复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第四章 微分 4.3 导数四则运算和反函数求导法则

习题4.3导数四则运算和反函数求导法则1.用定义证明(cosx）=-sinx。证由于ArAxcos(x+△x)-cos x =-2sin(x+)sin22AxAx(Ax→0)，可知根据sinx的连续性和sin(22AxsinAxrcos(x+Ax)-cosx2lim- lim sin(x +)limsinx.2AxAxAr→0Ar→0Ar-→022.证明：(2) (cotx)'= -csc2x ;(1) (cscx)=-cotxcscx;11(3)(arccosx)=(4)(arccotx)'=1+x23/1-x21(5) (ch′ x)(6) (th" x) = (cth* x)"= 1-2Vx2-1(sin x)cos.x解（1）(cscx)-cotxcscxosinxsin xsinxsec"x1(tanx)(2) (cotx)cSc-xtan’ xtan’xsin"xtanx1元(3)(arccosx)=arcsin x)'2V-x21元(4)(arccotx)=arctanx)1+x321111(5)(ch-"x)=(ch y)"shyVx2-1/ch'y-11111(6)(th-'x)1- x2(thy)'sechy1-th"y64

习 题 4.3 导数四则运算和反函数求导法则 ⒈ 用定义证明(cos x x )′ = − sin 。 证 由于 2 )sin 2 cos( ) cos 2sin( x x x x x x ∆ ∆ + ∆ − = − + ， 根据sin x 的连续性和sin( ) ( 0) 2 2 x x x ∆ ∆ ∼ ∆ → ，可知 0 0 0 sin cos( ) cos 2 lim lim sin( ) lim sin 2 2 x x x x x x x x x x ∆ → x ∆ → ∆ → x ∆ + ∆ − ∆ = − + ⋅ = − ∆ ∆ 。 2. 证明： ⑴ (csc x)′ = −cot x csc x ； ⑵ x x 2 (cot )′ = −csc ； ⑶ (arccos x) x ′ = − − 1 1 2 ； ⑷ 2 1 1 (arc cot ) x x + ′ = − ； ⑸ (ch ) − ′ = − 1 2 1 1 x x ； ⑹ (th ) (cth ) − − ′ = ′ = − 1 1 2 1 1 x x x 解（1） x x x x x x x x cot csc sin cos sin (sin )' sin 1 (csc )' 2 2 ' = − = − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 。 （2） x x x x x x x x 2 2 2 2 2 ' csc sin 1 tan sec tan (tan )' tan 1 (cot ) = − = − = − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ = 。 （3） 2 1 1 arcsin )' 2 (arccos ) ( x x x − ′ = − = − π 。 （4） 2 1 1 arctan )' 2 (arc cot ) ( x x x + ′ = − = − π 。 （5） 1 2 2 1 1 1 1 (ch ) (ch )' sh ch 1 1 x y y y x − ′ = = = = − − 。 （6） 1 2 2 1 1 1 1 (th ) = (th )' sech 1 th 1 x y y y − ′ = = = 2 − − x ， 64

1111(cth-'x)":(cthy)'csch"ycthy-11-x3.求下列函数的导函数：(1) f(x)=3sinx+lnx-x;(2) f(x)= xcosx+x2 +3;(3) f(x)=(x +7x-5)sinx ;(4) f(x)= x(3tanx+2secx);3(6) (x)= 2sinx+x-21,(5) f(x)=e* sinx-4cosx+Vx/x2xsinx-2lnx1(8) (x)= (7) f(x)=/x +1x+cosxx+cotx.(0) f(x)= Xsin x + cos x(9) f(x)=xsinx-cosxlnx(1) f(x)=(e*+ log;x)arcsinx;(12) f(x)=(cscx-3lnx)x shx;x+sinx(13) (x)= X+secx.(14) f(x)=x-cscxarctan x11解(1)f'(x)=(3sinx)+(lnx)-(Vx)=3cosx+x2Vx(2)f'(x)= xcosx+x(cosx)+(x2)+(3)= cosx-xsin x+2x 。(3) f(x)=(x2 +7x-5)sinx+(x2 +7x-5)(sinx)=(2x+7)sin x+(x2 +7x-5)cosx 。(4) f'(x)=(x)(3tanx+2secx)+x(3tanx+2secx)= 2x(3tan x+2sec x)+x(3secx+2tan xsecx)。3(5) f'(x)=(e*)sinx+e*(sinx)-(4cosx)+(Vx3-3=e(sinx+cosx)+4sinx222(6) f'(x)=(x+2sinx-2*)x 3 +(x+2sinx-2*)(x3)65

1 2 2 1 1 1 (cth ) (cth )' csch cth 1 1 x y y y − ′ = = − = − = 2 1 − − x 。 3. 求下列函数的导函数： ⑴ f (x) = 3sin x + ln x − x ； ⑵ ( ) cos 3 2 f x = x x + x + ； ⑶ f x( ) = + (x x − )sin x 2 7 5 ； ⑷ ( ) (3tan 2sec ) 2 f x = x x + x ； ⑸ f x x x x x ( ) = − e sin 4 cos + 3 ； ⑹ f x x x x x ( ) sin = 2 2 + − 3 2 ； ⑺ f x x x ( ) cos = + 1 ； ⑻ f x x x x ( ) sin ln = − x + 2 1 ； ⑼ x x x f x ln cot ( ) 3 + = ； ⑽ f x x x x x x x ( ) sin cos sin cos = + − ； ⑾ f x x x x ( ) = + (e log3 ) arcsin ； ⑿ f (x) (csc x 3ln x)x sh x 2 = − ； ⒀ f x x x x x ( ) sec csc = + − ； ⒁ x x x f x arc tan sin ( ) + = ； 解 （1） x x f x x x x x 2 1 1 '( ) = (3sin )'+(ln )'−( )'= 3cos + − 。 （2） f '(x) = x'cos x + x(cos x)'+(x 2 )'+(3)'= cos x − x sin x + 2x 。 （3） '( ) ( 7 5)'sin ( 7 5)(sin )' 2 2 f x = x + x − x + x + x − x (2x 7)sin x (x 7x 5) cos x 2 = + + + − 。 （4） '( ) ( )'(3tan 2sec ) (3tan 2sec )' 2 2 f x = x x + x + x x + x 2 (3tan 2sec ) (3sec 2 tan sec ) 2 2 = x x + x + x x + x x 。 （5） )' 3 '( ) ( )'sin (sin )' (4cos )' ( x f x e x e x x x x = + − + 3 2 3 (sin cos ) 4sin 2 x e x x x x − = + + − 。 （6） '( ) ( 2sin 2 )' ( 2sin 2 )( )' 3 2 3 2 − − f x = x + x − x + x + x − x x x 65

22=(1+2cosx-2*ln2)x 3(x+2sinx--2x+(x+ cos x) sin x-1(7) F(x)=-(x+cosx)2(x+cosx)2(8) F(x) = (μrsinx-2Inx)(V/x +1)-(sin x-2In x)(V/x +1)(Vx +1)22(xsin x+x2 cosx-2)(/x+1)-Vx(xsin x-2lnx)2x(Vx +1)2(9) (x)=(+cotx)lnx-(P+cotx)(Inx)In°x_ (3x2 -csc x)xlnx-x3-cotxxnx2cosx(10) f(x)=(1+xsinx-cosx(2cosx)(xsinx-cosx)-2cosx(xsinx-cosx)(xsin x-cosx)-2(x+sin xcosx)(xsinx-cosx)?(11) f'(x)=(e* +log, x)arcsinx+(e* +log x)(arcsinx)1Inx)arcsinx+(e*=(er+xln3In3V1-x3(12)f'(x)=(cscx-3lnx)'xshx+(cscx-3lnx)(x)shx+(csc x-3ln x)x (shx)3=-(cot xcsc x+=)x*shx+(cscx-3lnx)(2x)shx +(cscx-3ln x)x*chx= -(x2 cot x csc x + 3x)shx + x(csc x - 3ln x)(2shx + xchx) 。(13) F(x) = (x+secx)(x-csc x)-(x + secx)(x-csc x)(x- cscx)2(1+tanxsecx)(x-cscx)-(x+secx)(1+cotxcscx)(x-cscx)266

3 5 3 2 ( 2sin 2 ) 3 2 (1 2cos 2 ln 2) − − = + x − x − x + x − x x x 。 （7） 2 2 ( cos ) sin 1 ( cos ) ( cos )' '( ) x x x x x x x f x + − = + + = − 。 （8） 2 ( 1) ( sin 2ln )'( 1) ( sin 2ln )( 1)' '( ) + − + − − + = x x x x x x x x x f x 2 2 2 ( 1) 2( sin cos 2)( 1) ( sin 2ln ) + + − + − − = x x x x x x x x x x x 。 （9） 3 3 2 ( cot )'ln ( cot )(ln ) '( ) ln x x x x x x ' f x x + − + = 2 2 3 2 (3 csc ) ln cot ln x x x x x x x x − − − = 。 （10） )' sin cos 2cos '( ) (1 x x x x f x − = + 2 ( sin cos ) (2cos )'( sin cos ) 2cos ( sin cos )' x x x x x x x x x x x − − − − = 2 ( sin cos ) 2( sin cos ) x x x x x x − − + = 。 （11） '( ) ( log )'arcsin ( log )(arcsin )' 3 3 f x e x x e x x x x = + + + 2 1 1 ) ln3 ln ) arcsin ( ln3 1 ( x x x e x ex x − = + + + 。 （12） 2 2 f '(x x ) = − (csc 3ln x)' x shx + (csc x − 3ln x)(x )'shx 2 + − (csc x 3ln x x) (shx)' x x x x x x x x x x x x x ) sh (csc 3ln )(2 )sh (csc 3ln ) ch 3 (cot csc 2 2 = − + + − + − ( cot csc 3 )sh (csc 3ln )(2sh ch ) 2 = − x x x + x x + x x − x x + x x 。 （13） 2 ( csc ) ( sec )'( csc ) ( sec )( csc )' '( ) x x x x x x x x x x f x − + − − + − = 2 ( csc ) (1 tan sec )( csc ) ( sec )(1 cot csc ) x x x x x x x x x x − + − − + + = 。 66

(14) (x)= +sinx)arctanx-(+sinx)(arctan)arctanx(1+x)(1+cosx)arctanx-(x+sin x)(1+ x)arctan x4.求曲线y=lnx在(e,1)处的切线方程和法线方程。1=！,t切线方程为解因为y(e)exl-e)+1=×e法线方程为y=-e(x-e)+1=-ex+(e? +1) 。5.当a取何值时，直线y=x能与曲线y=log。x相切，切点在哪里？解设切点为(xoxo)，由于y=x是y=f(x)=log。x的切线，其斜率为1，=1，故x=。又由(0)=10g。一_lnxo=xo，得到所以F(x)=一=Inax,lnaInx=l，即xo=e，从而a=e"，切点为(e,e)。6.求曲线y=x"（neN+）上过点(1,1)的切线与x轴的交点的横坐标x,，并求出极限limJ(x）。解因为y(1)=nx"-=n，所以过点(1,1)的切线为y=n(x-1)+1，它与x轴交点的横坐标为x="二，因此lim (x,)= lim("-l)" =1n7.对于抛物线y=ax?+bx+c，设集合S,=(x,y)/过(x,y)可以作该抛物线的两条切线);S,=((x,y)/过(x,y)只可以作该抛物线的一条切线)：S,=((x,J)/过(x,J)不能作该抛物线的切线),请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。67

（14） x x x x x x x f x 2 arctan ( sin )'arctan ( sin )(arctan )' '( ) + − + = x x x x x x x 2 2 2 (1 ) arctan (1 )(1 cos ) arctan ( sin ) + + + − + = 。 4. 求曲线 y x = ln 在(e,1)处的切线方程和法线方程。 解 因为 x e y e x e 1 1 '( ) = = = ，切线方程为 1 ( ) 1 x y x e e e = − + = , 法线方程为 2 y e = − ( ) x − e +1 = −ex + (e +1)。 5. 当a取何值时，直线 y = x 能与曲线 y x = a log 相切，切点在哪里？ 解 设切点为(x0 , x0 )，由于 y = x 是 ( ) loga y f = x = x的切线，其斜率为 1， 所以 1 ln 1 '( ) 0 0 = = x a f x ，故 a x ln 1 0 = 。又由 0 0 0 ln ( ) log ln a x 0 f x x a = = = x ，得到 ln x0 = 1，即 x = e 0 ，从而 ，切点为 。 −1 = e a e (e, e) 6．求曲线 y = x（n n ∈ N+）上过点( , 1 1)的切线与x轴的交点的横坐标 ， 并求出极限 。 x n lim ( ) n n y x →∞ 解 因为 y nx n x n = = = − 1 1 '(1) ，所以过点( , 1 1)的切线为 y = n(x −1) +1，它与 x轴交点的横坐标为 1 n n x n − = ，因此 n e n y x n n n n 1 ) 1 lim ( ) lim( = − = →∞ →∞ 。 7. 对于抛物线 y a = + x 2 bx + c ，设集合 S1 = {(x, y) | 过(x, y)可以作该抛物线的两条切线}； S { 2 = (x y, )|过(x y, )只可以作该抛物线的一条切线}； S3 = {( , x y)|过( , x y)不能作该抛物线的切线}， 请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。 67

解a0，不妨设a>0，抛物线开口向上。过(x,J)可以作该抛物线两条切线当且仅当(xy)在该抛物线的下方，即yax?+bx+c，因此S, = (x, y)|a(ax? +bx +c-y)>0)过(x,y)只可以作该抛物线一条切线当且仅当(x,J)在该抛物线上，所以S2 = (x, y)[ax? +bx+c-y=0) 由此得到S, =(S, Us,)C = (x, y)[a(ax° + bx+c-y)<0)8.(1）设f(x)在x=x。处可导，g(x)在x=xo处不可导，证明Cif(x)+C2g(x)(c,±0)在x=x。处也不可导。(2)设f(x)与g(x)在x=x处都不可导，能否断定cf(x)+Cg(x)在x=x处一定可导或一定不可导？解（1）记h(x)=cf(x)+C2g(x)，当cz0时，如果h(x)在x=x处可导，则g(x)=[h(x)-c,f(x)/c,在x=x。处也可导，从而产生矛盾。(2）不能断定。如g(x)=f(x)=，当c,=-c,时，c,f(x)+c2g(x)在x=0处是可导的；当c ≠-c,时，cf(x)+Czg(x)在x=0处不可导。9.在上题的条件下，讨论f(x)g(x)在x=x。处的可导情况。解函数f(x)=c在x=0处可导，g(x)=x|在x=0处不可导，则f(x)g(x)当c=0时在x=0处可导，当c±0时在x=0处不可导。函数f(x)=g(x)=x/在x=0处都不可导，但f(x)g(x)=x在x=0处可导。函数f(x)=g(x)=sgn|x/在x=0处都不可导，f(x)g(x)=sgn|x/在x=068

解 a ≠ 0，不妨设a > 0，抛物线开口向上。过(x, y)可以作该抛物线 两条切线当且仅当(x, y)在该抛物线的下方，即 y ax 2 + bx + c ，因此 {( , )| ( ) 0} 2 S1 = x y a ax + bx + c − y > 。 过(x, y)只可以作该抛物线一条切线当且仅当(x, y)在该抛物线上， 所以 {( , )| 0} 2 S2 = x y ax + bx + c − y = 。 由此得到 ( ) {( , ) | ( ) 0} 2 S3 = S1 S2 = x y a ax + bx + c − y < C ∪ 。 8. ⑴ 设 f x( ) 在 x = x0 处可导， g x( ) 在 x = x0 处不可导，证明 c f 1 2 ( ) x + ( c g x) (c2 ≠ 0)在 x = x0处也不可导。 ⑵ 设 与 在 处都不可导, 能否断定 在 处一定可导或一定不可导？ f x( ) g x( ) x = x0 ( ) ) 1 2 c f x + c g(x x = x0 解 （1）记 ( ) ( ) ) 1 2 h x = c f x + c g(x ，当 0 c2 ≠ 时，如果 在 处可导， 则 在 h(x) x = x0 1 2 g(x) = [h(x) − c f (x)]/ c x = x0处也可导，从而产生矛盾。 （2）不能断定。如 g(x) = f (x) = x ，当 1 2 c = −c 时， ( ) ) 1 2 c f x + c g( x 在 处是可导的；当 时， x = 0 1 2 c ≠ −c ( ) ) 1 2 c f x + c g( x 在 x = 0处不可导。 9. 在上题的条件下，讨论 f x( )g(x)在 x = x0处的可导情况。 解 函数 f x( ) = c在 x = 0处可导，g x( ) =| x |在 x = 0处不可导，则 当 时在 处可导，当 f x( )g(x) c = 0 x = 0 c ≠ 0时在 x = 0处不可导。 函数 f x( ) = g( ) x =| x |在 x = 0处都不可导，但 2 f ( ) x g( ) x = x 在 处可 导。函数 在 x = 0 f x( ) = = g(x) sgn | x | x = 0处都不可导，f x( )g( ) x = sgn | x |在 x = 0 68

处也不可导。10.设f,(x）（i,j=1,2,…,n）为同一区间上的可导函数，证明Ji(x)Jiz(x)fi.(x)...[fn(x) fiz(x).. fun(x)目:目d2i(x) J22(x) ... J2n(x)7fu(x) Ji2(x)Ju(x)..：:dx：k=l::：[Fm(x) n(x)fm(x)...fm(x)Jn2(x)...m(x)证根据行列式的定义[Fin(x) fi2(x).. Jn(x)d2i(x) J2(x) ... fa.(x)：…"dxFn(x) Jn2(x) .. Jm(a)dE(-1)(hk) fu (x)2 (x) m (x)d-E(1)(kft (x)k (x) u (x)+u (x) ()- . ()..+ Jin, (x)f2k, (x)-- Ju. (x)f'in(x)fi(x)fi2(x)fin(x)fh(x) f'i2(x) ...-fn(x)fzi(x)J2(x)f'2i(x)f'22(x)f'2n(x)...::::...Jm(x)fn(x)fn2(x)fm(x)|fn(x)fn2(x).[Ji(x)fiz(x)Ji(x)..J21(x)f2(x)J2n(x)目:：f'm(x)f'n2(x)fm(x)..[i(x) fi2(x)fin(x)...：.fi(x)J2(x)... fu(x)k=l:::fn(x)Jn2(x) .. fm(x)69

处也不可导。 10．设 fij (x)（i, j = 1,2,", n）为同一区间上的可导函数，证明 ∑= = ′ ′ ′ n k n n nn k k kn n n n nn n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x dx d 1 1 2 1 2 11 12 1 1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) " # # # " # # # " " # # # " " 。 证 根据行列式的定义 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n nn f x f x f x d f x f x f x dx f x f x f x " " # # # " 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) ( ) ( ) ( ) n n N k k k k k nk d f x f x f x dx = − ∑ " " 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 ( 1) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] n n n n N k k k k k nk k k nk k k nk f x f x f x f x f x f x f x f x f x = − ′ ′ + + + ′ ∑ " " " " " 11 12 1 21 22 2 1 2 ' ( ) ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n nn f x f x f x f x f x f x f x f x f x = + " " # # # " 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n nn f x f x f x f x f x f x f x f x f x + " " " # # # " 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) n n n n nn f x f x f x f x f x f x f x f x f x + " " # # # " 11 12 1 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k kn k n n nn f x f x f x f x f x f x f x f x f x = = ∑ ′ ′ ′ " # # # " # # # " 。 69