复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题十五（题目）

习题15.11.求下列极限：dx(1) lim1+x2+α2α-→0Jodx(2) lim1++1 +2．设f(x,y)当y固定时，关于x在[a,b]上连续，且当y→yo-时，它关于y单调增加地趋于连续函数$(x)，证明lim f"f(x, y)dx = 1'o(x)dx 3．利用交换积分顺序的方法计算下列积分：1)xb -xa-dx1(b>a>0);sinlInx)Inx(2) JeinI+asinx dx(1>a>0):"1-asinxsinx4．求下列函数的导数：(1) I(y)=["e-ydx;y.cosxydx;(2) I(y)=1(3) F(t)=Jdxjmsin(x2+y2-1°)dy。5．设I(y)=[(x+y)f(x)dx，其中f为可微函数，求I"(y)。6.设F(y)=["f(x)ly-x|dx(a1);(2) J'in(1-2αcosx+α)dx (αk1);(3) J1n(a’ sin’x+b° cos x)dx 。9.证明：第二类椭圆积分

习 题 15.1 1． 求下列极限： （1） ∫ + → + + α α α 1 0 2 2 0 1 lim x dx ； （2） ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + →∞ 1 0 1 1 lim n n n x dx 。 2． 设 f (x, y) 当 y 固定时，关于 x在[a,b]上连续，且当 y → y0 − 时，它关于 单 调增加地趋于连续函数 y φ(x) ，证明 ∫ = ∫ → − b a b a y y lim f (x, y)dx (x)dx 0 φ 。 3． 利用交换积分顺序的方法计算下列积分： （1） ( 0) ln 1 sin ln 1 0 > > − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ dx b a x x x x b a ； （2） (1 0) 1 sin sin 1 sin ln 2 0 > > − + ∫ a x dx a x a x π 。 4． 求下列函数的导数： （1） = ∫ − ； 2 2 ( ) y y x y I y e dx （2） ∫ = 2 cos ( ) y y dx x xy I y ； （3） ∫ ∫ 。 + − = + − x t x t t F(t) dx sin(x y t )dy 2 2 2 0 2 5． 设 = ∫ + ，其中 为可微函数，求 y I y x y f x dx 0 ( ) ( ) ( ) f I′′( y)。 6． 设 F( y) f (x) | y x | dx (a b) ，其中 为可微函数，求 。 b a = − ∫ a x dx a π ； （2） ln(1 2 cos ) (| | 1) ； 0 2 − + < ∫ α α α π x dx （3）∫ + 2 0 2 2 2 2 ln( sin cos ) π a x b x dx 。 9．证明：第二类椭圆积分 1

E(k)k'sin"tdt(0 0。研究函数yf(x)-dbI(y)= [Jox?+y2的连续性。习题15.21．证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛：++ sin2xe-adx，0≤αsαo;+ cosxy,dx,y≥a>0;(1)「(2)x?+yx+α(3)(txsinx*cosoxdx，a≤α≤b。2.说明下列含参变量反常积分在指定区间上非一致收敛：xsinox(1) Cdx,00上连续，反常积分[*tf(t)dt当=a与=b时都收敛，证明f"f()dt关于在[a,b]上一致收敛。4.讨论下列含参变量反常积分的一致收敛性：(15 24 在 2 0(2) [e-(-a'dx, 在(I) a0;（II)）p>0;(4)fe- sinxdx，在（I)α≥αo>0;（I)α>0;cosxdx在(0,+o)上连续。5. 证明函数F(α)=[xasinx6. 确定函数 FO)=I (-)d的连续范围。7. 设[t"f(x)dx存在。证明f(x)的 Laplace变换F(s)=[e-f(x)dx在[0,+o0)2

( ) 1 sin (0 1) 2 0 2 2 = − 0。研究函数 ∫ + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x I y 的连续性。 习 题 15.2 1． 证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛： （1）∫ +∞ 0 +2 2 cos dx x y xy ， y ≥ a > 0； （2）∫ +∞ − 0 + sin 2 e dx x x αx α ，0 ≤ α ≤ α 0 ； （3） ∫ ， +∞ 0 4 x sin x cosαxdx a ≤α ≤ b 。 2．说明下列含参变量反常积分在指定区间上非一致收敛： （1）∫ +∞ 0 + 2 (1 ) sin dx x x x α α ，0 0上连续，反常积分∫ 当 +∞ 0 t f (t)dt λ λ = a与λ = b 时都收敛，证明 ∫ +∞ 0 t f (t)dt λ 关于λ 在[a,b]上一致收敛。 4．讨论下列含参变量反常积分的一致收敛性： （1）∫ +∞ 0 cos dx x xy ，在 y ≥ y0 > 0； （2）∫ ，在（I） +∞ −∞ − − e dx x 2 ( α ) a 0 p > 0 （4）∫ ，在（I） +∞ − 0 e sin xdx αx α ≥ α 0 > 0；（II）α > 0； 5．证明函数 ∫ +∞ = 1 cos ( ) dx x x F α α 在(0,+∞)上连续。 6．确定函数 ∫ − − = π 0 π 2 ( ) sin ( ) dx x x x F y y y 的连续范围。 7．设∫ 存在。证明 的 Laplace 变换 在[ +∞ 0 f (x)dx f (x) ∫ +∞ − = 0 F(s) e f (x)dx sx 0, + ∞) 2

上连续。cosx8.证明函数I(t)=[J。 1+(o+)d在(-0,+0)上可微。J'e"dy，计算["e"-e9.利用-"-e-dx(b>a>0)。YX10. 利用sin bx-sin axI'cos rydy，计算Je-m inbx-sinaxd(p>0,xb>a>0)。dxdx元11.利用（n为正整数）。（a>0），计算I，(a + x*)n+)a+x2-2a arctan ox dx .12. 计算g(α)=x?/x2-113.设f(x)在[0,+oo)上连续，且limf(x)=0，证明(t" (ax)-f(bx)dx= f(0)ng(a,b>0)。xae1元V元14.（1）利用e-rdy推出 L(c)= [t"eydy(c>0);22（2）利用积分号下求导的方法引出业-2L，以此推出与（1）同样的结果：dcay2_b并计算dy(a>0,b>0)。ecosBx15.利用e-(a*)dt =计算J-dx（α>0)。α2+x?5α?+x习题15.31．计算下列积分：dx(1) (Vx-xdx:(2)/3-cosxdx(3)(n>0);(4)(n>m>0);-dx1+xn/1-xO sin'xcos? xdx ;(6)dx;(7) J."x"e" dx (m,n>0);(8)('xp-l(1-x")g-l dx(p,q,n>0)。2.证明{*"edx=-1（n为正整数），并推出lime-dx=1。nn3.证明r(s)在s>0上可导，且r(s)=(xe"Inxdx。进一步证明((s)=Jt"x'e*(Inx)"dx (n≥1)。4.证明limI(s)=+00。3

上连续。 8．证明函数 ∫ +∞ + + = 0 2 1 ( ) cos ( ) dx x t x I t 在(−∞,+∞) 上可微。 9．利用 ∫ − − − = − b a xy ax bx e dy x e e ，计算∫ +∞ − − − 0 dx x e e ax bx （b > a > 0）。 10．利用 ∫ = − b a xydy x bx ax cos sin sin ，计算 ∫ +∞ − − 0 sin sin dx x bx ax e px （ ， ）。 p > 0 b > a > 0 11．利用∫ +∞ = 0 + 2 a x 2 a dx π （a > 0 ），计算 ∫ +∞ + + = 0 2 1 ( ) n n a x dx I （n为正整数）。 12．计算 ∫ +∞ − = 1 2 2 1 arctan ( ) dx x x x g α α 。 13．设 f (x) 在[0,+∞)上连续，且 lim ( ) = 0 →+∞ f x x ，证明 a b dx f x f ax f bx (0)ln ( ) ( ) 0 = − ∫ +∞ （a,b > 0 ）。 14．（1）利用 0 2 2 π = ∫ +∞ − e dy y 推出 y c c y L c e dy e 2 0 2 ( ) 2 2 2 − +∞ − − = = ∫ π （c > 0）； （2）利用积分号下求导的方法引出 L dc dL = −2 ，以此推出与（1）同样的结果， 并计算∫ +∞ − − 0 2 2 e dy y b ay （a > 0, b > 0 ）。 15．利用 2 2 0 ( 2 2 ) 1 x e dt t x + = ∫ +∞ − + α α ，计算 ∫ +∞ + = 0 2 2 cos dx x x J α β （α > 0）。 习 题 15.3 1． 计算下列积分： （1） ∫ − 1 0 2 x x dx； （2）∫ − π 0 3 cos x dx ； （3） ∫ − 1 0 1n n x dx （n > 0）； （4） ∫ +∞ − 0 + 1 1 dx x x n m （n > m > 0）； （5） dx x x ∫ +∞ 0 + 2 4 (1 ) ； （6）∫ 2 0 2 1 7 sin cos π x xdx ； （7） ∫ （ ）； （8） （ ）。 +∞ − 0 x e dx n m x m, n > 0 ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x ) dx p n q p, q, n > 0 2． 证明 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Γ ∫ +∞ − n n e dx n x 1 1 0 （n为正整数），并推出lim 1。 0 = ∫ +∞ − →∞ e dx n x n 3． 证 明 在 上可导，且 。进一步证明 （ ）。 Γ(s) s > 0 ∫ +∞ − − Γ′ = 0 1 (s) x e ln xdx s x ( ) ∫ +∞ − − Γ = 0 ( ) 1 (s) x e ln x dx n s x n n ≥ 1 4． 证明 Γ = +∞ →+∞ lim (s) s 。 3

5.计算InF(x)dx 。6.设Q=((x,y,2)|x2+y+21)。确定正数p，使得反常重积分dxdydz-x? -u2-22)p收敛。并在收敛时，计算I的值。7.设Q=(x,y,z)/x≥0,y≥0,z≥0)。确定正数α,β,，使得反常重积分dxdydz[ = J1+xα+yB+z收敛。并在收敛时，计算1的值。8.计算I = [x" y"-(1 -x- y)p- dxdy ,D其中D是由三条直线x=0，y=0及x+y=1所围成的闭区域，mn,p均为大于0的正数。元9.证明[2tan"xdx=(|αk1)。2cosCT210.证明dpsin@元+A(0<α<2,0<k<1)。-1+kcospα+cOso1+ksing元11.设0<h<1，正整数n≥3。证明["-)dA2 (号)4

5． 计算∫ Γ 。 1 0 ln (x)dx 6．设Ω = {(x, y,z) | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1}。确定正数 p ，使得反常重积分 ( ) ∫∫∫ Ω − − − = p x y z dxdydz I 2 2 2 1 收敛。并在收敛时，计算 I 的值。 7．设Ω = {(x, y,z) | x ≥ 0, y ≥ 0,z ≥ 0}。确定正数α, β ,γ ，使得反常重积分 ∫∫∫ Ω + + + = α β γ x y z dxdydz I 1 收敛。并在收敛时，计算 I 的值。 8．计算 ∫∫ − − − = − − D m n p I x y x y dxdy 1 1 1 (1 ) ， 其中 D是由三条直线 x = 0， y = 0 及 x + y = 1所围成的闭区域， 均为 大于 0 的正数。 m, n, p 9．证明 2 2cos tan 2 0 απ π π α = ∫ xdx （|α |< 1）。 10．证明 π α π ϕ ϕ ϕ ϕ α π α 2 sin 1 1 1 1 1 cos 1 cos sin 0 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ − k k k k d （0 < α < 2, 0 < k < 1）。 11．设0 ≤ h < 1，正整数n ≥ 3。证明 ( ) ( ) t dt h n n h n 2 2 1 0 2 3 2 2 (1 ) Γ Γ − ≥ − − ∫ π 。 4