复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题十四（题目）

习 题14.11．求下列第一类曲线积分：(1）[(x+y)ds，其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形(2）【ly|ds，其中L为单位圆周x2+y2=1;(3）【1x/3ds，其中L为星形线x2/3+y2/3=α2/3；(4)[1x|ds，其中L为双纽线(x+)=x2-;(5)[(x?+y+2)ds，L为螺旋线x=acost,y=asint,z=bt,0≤t≤2元;-的一段：2V2131?上相应于t从0变到1的(6）「xyzds。其中L为曲线x=t,32段弧：(7）[(xy+yz+zx)ds，其中L为球面x?+y+=α和平面+y+z=0的交线。2.求椭圆周x=acost,y=bsint,00)内的部分：(2)锥面x2+y22被平面x+y+z=2a（a>0)所截的部分：3(3）球面×2+2+2=α包含在锥面≥=x2+内的部分：(4）圆柱面x2+y2=a被两平面x+z=0,x-z=0(x>0,y>0)所截部分(5）抛物面x2+=2az包含在柱面（x2+y2）=2αxy（a>0)内的那部分：[x=(b+acos)cosp,(6)环面=(b+acos)sin,0≤2元,0≤2元，其中0a<b。z=asing,4.求下列第一类曲面积分：((x+y+z)dS，其中是左半球面x2+y+=a，y≤0；(2)[[(x +)dS，其中是区域((x,,z)/ x2 +≤z≤的边界;(3）[[(xy+yz+zx)dS，是锥面z=x2+y被柱面x2+=2ax所截部分：1(4)[++d，其中是圆柱面×+=α"介于平面==0与==H之间的部分：1

习 题 14.1 1. 求下列第一类曲线积分： (1) ∫ + ，其中L 是以 L (x y)ds O(0,0), A(1 0, ), B(0 1, ) 为顶点的三角形； (2) ∫ ，其中L 为单位圆周 ； L | y | ds 1 2 2 x + y = (3) ∫ ，其中L 为星形线 ； L x ds 1/ 3 | | 2 / 3 2 / 3 2 / 3 x + y = a (4) ∫ ，其中L 为双纽线 ； L | x | ds 2 2 2 2 2 (x + y ) = x − y (5) ∫ + + ， 为螺旋线 L (x y z )ds 2 2 2 L x a = cost, y = a sin t, z = ≤ bt, 0 t ≤ 2π ； 的一段： (6) ∫ 。其中 为曲线 L xyzds L 2 3 2 1 , 3 2 2 , z t t x = t y = = 上相应于 从 0 变到 1 的 一段弧； t (7) ∫ + + ，其中 为球面 和平面 L (xy yz zx)ds L x y z a 2 2 2 + + = 2 x + +y z = 0 的 交线。 2. 求椭圆周 x a = = cost, y b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π 的质量，已知曲线在点 M( , x y) 处的 线密度是 ρ( , x y) =| y|。 3. 求下列曲面的面积： (1) z a = xy 包含在圆柱面 x y a 内的部分； 2 2 2 + = (a > 0) (2) 锥面 x y z 2 2 1 3 + = 2 被平面 x + y z + = 2a (a > 0) 所截的部分； (3) 球面 包含在锥面 2 2 2 2 x + y + z = a 2 2 z = x + y 内的部分； (4) 圆柱面 x y a 被两平面 2 2 + = 2 x + z = 0 0 , ( x − z = x > 0, y > 0) z 2 2 2 2 + = 2 ) 所截部分； (5) 抛物面 x y a 包含在柱面 内的那部分； 2 2 + = 2 ( ) x y a xy (a > 0 (6) 环面 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = + sin , ( cos )sin , ( cos ) cos , φ φ ϕ φ ϕ z a y b a x b a 0 2 ≤ φ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ，其中0 < a < b 。 4. 求下列第一类曲面积分： (1) ∫∫ ，其中∑是左半球面 ， ； Σ (x + y + z)dS x y z a 2 2 2 + + = 2 y ≤ 0 (2) ∫∫ ，其中∑是区域 Σ (x + y )dS 2 2 {(x y, ,z)| x y z } 2 2 + ≤ ≤ 1 的边界； (3) ∫∫ ，∑是锥面 Σ (xy + yz + zx)dS z x = + y 2 2 被柱面 x 所截部 分； x y a 2 2 + = 2 (4) ∫∫ Σ + + dS x y z 2 2 2 1 ，其中∑是圆柱面 x y a 介于平面 与 2 2 + = 2 z = 0 z = H 之间的部分； 1

ds，其中是球面x2+y?+z?=α；2314[[(x+y?+2)dS，其中是抛物面2z=x2+介于平面z=0与z=8之6)间的部分；(7)「[zds，其中是螺旋面x=ucos,y=usinv,z=v,o≤u≤a，S0≤V≤2元的一部分。5.设球面Z的半径为R，球心在球面x2+y?+2?=α?上。问当R何值时，Z在球面x?+y+2?=α2内部的面积最大？并求该最大面积。6 求密度为P(,)==的抛物面壳(+),0≤:31的质量与重心。7.求均匀球面（半径是α，密度是1）对不在该球面上的质点（质量为1）的引力。8.设u(x,y,=)为连续函数，它在M(xo,yo,z）处有连续的二阶导数。记为以M点为中心，半径为R的球面，以及T(R) =[u(x, y,z)dS 。4元R2JS（1）证明：limT(R)=u(xo,yo,=);Ruuu（2）若（+0，求当R→0时无穷小量ax2022ay2(xo.Jo=0)T(R)-u(xo,Jo,=o)的主要部分。兰+2=1（≥≥0），元为在点P(x,2)处的切平面，9.设为上半椭球面2+2ZP(x,y,z)为原点O(0,0,0)到平面元的距离，求[ds . p(x,y,=)10.设是单位球面x2+y2+22=1。证明[",f(ula?+b? +c)du,[[ f(ax + by + cz)dS = 2元其中a,b,c为不全为零的常数，f(u)是|u下a2+b2+c2上的一元连续函数。11.设有一高度为h(t）（t为时间）的雪堆在溶化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为cm，时间单位为h）≥= h0)- 2(r +y)h(t)已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数0.9）。问高度为130cm的雪堆全部融化需多少时间？习题14.21.求下列第二类曲线积分：[(x2 + y2)dx +(x - y)dy,其中 L 是以 A(1,0), B(2,0), C(2,1), D(1,1)(1)为顶点的正方形，方向为逆时针方向；2

(5) ∫∫ Σ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dS x y z 2 3 4 2 2 2 ，其中∑是球面 ； 2 2 2 2 x + y + z = a (6) ，其中∑是抛物面 介于平面 与 之 间的部分； ( ∫∫ Σ x + y + z dS 3 2 ) 2 2 2z = x + y z = 0 z = 8 (7) ∫∫ ，其中∑ 是螺旋面 Σ zdS x u = cosv, y = u sin v, z = ≤ v, 0 u ≤ a ， 0 ≤ v ≤ 2π 的一部分。 5．设球面Σ 的半径为 R ，球心在球面 上。问当 2 2 2 2 x + y + z = a R 何值时，Σ 在球面 内部的面积最大？并求该最大面积。 2 2 2 y 2 x + + z = a 6. 求密度为 ρ( , x y) = z 的抛物面壳 z x = + y ≤ z ≤ 1 2 0 2 2 ( ), 1的质量与重心。 7． 求均匀球面（半径是a ，密度是 1）对不在该球面上的质点（质量为 1）的引力。 8．设u( , x y z, ) 为连续函数，它在 M x( , 0 0 y ,z0 ) 处有连续的二阶导数。记∑为以 M 点 为中心，半径为 R 的球面，以及 ∫∫ Σ π = u x y z dS R T R ( , , ) 4 1 ( ) 2 。 （1）证明：lim ( ) ( , , ) ； R T R u x y z → = 0 0 0 0 （2）若( ) 0 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 + + ≠ x y z z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ，求当 R → 0时无穷小量 T R( ) − u(x , y ,z ) 0 0 0 的主要部分。 9. 设Σ 为上半椭球面 1 2 2 2 2 2 + + z = x y （ z ≥ 0 ），π 为Σ 在点 P(x, y,z) 处的切平面， ρ(x, y,z) 为原点O(0,0,0) 到平面π 的距离，求 ∫∫ Σ dS x y z z ρ( , , ) 。 10. 设Σ 是单位球面 1。证明 2 2 2 x + y + z = ∫∫ ∫ − Σ + + = + + 1 1 2 2 2 f (ax by cz)dS 2π f (u a b c )du ， 其中 a,b, c 为不全为零的常数， f (u) 是 2 2 2 | u |≤ a + b + c 上的一元连续函数。 11．设有一高度为 （t 为时间）的雪堆在溶化过程中，其侧面满足方程（设长度单 位为 cm，时间单位为 h） h(t) ( ) 2( ) ( ) 2 2 h t x y z h t + = − 。 已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数 0.9）。问高度为 130cm 的雪堆全部 融化需多少时间？ 习 题 14.2 1. 求下列第二类曲线积分： （1） ∫ + + − ，其中 是以 L (x y )dx (x y )dy 2 2 2 2 L A(1 0, ), B(2,0), C(2,1), D(1,1) 为顶点的正方形，方向为逆时针方向； 2

[(x2-2xy)dx+(y?-2xy)dy，其中L是抛物线的一段：(2)y=x2,-1≤x≤1，方向由(-1,1)到(1,1);{(x+)dx-(x-)dy，其中L是圆周x+=a°，方向为道时针方(3)x? + y2向：(4)[ydx-xdy+(x2+y)dz，其中L是曲线x=e',y=e-,z=a，0≤t≤l，方向由(e,e-",a)到(1,l,l)；【xdx+ydy+(x+y-1)dz，L是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段；(5)I[x2 + y2 +2? = 2az,22(6)[ydx+zdy+xdz，L为曲线若从=轴的正向看[x+z=a (a>0),去，L的方向为逆时针方向；[x? +y?+2? =1,（7）[(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,L为圆周[y=xtanα (0<α<元),1若从x轴的正向看去，这个圆周的方向为是逆时针方向。2.证明不等式[P(x, y)dx + Q(x, y)dy≤ MC,其中C是曲线L的弧长，M=max/p2(x,y)+Q?(x,y)(x,)eL)。记圆周x?+y?=R2为LR，利用以上不等式估计ydx-xdhIR=[x?+xy+y?)并证明lim I,=0。方向依纵轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构成一个力场。求质3.量为m的质点沿抛物线y?=1-x从点(1,0)移到(0,1)时，场力所作的功。计算下列第二类曲面积分：4.(1）[[(x+y)dydz+(y+z)dzdx+(=+x)dxdy，其中Z是中心在原点，边长S为2h的立方体[-h,h]×[-h,h]×[-h,h]的表面，方向取外侧x22?（2）【[yzdzdx，其中Z是椭球面=1的上半部分，方向取上侧；（3)[[zdydz+xdzdx+ydxdy，其中是柱面x?+y?=1被平面z=0和z=4所截部分，方向取外侧：[[zxdydz+3dxdy，其中Z是抛物面z=4-x2-y2在z≥0部分，方向(4)取下侧[[f(x, y,2)+xllydz+[2f(x, y,2)+ yldzdx+[f(x, y,z)+zldxdy, 其(5)3

（2） ，其中 是抛物 线的一 段 ： ，方向由 ∫ − + − L (x 2xy)dx ( y 2xy)dy 2 2 L y x = − ≤ x ≤ 2 , 1 1 (−11, ) 到( , 11) ； （3） ∫ + + − − L 2 2 ( ) ( ) x y x y dx x y dy ，其中 是圆周 ，方向为逆时针方 向； L x y a 2 2 + = 2 （4） ∫ − + + ，其中 L 是曲线 ， L ydx xdy (x y )dz 2 2 t t t x = e y = e z = a − , , 0 ≤ t ≤ 1，方向由( , e e ,a) 到 ； −1 ( , 111, ) （5） ∫ + + + − ， 是从点 到点 的直线段； L xdx ydy (x y 1)dz L (111 , , ) ( , 2 3,4) （6） ， 为曲线 若从 轴的正向看 去， 的方向为逆时针方向； ∫ + + L ydx zdy xdz L ⎩ ⎨ ⎧ + = > + + = ( 0), 2 , 2 2 2 x z a a x y z az z L （7） ∫ − + − + − ，L 为圆周 L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz ⎩ ⎨ ⎧ = < < + + = tan (0 ), 1, 2 2 2 y x α α π x y z 若从 x 轴的正向看去，这个圆周的方向为是逆时针方向。 2. 证明不等式 P x y dx + Q x y dy ≤ MC ∫ L ( , ) ( , ) ， 其中 C 是曲线 L 的弧长， max{ ( , ) ( , ) |( , ) } 2 2 M = P x y + Q x y x y ∈ L 。记圆周 x y R 为 ，利用以上不等式估计 2 2 2 + = LR ( ) ∫ + + − = R R x xy y ydx xdy I L 2 2 2 ， 并证明 lim R R I →+∞ = 0 。 3. 方向依纵轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构成一个力场。求质 量为m 的质点沿抛物线 y x 从点 移到 时，场力所作的功。 2 = −1 ( , 1 0) ( , 0 1) 4. 计算下列第二类曲面积分： （1） ，其中Σ是中心在原点，边长 为2 的立方体[ , ∫∫ Σ (x + y)dydz + ( y + z)dzdx + (z + x)dxdy h −h h] × [−h h, ] × [ , −h h] 的表面，方向取外侧； （2） ∫∫ ，其中Σ是椭球面 Σ yzdzdx x a y b z c 2 2 2 2 2 + + 2 = 1的上半部分，方向取上侧； （3）∫∫ ，其中Σ是柱面 被平面 和 所截部分，方向取外侧； Σ zdydz + xdzdx + ydxdy x y 2 2 + = 1 z = 0 z = 4 （4） ，其中Σ是抛物面 在 部分，方向 取下侧； ∫∫ Σ zxdydz + 3dxdy z x = − 4 −2 2 y z ≥ 0 （5） [ ] [ ] [ ] ∫∫ Σ f (x, y,z) + x dydz + 2 f (x, y,z) + y dzdx + f (x, y,z) + z dxdy ，其 3

中f(x,y,2)为连续函数，是平面x-y+z=1在第四卦限部分，方向取上侧；[[x2dydz+y2dzdx+(=2+5)dxdy，其中是锥面z=/x+y(6)（0≤z≤h），方向取下侧。ev(7)dzdx，其中z是抛物面y=x2+=2与平面y=1，y=2所2+x2围立体的表面，方向取外侧。xj22Jdydz+dzx+dxdy，其中z为椭球面(8)=1，方向c?a?b?2x1Z取外侧；[[xdydz+ydzdx+zdxdy，其中z是球面(x-a)?+(y-b)?+(9)(z-c)2=R2，方向取外侧。习题14.31.利用Green公式计算下列积分：[(x+y)dx-(x2+y2)dy,其中L是以A(1,1),B(3,2),C(2,5)为顶点的(1)三角形的边界，逆时针方向；「xydx-xydy，其中L是圆周x?+y?=α2，逆时针方向；(2)[(rycosx+2xysin x-ye*)dx+(rsinx-2ye)dy，其中L是星形(3)222线x2+y3=α3（a>0)，逆时针方向：[e[(1-cosy)dx-(y-siny)dy]，其中L是曲线y=sinx上从(0,0)到(4)元,0)的一段；[(x2-)dx-(x+sin2y)dy，其中L是圆周x2+y=2x的上半部分，(5)方向从点(0,0)到点(2,0)；[[esin y-b(x+y)]dx+(e*cos y-ax)dy，其中a,b是正常数，L为从(6)点A(2a,0)沿曲线y=/2ax-x2到点O(0,0)的一段；【-，其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周（R>1)，道(7)1 4x2 + y2时针方向；r(x-y)dx+(x+4y)dy，其中L为单位圆周x?+y?=1,逆时针方向：(8)x2 +4y2e"[(xsiny-ycosy)dx+(xcosy-ysiny)dy]其中L是包围原点的(9)x? + y?4

中 f x( , y,z) 为连续函数，Σ是平面 x − y z + = 1在第四卦限部分，方向 取上侧； （6） ∫∫ ，其中 Σ 是锥面 Σ x dydz + y dzdx + (z + 5)dxdy 2 2 2 2 2 z = x + y （0 ≤ z ≤ h ），方向取下侧。 （7） ∫∫ Σ + dzdx z x e y 2 2 ，其中Σ是抛物面 与平面 ， 所 围立体的表面，方向取外侧。 2 2 y = x + z y = 1 y = 2 （8） ∫∫ Σ + + dxdy z dzdx y dydz x 1 1 1 ，其中Σ为椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x ，方向 取外侧； （9） ，其中 Σ 是球面 ，方向取外侧。 ∫∫ Σ x dydz + y dzdx + z dxdy 2 2 2 − + − + 2 2 (x a) ( y b) 2 2 (z − c) = R 习 题 14.3 1． 利用 Green 公式计算下列积分： （1） ∫ + − + ，其中 是以 L (x y) dx (x y )dy 2 2 2 L A(11, ), B(3,2), C(2,5) 为顶点的 三角形的边界，逆时针方向； （2） ∫ − ，其中 是圆周 ，逆时针方向； L xy dx x ydy 2 2 L x y a 2 2 + = 2 （3） ( ) ( ) ∫ + − + − L x y x xy x y e dx x x ye dy x x cos 2 sin sin 2 2 2 2 ，其中 L 是星形 线 ( 0) 3 2 3 2 3 2 x + y = a a > ，逆时针方向； （4） [( ) ( ) ∫ − − − L e y dx y y dy x 1 cos sin ]，其中 L 是曲线 y x = sin 上从 ( , 0 0) 到 ( , π 0)的一段； （5） ( ) ( ) ∫ − − + L x y dx x y dy 2 2 sin ，其中 是圆周 的上半部分， 方向从点 到点 ； L x y 2 2 + = 2x ( , 0 0) (2,0) （6） [ ] ( ) ∫ − + + − L e y b x y dx e y ax dy x x sin ( ) cos ，其中 是正常数，L 为从 点 沿曲线 a,b A(2a,0) 2 y = 2ax − x 到点O(0,0)的一段； （7） ∫ + − L 2 2 4x y xdy ydx ，其中L 是以点(1,0) 为中心，R 为半径的圆周（ R > 1），逆 时针方向； （8） ∫ + − + + L 2 2 4 ( ) ( 4 ) x y x y dx x y dy ，其中L 为单位圆周 1，逆时针方向； 2 2 x + y = （9） [ ] ∫ + − + − L 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) x y e x y y y dx x y y y dy x ，其中L 是包围原点的 4

简单光滑闭曲线，逆时针方向。2．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1）星形线x=acosty=asint：(2）抛物线(x+y)2=ax(a>0)与x轴：[x = a(t-sint),(3)旋轮线的一段：te[0,2元]与x轴。[y= a(1-cost),3.先证明曲线积分与路径无关，再计算积分值：c(1,1)(1)(0.0) (x - y)(dx -dy) ;(1,2)(2)(2.n)g(x)dx+(y)dy，其中p(x),()为连续函数；6.8) xdx + ydy(3)沿不通过原点的路径。1,0) /x2 + y24.证明(2xcosy+ycosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy在整个xy平面上是某个函数的全微分，并找出这样一个原函数。xdx+ydy5.证明在除去y的负半轴及原点的裂缝xy平面上是某个函数的全微分，并找出x +y?这样一个原函数。6.设Q(x,)在xy平面上具有连续偏导数，曲线积分[2xydx+Q(x,y)dy与路径无关，并(2xydx +Q(x, y)dy，求Q(x, y)。且对任意t恒有"2xydx+Q(x,y)dy =7.确定常数，使得右半平面x>0上的向量函数r(x,J)=2xy(x*+y)i-x(x4+y)j为某二元函数ux,y)的梯度，并求u(x,y)。8.设一力场为F=（3xy+8xy-）i+（x+8xy+12ye）j，证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关。9.利用Gauss公式计算下列曲面积分：[[xdydz+ydzdx+zdxdy，z为立方体0≤x,z≤a的表面，方向取外侧；(1）J[(x-y+2)dydz+(y-z+x)dzdx+(z-x+y)dxdy，其中为闭曲面(2)[x-+z|+-z+x|+=-x+=1,方向取外侧；J(xcosα+ycosβ+cos)ds，其中为锥面=x+y"介于平面(3)z=0与≥=h(h>0)之间的部分，方向取下侧；Jxdydz+ydzdx+zdxdy，其中为上半球面z=R?-?-y，方向取上(4)侧；J2(1-x")dydz+8xydzdx-4zxdxdy，其中≥是由xy平面上的曲线(5)Sx=e（0≤y≤a)绕x轴旋转而成的旋转面，曲面的法向量与x轴的正向的夹角为钝角。[[(2x+=)dydz+zdxdy，其中是曲面z=x2+2（0≤z≤1)，曲面的法(6)向量与z轴的正向的夹角为锐角：5

简单光滑闭曲线，逆时针方向。 2． 利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： （1） 星形线 x a = cos t, y = a sin t ； 3 3 （2） 抛物线( ) x y + = ax (a > ) 与 2 0 x 轴； （3） 旋轮线的一段： ⎩ ⎨ ⎧ = − = − (1 cos ), ( sin ), y a t x a t t t ∈[ , 0 2π] 与 x 轴。 3. 先证明曲线积分与路径无关，再计算积分值： （1） ( )( ； ( , ) ( , ) x − y dx − dy ∫ 0 0 1 1 ) （2） ϕ( ) φ( ) ，其中 ( , ) ( , ) x dx + y dy ∫ 2 1 1 2 ϕ( ) x , φ( y) 为连续函数； （3） xdx ydy x y + + ∫ 1 0 2 2 6 8 ( , ) ( , ) ，沿不通过原点的路径。 4．证明( c 2 os cos ) (2 sin sin ) 在整个 2 x y + + y x dx y x − x y dy 2 xy 平面上是某个函数的 全微分，并找出这样一个原函数。 5．证明 xdx ydy x y + +2 2 在除去 y 的负半轴及原点的裂缝 xy 平面上是某个函数的全微分，并找出 这样一个原函数。 6．设Q(x, y) 在 xy 平面上具有连续偏导数，曲线积分 与路径无关，并 且对任意 恒有 ，求 。 ∫ + L 2xydx Q(x, y)dy t ∫ ∫ + = + (1, ) (0, 0) ( ,1) (0, 0) 2 ( , ) 2 ( , ) t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy Q(x, y) 7 ． 确定常 数 λ ，使得右半平 面 上的向 量函数 为某二元函数 的梯度，并求 。 x > 0 r i λ ( , ) 2 ( ) 4 2 x y = xy x + y j λ ( ) 2 4 2 − x x + y u(x, y) u(x, y) 8．设一力场为 ，证明质点在此场内移动时， 场力所作的功与路径无关。 F (3 8 )i ( 8 12 ) j 2 2 3 2 y = x y + xy + x + x y + ye 9．利用 Gauss 公式计算下列曲面积分： （1） ∫∫ x 2 2 dydz + + y dzdx z 2 dxdy ，Σ为立方体 Σ 0 ≤ x, , y z ≤ a 的表面，方向取外侧； （2） ∫∫ ( ) x − + y z dydz + ( ) y − z + x dzdx + (z − x + y)dxdy ，其中 Σ 为闭曲面 Σ | x − y + z |+| y − z + x |+| z − x + y |= 1，方向取外侧； （3） ，其中Σ为锥面 介于平面 与 之间的部分，方向取下侧； ( ) x y z 2 2 2 cosα β + + cos cosγ ∫∫ Σ dS 2 ) z x y 2 2 = + z = 0 z h = (h > 0 （4） ∫∫ xdydz + + ydzdx zdxdy ，其中Σ为上半球面 Σ z R = − x − y 2 2 2 ，方向取上 侧； （5） ∫∫ 2 1( ) −+− x 2 dydz 8xydzdx 4zxdxdy ，其中 Σ 是 由 Σ xy 平 面 上的曲线 x e y a 绕 y = ≤ (0 ≤ ) x 轴旋转而成的旋转面，曲面的法向量与 轴的正向的夹 角为钝角。 x （6） ∫∫ ，其中Σ是曲面 （ Σ (2x + z)dydz + zdxdy 2 2 z = x + y 0 ≤ z ≤ 1），曲面的法 向量与 z 轴的正向的夹角为锐角； 5

[ axdydz + (a + 2] dxdy（>0），其中是下半球面=-2x2，(7)(x2 + y2 +22)/2方向取上侧；[ xdydz + ydzdx + zdxdy(8)其中是(x2 + y2 + 22)3/2i）椭球面x2+2y+3z=1，方向取外侧；i）抛物面1-=(x-2)，(y-1)2（2≥0），方向取上侧。516910.利用Gauss公式证明阿基米德原理：将物体全部浸没在液体中时，物体所受的浮力等于与物体同体积的液体的重量，而方向是垂直向上的。1l.设某种流体的速度场为v=yzi+xzj+xyk，求单位时间内流体（1）流过圆柱：x2+y≤α2，0≤z≤h的侧面（方向取外侧）的流量：（2）流过该圆柱的全表面（方向取外侧）的流量。12.利用Stokes公式计算下列曲线积分：（1）「ydx+zdy+xdz，其中L是球面x2+y+2?=α?与平面x+y+z=0的交线（它是圆周），从x轴的正向看去，此圆周的方向是逆时针方向：（2）3zdx+5xdy-2ydz，其中L是圆柱面x2+y2=1与平面z=y+3的交线（它4是椭圆），从=轴的正向看去，是逆时针方向；f(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz，其中L为圆柱面x2+2=a?和平面(3）Lx, z=1（α>0,h>0)的交线（它是椭圆），从x轴的正向看去，是逆时针方向；ah3(4）[(y2-2)dx+(=2-x)dy+(x-y)dz，其中L是用平面x+y+z=亏截立方体0≤x,y,z≤1的表面所得的截痕，从x轴的正向看去，是逆时针方向；(5）「(x2-yz)dx+(y2-xz)dy+(=2-xy)dz，其中L是沿着螺线4h从点A(a,0,0)至点B(a,0,h)的路径；x=acosp,y=asinp,z:2元(6)[(y2-2)dx+(222-x2)dy+(3x2-y)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y1的交线，从=轴的正向看去，是逆时针方向。13.设f(t)是R上恒为正值的连续函数，L是逆时针方向的圆周(x-α)2+(y-α)2=1。证明[ xf()dy-dx ≥2元 。f(x)114.设D为两条直线y=x，y=4x和两条双曲线xy=1，xy=4所围成的区域，F(u)是具有连续导数的一元函数，记f（u）=F（u)。证明[F(xy)ddy=f(u)duln2aJ其中aD的方向为逆时针方向。15证明：若Z为封闭曲面，1为一固定向量，则6

（7） ∫∫ Σ + + + + 2 2 2 1/ 2 2 ( ) ( ) x y z axdydz a z dxdy（ a > 0 ），其中Σ是下半球面 2 2 2 z = − a − x − y ， 方向取上侧； （8） ∫∫ Σ + + + + 2 2 2 3 / 2 (x y z ) xdydz ydzdx zdxdy ，其中Σ是 i）椭球面 2 3 1，方向取外侧； 2 2 2 x + y + z = ii）抛物面 + − − = 16 ( 2) 5 1 2 z x ( 0) 9 ( 1) 2 ≥ − z y ，方向取上侧。 10． 利用 Gauss 公式证明阿基米德原理：将物体全部浸没在液体中时，物体所受的浮力等 于与物体同体积的液体的重量，而方向是垂直向上的。 11．设某种流体的速度场为v = yzi + xzj + xyk ，求单位时间内流体 （1） 流过圆柱： xya z 的侧面（方向取外侧）的流量； 2 2 2 + ≤ , 0 ≤ ≤ h 2 （2） 流过该圆柱的全表面（方向取外侧）的流量。 12．利用 Stokes 公式计算下列曲线积分： （1） ∫ + + ，其中 是球面 与平面 L ydx zdy xdz L x y z a 2 2 2 + + = x + +y z = 0 的交 线（它是圆周），从 x 轴的正向看去，此圆周的方向是逆时针方向； （2）∫ + − ，其中 是圆柱面 与平面 L 3zdx 5xdy 2ydz L x y 2 2 + = 1 z y = + 3的交线（它 是椭圆），从 z 轴的正向看去，是逆时针方向； （3） ∫ − + − + − L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz ，其中 L 为圆柱面 x y a 和平面 2 2 + = 2 x a z h + = 1 0 ( , a h > > 0) 的交线（它是椭圆），从 x 轴的正向看去，是逆时针方向； （4） ∫ − + − + − ，其中 是用平面 L ( y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 L x y + + z = 3 2 截 立方体0 ≤ x, , y z ≤ 1的表面所得的截痕，从 x 轴的正向看去，是逆时针方向； （5） ∫ − + − + − ，其中 是沿着螺线 L (x yz)dx ( y xz)dy (z xy)dz 2 2 2 L x = a cosϕ ， ϕ π ϕ 2 sin , h y = a z = 从点 A a( ,0 0, ) 至点 B a( ,0,h) 的路径； （6） ，其中 是平面 与 柱面 ∫ − + − + − L ( y z )dx (2z x )dy (3x y )dz 2 2 2 2 2 2 L x + y + z = 2 | x | + | y |= 1的交线，从 z 轴的正向看去，是逆时针方向。 13．设 f (t) 是 R 上恒为正值的连续函数，L 是逆时针方向的圆周 。 证明 ( ) ( ) 1 2 2 x − a + y − a = 2π ( ) ( ) − ≥ ∫ dx f x y xf y dy L 。 14．设D为两条直线 y = x ，y = 4x 和两条双曲线 xy = 1，xy = 4 所围成的区域， 是 具有连续导数的一元函数，记 F(u) f (u) = F′(u) 。证明 ∫ ∫ = ∂ 4 1 ln 2 ( ) ( ) dy f u du y F xy D ， 其中∂D 的方向为逆时针方向。 15．证明：若Σ为封闭曲面， l 为一固定向量，则 6

cos(n,)dS=0其中n为曲面Z的单位外法向量。16.设区域Q由分片光滑封闭曲面Z所围成。证明：Jjdraydti([cos(r,n)ds ,22rQ其中n为曲面的单位外法向量，r=(x,y,2)，r=x2+y2+z2。17.设函数P(x,y,=),Q(x,y,2)和R(x,y,=)在R3上具有连续偏导数。且对于任意光滑曲面，成立[Pdydz +Qdzdx + Rdxdy = 0 。SOPQOR=0证明：在R"上，OxOyaz18.设L是平面xcosα+ycosβ+zcos-p=0上的简单闭曲线，它所包围的区域D的面积为S，其中（cosα,cosβ,cos）是平面取定方向上的单位向量。证明dxdydz1S=[cosαcosβCOSY2xZy其中L的定向与平面的定向符合右手定则。习题14.41.计算下列微分形式的外微分：(1)1-形式の=2xydx+xdy;（2）1-形式の=cosydx-sinxdy；(3）2-形式の=6zdx^dy-xydx^dz。2.设の=a,(x)dx,+a,(x,)dx,+..+a,(x,)dx,是R"上的1-形式，求do。设o=a,(x2,x)dxdx+a(x,x)dx,^dx+a(xx)dx^dx是R上3.的2-形式，求dの。设在R"上在一个开区域Q=(a,b)×(c,d)×(e,f)上定义了具有连续导数的函4.数a()，az(x)，a(y)，试求形如 = b, (y)dx + b,(=)dy + b,(x)dz的1-形式の，使得do=a,(-)dy^dz+a,(x)dz ^dx+a,(y)dx^dy。5.设0=Za,dx,^dx（ag=-aj，i,j=1,2,,n）是R"上的2-形式，证明i.j=lda jkdak(aajdo=!dx,Adx,Adxkax,ax,31.j.k=1(axk7

cos( , ) = 0 ∫∫ Σ n l dS ， 其中n为曲面Σ的单位外法向量。 16．设区域Ω 由分片光滑封闭曲面Σ 所围成。证明： ∫∫∫ ∫∫ Ω Σ = dS r dxdydz cos( , ) 2 1 r n , 其中 n为曲面Σ的单位外法向量, r = (x, y,z) ， 2 2 2 r = x + y + z 。 17．设函数 P(x, y,z), Q(x, y,z) 和 R( , x y z, ) 在 3 R 上具有连续偏导数。且对于任意光滑曲 面Σ ，成立 + + = 0 ∫∫ Σ Pdydz Qdzdx Rdxdy 。 证明：在 3 R 上, ≡ 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z R y Q x P 。 18．设L 是平面 x cosα + y cos β + z cos γ − p = 0 上的简单闭曲线，它所包围的区域 的 面积为 ，其中 D S (cosα, cos β, cosγ ) 是平面取定方向上的单位向量。证明 ∫ = L cos cos cos 2 1 x y z dx dy dz S α β γ ， 其中L 的定向与平面的定向符合右手定则。 习 题 14.4 1. 计算下列微分形式的外微分： （1）1-形式 xydx x dy ； 2 ω = 2 + （2）1-形式ω = cos ydx − sin xdy ； （3）2-形式ω = 6zdx ∧ dy − xydx ∧ dz 。 2. 设ω = + a x dx a x dx + +a x dx 1 1 1 2 2 2 n n n ( ) ( ) " ( ) 是 n R 上的 1-形式，求dω 。 3. 设ω = ∧ a x x dx dx + a x x dx ∧ dx + a x x dx ∧ dx 1 2 3 2 3 2 1 3 3 1 312 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) 是 3 R 上 的 2-形式，求dω 。 4. 设在 3 R 上在一个开区域 Ω = (,) a b × (c,d) × (e, f ) 上定义了具有连续导数的函 数 a1 (z)， a2 (x) ， a3 ( y)，试求形如 b ( y)dx b (z)dy b (x)dz ω = 1 + 2 + 3 的 1-形式ω ，使得 d = a (z)dy ∧ dz + a (x)dz ∧ dx + a ( y)dx ∧ dy ω 1 2 3 。 5．设 ∑ （ = = ∧ n i j ij i j a dx dx , 1 ω aij = −a ji ，i, j = 1,2,", n ）是 n R 上的 2-形式，证明 dω ∑= ∧ ∧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = n i j k i j k j ki i jk k ij dx dx dx x a x a x a 3 , , 1 1 。 7

习题14.51.设a=3i+20j-15k，对下列数量场f(x,y,=)，分别计算gradf和div(fa)：(1) f(x,y,2)=(x2 +y2 +2)*2;(2) f(x,y,z)= x? +y2 +2:(3) f(x,y,z)=ln(x2 +y2 +z)。求向量场a=x2i+yj+zk穿过球面x2+y2+z=1在第一卦限部分的通2.量，其中球面在这一部分的定向为上侧。3.设r=xi+yi+zk，r=rl，求：（1）满足div[f(r)rl=0的函数f(r）：（2）满足div[gradf(r))=0的函数f(r)。4.计算grad)c-r +-ln(c.I12其中c是常矢量，r=xi+yj+zk，且c·r>0。y沿下列定向曲线的环量：5.计算向量场a=gradarctan一x（1）圆周（x-2)2+（y-2)2=1z=0，定向为逆时针方向：（2）圆周x2+y2=4,z=1，定向为顺时针方向。6.计算向量场r=xyz(i+j+k)在点M(1,3,2)处的旋度，以及在这点沿方向n=i+2j+2k的环量面密度。7.设a=ai+a,j+a.k向量场，f(x,y,=)为数量场，证明：（假设函数a,,a,,a和具有必要的连续偏导数）(1) div(rot a)= 0 :(2) rot (grad f)=0;(3) grad(diva)-rot(rot a) = Aa 。q8.位于原点的点电荷9产生的静电场的电场强度为E=(xi+yj+zk)，其4元6.r中r=x2+y?+z?，6.为真空介电常数。求rotE。9.设a为常向量，r=xi+yi+zk，验证：(1) v.(axr)=0;(2) x(axr)=2a;(3) V-((r-r)a)= 2r·a。10.求全微分(x2-2yz)dx+(y2-2xz)dy+(-2-2xy)dz的原函数。x-y,i+-x+y11.证明向量场a=（x>0)是有势场并求势函数。1x?+yx? +y212.证明向量场a=(2x+y+2)yzi+(x+2y+2)zxj+(x+y+2z)xyk是有势场，并求出它的势函数。13.验证：（1）u=y3-3x2为平面R2上的调和函数；(2）u=ln/(x-a)2+(y-b)?为R2/((a,b))上的调和函数：8

习 题 14.5 1. 设a = 3i + 20 j −15k ，对下列数量场 f x( , y,z) ，分别计算grad f 和div( fa) ： （1） f x( , y,z) = + (x y + z ) − 2 2 2 1 2 ； （2） f x( , y,z) = + x y + z ； 2 2 2 （3） f x( , y,z) = + ln(x y + z ) 。 2 2 2 2. 求向量场 穿过球面 在第一卦限部分的通 量，其中球面在这一部分的定向为上侧。 a i j k 2 2 2 = x + y + z x y z 2 2 2 + + = 1 3. 设 r = xi + yj + zk ， r =|r | ，求： （1）满足div[ f (r)r] = 0 的函数 f r( ) ； （2）满足div[grad f (r)] = 0 的函数 f r( ) 。 4. 计算 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ + ln( ⋅ ) 2 1 grad c r c r 其中c 是常矢量， r = xi + yj + zk ，且c ⋅r > 0。 5. 计算向量场 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y a grad arctan 沿下列定向曲线的环量： （1）圆周( ) x y − + 2 2 ( − ) = 1, z = ，定向为逆时针方向； 2 2 0 （2）圆周 x y z 1，定向为顺时针方向。 2 2 + = 4, = 6. 计算向量场 r = xyz(i + j + k) 在点 M( , 1 3,2) 处的旋度，以及在这点沿方向 n = i + 2 j + 2k 的环量面密度。 7. 设a = ax i + ay j + azk 向量场， 为数量场，证明：（假设函数 和 具有必要的连续偏导数） f x( , y,z) a a x y , ,az f （1）div(rot a) = 0 ； （2）rot (grad f ) = 0； （3）grad(diva) − rot(rot a) = ∆a 。 8. 位于原点的点电荷 q 产生的静电场的电场强度为 ( ) 4 3 0 E xi yj zk r q = + + πε ，其 中r x = + y + z 2 2 2 ，ε 0 为真空介电常数。求 rot E 。 9. 设a 为常向量， r = xi + yj + zk ，验证： （1）∇ ⋅(a × r) = 0 ； （2）∇ × (a × r) = 2a ； （3）∇ ⋅((r ⋅r)a) = 2r ⋅ a 。 10. 求全微分( ) x yz dx ( ) y xz dy (z xy 的原函数。 2 2 2 − + 2 2 − + − 2 )dz 11. 证明向量场 ( 0) 2 2 2 2 > + + + + − = x x y x y x y x y a i j 是有势场并求势函数。 12. 证明向量场 a = (2x + y + z) yzi + (x + 2y + z)zxj + (x + y + 2z)xyk 是有势场， 并求出它的势函数。 13. 验证： （1）u y = − x y 为平面 3 2 3 2 R 上的调和函数； （2） 2 2 u = ln (x − a) + ( y − b) 为 \ {( , )}上的调和函数； 2 R a b 8

1为R3\(0,0,0))上的调和函数。(3)ux2 +y? +214.设u(x,y)在R2上具有二阶连续偏导数，证明u是调和函数的充要条件为：对于Ou[ouds=0,R2中任意光滑封闭曲线C，成立为沿C的外法线方向的方向导anLan数。15.设u=u(x,J)与v=v(x,y)都为平面上的调和函数。置F=u2+v。证明当p≥2时，在F+0的点成立A(FP)≥0。16.设B=((x,y,2)|x2+2+21)，F(x,y,z)：R→R为具有连续导数的向量值函数，且满足F=(0,0,0),V.Fl=0 。证明：对于任何R2上具有连续偏导数的函数g(x,y,z)成立JfVg. Fdxdydz = 0 。B17.设D=((xy)eR2x2+y<1)，u(x,y)在D上具有连续二阶偏导数。进一步，设u在D上不恒等于零，但在D的边界aD上恒为零，且在D上成立au=Au（为常数）。ax2ay2证明[lgrad ull dxdy + a[[u dxdy = 0 。DD18.设区域Q由分片光滑封闭曲面所围成，u(x,y,)在Q上具有二阶连续偏导数ouauau且在豆上调和，即满足=0。0x2 +0y2 +0z?（1）证明1%s-0.其中n为Z的单位外法向量：(2）设(xo,y=。）EQ为一定点，证明cos(r,n)1 oudsu(xo,yo,zo) =r24元／ron其中r=(x-xo,y-yo,z-zo)，r=rl9

（3） 2 2 2 1 x y z u + + = 为 \ {(0,0,0)}上的调和函数。 3 R 14. 设 u( , x y) 在 2 R 上具有二阶连续偏导数，证明 u 是调和函数的充要条件为：对于 2 R 中任意光滑封闭曲线C ，成立 = 0 ∂ ∂ ∫ C ds n u ， n u ∂ ∂ 为沿C 的外法线方向的方向导 数。 15. 设 u u = ( , x y) 与 v v = ( , x y) 都为平面上的调和函数。置 2 2 F = u + v 。证明当 p ≥ 2 时，在 F ≠ 0的点成立 ∆( ) F p ≥ 0 。 16. 设 ， ： 为具有连续导数的向 量值函数，且满足 {( , , ) | 1} 2 2 2 B = x y z x + y + z ≤ F(x, y,z) 3 3 R → R ≡ (0,0,0) ∂B F ，∇ ⋅ ≡ 0 B F 。 证明：对于任何 3 R 上具有连续偏导数的函数 g(x, y,z) 成立 ∇ ⋅ = 0 ∫∫∫ g dxdydz B F 。 17. 设 D={( , ) | 1}， 在 2 2 2 x y ∈ R x + y < u(x, y) D上具有连续二阶偏导数。进一步， 设u 在 D上不恒等于零，但在 D的边界∂D上恒为零，且在 D上成立 u y u x u = λ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 （λ 为常数）。 证明 grad 0 2 2 ∫∫ + ∫∫ = D D u dxdy λ u dxdy 。 18. 设区域Ω 由分片光滑封闭曲面Σ 所围成，u(x, y,z) 在Ω 上具有二阶连续偏导数， 且在Ω 上调和，即满足 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u 。 （1）证明 = 0 ∂ ∂ ∫∫ Σ dS n u ， 其中 n为Σ 的单位外法向量； （2）设(x0 , y0 ,z0 ) ∈Ω 为一定点，证明 ∫∫ Σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + dS n u r r u x y z u cos( , ) 1 4 1 ( , , ) 0 0 0 2 r n π ， 其中 ( , , ) 0 0 0 r = x − x y − y z − z ， r =| r |. 9