复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题十五（解答）

第十五章第1节2e；（2）In1.（1）X1+e2.提示：用反证法证明limf(x,y)=Φ(x)关于xe[a,b]是一致的，即Vs>0日S>0,Vy(yo-,yo),Vxe[a,b]:[f(x,y)-d(x)|0，取n>0，使得当00，取>0，使得当0yk8时，-dxkdxJox? + y22+y1yf(x)于是()d-)。分别令→0+与dxk=2+yx2+ 11→0-，由lim [yf(0)lin J8() dx=-号(0)和s 的任意d=(0)，1220.x?+yor-+y1

第十五章 第 1 节 1．（1） 4 π ；（2） e e 1+ 2 ln 。 2．提示：用反证法证明 lim ( , ) ( ) 0 f x y x y y = φ → − 关于 x ∈[a,b]是一致的，即∀ε > 0， ∃δ > 0， ( , ) 0 0 ∀y ∈ y − δ y ，∀x ∈[a,b]： f (x, y) −φ(x) 0，取η > 0 ，使得当0 0 ，取δ > 0 ，使得当0 <| y |< δ 时， 2 | ( ) | 1 2 2 ε η < + ∫ dx x y yf x ，于是 ∫ + 1 0 2 2 ( ) | dx x y yf x ε η < + − ∫ | (0) 0 2 2 dx x y yf 。分别令 与 ，由 y → 0 + y → 0 − (0) 2 (0) lim 0 2 2 0 dx f x y yf y η π = + ∫ → + ， (0) 2 (0) lim 0 2 2 0 dx f x y yf y η π = − + ∫ → − 和ε 的任意 1

(0)与 lim I(y)=-性，即可得到 lim I(y)=f(O)1->0第2节1.（3）提示：由分部积分法+ooCoSCxJtxsin x* cos oxdx =dcos.x4.xcOSoxcos.X+αsinoxcosx+ocosoxcosxx2x34x2当A→+时，上述三式关于α在[α,bl上一致趋于0。12.（1）提示：取α，n3n元2元?..xsinanxdx≥n元αn(1+x)716|1+41（2）提示：作变量代换xsintdt，取α.dx:sin0xaxn/2元3元1sintdt≥,2αm2nr-3元2n元+3.提示：(ttf(t)dt=fta-a[t"f(t)]dt+t-b[tbf(t)]dt4.（1）一致收敛；（2）（i）一致收敛：（ii）非一致收敛：（3）（i）一致收敛：（ii）非一致收敛：（4）（i）一致收敛；（ii）非一致收敛。5.提示：证明积分关于α在(0,+)内闭一致收敛。6．(0,2)：提示：证明积分关于y在(0,2)内闭一致收敛。7.提示：证明积分(te-f(x)dx关于s在[0,+)上一致收敛。cosx8.提示：证明积分dx关于t在(-c0,+)内闭一致收敛。1+(x+t)?9. Inb.aba10.arctanarctanpp2

性，即可得到 (0) 2 lim ( ) 0 I y f y π = → + 与 (0) 2 lim ( ) 0 I y f y π = − → − 。 第 2 节 1．（3）提示：由分部积分法 , cos cos 2 sin cos 1 4 1 4 cos cos cos cos 4 1 sin cos 3 4 2 4 2 4 4 2 4 ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ = − − − = − A A A A A dx x x x dx x x x x x x d x x x x x xdx α α α α α α 当 A → +∞ 时，上述三式关于α 在[a,b]上一致趋于 0。 2．（1）提示：取 n n 1 α = ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ + ∫ 2 2 2 4 3 4 2 ) 4 3 16 1 ( 2 (1 ) sin π π α α π π n n dx x x x n n n n 。 （2）提示：作变量代换 t x 1 = ，则∫ ∫ +∞ − = 1 2 1 0 sin 1 1 sin 1 tdt t dx x x α α ，取 n n 1 α = 2 − ， n n n n tdt t n 1 4 3 2 4 2 2 4 3 4 2 2 sin 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ ≥ + + − π π π π π π π α 。 3．提示：∫ 。 +∞ = 0 t f (t)dt λ ∫ + 1 − 0 t [t f (t)]dt λ a a ∫ +∞ − 0 t [t f (t)]dt λ b b 4． （1）一致收敛； （2）（i）一致收敛；（ii）非一致收敛； （3）（i）一致收敛；（ii）非一致收敛； （4）（i）一致收敛；（ii）非一致收敛。 5．提示：证明积分关于α 在(0,+∞)内闭一致收敛。 6．(0,2) . 提示：证明积分关于 y 在(0,2) 内闭一致收敛。 7．提示：证明积分∫ 关于 在 +∞ − 0 e f (x)dx sx s [0,+∞)上一致收敛。 8．提示：证明积分 dx x t x t ∫ +∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + 0 ' 2 1 ( ) cos 关于t 在(−∞,+∞) 内闭一致收敛。 9． a b ln 。 10． p a p b arctan − arctan 。 2

_2n+1(2n-1)!!11.元2(2n)!!元12.sgnα·[α|+1-/1+α213.提示：Af(ax)"f(bx) A f(ax)-f(bx)dx=JA'4xxx- bA" f(x)gh[ b4 f(x)dx -dx=[f(5)-f(52)]ln-04NxXa其中5在aA'与bA'之间，5,在aA"与bA"之间，这是利用了积分中值定理。令A'→0，A→+即得结论2. c2-12.c2令℃2C则于是14．（1）提示：dt,=t.dy:e10J0PJdy(1-)dtdoeet2再令1得到Ex.Iedax.02-元-2/ab(2)2Va元e-apl15.2α第3节1T元元: (2)1. (1)B(3)(4)元(42/2m元nsinnsinnn256元m+(5)2V5: (6)(7)(8)1155N" e-" dx = lim1+-2. lim [=r()=1 n-gJ0n00n4.提示：易知r()=I(2)，所以存在x。E(1,2)，使得T(x)=0。由习题3的方3

11． π 2 2 1 2(2 )!! (2 1)!! + − − n a n n 。 12． [ ] 2 sgn | | 1 1 2 α α α π ⋅ + − + 。 13. 提示： [ ( ) ( )]ln , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 a b dx f f x f x dx x f x dx x f bx dx x f ax dx x f ax f bx bA aA bA aA A A A A A A = − = ξ − ξ = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ 其中ξ 1在 aA′ 与bA′之间，ξ 2 在 aA′′与bA′′ 之间，这是利用了积分中值定理。令 A′ → 0， A′′ → +∞即得结论。 14．（1）提示：令 t y c = ，则∫ = +∞ − − 0 2 2 2 e dy y c y ∫ +∞ − − 0 2 2 2 2 dt t c e t c t ，于是 ∫ = +∞ − − 0 2 2 2 e dy y c y ∫ +∞ − − + 0 2 (1 ) 2 1 2 2 2 dt t c e t c t ∫ +∞ − − − = − 0 ( ) 2 ( ) 2 2 t c e d t e t c t c ， 再令 x t c t − = ，得到 ∫ = +∞ − − 0 2 2 2 e dy y c y ∫ +∞ −∞ − − e dx e x c 2 2 2 。 （2） ab e a 2 2 1 π − 。 15． | | 2 α β α π − e 。 第 3 节 1．（1） 8 π ；（2） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 , 4 1 2 2 1 B ；（3） n n π π sin ；（4） n m n π π sin ； （5） 2 2 π ；（6） 1155 256 ；（7） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ n m n 1 1 ；（8） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ q n p B n , 1 。 2． (1) 1 1 lim lim 1 0 ⎟ = Γ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Γ + →∞ +∞ − →∞ ∫ n e dx n x n n 。 4．提示：易知Γ(1) = Γ(2) ，所以存在 (1,2) x0 ∈ ，使得Γ′(x0 ) = 0。由习题 3 的方 3

法得到"(s)=Jtx-leIn2xdx>0，于是在(xo,+0)上(s)>0，因此I(s)在(xo,+o)上单调增加。再由(n+1)=nl→+即得结论5.ln/2元。提示：利用[lnT(1-x)dx=[ln(x)dx及余元公式，6.P<1时收敛，此时1=2元B1.117.当！r(r()r(r(-1--<1时积分收敛，此时1=βBBαByαY2x=uau=rsinpcosgABv=rsinpsine，得到提示：应2z=rcospZ=WY2,2,2-12-122-12,2-raBy8JzsinaβaByJsinBedeAcosapcos"drpdp1+r224242-1ora对其中积分dr，令2=t。1+r2T(m)r(n)r(p)8. 1 =I(m+n+p)提示：将积分化为I=(p-1)[Jx"-y"-_p-2dxdydz，其中α是由平面x=0，=00x=u?[u=rsinpcosgz=0与x+y+z=1所围的区域。再令=v2与=rsinsin，得到z = w2z=rcosI =8( -1) sin m-l 0 cos2 -l a10 μ sin2m+2-l p cos2-3 odo /m+2n+2p-3dr。J2 sin"xcos"xd=1B(α+l,=α+1)2 tan~ xdx = [.9.提示：2元α元2cos2

法得到Γ′′( ) = ∫0 1 ln 2 > 0 ，于是在 +∞ − − s x e xdx s x ( , ) x0 +∞ 上Γ′(s) > 0，因此 在 上单调增加。再由 Γ(s) ( , ) x0 +∞ Γ(n +1) = n!→ +∞ 即得结论。 5．ln 2π 。提示：利用∫ Γ − = ∫ Γ 及余元公式。 1 0 1 0 ln (1 x)dx ln (x)dx 6． p < 1时收敛，此时 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ I = B ,1− p 2 3 2π 。 7．当 1 1 1 1 + + < α β γ 时积分收敛，此时 ) 1 1 1 ) (1 1 ) ( 1 ) ( 1 ( 1 αβγ α β γ α β γ I = Γ Γ Γ Γ − − − 。 提示：令 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = γ β α 2 2 2 z w y v x u 与 ，得到 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos z r v r u r ∫ − − = 2 0 1 2 1 2 sin cos 8 π β α θ θ θ αβγ I d ∫ + − − 2 0 1 2 1 2 2 sin cos π α β γ ϕ ϕdϕ ∫ +∞ + + − + 0 2 1 2 2 2 1 dr r r α β γ ， 对其中积分∫ +∞ + + − + 0 2 1 2 2 2 1 dr r r α β γ ，令r 2 = t 。 8． ( ) ( ) ( ) ( ) m n p m n p I Γ + + Γ Γ Γ = . 提示：将积分化为 ∫∫∫ ，其中 Ω − − − I = p − x y z dxdydz m 1 n 1 p 2 ( 1) Ω 是由平面 ， ， 与 x = 0 y = 0 z = 0 x + y + z = 1所围的区域。再令 与 ，得到 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 2 2 2 z w y v x u ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos z r v r u r ∫ − − = − 2 0 2 1 2 1 8( 1) sin cos π I p θ θdθ n m ∫ + − − 2 0 2 2 1 2 3 sin cos π ϕ ϕdϕ m n p ∫ 1 + + − 0 2 2 2 3 r dr m n p 。 9．提示： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = = − ∫ ∫ 2 1 , 2 1 2 1 tan 2 sin cos 0 2 0 α α α π α π α xdx x xdx B 2 2cos 2 1 2 1 απ α α π ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟Γ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = Γ 。 4

P则10.提示：作变量代换t=tan2ta-ldtdpsin@(1+k)+(1- k)t21+kcosp+cos@1-k再作变量代换t=tanの，将它变为V1+k tan"-l d0 =[ sina- cos-aedo1+klVi+I+K(号,1-号)-本(磨)()(-%)1+k(Vi-k再利用余元公式即得结论。11.提示：作变量代换t=hu，得["1-t)dt=h'(1-hu) dt≥hf(1-u) dt.再作变量代换u=sin，右式变为),oo- 0-)-)2

10．提示：作变量代换 2 tan ϕ t = ，则 ∫ ∫ +∞ − − + + − = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 2 1 0 1 (1 ) (1 ) 2 1 cos 1 cos sin k k t t dt k d α π α ϕ ϕ ϕ ϕ ， 再作变量代换 tanθ 1 1 = + − t k k ，将它变为 . 2 1 1 2 1 1 1 2 , 1 1 2 1 1 1 sin cos 1 1 1 2 tan 1 1 1 2 2 0 1 1 2 0 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟Γ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ∫ ∫ − − − α α α α θ θ θ θ θ α α π α α α π α α k k k B k k k d k k k d k k k 再利用余元公式即得结论。 11．提示：作变量代换 t = hu ，得 ∫ ∫ ∫ − − − − = − ≥ − 1 0 2 3 2 1 0 2 3 2 2 0 2 3 2 (1 t ) dt h (1 h u ) dt h (1 u ) dt n n h n ， 再作变量代换u = sinθ ，右式变为 h n n n n n h Bh h d n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Γ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟Γ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ − 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 , 2 1 2 cos 2 0 2 π θ θ π 。 5