复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题十（解答）

第十章第1节1.（1）（）非一致收敛.(i）一致收敛（2）一致收敛（3）(）非一致收敛.(i）一致收敛（4）(i）非一致收敛.(i）一致收敛（5）一致收敛（6）非一致收敛（7）①）一致收敛.(i)非一致收敛（8）（）非一致收敛.(i）非一致收敛（9）非一致收敛（10）（）非一致收敛.（i）一致收敛（11））非一致收敛(i）一致收敛（12）(）非一致收敛.(i）一致收敛4.不成立；limS,()=+ S'(I)5.(1) α0，证明(S,(x)在[a+n,b-n]上一致收敛于s(x).取00,>0,Vx,x"[a+α,b-α]只要x-xN且xe[a+n,b-n]时,x+=e[a+α,b-α], 于是[S,(x)-S(x)=[S(5)- S(x)/0,>0，当xe[1-]时，x"S(x)N时，对一切xe[01-] 成立第2节1.（1）非一致收敛（2）一致收敛（3）一致收敛

第十章 第 1 节 1．（1）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （2）一致收敛. （3）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （4）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （5）一致收敛. （6）非一致收敛. （7）(i) 一致收敛. (ii) 非一致收敛. （8）(i) 非一致收敛. (ii) 非一致收敛. （9）非一致收敛. （10）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （11）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （12）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. 4. 不成立; '(1) 2 1 lim (1) ' Sn S n = ≠ →∞ . 5. (1) α 0 , 证明{ } Sn (x) 在[a +η,b −η]上一致收敛于 S'(x) . 取0 0, ∃δ > 0 , ∀x', x"∈ [ ] a +α,b −α , 只要 x'−x" N 且 x∈[ ] a +η,b −η 时, + ∈ n x 1 [a +α,b −α], 于是 Sn (x) − S'(x) = S'(ξ) − S'(x) 0, ∃δ > 0 , 当 x ∈[ ] 1−δ ,1 时, x S(x) N 时, 对一切 x ∈[0,1−δ ] 成立 M x n ε < . 第 2 节 1．（1）非一致收敛. （2）一致收敛. （3）一致收敛. 1

（4）（i）非一致收敛.(i）一致收敛（5）一致收敛（6）一致收敛（7）一致收敛（8）一致收敛（9）①）非一致收敛.(i)一致收敛（10）一致收敛（11）非一致收敛一致收敛(12)ocosnx与-nsinx在(0,2元)上内闭一致收敛2.提示：证明又n=0n2+1n=0 n?+1提示：证明≥ne-x与(-1))≥nle-"(k=1,2,)在(0,+)上内闭一致收敛.3.n=ln=l提示：证明之n-与(-1)*2n1n*n(k=1,2）在(1,+o)上内闭一致收敛；4.n=1n=1Z(-1)"n-×与(-1)*≥(-1)"n-In*n (k=1,2,)在(0,+o)上内闭一致收敛二三-215．提示：证明之兴x-arctan-在(-00,+）上一致收敛n=idxn?n=1n2n36.．提示：:(1）利用Abel 判别法证明≥"在[0,3)上一致收敛.n=Int(2)利用 Abel 判别法证明Za,x"在[0,]上一致收敛.n=7.提示：先利用Dini定理证明之,(x)在(a,b)内闭一致收敛，再利用Cauchyn=l收敛原理证明u,(x)在(a,b)内闭一致收敛n=lm8．提示：不等式Zux(b)对一切xe[a,b]成立，然Eu (a)Zur(x)≤maxk=n+1k=n+1k=n+1后利用Cauchy收敛原理9.提示：反证法，设u(x)在(a,a+8)上一致收敛，则V>0,3N，对一切n=2

（4）(i) 非一致收敛. (ii) 一致收敛. （5）一致收敛. （6）一致收敛. （7）一致收敛. （8）一致收敛. （9）(i) 非一致收敛.(ii) 一致收敛. （10）一致收敛. （11）非一致收敛. （12）一致收敛. 2. 提示: 证明 ∑ ∞ =0 +2 1 cos n n nx 与 ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx 在(0,2π )上内闭一致收敛. 3. 提示: 证明 ∑ 与 在 ∞ = − n 1 nx ne ( 1) ( 1,2, ) 1 − ∑ 1 = " ∞ = + − n e k n k k nx (0,+∞)上内闭一致收敛. 4. 提示: 证明 ∑ 与 在 ∞ = − n 1 x n ( 1) ln ( 1,2, ) 1 − ∑ = " ∞ = − n n k n k x k (1,+∞) 上内闭一致收敛; ∑ ∞ = − − 1 ( 1) n n x n 与( 1) ( 1) ln ( 1,2, )在 1 − ∑ − = " ∞ = − n n k n k n x k (0,+∞)上内闭一致收敛. 5. 提示: 证明 ∑ ∞ = = 1 2 arctan n n x dx d ∑ ∞ = + 1 2 2 2 1 n n x n 在(−∞,+∞) 上一致收敛. 6. 提示: (1) 利用 Abel 判别法证明 ∑ ∞ n=1 x n n a 在[0,δ )上一致收敛. (2) 利用 Abel 判别法证明 ∑ 在 ∞ n=1 n n a x [0,1]上一致收敛. 7． 提示: 先利用 Dini 定理证明 在 内闭一致收敛, 再利用 Cauchy 收敛原理证明 在 内闭一致收敛. ∑ ∞ =1 ( ) n n v x (a,b) ∑ ∞ =1 ( ) n n u x (a,b) 8. 提示: 不等式 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑ ≤ ∑ ∑ = + = + = + m k n k m k n k m k n k u x u a u b 1 1 1 ( ) max ( ), ( ) 对一切 成立, 然 后利用 Cauchy 收敛原理. x ∈[a,b] 9. 提示: 反证法. 设 ∑ 在 ∞ =1 ( ) n n u x (a, a + δ ) 上一致收敛, 则 ∀ε > 0, ∃N, 对一切 2

Cm>n>N与一切xe(a,a+)，成立，再令x→a+，得到Zus(x)22k=n+1Zu(a)s8<6，这说明u,(x)在x=a收敛2n+1一a10.提示：nlnln’nnlnn)J2(x)dx =Ing.21Bgtand提示：[2r(x)dx=11. (2)2n26166元cOsS3.2n+10sinxx7再利用IIcos2"元n=xn=1cOs21+l1n元元Dsin这是一个Leibniz级数，它的前两项为12.(2）提示：(2)2=inn3+nV2123/30213.提示：(1)f(x）-f(x2）1=04"=02"+x"“02"+X2r4. dx=limXIn|1+(2) lim Jβ f(x)dx= lim 2n+x2n4→+004→+00第3节111. (1) R=→、 D=[-3)(2) R=1, D=(0,2)(3) R= V2, D=[V2,V2]. (4) R=1, D=(-2,0].(5) R= +00, D=(-80,+0)。(6) R=1, D=[-1,)]（7）R=e，D=(-ee)：提示：应用Stirling公式（8）R=4，D=(-4,4).提示：应用Stirling公式（9）R=1，D=[-1,1).提示：当x=1时应用Raabe判别法3

m > n > N 与一切 x ∈ (a, a + δ ) , 成 立 2 ( ) 1 ε ∑ < = + m k n k u x , 再 令 x → a + , 得 到 ε ε ∑ ≤ < = + 2 ( ) 1 m k n k u a , 这说明∑ 在 ∞ =1 ( ) n n u x x = a 收敛. 10. 提示: n n a n n x 2 2 ln ln ln 1 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + . 11．(2) ∫ 2 = 6 2 3 ( ) ln π π f x dx . 提示：∫ ∑ ∫ ∞ = 2 = 6 1 2 6 2 tan 2 1 ( ) π π π π n n n dx x f x dx 1 1 1 2 cos 3 2 cos ln + ∞ + = ⋅ = ∑ n n n π π ，再利用 ∏ ∞ = = 1 sin 2 cos n n x x x . 12. (2) 提示: ∑ ∞ = + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 3 2 sin 1 2 n n n n n F π π , 这是一个 Leibniz 级数, 它的前两项为 3 30 1 2 2 − . 13. 提示: (1) f (x1 ) − f (x2 ) = ∑ ∑ ∞ = ∞ = + − 0 0 + 1 2 2 1 2 1 n n n n x x ∑ ∞ = ≤ − ⋅ 0 1 2 4 1 n n x x . (2) ∫ = →+∞ A A f x dx 0 lim ( ) ∑∫ ∞ = →+∞ 0 + 0 2 lim n A n A x dx ⎟ = +∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ + ∞ = →+∞ 0 2 lim ln 1 n n A A . 第 3 节 1．（1） 3 1 R = , ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ = − 3 1 , 3 1 D . （2） R = 1, D = (0,2). （3） R = 2 , D = [− 2, 2].（4） R = 1, D = (− 2,0]. （5） R = +∞ , D = (− ∞,+∞). （6） R = 1, D = [−1,1]. （7） R = e , D = (− e,e). 提示: 应用 Stirling 公式. （8） R = 4 , D = (− 4,4). 提示: 应用 Stirling 公式. （9） R = 1, D = [−1,1). 提示：当 x = 1 时应用 Raabe 判别法. 3

. (2) D=(-a,a). (3) D=(1) D:2.aaVaa3.(1)R=R.(2)R≥min(R,R).(3)R≥RR2x4. (1) S(x)=D=(-1,1)(1- x)2)1i,1+x(2) S(x)=D=(-11)In2"1-x(3) S(x) = (I- α)D =(-1,1)(1+ x)3(4) S(x) =1-(1--) In(1- x), D =[-1,1].x2x(5) S(x) =D =(-1,1).(1- x)3,1(6) S(x)=-(e+e-*), D=(00,+o0)2(7) S(x)=(1+ x)e*-1, D =(-00,+)5.提示：当xe[0,r),[,(x)d=x1。令x→r-，由anl收敛，n=on+1n=on+1Sanr可知~"|在[0,月]连续，于是(x)dx=n=on+1n=0n+1221dxdx =dx =J.ZJ0Ennnx二Xn=112；提示：2(-1"m"-1(1)取x7.29'(1+x)2=l1121（2）In2；提示：=x"=In取x=21-xn=inx2(3-x)11Zm(n+2) =-2.取x(3）提示：福27S(1- x)3n=l1+x12(n+1) x" =（4）12；提示：，取x=(1-x)3,2n=04

2. （1） ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ = − a a D 1 , 1 .（2） D = (−a, a) .（3） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − a a D 1 , 1 . 3. （1） .（2） .（3） . R = R1 ( 1 2 R ≥ min R ,R ) R ≥ R1R2 4. （1） 2 (1 ) ( ) x x S x − = , D = (−1,1). （2） x x S x − + = 1 1 ln 2 1 ( ) , D = (−1,1). （3） 3 (1 ) (1 ) ( ) x x x S x + − = , D = (−1,1). （4） )ln(1 ) 1 ( ) 1 (1 x x S x = − − − , D = [−1,1]. （5） 3 (1 ) 2 ( ) x x S x − = , D = (−1,1). （6） ( ) 2 1 ( ) x x S x e e− = + , D = (−∞,+∞) . （7） ( ) = (1+ ) −1, x S x x e D = (−∞,+∞) . 5. 提示: 当 x ∈[0,r), ∫ ∑ ∞ = + + = x n n n x n a f x dx 0 0 1 1 ( ) . 令 x → r − , 由 1 0 1 + ∞ = ∑ + n n n r n a 收敛, 可知 1 0 1 + ∞ = ∑ + n n n x n a 在[0,r]连续, 于是∫ ∑ ∞ = + + = r n n n r n a f x dx 0 0 1 1 ( ) . ∫ ⋅ = − 1 0 1 1 ln x dx x ∫ ∑ = ∞ = − 1 0 1 1 n n dx n x ∑∫ ∑ ∞ = ∞ = − = 1 1 0 1 2 1 1 n n n n dx n x . 7. （1） 9 2 ; 提示: ∑ ∞ = + − = 1 2 (1 ) 1 ( 1) n n n x nx , 取 2 1 x = . （2）ln 2 ; 提示: ∑ ∞ = − = 1 1 1 ln 1 n n x x n , 取 2 1 x = . （3） 27 11 ; 提示: 3 2 1 1 (1 ) (3 ) ( 2) x x x n n x n n − − ∑ + = ∞ = + , 取 4 1 x = . （4）12 ; 提示: ∑ ∞ = − + + = 0 3 2 (1 ) 1 ( 1) n n x x n x , 取 2 1 x = . 4

V3"(-1)"1arctanx2n提示：(5)取x：元n=02n+1V36x3 (-1)"132-提示：(6)。取x=) In(1 + x)-In-xx+722284-1x4n=2n22+1提示：(7)取x=2xeXn!=+（8）2e-1；提示：-n!n=in!n=on!8.提示：设≥a,x"的收敛半径为 R，≥4,x"的收敛半径为R.由0≤a,≤An,n=1n=lAn_= limAn+I -an+l =1,由≥a,发散,可知R≤1;又由lim可知R≥R；An+1->00 An+1n->00n=l可知R,=1、结合上述关系，得到R,=1In(1 t)单调增加，于是有9.(2)不存在；提示：令t=2x，当te(0,1)，1f(x)-f(-2In(1-u)1_ In(I -u) du1limlim11uu1→-1x-2?In(1-u)2ln(1-t)1= limdu> lim-J111-→1-1-u第4节1. (1) 5+11(x-1)+12(x-1)2 +5(x-1)3, D=(-00,+0)(2)Z(n +1)(x+ 1)", D =(-2,0).n=0(-1)*+112(3)D = (-1,1)1 +2"3 n=0[SN1(-1)"x2ny2n+1, D=(-0,+00)(4)2 0 (2n)!2n=0(2n+1)！5

（5） π 6 3 ; 提示: ∑ ∞ = = + − 0 2 arctan 2 1 ( 1) n n n x x x n , 取 3 1 x = . （6） 2 3 ln 4 3 8 3 − ; 提示: ∑ ∞ = = − + − + − − 2 2 2 1 4 1 )ln(1 ) 1 ( 2 1 1 ( 1) n n n x x x x x n , 取 2 1 x = （7） 2 2 e ; 提示: ∑ ∞ = + − = − 0 1 ! ( 1) n n x n x xe n , 取 x = 2 . （8）2e −1; 提示: ∑ ∞ = = + 1 ! 1 n n n ∑ ∞ = + 0 ! 1 n n ∑ ∞ =1 ! 1 n n . 8. 提示: 设 的收敛半径为 , 的收敛半径为 . 由 可知 ; 由 发散,可知 n n n ∑a x ∞ =1 R1 n n n ∑ A x ∞ =1 R2 0 , ≤ an ≤ An R1 ≥ R2 ∑ ∞ n=1 an 1 R1 ≤ ; 又由 lim lim 1 1 1 1 1 = − = + + + →∞ + →∞ n n n n n n n A A a A A , 可知 R2 = 1. 结合上述关系, 得到 1 R1 = . 9. (2) 不存在; 提示: 令t = 2x , 当t ∈ (0,1), t ln(1− t) − 单调增加, 于是有 2 1 ) 2 1 ( ) ( lim 2 1 − − → − x f x f x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = ∫ ∫ → − t t du u u du u u t 0 1 0 1 ln(1 ) ln(1 ) 1 2 lim = +∞ − > − − − − = ∫ → − → − 1 1 1 2ln(1 ) lim ln(1 ) 1 2 lim t t t t t du u u t . 第 4 节 1．（1） , 2 3 5 +11(x −1) +12(x −1) + 5(x −1) D = (−∞,+∞) . （2） ∑ , ∞ = + + 0 ( 1)( 1) n n n x D = (−2,0). （3） n n n n ∑ x ∞ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + 0 1 2 ( 1) 1 3 1 , D = (−1,1). （4） + − ∑ ∞ = n n n x n 2 0 (2 )! ( 1) 2 1 2 1 0 (2 1)! ( 1) 2 3 + ∞ = ∑ + − n n n x n , D = (−∞,+∞) . 5

(-1) +/(5)In2+(x-2)",D=(0,4)n=ln.2n(6) 342-12n13D =[-2,2]22h=0(r)3(-1)"-1(7)-(x-1)", D=(-1,3)Z2nn=lD[-1.1(8)n=2(n-)nsW1.2n+1(9)D = (-1,1),n=02n+111(-1)"(10)D =(-1,1)1+23!4!Vn!7122.(1)1136061(2)1+x+Yi28711t4(3)2122401132S(4) 1+x+-X+---128x"e*-134.提示：逐项求导后，以x=1代入n=0(n+1)!x2(x2 +4) m 2(x + 4) -1, D =(-0,0)@(-1)"2+x5. (1)2-(x + 2)2(x-2)=in(n+1)-x2+x=(1+)In(1+t)-1, 以t=提示：代入h=in(n+1)-1(2)M11+D =(-1,I)+.2nn=17+*"(Zx"提示：1+21由！12元得6.提示：设a,=c+(n-1)d，n=1,2,...=ib"n=2 b"(b-1)2b-16

（5） n n n n x n ( 2) 2 ( 1) ln 2 1 1 − ⋅ − + ∑ ∞ = + , D = (0,4]. （6） n n n n x n 2 0 2 3 3 1 2 ( 1) 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = , D = [−2,2]. （7） n n n n (x 1) 2 ( 1) 1 1 − − ∑ ∞ = − , D = (−1,3) . （8） n n x n n x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − − 2 1 1 1 , D = [−1,1) （9） 2 1 0 2 1 1 + ∞ = ∑ + n n x n , D = (−1,1). （10） n n n x n ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + − + 2 ! ( 1) 4! 1 3! 1 2! 1 1 " , D = (−1,1). 2. (1) + 2 + 4 +" 360 7 6 1 1 x x . (2) + + 2 − 4 +" 8 1 2 1 1 x x x . (3) − 2 − 4 − 6 −" 240 7 12 1 2 1 x x x . (4) + + 2 + 3 + 4 +" 8 3 2 1 2 1 1 x x x x . 4. 提示: = − x ex 1 ∑ ∞ n=0 ( +1)! n n x , 逐项求导后, 以 x = 1代入. 5. (1) 1 ( 2) 2( 4) ln ( 2) 2( 4) 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 2 2 1 1 − − + + + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − ∑ ∞ = − x x x x x x n n n n n , D = (− ∞,0]. 提示: )ln(1 ) 1 1 (1 ( 1) ( 1) 1 1 ⋅ = + + − + − ∑ ∞ = − t t t n n n n n , 以 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = x x t 代入. (2) ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = n n x 1 n 1 2 1 1 " − x 1− x 1 ln 1 1 , D = (−1,1). 提示: ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = n n x 1 n 1 2 1 1 " ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=1 n n x . 6. 提示: 设a c n d , n = + ( −1) n = 1,2,". 由 1 1 1 1 − ∑ = ∞ n= b b n 与 2 2 ( 1) 1 1 − = − ∑ ∞ = b b n n n , 得 6

到2%=c2A+d2"-l-bo-ctd(b-1)2n=2 bnn=ibn=b1Jolnx d = 2fx" In xdx =-27.提示：Jo1- x2n=0(2n+1)2n=0第5节4.提示：利用定理10.5.15.提示：先应用数学归纳法证明P,(x)≤μ，再证明Pn+1(x)≥Pn(x)，于是得到函数序列(P,(x))在[-1,]上收敛；求出极限函数为|x，由Dini定理可知(P,(α))在[-1,]上是一致收敛于叫的7

到 ∑ = ∞ n=1 n n b a ∑ + ∞ =1 1 n n b c 2 2 ( 1) 1 − − + = − ∑ ∞ = b bc c d b n d n n . 7. 提示: ∫ ∑∫ ∞ = = − 0 1 0 1 2 0 2 ln 1 ln n n dx x xdx x x ∑ ∞ = + = − 0 2 (2 1) 1 n n . 第 5 节 4. 提示: 利用定理 10.5.1. 5. 提示: 先应用数学归纳法证明 P x x n ( ) ≤ , 再证明 , 于是得到函 数序列{ }在 ( ) ( ) 1 P x P x n+ ≥ n P (x) n [−1,1]上收敛; 求出极限函数为 x , 由 Dini 定理可知{ }在 上是一致收敛于 P (x) n [−1,1] x 的. 7