上可微。利用辅助函数41x f(x) 1y(x)=a f(a) 1[bf(b) 1证明Lagrange中值定理，并说明y(x)的几何意义。证显然y(a)=y(b)=0，并且满足Rolle定理条件。由Rolle定理，在(a,b)内存在一点，使得[1f()0y(5)=a f(a) 1=f(5)(b-a)-[f(b)-f(a)=0 ,bf(b)1所以Lagrange中值定理成立。几何意义：以(x,f(x),(a,f(a),(b,f(b)顶点的三角形如果顶点逆时针排列，则(x)就是三角形面积的两倍，否则一y(x)就是三角形面积的两倍。5.设函数f(x)和g(x)在[a,b)上连续，在(a,b)上可导，证明(a,b)内存在一点，使得f(a)f(b)lf(a)()(h-g(a) g(b)g(a) g(5)f(a)f(b)l[f(a) f(x)则 F(a)=F(b)=0 , 由证令F(x)=-a)-(b-a)xg(a) g(b)g(a)g(x)Rolle定理，在(a,b)内存在一点，使得f(a)f()f(a)f(b)F()=0Chg(a)g(b)g(a) g'()6．设非线性函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则在(a,b)上97

定理的条件不满足。而 (1) ( 1) 0 1 ( 1) f f − − = − − ，但∀ξ ∈ −( 1,1), ξ ξ ≠ 0, f '( ) = ±1 ≠ 0。 4. 设函数 f x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可微。利用辅助函数 ψ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x a f a b f b = 1 1 1 证明 Lagrange 中值定理，并说明ψ(x)的几何意义。 证 显然ψ ( ) a =ψ (b) = 0，并且满足 Rolle 定理条件。由 Rolle 定理，在 ( , a b)内存在一点ξ，使得 1 '( ) 0 '( ) ( ) 1 '( )( ) [ ( ) ( )] 0 ( ) 1 f a f a f b a f b f a b f b ξ ψ ξ ξ = = − − − = ， 所以 Lagrange 中值定理成立。 几何意义：以(x, f x( )),( , a f (a)),(b, f (b)) 顶点的三角形如果顶点逆时 针排列，则ψ (x)就是三角形面积的两倍，否则－ψ (x)就是三角形面积 的两倍。 5． 设函数 f (x)和 g x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导, 证明( , a b)内存 在一点ξ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ g a g f a f b a g a g b f a f b ′ ′ = − 。 证 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g a g x f a f x x a b a g a g b f a f b F x = − − − ，则F(a) = F(b) = 0，由 Rolle 定理，在( , a b)内存在一点ξ，使得 0 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) = − − = ξ ξ ξ g a g f a f b a g a g b f a f b F 。 6． 设非线性函数 f (x)在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导，则在( , a b)上 97

至少存在一点n，满足11(n)>[(b)- (a),b-a并说明它的几何意义。证由于f(x)是非线性函数，所以在(a,b)内至少存在一点，使得(5,F(5))不在(a,f(a),(b,f(b)的连线上。假设(5,f())在(a,f(a),(b,f(b)的连线的上方，则f()-f(a)、f(b)-f(a)、f(b)-f()b-ab-s=-a利用Lagrange中值定理，存在5ie(a,5),5,e(5,b)，使得1(5)>)=(>T(5),h-所以 max(1 (5)1 (,)1>≥b)=1(。 当 (5, (5)在(a, (a),b, (b) 的b-o连线下方时同理可证。几何意义：在[a,b1上连续、在(α,b)上可导的非线性函数，必定在某点切线斜率的绝对值大于[a,b1间割线斜率的绝对值。aa其中a±0为常数。7.求极限limn2arctan-arctann+1naaarctan--arctann+1V其中位于解由Lagrange中值定理，a2n+1a1+2nn+1之间。当n→8时，趋于1，所以1+aarctan-arctannann+lOalimn?limarctanarctan#-→*n+1a.ann+1n n+1nalim2n+11+298

至少存在一点η，满足 | ( ) | | ( ) ( ) ′ > | − − f f b f a b a η ， 并说明它的几何意义。 证 由于 f x( )是非线性函数，所以在( , a b)内至少存在一点ξ ，使得 ( , ξ f (ξ ))不在( , a f (a)),(b, f (b))的连线上。 假设( , ξ f (ξ ))在( , a f (a)),(b, f (b))的连线的上方，则 f ( ) f ( ) a f (b) f ( ) a f (b) f ( ) a b a b ξ ξ ξ ξ −−− > > −−− ， 利用 Lagrange 中值定理，存在 1 2 ξ ∈( , a b ξ ξ ), ∈(ξ, ), 使得 1 2 ( ) ( ) '( ) '( ) f b f a f f b a ξ ξ − > > − ， 所以 1 2 ( ) ( ) max{| '( ) |,| '( ) |} | | f b f a f f b a ξ ξ − > − 。当( , ξ f (ξ ))在 的 连线下方时同理可证。 ( , a f (a)),(b, f (b)) 几何意义：在[ , 上连续、在 上可导的非线性函数，必定在 某点切线斜率的绝对值大于[ , 间割线斜率的绝对值。 a b ] ( , a b) a b ] 7．求极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − →∞ 1 lim arctan arctan 2 n a n a n n ，其中a ≠ 0为常数。 解 由 Lagrange 中值定理， 2 arctan arctan 1 1 1 1 a a n n a a n n ξ − + = + − + ，其中ξ 位于 1 a n + 与 a n 之间。当n → ∞时， 2 1 1+ ξ 趋于1，所以 2 arctan arctan 1 lim arctan arctan lim 1 1 1 n n a a a a na n n n n n n a a n n →∞ →∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + − = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + − + 2 1 limn 1 1 na a →∞ n ξ ⎛ ⎞ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + = 。 98

8.用Lagrange公式证明不等式：(1)Isin x-sin y≤[x-yl;(2)ny"-l(x-y)1, x>y>0);b-αa>0);(3)baa(4)e*>1+x (x>0).证 (1)[sinx-sinyHcos(x-y)x-y。(2) x"-y"=n"-l(x-),其中x>>y>0。由x"-1 >"-l >y"-l>0得到my"-l(x-y)l, x>y>0)。b(b-a)，其中b>5>a>0。由于！x,x>5>0。9. 设f(x)在[a,b]上定义，且对任何实数x和x2，满足If(x)-f(x2)[≤(x) -x2)2,证明f(x)在[a,b]上恒为常数。证首先由IF(x)-(x2)(x,-x2)2可知f(x)在[a,b]上连续。对任意固定的e(ab)，lim)(mx-x0，故(s)=0，再由x的X, -X2任意性，得到f(x)在(a,b)上恒等于0。所以f(x)在[a,b]上恒为常数。10.证明恒等式T(1)arcsinx+arccosx=x e[0,]];2(2)3arccosx-arccos(3x-4x3)=元，xe22299

8． 用 Lagrange 公式证明不等式： ⑴ |sin x y − ≤ sin | | x − y |; ⑵ ( ) ( ) ( 1, 0); 1 1 − > > − − ny x y x y nx x y n x y n n n n ⑶ ln ( > > 0) − 1+ x (x > 0). x 证 ⑴ | sin x − = sin y x | | cosξ ⋅( − y) |≤| x − y |。 ⑵ , 1 ( ) n n n x y nξ x y − − = − 其中 x > > ξ y > 0。由 xn n − − 1 1 > > ξ yn−1 > 0得到 ( ) ( ) ( 1, 0) 1 1 − > > − − ny x y x y nx x y n x y n n n n 。 ⑶ 1 ln ln ln ( ) b b a b a a ξ = − = − ，其中b > > ξ a > 0。由于 1 1 1 b a ξ x, x > ξ > 0。 9． 设 f (x)在[ , a b ]上定义，且对任何实数 x1和 2 ，满足 2 2 x | ( f x ) f x( ) | (x x ) 1 2 1 2 − ≤ − ， 证明 f (x)在[ , a b ]上恒为常数。 证 首先由 可知 在[ , 上连续。对任意固 定的 | ( f x ) f x( ) | (x x ) 1 2 1 2 − ≤ − f x( ) a b ] 2 x ∈( , a b) ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) lim | | lim | | 0 x x x x f x f x x x → x x → − ≤ − = − ，故 ，再由 的 任意性，得到 在 上恒等于 0。所以 在[ , 上恒为常数。 2 f x'( ) = 0 x2 f '(x) ( , a b) f x( ) a b ] 10． 证明恒等式 ⑴ arcsin x x + = arccos π 2 ， x ∈[ , 0 1]； ⑵ 3 3 4 3 arccos x x − arccos( − x ) = π ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ − 2 1 , 2 1 x ； 99

2x(3)2arctanx+arcsin=元， x E[1,+00]1+x2证（1）令f(x)=arcsinx+arccosx，则11f'(x)==0,VxE(0,I)yi-x2Vi-x2由于f(x)在[0,1]连续，所以(x)=f(0)=2（2）令f(x)=3arccosx-arccos(3x-4x3），注意到1-4x≥0,Vxe(n所以3-12x231 1=0, VxE(-f(x)=2'Vi-x?1-(3x- 4x3)2由于(x)在[-连续，所以()=(0)=3号-号=元。22222.2x注意到x2-1>0.Vx>1，所以(3）令f(x)=2arctanx+arcsin1+ x2212(1+ x°)- 4x2=0, Vx>1。f'(x):(1+x°)21+x2x1+:由于(x)在[1,+o0)连续，所以f(x)= f()=2+=元 。4211.设函数f(x)在[a,b1上连续，在(a,b)上可导。证明：若(a,b)中除至多有限个点有f"(x)=0之外，都有f(x)>0，则f(x)在[a,b]上严格单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。证设a=x<<…<x<x=b，其中x,x是fx)全部的零点。则f(x)在[x,x](i=0,1,,n-1)上严格单调增加。从而，f(α)在[a,b]上严格单调增加。构造函数(Ox= 0,f(x):13.2-(n+2) + 2-(n+2) ccos(,n=1,2,..n)元,n+1xn100

⑶ = π + + 2 1 2 2arc tan arcsin x x x ，x ∈[ , 1 +∞). 证（1）令 f x( ) = arcsin x + arccos x，则 2 2 1 1 '( ) 0, (0,1) 1 1 f x x x x =−≡ ∀ ∈ − − 。 由于 f (x)在[0,1]连续，所以 ( ) (0) 2 f x f π ≡ = 。 （2）令 3 f ( ) x x = − 3arccos arccos(3x − 4x ) ，注意到 2 1 1 1 4 0, ( , ) 2 2 − ≥ x x ∀ ∈ − ， 所以 2 2 3 2 3 3 12 1 '( ) 0, ( , ) 1 1 (3 4 ) 2 2 x f x x x x x − = − + ≡ ∀ ∈ − − − − 1 。 由于 f (x)在 1 1 [ , 2 2 − ]连续，所以 ( ) (0) 3 2 2 f x f π π ≡ = − = π 。 (3) 令 2 2 ( ) 2arctan arcsin 1 x f x x x = + + ，注意到 2 x −1 0 > ∀, x >1，所以 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2(1 ) 4 '( ) 0, 1 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 x x f x x x x x x + − = + ≡ ∀ + + − + > 。 由于 f (x)在[1,+∞) 连续，所以 ( ) (1) 2 4 2 f x f π π ≡ = + = π 。 11．设函数 f x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导。证明：若( , a b)中除 至多有限个点有 f x ′( ) = 0 之外，都有 f x ′( ) > 0 ，则 f (x)在[ , a b ]上严格 单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。 证 设a x = <0 1 x <"< xn−1 < xn = b，其中 1 2 1 , , , n x x x " − 是 全部的零点。 则 在 上严格单调增加。从而， 在[ , 上 严格单调增加。 f '(x) f x( ) 1 [ , ] ( 0,1, , 1) i i x x i n + = " − f x( ) a b] 构造函数 ( 2) ( 2) 0, 0; ( ) 1 1 1 3 2 2 cos( ) , , 1, 2, . 1 n n x f x n x n x n n π − + − + ⎧ = ⎪ = ⎨ ⋅ + − < ≤ = ⎪ ⎩ + " 100

+)，(x)在[0,1]上连续。因为当！时，由于 f(2-hfx0.所以/在[0]严格单调增加。但-0,f(x)=3x所以f(x)在(0,1)上有无限多个零点。12.证明不等式：21(1)x1;(2) 3-个x(3) x-x2(4) tanx+2sinx>3x,xe0;21(5)≤xP +(1-x)P≤1, x e[0,1],(p>1);2 p-1 tan xx元(6)0.xElxsinxF证（1)令f(x)=sinx，由于xE(O,x2(x)=xcosx_sin_cosx(xtan)0,x2x2Sin所以2sinx2.sinx可知f(x)在(o,")严格单调减少，=1，从lim元-2元xx而得到2=x0, x>1,Vxx所以f(x)在[1,+o)严格单调增加，故f(x)>0，从而13loY)，则(3) 令 f(x)= ln(1+x)-(x-2101

由于 ) 1 ) 2 ( 1 ( = = + − n f n f n ， f x( )在[0,1]上连续。因为当 n x n 1 1 1 ，所以 f x( )在[0,1]严格单调增加。但 1 f '( ) 0 n = ， 所以 f '(x)在(0,1)上有无限多个零点。 12． 证明不等式： ⑴ ) 2 sin , (0, 2 π π x x x , x ; ⑶ ln(1 ) , 0; 2 2 − x x ⑷ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + > ∈ 2 tan 2sin 3 , 0, π x x x x ; ⑸ 1 2 1 1 1 p 1 p p x x x p − ≤ + ( ) − ≤ , ∈[0, ], ( > 1)； ⑹ x x x x sin tan > ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 0, π x . 证（1）令 sin ( ) x f x x = ， (0, ) 2 x π ∈ ，由于 2 2 cos sin cos ( tan ) '( ) 0 x x x x x x f x x x − − = = > ， 所以 f (x)在[1,+∞) 严格单调增加，故 f x( ) > 0 ，从而 3 1 − x x , x 。 （3）令 2 ( ) ln(1 ) ( ) 2 x f x = + x − x − ，则 101

x2f'(x)x>0+x>01+x1+x所以f(x)在(0,+oo)严格单调增加，由f(0)=0知f(x)>0,Vx>0，从而x?In(1+x)>(xx>0。2令g(x)=x-ln(1+x)，则-xg(x)=1>0, x>0,1+x 1+x所以g(x)在(0,+0)严格单调增加，由g(0)=0知g(x)>0,Vx>0，从而x>ln(1+x), x>0。(4）令f(x)=tanx+2sinx-3x，则Vxe[0,"f'(x)=sec2 x+2cosx-3≥3/sec2 xcosxcosx-3=0,等号仅在x=0成立，所以f(x)严格单调增加，从而f(x)>0，即tanx+2sinx>3x,xe(0,")(5）令(x)=xP +(1-x)P，则F(x)=p(xP-1-(1-x)-1)在(0,)取负值，在(,1)取正值，即(x)在[0.严格单调减少，在,1严格单调增加，所以(x)在x=取到最小值一。。又f(0)=f(1)=1，所以f(x)在x=0.1取P-到最大值1，因而成立12 ≤P+(1-x) ≤1, xe[0.1]。则(6)令f(x)=sinxtanx-x?, xe02sinxf'(x)=sinx+sinxsec2x-2x,f"(x)=cosx+cos.xcos"x显然f"(x)>0，由f(0)=0，可知F(x)>0。再由f(0)=0，得到f(x)>0，从而102

2 1 '( ) 1 0, 0 1 1 x f x x x x x = − + = > > + + ， 所以 f (x)在(0,+∞)严格单调增加，由 f (0) = 0知 f x( ) > ∀0, x > 0，从而 2 ln(1 ) ( ), 0 2 x + > x x − x > 。 令 g x( ) = −x ln(1+ x) ，则 1 '( ) 1 0, 0 1 1 x g x x x x = − = > > + + ， 所以 g x( ) 在 (0,+∞) 严格单调增加，由 g(0) = 0 知 g x( ) > ∀0, x > 0 ，从而 x x > + ln(1 ), x > 0。 （4）令 f (x) = tan x + 2sin x − 3x，则 [0, ) 2 x π ∀ ∈ ， '( ) sec 2cos 3 3 sec cos cos 3 0 2 3 2 f x = x + x − ≥ x x x − = ， 等号仅在 成立，所以 严格单调增加，从而 ，即 ， x = 0 f x( ) f x( ) > 0 tan x + > 2sin x 3x (0, ) 2 x π ∈ 。 （5）令 f (x) = x p + (1− x) p , 则 1 1 '( ) ( (1 ) ) p p f x p x x − − = − − 在 1 (0, ) 2 取负值，在 1 ( ,1) 2 取正值，即 f x( )在 1 [0, ] 2 严格单调减少，在 1 [ ,1] 2 严格单调增加，所 以 f x( )在 2 1 x = 取到最小值 1 2 1 p− 。又 f f (0) = (1) =1，所以 在 取 到最大值1，因而成立 f x( ) x = 0,1 1 1 (1 ) 1 2 p p p x x − ≤ + − ≤ ， x∈[0,1]。 （6）令 f (x) = sin x tan x − x 2， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 0, π x 。则 f '(x) sin x sin x sec x 2x 2 = + − ， 2 cos 2sin cos 1 "( ) cos 3 2 = + + − x x x f x x 。 显然 f "(x) > 0，由 f '(0) = 0，可知 f '(x) > 0 。再由 f (0) = 0，得到 ， 从而 f (x) > 0 102

tanxsinxx13.证明：在(0,1)上成立(1) (1+x)In2(1+x)0, xe(0,)。1+x1+x1+x由F(0)=0，可知F(x)>0，再由f(0)=0，得到(x)>0，即(1+x)In*(1+x)0 ,103

x x x x sin tan > ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 0, π x 。 13． 证明：在(0,1) 上成立 （1）(1+ x)ln2 (1+ x) ∈ + + + 。 由 f '(0) = 0，可知 f '(x) > 0 ，再由 f (0) = 0，得到 f (x) > 0，即 2 2 (1+ + x x )ln (1 ) ， 103

所以f,(x)在(0,1)严格单调增加，且当n≥2时，J,(0)=-1,J,()=n-1>0,所以f.(x)在(0,1)内必有唯一的实根x。显然(,)单调减少有下界，所以必定收敛。设limx,=a，则0≤a0, F()=-1<0,22所以存在使得F()=0，即f()=5。(2）令G(x)=e-"[F(x)-x)，则G(0)=G(5)=0，应用Rolle定理，必存在nE(0,)，使得G'(n)=e-in[f'(n)-1]-e-in[f(n)-nl=0 ,于是成立(n)-[f(n)-n]=1。16.设函数(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且g(x)±0 (xe(a,b)。分别利用辅助函数f(b)- f(a),p(x)= f(x)- f(a)- g(b)-g(a[g(x)-g(a)和g(x) f(x) 1g(a)f(a)y(x)=g(b) f(b) 1104

所以 ( ) nf x 在(0,1) 严格单调增加，且当n ≥ 2时， (0) 1, (1) 1 0 n n f f = − = n − > ， 所以 ( ) nf x 在(0,1) 内必有唯一的实根 xn 。显然{xn }单调减少有下界，所 以必定收敛。设li n→∞ m xn = a ，则0 ≤ a F = − < ， 所以存在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ ,1 2 1 ξ ，使得F( ) ξ = 0 ，即 f (ξ ) = ξ 。 （2）令G x( ) = − e−λx [ f (x) x]，则G G (0) = (ξ ) = 0 ，应用 Rolle 定理，必存 在η ∈ (0,ξ )，使得 G e '( ) [ f '( ) 1] e [ f ( ) ] 0 λη λη η η λ η η − − = − − − = ， 于是成立 f ′(η) − λ[ f (η) −η] = 1。 16．设函数 f (x)和 g x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导，且 g′(x) ≠ 0 (x ∈ (a,b)) 。分别利用辅助函数 ϕ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x f a [ ( ) ( )] f b f a g b g a = − − g x g a − − − 和 ψ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g a f a g b f b = 1 1 1 , 104

证明Cauchy中值定理，并说明p(x)和y(x)的几何意义。证由于p(a)=p(b)=0，应用Rolle定理，必存在e(a,b)，使得(5)-1(5)-10=(0g(6)-0.g(b)-g(a) 于是Cauchy中值定理成立。9(0)的几何意义：参数方程[x=8()所表示的曲线上点的纵坐标y=f(o)与连接点(g(a),f(a)和点(g(b),f(b)的直线段上点的纵坐标之差。由于y(a)=y(b)=0，应用Rolle定理，必存在e(a,b)，使得g() f() 0y()=g(a) f(a) 1 = g()[f(a)- f(b)- f'()[g(a)-g(b))=0 ,g(b)f(b)1于是Cauchy中值定理成立。y(x)的几何意义：其绝对值等于由(g(x),f(x),(g(a),f(a),(g(b),f(b)为顶点的三角形面积的两倍，如果三顶点按照逆时针方向排列，则w(x)的符号为正，否则为负。17．设a,b>0，f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明存在e(a,b)，使得2Lf(b)-f(a)=(b-a)f'() 。证令g(x)=x2，对f(x),g(a)应用Cauchy中值定理，可知必存在Fe(a,b)，使得f(b)-f(a)- f(),b?-α?25从而2lf(b)- f(a)= (b? -a)f'() 。18.设a,b>0，证明存在e(a,b)，使得aeb -be" =(1-)e(a-b)。e,g(t)=应用Cauchy中值定理，可知必存在e(a,b)，证对于f(x)=x1使得e'(-1)ebea52ba=(1-5)e5,111ba整理后即得到aeb - be" =(1-)e (a-b) 。19设f(x)在[a,b)上连续（ab>0),在(a,b)上可导，证明存在e(a,b)，使得105

证明 Cauchy 中值定理，并说明ϕ(x)和ψ(x)的几何意义。 证 由于ϕ( ) a = ϕ(b) = 0，应用 Rolle 定理，必存在ξ ∈( , a b) ，使得 ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) 0, ( ) ( ) f b f a f g g b g a ϕ ξ ξ ξ − = − = − 于是 Cauchy 中值定理成立。 ϕ(t)的几何意义：参数方程 ( ) ( ) x g t y f t ⎧ = ⎨ ⎩ = 所表示的曲线上点的纵坐标 与连接点( ( g a), f (a)) 和点( ( g b), f (b)) 的直线段上点的纵坐标之差。 由于ψ ( ) a =ψ (b) = 0，应用 Rolle 定理，必存在ξ ∈( , a b) ，使得 '( ) '( ) 0 '( ) ( ) ( ) 1 '( )[ ( ) ( )] '( )[ ( ) ( )] 0 ( ) ( ) 1 g f g a f a g f a f b f g a g b g b f b ξ ξ ψ ξ ξ = = − − ξ − = ， 于是 Cauchy 中值定理成立。 ψ (x)的几何意义：其绝对值等于由( ( 为顶点的三角形面积的两倍，如果三顶点按照逆时针方向排列，则 的符号为正，否则为负。 g x), f (x)),( ( g a), f (a)),( ( g b), f (b)) ψ(x) 17． 设a,b > 0， f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明存在 ξ ∈ (a,b)，使得 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2 ξ f b − f a = b − a f ′ ξ 。 证 令 g x( ) = x 2，对 f x( ), g(x)应用 Cauchy 中值定理，可知必存在 ξ ∈( , a b) ，使得 2 2 ( ) ( ) '( ) 2 f b f a f b a ξ ξ − = − ， 从而 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2 ξ f b − f a = b − a f ′ ξ 。 18． 设a,b > 0，证明存在ξ ∈ (a,b)，使得 ae be (1 )e (a b) b a − = − − ξ ξ 。 证 对于 1 ( ) , ( ) x e f x g x x x = = 应用 Cauchy 中值定理，可知必存在ξ ∈( , a b) ， 使得 2 2 ( 1) (1 ) 1 1 1 b a e e e b a e b a ξ ξ ξ ξ ξ ξ − − = = − − − ， 整理后即得到 ae be (1 )e (a b) b a − = − − ξ ξ 。 19．设 f (x)在[a,b]上连续（ab > 0），在(a,b)上可导，证明存在ξ ∈ (a,b)， 使得 105