复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题十三（题目）

习题13.11.设一平面薄板（不计其厚度），它在xy平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区域D。如果该薄板分布有面密度为μ(x,y)的电荷，且μu(x,y)在D上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电荷。2.设函数f(x,y)在矩形D=[0,元|x[0.1]上有界，而且除了曲线段y=sinx,0≤x≤元外，f(x,y)在D上其它点连续。证明f在D上可积。3．按定义计算二重积分[xydxdy，其中D=[0,1]x[0,1]。D（提示：计算时可将D=[0,1]×[0,1]用直线均匀划分。）4.设一元函数f(x)在[a,b]上可积，D=[a,b]x[c,d]。定义二元函数F(x,y)= f(x), (x,y)eD。证明F(x.vV)在D上可积。5.设D是R2上的零边界闭区域，二元函数f(x,y)和g(x,y)在D上可积。证明H(x, y) = max(f(x, y),g(x, y))和h(x,y)=mintf(x,y),g(x,y))也在D上可积。习题13.21.证明重积分的性质8。2.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1）[[(x+y)"dxdy与[[(x+y)dxdy，其中D为x轴，y轴与直线x+y=1所DT围的区域；，[[in(x+y)dxdy与[n(x+)]dxdy，其中D为闭矩形[3,5]×[0,]。(2）DD利用重积分的性质估计下列重积分的值：3.(1）【xy(x+y)dxdy，其中D为闭矩形[0,1]×[0,1]；'Ddxdy(2) ，其中D为区域（(x,y)x≤10)100+cos?x+cosydxdxdz(3)1+++，其中为单位球(x,2)x++2≤1)。O4.计算下列重积分：(JJ(x3+3xy+y)dxdy，其中D为闭矩形[0,1]×[0,1];DJxye++广dxdy，其中D为闭矩形[a,b]×[c,d];(2)ndxdydz1(3) ，其中2为长方体[1,2]×[1,2]×[1,2]。(x+y+2)35．在下列积分中改变累次积分的次序：f(x,y)dy(1) Jdx(a<b) ;1

习 题 13.1 1. 设一平面薄板（不计其厚度），它在 xy 平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区 域 D。如果该薄板分布有面密度为 µ( , x y) 的电荷，且 µ( , x y) 在 D 上连续，试用二重 积分表示该薄板上的全部电荷。 2. 设函数 f x( , y) 在矩形 D = [0,π ]×[0,1]上有界，而且除了曲线段 y x = ≤ sin , 0 x ≤ π 外， f x( , y) 在 D 上其它点连续。证明 f 在 D 上可积。 3. 按定义计算二重积分 xydxdy ，其中 D D ∫∫ = [0,1]×[0,1]。 （提示：计算时可将 D = [0,1]×[0,1] 用直线均匀划分。） 4. 设一元函数 f (x) 在[a,b]上可积， D = [a,b]×[c, d] 。定义二元函数 F(x, y) = f (x)，(x, y) ∈ D 。 证明 F(x, y) 在 D上可积。 5．设D是 2 R 上的零边界闭区域，二元函数 f (x, y) 和 g(x, y) 在D上可积。证明 H (x, y) = max{ f (x, y), g(x, y)} 和 h(x, y) = min{ f (x, y), g(x, y)} 也在D上可积。 习 题 13.2 1. 证明重积分的性质 8。 2. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1) ∫∫ + 与 ，其中 为 D x y dxdy 2 ( ) ∫∫ + D x y dxdy 3 ( ) D x 轴， y 轴与直线 x + y = 1所 围的区域； (2) ∫∫ + 与 D ln(x y)dxdy [ ] ∫∫ + D x y dxdy 2 ln( ) ，其中 D为闭矩形[ , 3 5] ×[0 1, ]。 3. 利用重积分的性质估计下列重积分的值： (1) ，其中 为闭矩形[ , ∫∫ + D xy(x y)dxdy D 0 1] ×[0 1, ]； (2) ∫∫ + + D x y dxdy 2 2 100 cos cos ，其中 D为区域{(x y, )| | x|+| y|≤ 10} ； (3) dxdxdz 1 x y z 2 2 + + + ∫∫∫ Ω 2 ，其中 Ω 为单位球{(x y, ,z)|x y z } 2 2 2 + + ≤ 1 。 4． 计算下列重积分： (1) ，其中 为闭矩形[ , ∫∫ + + D (x 3x y y )dxdy 3 2 3 D 0 1] ×[0 1, ]； (2) ，其中 为闭矩形[,] ∫∫ + D xy dxdy x y 2 2 e D a b × [c,d]； (3) dxdydz ( ) x y + + z ∫∫∫ 3 Ω ，其中 Ω 为长方体[ , 1 2] × [1 2, ] × [ , 1 2]。 5．在下列积分中改变累次积分的次序： (1) dx f x y dy a b ； a b a x ∫ ∫ ( , ) ( < ) 1

2(2) ax - (x, dy(a>0) :(3) ['ax[,(x,y)dy:(4) J'af" f(x,y)dx+Jaf" f(x,y)dx :(5）dx,aJ"f(x,y,z)dz（改成先y方向，再x方向和z方向的次序积分)）；(6) ['d]f(x,y,z)dz（改成先x方向，再y方向和z方向的次序积分)。6．计算下列重积分：P(1）【xydxdy，其中D为抛物线y2=2px和直线x=（p>0)）所围的区域：2Ddxdy(2)「(α>O)，其中D为圆心在(a,a)，半径为a并且和坐标轴相切V2a-x的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域(3)「[eydxdy，其中D为区域((x,)]x+))0)D所围的区域：(5）[[ydxdy，其中D为摆线的一拱x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2元)D与x轴所围的区域；1(+y)dxdy，其中D为直线y=x,y=-1和x=1所围的区域；(6)yl+x(7) Jxydxdy, 其中 D=(x,y)Ix? +y? ≥2x, 0≤x≤1, 0≤y≤x);D[[xy22dxdydz，其中为曲面z=xy，平面=xx=1和z=0所围的(8)"0区域；dxdydz(9) [0(+#+y+)，其中Q为平面x= 0, =0, ==0和x+ +=1所围成的四面体；[zdxdydz,其中α为抛物面z=x?+y?与平面z=h(h>0)所围的区域；(10)0(11)[[dxdydz，其中为球体×2+2+≤R和x++2Rz2(R>O)的公共部分；x222（12）[x2dxdydz，其中为椭球体at+s1.07.设平面薄片所占的区域是由直线x+y=2,y=x和x轴所围成，它的面密度为p(x,y)=x2+y2，求这个薄片的质量。8.求抛物线y2=2px+p2与y2=-2qx+q2（p,q>0)所围图形的面积。2

(2) dx f x y dy a a ax x ax 0 2 2 2 2 0 ∫ ∫ − ( , ) ( > ) ； (3) dx f x y dy ； x 0 2 0 π ∫ ∫ ( , ) sin (4) dy f x y dx dy f x y dx ； y y 0 1 0 2 1 3 0 3 ∫ ∫ + ∫ ∫ − ( , ) ( , ) (5) dx dy f x y z dz （改成先 方向，再 方向和 方向的次序积分）； x x y 0 1 0 1 0 ∫∫∫ − + ( , , ) y x z (6) dx dy f x y z dz x x − − − x y − + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , ) （改成先 方向，再 方向和 方向的次序积 分）。 x y z 6． 计算下列重积分： (1) ∫∫ ，其中 为抛物线 和直线 D xy dxdy 2 D y p 2 = 2 x x p = p > 2 ( 0) 所围的区域； (2) ( 0) 2 > − ∫∫ a a x dxdy D ，其中 为圆心在 ( , ，半径为 并且和坐标轴相切 的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域； D a a) a (3) ，其中 为区域{( ∫∫ + D dxdy x y e D x y, )| | x|+| y|≤ 1}； (4) ∫∫ + ，其中 为直线 D (x y )dxdy 2 2 D y x = , , y x = + a y = a 和 所围的区域； y = 3a (a > 0) (5) ∫∫ ，其中 为摆线的一拱 D ydxdy D x = a(t − sin t),y = a(1− cost) (0 ≤ t ≤ 2π ) 与 x 轴所围的区域； (6) ∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + D y x dxdy ( x y ) 2 1 2 2 1 e ，其中 D为直线 y = x, y = −1和 x = 1所围的区域； (7) ∫∫ ，其中 ； D x ydxdy 2 {( , ) | 2 , 0 1, 0 } 2 2 D = x y x + y ≥ x ≤ x ≤ ≤ y ≤ x (8) xy 2 3 z dxdydz ，其中 Ω 为曲面 Ω ∫∫∫ z = xy ，平面 y = x, 1 x = 和 所围的 区域； z = 0 (9) dxdydz ( ) 1 x y z 3 + + + ∫∫∫ Ω ，其中 Ω 为平面 x = 0 0 , , y = z = 0 2 和 所围 成的四面体； x + y + z = 1 (10) zdxdydz ，其中 Ω 为抛物面 与平面 z h Ω ∫∫∫ z x = + y 2 = (h > 0) 所围的区域； (11) ∫∫∫ ，其中 Ω 为球体 和 Ω z dxdydz 2 2 2 2 2 x + y + z ≤ R x y z 2Rz 2 2 2 + + ≤ (R > 0) 的公共部分； （12） ∫∫∫ ，其中 Ω 为椭球体 Ω x dxdydz 2 1 2 2 2 2 2 2 + + ≤ c z b y a x 。 7． 设平面薄片所占的区域是由直线 x + y = 2,y = x 和 轴所围成，它的面密度为 ，求这个薄片的质量。 x ρ( , x y) = x + y 2 2 8． 求抛物线 y px p 与 0 所围图形的面积。 2 2 = 2 + y qx q p q 2 2 = −2 + ( , > ) 2

9.求四张平面x=0V=0.x=1y=1所围成的柱体被平面z=0和2x+3y+z=6截的的立体的体积。求柱面y?+=2=1与三张平面x=0,y=xz=0所围的在第一卦限的立体的体10.积。11.求旋转抛物面z=x2+y2，三个坐标平面及平面x+y=1所围有界区域的体积。12．设f(x)在R上连续，a,b为常数。证明(1) ['dx['f(y)dy = J'f(v)(b- y)dy:(2) Jdyf,e(a-n) f(x)dx =f(a-x)e(a-") f(x)dx (a>0)。13．设f(x在[0,1]上连续，证明'dyf'e'f(x)dx= J(e' -e")f(x)dx.14.设D=[0,1]×[0,1]，证明1≤ [[sin(x2) + cos(y2)]ldxdy ≤ /2 。D15. D=[01]1[0.1] 利用不等式1-号≤cost≤1（[t元/2）证明249元≤ [[ cos(xy)’dxdy ≤1 。5016.设D是由xy平面上的分段光滑简单闭曲线所围成的区域，D在x轴和y轴上的投影长度分别为l和l，（α,β)是D内任意一点。证明((x-α)(y-β)dxdy≤l1,mD(1)D-112[[(x-α)(y-β)dxdy≤(2)4D17.利用重积分的性质和计算方法证明：设f(x)在[a,b]上连续，则'f(x)dx≤(b-a)'L(x)P dx 。18.设f(x)在[a,b]上连续，证明Jfer(-(0) dxdy≥(b-a)。[a,ba,b]19.设Q=((x,x,.x）0≤x≤1,i=1,2,,n)，计算下列n重积分：(1) (x +x +...+x.)dxdx....dx, :(2) [(x, +x, +..+x,)?dx,dx,..-dx,Q习题13.31：利用极坐标计算下列二重积分：（1）[[e-(+)dxdy，其中D是由圆周x2+y2=R2（R>0)所围区域；D3

9． 求四张平 面 x = 0 0 , , y = x = 1, y = 1 6 所围成 的柱体被 平 面 z = 0 和 2 3 x + y z + = 截的的立体的体积。 10． 求柱面 1与三张平面 2 2 y + z = x = 0, y = x, z = 0 所围的在第一卦限的立体的体 积。 11． 求旋转抛物面 z x = + y ，三个坐标平面及平面 2 2 x + y = 1所围有界区域的体积。 12． 设 f x( ) 在 R 上连续， a,b 为常数。证明 (1) dx f y dy f y b y dy ； a b a x a b ∫ ∫ = − ∫ ( ) ( )( ) (2) dy e f x dx a x e f x dx （ ）。 a a x y a x a 0 0 0 ∫ ∫ ∫ − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a > 0 13．设 f (x) 在[0,1]上连续，证明 ∫ ∫ ∫ = − 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 2 dy e f x dx e e f x dx x x y y y 。 14. 设D = [0,1]×[0,1]，证明 1 [ ] sin( ) cos( ) 2 2 2 ≤ + ≤ ∫∫ D x y dxdy 。 15．设D = [0,1]×[0,1]，利用不等式 cos 1 2 1 2 − ≤ t ≤ t （| t |≤ π / 2 ）证明 cos( ) 1 50 49 2 ≤ ≤ ∫∫ xy dxdy D 。 16．设 D是由 xy 平面上的分段光滑简单闭曲线所围成的区域， 在 轴和 轴上的投 影长度分别为 和 ， D x y lx l y ( , α β) 是 D内任意一点。证明 (1) D D x − y − dxdy ≤ l xl ym ∫∫( α)( β) ； (2) 4 ( )( ) 2 2 x y l l x − y − dxdy ≤ ∫∫ D α β 。 17．利用重积分的性质和计算方法证明：设 f (x) 在[a,b]上连续，则 ∫ ∫ ≤ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ b a b a f x dx b a f x dx 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 。 18．设 f (x) 在[a b, ]上连续，证明 2 [ , ] [ , ] ( ) ( ) e d xd y (b a) a b a b f x f y ≥ − ∫∫ × − 。 19．设 Ω {( , , , ) |0 1, 1,2, , } = x1 x2 " xn ≤ xi ≤ i = " n ，计算下列n 重积分： (1) ∫ ； Ω + + + n dx dx dxn x x " x 1 2 " 2 2 2 2 1 ( ) (2) ∫ 。 Ω + + + n dx dx dxn (x1 x2 " x ) 2 1 2 " 习 题 13.3 1. 利用极坐标计算下列二重积分： （1） ∫∫ ，其中 是由圆周 所围区域； − + D e dxdy ( x y ) 2 2 D x y R R 2 2 2 + = ( > 0) 3

「xdxdy，其中D是由圆周x2+y?=x所围区域；(2)[(x+y)dxdy，其中D是由圆周x2+y?=x+y所围区域；(3)-x2 - y2dxdy，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第4)1+x2+y象限上的区域。2.求下列图形的面积：（1)（ax+by+c)+(ax+b,y+c）=1（8=ab,-ab,±0）所围的区域：(1）由抛物线y?=mx,y2=nx(00)所围的图形；xy2(x.y)4（4）曲线(h,k>0,a,b>O)所围图形在x>0,y>0的部分。(hk)+b2g23.求极限1JJ f(x, )dxdy,lim0-=0元p2x"+y"sp?其中f(x,y)在原点附近连续。4.选取适当的坐标变换计算下列二重积分：[(/x+)dxdy，其中D是由坐标轴及抛物线/x+V=1所围的区域；(1)x2y212dxdy，其中D是由i）椭圆(2）=1所围区域：i）圆a2+62(a?b?x?+y?=R2所围的区域：(3）[ydxdy，其中D是由直线x=-2,=0，=2以及曲线x=-2y-y2所围的区域；x-y[[e*ydxdy，其中D是由直线x+y=2,x=0及y=0所围的区域；(4)D(x+y)?(5)dxdy，其中闭区域D=（xy)/x+y飞1)1+(x-y)2Vx2 + y2dxdy，其中闭区域D是由曲线y=a2-x2-a（a>0）(6)B4a2-x2-y和直线V=-x所围成。5.选取适当的坐标变换计算下列三重积分：(1)[[(x? +y?+2)dxdydz,其中2为球((x,y,=)]x?+y? +2≤1):ox2 y2?(2)dxdydz，其中2为椭球(x,y=)≤1>a-62-?62(3)[=x2+ydxdydz，其中为柱面=/2x-x2及平面z=0,z=aa>0)4

（2） ∫∫ D xdxdy ，其中 D是由圆周 x + y = x 所围区域； 2 2 （3） ∫∫ + ，其中 是由圆周 所围区域； D (x y)dxdy D x y x 2 2 + = + y （4） ∫∫ + + − − D dxdy x y x y 2 2 2 2 1 1 ，其中 D是由圆周 x y 及坐标轴所围成的在第 2 2 + = 1 一象限上的区域。 2. 求下列图形的面积： （1）( ) a x1 1 b y c1 (a x b y c （ 2 2 2 2 2 + + + + + ) = 1 δ = a b1 2 − a2b1 ≠ 0 ）所围的区域； （1） 由抛物线 y mx y nx m n ，直线 2 2 = = , (0 （4）曲线 x h y k x a y b + h k a b ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = + > > 4 2 2 2 2 ( , 0; , 0) 所围图形在 x > 0, y > 0的部分。 3. 求极限 lim ( , ) ρ ρ → π ρ + ≤ ∫∫ 0 2 1 2 2 2 f x y dxdy x y ， 其中 f x( , y) 在原点附近连续。 4. 选取适当的坐标变换计算下列二重积分： （1） ( ) ∫∫ + D x y dxdy ，其中 D是由坐标轴及抛物线 x + y = 1所围的区域； （2） ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 ，其中 D 是由 i）椭圆 x a y b 2 2 2 + 2 = 1 所围区域；ii）圆 所围的区域； 2 2 2 x + y = R （3） ∫∫ ，其中 是由直线 D ydxdy D x = −2, y = 0 ， y = 2 以及曲线 2 x = − 2y − y 所 围的区域； （4） ∫∫ + − D e dxdy x y x y ，其中 D是由直线 x + y = 2 0 , x = 及 y = 0所围的区域； （5） ∫∫ + − + D dxdy x y x y 2 2 1 ( ) ( ) ，其中闭区域 D = {(x, y) | | x | + | y |≤ 1}； （6） ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 ，其中闭区域 D 是由曲线 y = a − x − a 2 2 （ ） 和直线 a > 0 y = −x 所围成。 5. 选取适当的坐标变换计算下列三重积分： （1） ∫∫∫( x 2 2 + + y z 2 )dxdydz ，其中 Ω 为球 ； Ω {(x y, ,z)| x y z } 2 2 2 + + ≤ 1 （2） 1 2 2 2 2 2 ∫∫∫ − − − 2 x a y b z c dxdydz Ω ，其中 Ω 为椭球 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( , , ) + + ≤ 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x x y z ； （3） z x y dxdydz 2 2 ∫∫∫ + Ω ，其中 Ω 为柱面 y x = 2 − x 2 及平面 z z = 0 0 , ( = > a a ) 4

和y=0所围的区域；(4) =n+*+y+2)dxdydz，其中2为半球1+ x? + y? +2?((x,y,2) Ix2 + y2 +=2 ≤1, = ≥0):（5）[(x+y+2)dxdydz，其中2为抛物面x2+2=2az与球面Qx2+y?+22=3a2(a>0)所围的区域。[v2=2z,（6）[(x2+ydxdydz，其中2为平面曲线?绕≥轴旋转一周形成的曲面(x=0Q2与平面≥=8所围的区域；1(7) [[dxdydz，其中闭区域2=((x,y,z)x2+y2+(z-1)2≤1,#x+y+2z≥0, y≥0):[J(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x)dxdydz，其中闭区域 =(x,y,z) |（8）Q00)所围立体的体积。7.求抛物面z=6-x2-y?与锥面z=/x2+y?所围立体的体积。8.求下列曲面所围空间区域的体积：(x2.222)2(1)=ax (a,b,c>0):axy(2)=1(a,b,c>0)与三张平面x=0,y=0,z=0所围的在(ab)(c)第一卦限的立体。9.设一物体在空间的表示为由曲面4z2=25(x2+y2)与平面z=5所围成的一立体。其密度为p(x,J,=)=x2+y2，求此物体的质量。10.在一个形状为旋转抛物面==x2+y2的容器内，已经盛有8元立方厘米的水，现又倒入120元立方厘米的水，问水面比原来升高多少厘米。[x? +y?≤a?11.求质量为M的均匀薄片对z轴上(00,C)(c>0)点处的单位质量的质[==0点的引力。12.已知球体x2+y2+22≤2Rz，在其上任一点的密度在数量上等于该点到原点距离的平方，求球体的质量与重心。13.证明不等式dxdyT2元(/17-4)≤4++/16+sin*x+siny14.设一元函数f(u)在[-1,1]上连续，证明[f(x + y)dxdy =[", f(u)du 。131+131s115.设一元函数f(u)在[-1,1]上连续。证明5

和 y = 0所围的区域； （4） z x ( ) y z x y z dxdydz ln 1 1 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ∫∫∫ Ω ，其中 Ω 为半球 {( , , ) | 1, 0} 2 2 2 x y z x + y + z ≤ z ≥ ； （ 5 ） ，其中 Ω 为 抛 物 面 与 球 面 所围的区域。 ( ) x + + y z dxdydz ∫∫∫ 2 Ω x y a 2 2 + = 2 z x y + + z = 3a (a > 0) 2 2 2 2 （6） ，其中 Ω 为平面曲线 绕 轴旋转一周形成的曲面 与平面 ( ) ∫∫∫ Ω x + y dxdydz 2 2 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 2 , 2 x y z z z = 8 所围的区域； （7）∫∫∫ Ω + + dxdydz x y z 2 2 2 1 ，其中闭区域 Ω= ， ； {(x, y,z) | ( 1) 1 2 2 2 x + y + z − ≤ z ≥ 0, y ≥ 0} （ 8 ） ，其中闭区域 Ω = ∫∫∫ Ω (x + y − z)(x − y + z)(y + z − x)dxdydz {(x, y,z) | 0 ≤ x + y − z ≤ 1, 0 ≤ x − y + z ≤ 1, 0 ≤ y + z − x ≤ 1}。 6．求球面 x y z R 和圆柱面 所围立体的体积。 2 2 2 + + = 2 ) y 2 x y Rx R 2 2 + = ( > 0 7．求抛物面 z x = −6 − 与锥面 2 z x = + y 2 2 所围立体的体积。 8．求下列曲面所围空间区域的体积： （1） x a y b z c ax abc 2 2 2 2 2 2 2 + + 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = > ( , , ) ； （2） 1 ( , , 0) 2 2 ⎟ = > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + a b c c z b y a x 与三张平面 x = 0, y = 0,z = 0 所围的在 第一卦限的立体。 9．设一物体在空间的表示为由曲面 4 25( )与平面 2 2 2 z = x + y z = 5 所围成的一立体。其密 度为 ，求此物体的质量。 2 2 ρ(x, y,z) = x + y 10. 在一个形状为旋转抛物面 z x = + y 的容器内，已经盛有 2 2 8π 立方厘米的水，现又倒入 120π 立方厘米的水，问水面比原来升高多少厘米。 11．求质量为 M 的均匀薄片 对 轴上 点处的单位质量的质 点的引力。 ⎩ ⎨ ⎧ = + ≤ 0 2 2 2 z x y a z ( , 0 0,c c ) ( > 0) 12．已知球体 ，在其上任一点的密度在数量上等于该点到原点距离的平 方，求球体的质量与重心。 x y z R 2 2 2 + + ≤ 2 z 13．证明不等式 16 sin sin 4 2 ( 17 4) 1 2 2 2 2 π π ≤ + + − ≤ ∫∫ x + y ≤ x y dxdy 。 14．设一元函数 f (u) 在[−1,1]上连续，证明 ∫∫ ∫− + ≤ + = 1 1 | | | | 1 f (x y)dxdy f (u)du x y 。 15．设一元函数 f (u) 在[−1,1]上连续。证明 5

[] f(=)dxdydz = f" f(u)(1-u)du ,其中Q为单位球x2+y+≤1。16.计算下列n重积分：(1) x+x+.+x,dxdxdx,O其中Q=((x,x2,..,x)/x +x ++x,≤1, x, ≥0, i=1,2,,n);(2) [(x? +x,*+x,)dx,dx..dx, ,O其中2为n维球体((x，x2,,x)x+x2+.+x≤1)。习题13.41.讨论下列反常积分的敛散性：dxdy(1) ([R2 (1+ / x /P)(1+1 y[)p(x,y)dxdy，D=((x,)10≤y≤1)，而且0q>l;BxPyg(2)dxdy:2/2(x+y*+:)dxdydz 。(3)le-(R3.设D是由第一象限内的抛物线y=x2，圆周x2+y?=1以及x轴所围的平面区域，证明[[_dxdy一收敛。B+y?4．判别反常积分dxdy2 (1+x2)(1+ y2)是否收敛。如果收敛，求其值。6

∫∫∫ ∫− Ω = − 1 1 2 f (z)dxdydz π f (u)(1 u )du ， 其中Ω 为单位球 1。 2 2 2 x + y + z ≤ 16．计算下列n 重积分： （1） x x x dx dx dx ∫ 1 2 + +" " + n n 1 2 Ω ， 其中 Ω {( , , , ) | 1, 0, 1,2, , } = x1 x2 " xn x1 + x2 +"+ xn ≤ xi ≥ i = " n ； （2） ( ) x x 1 xn n dx dx dx ， 2 2 2 2 ∫ + +" " + 1 2 Ω 其中 Ω 为n 维球体{( , , , ) | 1}。 2 2 2 2 x1 x2 " xn x1 + x +"+ xn ≤ 习 题 13.4 1． 讨论下列反常积分的敛散性： （1） ∫∫ 2 (1+ | | )(1+ | | ) R p q x y dxdy ； （2） ( ) ∫∫ D + + dxdy x y x y p 2 2 1 ϕ( , ) ， D = {(x, y) |0 ≤ y ≤ 1}，而且0 q > 1； （2） e dx x a y b x a y b − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ≥ ∫∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 dy ； （3） ∫∫∫ − + + 。 3 2 2 2 ( ) R e dxdydz x y z 3．设D是由第一象限内的抛物线 y = x ，圆周 以及 2 x y 2 2 + = 1 x 轴所围的平面区域，证 明 ∫∫ + D 2 2 x y dxdy 收敛。 4．判别反常积分 ∫∫ + + = 2 (1 )(1 ) 2 2 R x y dxdy I 是否收敛。如果收敛，求其值。 6

[[edxdy，求F'(t)。5.设F(t)=05156.设函数f(x)在[0,a]上连续，证明f(y)x)dxdxdy0sysxsa /(a- x)(x-y)7 计算积分 e+ kdk.dx。R"习题13.51.计算下列外积：(1) (xdx+7zdy)^(ydx-xdy+6dz):(2) (cos ydx + cos xdy) ^(sin ydx - sin xdy):(3)(6dx^dy+27dx^dz)^(dx+dy+dz)。2.设0=ao+adx,+a,dxAdx,+a,dx,^dx,^dxy,=b,dxdx+b,dx,Adx,+bdxdxz^dx,+bdxz^dxgdxy求の+n和の^n。3.求0=x,dx,^dx,+x,dx,^dx,+(1+x)dx^dx,+x,dx,^dx+(x+x2)dx2dx,^dx-xdx^dx2的标准形式。证明外积满足分配律和结合律。M5.写出微分形式dx^dy^dz在下列变换下的表达式（1）柱面坐标变换x=rcoso, y=rsino,z=z;（2）球面坐标变换x=rsingcos,y=rsinpsing,z=rcosp。6.设の，=a,dx，（j=1,2,,n）为R"上的1-形式，证明i=lO,A..A0,=det(adxAdxA...dx,7

5．设 ∫∫ ≤ ≤ ≤ ≤ − = y t x t y tx F t e dxdy 0 0 2 ( ) ，求 F′(t) 。 6．设函数 f (x) 在[0, a]上连续，证明 ∫∫ ∫ = ≤ ≤ ≤ − − a y x a dxdy f x dx a x x y f y 0 0 ( ) ( )( ) ( ) π 。 7．计算积分 ∫ 。 − + + + n n n x x x dx dx dx R ( " ) 1 2 " 2 2 2 2 1 e 习 题 13.5 1. 计算下列外积： （1）( 7 ) ( 6 ) ； 2 xdx + z dy ∧ ydx − xdy + dz （2）(cos ydx + cos xdy) ∧ (sin ydx − sin xdy) ； （3）(6dx ∧ dy + 27dx ∧ dz) ∧ (dx + dy + dz) 。 2. 设 1 1 2 2 1 3 3 1 2 3 4 2 3 4 。 0 1 1 2 1 3 3 2 3 4 d d d d d d d d d d d d d d d d , b x x b x x b x x x b x x x a a x a x x a x x x = ∧ + ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧ = + + ∧ + ∧ ∧ η ω 求ω +η 和ω ∧η 。 3. 求 3 2 2 2 1 3 1 2 2 2 3 3 1 2 1 3 2 2 1 1 2 3 2 3 2 ( )d d d d d d d d d (1 )d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + ∧ ∧ − ∧ ω = ∧ + ∧ + + ∧ + ∧ 的标准形式。 4. 证明外积满足分配律和结合律。 5. 写出微分形式dx ∧ dy ∧ dz 在下列变换下的表达式： （1）柱面坐标变换 x r = cosθ, y r = sinθ, z = z ； （2）球面坐标变换 x r = sinϕ cosθ, y = rsinϕ sinθ, z = r cosϕ 。 6. 设 ∑ （ ）为 = = n i i j j i a x 1 ω d j = 1,2,", n n R 上的 1-形式，证明 n j n i det(a )dx dx dx ω1 ∧ω 2 ∧"∧ω = 1 ∧ 2 ∧"∧ 。 7