复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第六章 不定积分 6.3 有理函数的不定积分及其应用

习题6.31.求下列不定积分：dx2x + 3(1)(2) dx ;- 1)(x + 1)22-1)(x2 +1)X-x2dxxdx(3)(4)(x + 1)(x + 2)2(x + 3)3 ;(x2 + 4x + 4)(x2 + 4x + 5)23dx(5)「(6) 了r3+idr;x*+x?+1ix3 +1 x4+5x+4(8)「(7)dx;dx;x2+5x+4x3+5x-6dxx2(9)(10) 「dx;x4+i:dxx2 +1(2)(11)dx;(x2 +1)(x2 + x+1)x(x3 -1)1-x7x2 +2(13)(dx;(14) [dx ;(x2 + x + 1)2x(1+ x7)x93n~1(15)(16)dx;dx。(x10 + 2x5 + 2)2(x2n + 1)2dx解（1）2(x - 1)(x +1)(x+1)-1)(x + 1)1+Cir2(x +1)Y+2x+3(2)dx- 1)(x2 + 1)(x2x+3Ax+B,Cx+D设则x2 -1x? +1(x2 -1)(x2 +1)(Ax+B)(x2 +1)+(Cx+D)(x2-1)=2x+3，于是186

习 题 6.3 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 1 1 2 ； ⑵ 2 3 1 1 2 2 x x x dx + − + ∫ ( )( ) ； ⑶ x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 ； ⑷ dx ( ) x x (x x 2 2 + + 4 4 + + 4 5 ∫ )2 ； ⑸ 3 1 3 x dx + ∫ ； ⑹ dx x x 4 2 + +1 ∫ ； ⑺ x x x x dx 4 2 5 4 5 4 + + + + ∫ ； ⑻ x x x dx 3 3 1 5 6 + + − ∫ ； ⑼ x x dx 2 4 1− ∫ ； ⑽ dx x 4 +1 ∫ ； ⑾ dx ( ) x x( x 2 2 + + 1 1 + ∫ ) ； ⑿ x x x dx 2 3 1 1 + − ∫ ( ) ； ⒀ x x x dx 2 2 2 2 1 + + + ∫ ( ) ； ⒁ 1 1 7 7 − + ∫ x x x dx ( ) ； ⒂ x x x dx 9 10 5 2 ( ) + + 2 2 ∫ ； ⒃ x x dx n n 3 1 2 2 1 − + ∫ ( ) 。 解（1） dx ( ) x x − ( + ) ∫ 1 1 2 = dx x x x ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + 2 ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 2 1 = 1 1 1 ln 4 1 2( 1) x C x x − + + + + 。 （2）∫ − + + dx x x x ( 1)( 1) 2 3 2 2 设 ( 1)( 1) 2 3 2 2 − + + x x x = 1 2 − + x Ax B + 1 2 + + x Cx D ，则 ( )( 1) ( )( 1) 2 3 2 2 Ax + B x + + Cx + D x − ≡ x + ，于是 186

A+C=0B+D=0A-C=2B-D=3号,D=-号。所以解得A=1.C=-1B=3222x+3X(高)-DGP+)dt=//dx+x2 +1+--号arctan x+C。nx+i-号x2+14x dx(3)(x +1)(x + 2)(x +3)3x设(x + 1)(x+ 2)(x + 3)3BcDEFA(x+3)3，则(x + 3)2x+2(x + 2)2x+1x+3A(x+2)(x+3)* +B(x+1)(x+2)(x +3)3 +C(x+1)(x+3)+ D(x+1)(x+2)(x+3)2 + E(x + 1)(x+ 2)(x +3)+ F(x + 1)(x+2)2 = x 令x=-1，得到A=-1；令x=-2，得到C=2；令x=-3，得到F=302再比较等式两边x、x的系数与常数项，得到A+B+D=013A+12B+C+11D+E=0o108A+54B+27C+36D+12E+4F=041133即于是解得E=F=A-B = -5.C = 2. D =488x(x + 1)(x + 2)*(x + 3)341213532(x + 3)3(x+2)24(x +3)28(x+1)x+28(x+3)所以187

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = + = + = 3 2 0 0 B D A C B D A C ， 解得 2 3 , 2 3 A = 1,C = −1, B = D = − 。所以 ∫ − + + dx x x x ( 1)( 1) 2 3 2 2 = ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − dx x x dx x x x x 1 1 1 1 2 3 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 3 ln ln arctan 2 1 4 1 2 x x x C x x − − = + − + + + 。 （3） x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 设 2 3 (x +1)(x + 2) (x + 3) x + + + + + + = 2 1 2 (x 2) C x B x A 2 3 3 ( 3) ( + 3) + + + + x F x E x D ，则 2 3 3 3 A(x + 2) (x + 3) + B(x +1)(x + 2)(x + 3) + C(x +1)(x + 3) + D x + x + x + + E x + x + x + + F x + x + ≡ x 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 3) ( 1)( 2) ( 3) ( 1)( 2) 。 令 x = −1，得到 1 8 A = − ；令 x = −2，得到C = 2；令 x = −3，得到 3 2 F = ； 再比较等式两边 5 x 、 4 x 的系数与常数项，得到 0 13 12 11 0 108 54 27 36 12 4 0 A B D A B C D E A B C D E F ⎧ + + = ⎪ ⎨ + + + + = ⎪ ⎩ + + + + + = 。 于是解得 2 3 , 4 13 , 8 41 , 5, 2, 8 1 A = − B = − C = D = E = F = ，即 2 3 (x +1)(x + 2) (x + 3) x 2 2 3 2( 3) 3 4( 3) 13 ( 2) 2 8( 3) 41 2 5 8( 1) 1 + + + + + + + + + − + = − x x x x x x 。 所以 187

x dx(x + 1)(x + 2)2(x + 3)3(x + 3)*12133In(x+ D)(x+ 2)404(x+3)4(x+3)28X+2dx(4)(x2 + 4x + 4)(x2 + 4x + 5)2111(x2 + 4x + 4)(x2 + 4x + 5)2(x2 + 4x+ 4)(x2 + 4x+5)(x2+4x+5)2-x2+4x+4x2+4x+5(x2+4x+5)2所以dxd(x+2) arctan(x + 2) -x+2[1 +(x +2)?]2+4x+4)(x2+4x+5)21x+23arctan(x+2)+C。x+222(x2+4x+5)23(5)r3+idrdxx-2rd(x-x+l).3= In|x +Jxx2-x+1Jx2-x+1x2-x+12.n(x-++1)+ arctan = In|x +1|-LCV3dx- 1 r(x3+1)-(x3 -1)（6）解一：dx4+x2+1 2 (x? +x+1(x?-x+1)1(x+1)dx _1r(x-1)dx2x2+x+12x2-x+1rd(x +x+1)+-{-dx1rd(x2-x+1)dx1.x2+x+1+x+1-x+1Y2x-x+14.x2+x+12x+12x-1+C。[arctan+arctanV3x2-x+12/3V3188

x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 41 40 2 1 ( 3) 2 13 3 ln 8 ( 1)( 2) 2 4( 3) 4( 3) x C x x x x x + = − − − + + + + + + 。 （4）∫ + + + + 2 2 2 (x 4x 4)(x 4x 5) dx 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 5) 1 ( 4 4)( 4 5) 1 ( 4 4)( 4 5) 1 + + − + + + + = x + x + x + x + x x x x x x 2 2 2 2 ( 4 5) 1 4 5 1 4 4 1 + + − + + − + + = x x x x x x ， 所以 ∫ + + + + 2 2 2 (x 4x 4)(x 4x 5) dx = ∫ + + + − + − + − 2 2 [1 ( 2) ] ( 2) arctan( 2) 2 1 x d x x x 2 1 2 3 arctan( 2) 2 2( 4 5) 2 x x C x x x + = − − − + + + + + 。 （5） 3 1 3 x dx + ∫ = ∫ ∫ ∫ − + + − + − + ⎟ = + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + 2 1 3 1 ( 1) 2 1 ln 1 1 2 1 1 2 2 2 2 x x dx x x d x x dx x x x x x 1 2 2 ln 1 ln( 1) 3 arctan 2 3 x 1 x x x C − = + − − + + + 。 （6）解一： dx x x 4 2 + +1 ∫ = dx x x x x x x ∫ + + − + + − − ( 1)( 1) ( 1) ( 1) 2 1 2 2 3 3 = ∫ + + + 1 ( 1) 2 1 2 x x x dx ∫ − + − − 1 ( 1) 2 1 2 x x x dx = ∫ ∫ + + + + + + + 4 1 1 1 ( 1) 4 1 2 2 2 x x dx x x d x x ∫ ∫ − + + − + − + − 4 1 1 1 ( 1) 4 1 2 2 2 x x dx x x d x x 2 2 1 1 1 2 1 2 1 ln [arctan arctan ] 4 1 2 3 3 3 x x x x C x x + + + − = + + − + + 。 188

(1+x)dx1 r(1-x)dxdx解二：4 + x2 +12JJx*+x?+1+2J x4+x2+1 arctan!IIn#+x'+1+C2/3V3x+x-l-14x2-1x2+x+111+C-ln=arctan2/3V3x-x+143xIin++!1注：本题的答案也可以写成+Carctan2V34x?-x+1Yr x*+ 5x+ 4(7)x2+5x+480x*+5x+44=x2-5x+21-x+4'x2 +5x+4所以x*+5x+41r_5x2x2+21x-80ln|x+4|+C。dx=32+ 5x + 4x3 +1(8)dx3+5x-6x3 +15x-711x+2211x3+5x-6(x-1)(x2 +x+6)4(x -1)4x2+x+6所以43x3 +1(x-1)?2x+11dx=x+=ln+Carctan+ x+6~4/23V23x+5x-681+x=(9)dx=arctanx+C。i-x2V2V2.￥114x+dxdx242(10)dx4+1+1x2+/2x+1x2-/2x+1189

解二：∫ ∫ ∫ + + − + + + + = + + 1 (1 ) 2 1 1 (1 ) 2 1 1 4 2 2 4 2 2 4 2 x x x dx x x x dx x x dx 1 1 1 1 1 arctan ln 2 3 3 4 1 x x x x C x x − − − − + + = + + − 1 + 2 2 2 1 1 1 1 ln arctan 4 1 2 3 3 x x x C x x x + + − = + − + + 。 注：本题的答案也可以写成 2 2 2 1 1 1 3 ln arctan 4 1 2 3 1 x x x C x x x + + + + − + − 。 （7）∫ + + + + dx x x x x 5 4 5 4 2 4 5 4 5 4 2 4 + + + + x x x x = 4 80 5 21 2 + − + − x x x ， 所以 ∫ + + + + dx x x x x 5 4 5 4 2 4 1 5 3 2 21 80ln 4 3 2 = − x x x + − x + +C 。 （8）∫ + − + dx x x x 5 6 1 3 3 6 22 4 1 4( 1) 1 1 ( 1)( 6) 5 7 1 5 6 1 3 2 2 3 + + + − − = + − + + − = − + − + x x x x x x x x x x x ， 所以 3 2 3 2 1 1 ( 1) 43 2 ln arctan 5 6 8 6 4 23 23 x x dx x C x x x x + − = + − + + − + + ∫ x +1 。 （9） x x dx 2 4 1− ∫ 2 2 1 1 1 1 1 1 ln arctan 2 1 1 4 1 2 x dx x C x x x ⎛ ⎞ + = − ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ − + − ∫ + 。 (10) dx x 4 +1 ∫ dx x 4 +1 ∫ = ∫ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + + + dx x x x x x x 2 1 2 1 4 2 2 1 2 1 4 2 2 2 189

2nx+/2x+1x2-2x+12+/2x+1x2-~2x+184.V2nx+V2x+1, V22(arctan(/2x+1)+ arctan(2x-1)+C 。8 x2- /2x+14dxx+1(11)J++++*++)(x2 +1(x2 +x+ 1)dx1, x2+x+1 12x+1x+x+110-arctan+x2 +12/x2+x+12?+13(2 -[-,31x(x3-1)+-（)+dxnx-1-(*++++11x3-]2Jx2+x+13+?+x+1r6x3-12x+1_In|x-1|--=In(x? + x+1)+-arctanIn3V33x32x+121n|x-1+In( +++1)-In+云-arctanCV3V3hx2+22+x+1-x+1(13)dr2++1)2dx=(x2 +x+1)2312x+17+x+l2(x2 +x+1)22 (x2 +x+1)21x+=12x+1322242x +1-arctanarctanT3V3V323 x2 +x+13V/32(x2 +x+1)2x+1x+14earctanCV3x2+x+1-x1+xdx(14)dx -dxdx :x(1+x)x(1+x7)1+1190

∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + + + − + + + = dx x x x x x x x x 2 1 1 2 1 1 4 1 2 1 2 1 ln 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ln (arctan( 2 1) arctan( 2 1)) 8 4 2 1 x x x x C x x + + = + + + − + − + 。 (11) dx ( ) x x( x + ) 2 2 + + 1 1 ∫ dx x x x x x ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + + = 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 ln ln arctan 2 1 2 1 2 1 3 3 x x dx x x x C x x x x + + + + + = + = + + + + + ∫ + 。 (12) x x x dx 2 3 1 1 + − ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ − − + = − + − − = x dx dx x x x dx x x x x x ( 1) 1 ( 1) 3 2 3 2 3 3 3 3 3 1 ln 3 1 1 x x dx x x − + − = ∫ 3 3 2 1 ln 3 1 1 1 1 1 3 1 x x dx x x x x − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − − = ∫ 3 3 2 2 2 1 ln 3 1 2 1 1 1 ( 1) 6 1 ln 1 3 1 x x x x dx x x d x x x − + + + + + + + + = − − ∫ ∫ 3 2 3 1 1 1 2 1 1 1 ln 1 ln( 1) arctan ln 3 6 3 3 3 x x x x x C x + − = − − + + + + + 2 1 2 1 2 1 ln 1 ln( 1) ln arctan 3 6 3 3 x x x x x C + = − + + + − + + 。 (13) x x x dx 2 2 2 2 1 + + + ∫ ( ) = ∫ + + + + − + dx x x x x x 2 2 2 ( 1) 1 1 ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + − + + = dx x x x x x x x 2 2 2 2 2 ( 1) 1 2 3 ( 1) 2 1 2 1 1 1 = 2 2 1 2 2 1 1 3 2 4 2 1 2 arctan arctan 3 3 2( 1) 2 3 1 3 3 3 x x x C x x x x ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ + + + + + + + ⎝ ⎠ + 2 4 2 1 1 arctan 3 3 1 x x C x x + + = + + + + 。 (14) 1 1 7 7 − + ∫ x x x dx ( ) ∫ + + = dx x x x (1 ) 1 7 7 ∫ + − dx x x 7 6 1 2 ∫ = dx x 1 ∫ + − 7 7 7 1 2 x dx 190

Inx1 rd(xl° +2x+2)d(x +1)(15)dx10 +2x5+2)210J(xl0+2x5+2)25[1+(x+1) +111-arctan(x +1)+C10(xl°+2x+2)10(xl°+2x +2) 10x+21arctan(x+1)+C。10(xl0 +2x +2)10x3n-中1(16)2x"d(x2n +1)d:2nJ (x2n +1)22nx2n+1 x+}{ dx"1x1-arctanx"+C。2nx2n+12nJ1+x2n2nx2n+12n2．在什么条件下，(x)=+bx+的原函数仍是有理函数?x(x +1)2Bc解　(x)=+可化为部分分式A于是(x+1)?x(x + 1)2x+1XA(x+1)? + Bx(x+1)+Cx = ax2+bx +c,要使(s)-+的原函数为有理函数，必须4=0.B=0，由此可x(x + 1)2得a=0c=0。3.设p,(x)是一个n次多项式，求p,(x)(x-a)"+解由于p,(x)="()-a)，所以k!0dxFp,("(a)P,(x)dx1-ak!a)"-1K=0(x1_F p(*(a)P"(a)in|x-α+C 。= kl(n-k) (x-a)"-kn!191

2 7 ln ln 1 7 = − x + x +C 。 (15) x x x dx 9 10 5 2 ( ) + + 2 2 ∫ ∫ ∫ + + + − + + + + = 5 2 2 5 10 5 2 10 5 [1 ( 1) ] ( 1) 5 1 ( 2 2) ( 2 2) 10 1 x d x x x d x x 5 5 10 5 10 5 1 1 1 arctan( 1) 10( 2 2) 10( 2 2) 10 x x C x x x x + = − − − + + + + + + 5 5 10 5 2 1 arctan( 1) 10( 2 2) 10 x x C x x + = − − + + + + 。 (16) x x dx n n 3 1 2 2 1 − + ∫ ( ) = ∫ ∫ + = − + 1 1 2 1 2 ( 1) 1 2 2 2 2 n n n n n x x d n dx x x n 2 2 2 1 1 1 1 arctan 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n x dx x x C n x n x n x n = − + = − + + + + + ∫ 。 ⒉ 在什么条件下， f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 的原函数仍是有理函数？ 解 f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 可化为部分分式 2 1 ( +1) + + + x C x B x A ，于是 A x + + Bx x + + Cx ≡ ax + bx + c 2 2 ( 1) ( 1) ， 要使 f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 的原函数为有理函数，必须 A = 0, B = 0，由此可 得 a = 0, c = 0。 ⒊ 设 pn (x)是一个n次多项式，求 ∫ + − dx x a p x n n 1 ( ) ( ) 。 解 由于 pn (x) =∑= − n k k k n x a k p a 0 ( ) ( ) ! ( ) ，所以 ∫ + − dx x a p x n n 1 ( ) ( ) ∑ ∫ − + = − = 1 0 ( ) ! ( ) ( ) n k n k k n x a dx k p a 1 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) ln !( ) ( ) ! n k n n n n k k p a p a x a C k n k x a n − − = = − + − + − − ∑ 。 191

4．求下列不定积分：1(1)dx :a)(b-x)/2+4xx2 +1(4)3dxx/x4 +1/x+1-Vx-1x+1(5)(6)dx;Vx+1+yx-1dxdx(7) (8)4V1+x2/x(1 + x)dx(x-4)2(9)(10)Vx+Vx:(x+1)dxdx(12)了(11)x/1+x;/(x-2)(x+1)【xd/2+4x==/2+4x-「 /2 + 4xdx解（1）dx=V2+4x=J2+4x--12V2+41 +c2(x-1)2+4x+C。6（2）不妨设a<b，dxd2x-a-b=arcsinb-a-a)(b-a+b2注：本题也可令x=acos?t+bsin?t，解得dxx-a+C2arcsin-a)(b-x)Ard(l+x-dbX(3）1+r2x-17arcsin2xV59192

⒋ 求下列不定积分： ⑴ x x dx 2 4 + ∫ ； ⑵ ∫ (x − a)(b − x) dx ； ⑶ ∫ + − dx x x x 2 2 1 ； ⑷ x x x dx 2 4 1 1 + + ∫ ； ⑸ x x x x dx + − − + + − ∫ 1 1 1 1 ； ⑹ x x dx + − ∫ 1 1 ； ⑺ dx x x (1+ ∫ ) ； ⑻ dx x x 4 2 1+ ∫ ； ⑼ dx x x + ∫ 4 ； ⑽ ∫ + − dx x x 3 8 2 ( 1) ( 4) 。 ⑾ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 2 1 3 2 ； ⑿ dx x x 14 4 + ∫ ； 解（1） x x dx 2 4 + ∫ = ∫ ∫ + = + x − + xdx x xd x 2 4 2 1 2 4 2 2 4 2 1 1 3 2 4 (2 4 ) 2 12 x = + x − + x C+ 1 ( 1) 2 4 6 = −x + x +C 。 （2）不妨设a < b， ∫ (x − a)(b − x) dx ∫ + − − − = 2 2 ) 2 ) ( 2 ( a b x b a dx 2 arcsin x a b C b a − − = + − 。 注：本题也可令 x = a cos 2 t + bsin 2 t ，解得 2arcsin ( )( ) dx x a C x a b x b x − = + − − − ∫ 。 （3）∫ + − dx x x x 2 2 1 ∫ ∫ ∫ + − + + − + − − + − + − = − 2 2 2 2 2 2 1 3 1 (1 ) 2 1 1 1 x x dx x x d x x dx x x x x 1 2 7 (2 3) 1 arcsin 4 8 5 2x 1 x x x C − = − + + − + + 。 192

d(x-x-I+(4）dx=rVp+rdr=/x4+1x-x-)2+2x21+/x*+11x注：这里假设x>0，当x<0时可得到相同的答案。Vx+1-/x?(5)dx=dx =+1+/r-1(Vx+1+Vx-1))2--1)x=--1+nx+V-1+Cf(x2 22x+1来求解。注：本题也可通过作变换t：x+I[=-1+In+-+C(6)dx=-1/r2-1x+1来求解。注：本题也可通过作变换tx-1dxdx(7)=Inx+Vx(1+ x/x(1+x)xO4=2n(/1+x+Vx)+C。（8）设x=tant，则dxsectdtcostdt-1-sin?tdsinx4/1+x?sintttan tsectsint112x-1/+x+C。3sintsint3x3（9）设t=/x，则x=t，dx=4tdt，于是dx4tdt11 =4[(t-1+)di=J2+tVx+xt+1=2t-41+4ln1+1+c=2/x-4/x+4ln(/x+1)+C。193

（4） x x x dx 2 4 1 1 + + ∫ =∫ ∫ − + − = + + − − − ( ) 2 1 ( ) 1 2 1 2 2 2 2 x x d x x dx x x x x 2 4 1 1 ln x x C x − + + = + 。 注：这里假设 x > 0，当 x < 0时可得到相同的答案。 （5） x x x x dx + − − + + − ∫ 1 1 1 1 =∫ ∫ + − = ( +1 + −1) 1 2 2 2 x x dx dx x x 2 2 1 1 2 1 2 ( 1) 1 ln 1 2 2 2 = −x x d − x = x − x x − + x + x − + ∫ C 。 注：本题也可通过作变换 1 1 − + = x x t 来求解。 （6） x x dx + − ∫ 1 1 = 2 2 2 1 1 ln 1 1 x dx x x x C x + = − + + − + − ∫ 。 注：本题也可通过作变换 1 1 − + = x x t 来求解。 （7） dx x x ( ) 1+ ∫ = x x x c x dx = + + + + + − ∫ (1 ) 2 1 ln 4 1 ) 2 1 ( 2 = + 2ln( 1 x + x) + C 。 （8）设 x = tan t ，则 dx x x 4 2 1+ ∫ ∫ ∫ ∫ − = = = d t t t t tdt t t tdt sin sin 1 sin sin cos tan sec sec 4 2 4 3 4 2 2 2 3 3 1 1 2 1 1 3sin sin 3 x c x t t x − = − + + = + +C 。 （9）设t x x t dx t dt 4 4 3 = ，则 = ， = 4 ，于是 dx x x + ∫ 4 dt t t t t t dt （ ） 1 1 4 1 4 2 3 + = − + + = ∫ ∫ 2 4 4 = − 2 4 t t + 4ln t +1 + c = 2 x − 4 x + 4ln（ x +1）+C 。 193

4+t315t2x-4（10）设tdt，于是则dx1-13(1-t3)2x+1(x-4)215t2=[2 (1-1)2Tt'dd(1-t3)225x +1)8(x-4)§33+C.2525x+12+t39t?x-2(11）设t则x：(-d，于是dx-1-13 x+19t2dx-2(++-=(1-r)dt=3, idi32t+1--++ (++-aremnV3x-2+1x+13arctan+CV3+1/x+1+23/x-2ln(/x+1/x-2)-/3arctanLCV3./x+1（12）设t=/1+x,x*=tt-1，于是t'dtdx[[-+111/1+x-1+1arctan 1+x4 +C-arctant+c:t+1124A1+x+125．设R(u,v,w)是u,y,w的有理函数，给出[R(x,Va+x,Vb+x)dx的求法。解设t=Va+x，则194

（10）设 dt t t dx t t x x x t 3 2 2 3 3 3 (1 ) 15 1 4 1 4 − = − + = + − = ，则 ， ，于是 ∫ + − dx x x 3 8 2 ( 1) ( 4) = ∫ ∫ = − − dx t dt t t t t 4 3 2 3 2 2 2 5 3 (1 ) 15 25 (1 ) 5 5 3 3 3 4 25 25 1 x t c C x ⎛ ⎞ − = + = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ + 。 （11）设 dt t t dx t t x x x t 3 2 2 3 3 3 (1 ) 9 1 2 1 2 − = − + = + − = ，则 ， ，于是 dx ( ) x x − + ( ) ∫ 2 1 3 2 ∫ ∫ − = − ⋅ − = ⋅ 3 2 3 3 2 1 3 (1 ) 9 3 1 1 t tdt dt t t t t ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − − = − dt t t t t 1 1 1 1 2 c t t t t + + = − − + + + − 3 2 1 ln( 1) 3 arctan 2 1 ln 1 2 c x x x x x x x x + + + − − + + − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = − 3 1 1 2 2 3 arctan 1 1 2 1 2 1 1 2 ln 2 1 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 1 ln( 1 2) 3 arctan 2 3 1 x x 2 2 x x C x + + − = − + − − − + ⋅ + 。 （12）设 1 , 1 4 4 4 4 t = + x x = t − ，于是 ∫ + 4 4 x 1 x dx ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = − = dt t t t t t dt 1 1 1 1 2 1 ( 1) 4 2 2 3 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 ln arctan ln arctan 1 4 1 2 4 1 1 2 t x t c x C t x − + − = + + = + + + + + + 。 ⒌ 设 R u( , v, w)是u v, ,w的有理函数，给出 ∫ R x( , a + + x , b x ) dx 的求法。 解 设t = a + x ，则 194

J R(x, a+x,Vb+x)dx=2[R(t?-a,t, /f2-a+b)tdt再令/p-a+b=t+u，则t=b-a-u,从而2u[R(x,Va+x,Vb+x)dxb-a-u?b-a+ub-a-u?a-b-2u?[R(b-a-u)--di2u?2u2u2u2u为有理函数的积分。6．求下列不定积分：dxdx(1)(2)4+5cosx2+sinxdxdx(3)「(4)3+sin2x+sin x+cosxdxdx(5)(6)2sinx-cosx+5(2+cosx)sin xdxdx(8) [(7)sin(x + a)cos(x+b) :tan x+ sin xsinxcosx(9) [tan xtan(x+a)dx ;(10)dx;sinx+cosxdxsin?x(11)(12)dxsin?xcos?x1+ sin? x1- u?2duT则解（1）设u=tan=，于是cos.x,x=2arctanu,dx:1+u2"+u?2X3+tandx2du3+u12-ln+Cntc31-m4+5cosx9-u23-3-u2u2du（2）设u=tan=,则于是sin x2arctanu,dx1+u?1+u?2dx2du2u+1arctan+C2+sinxV3V31+u+u?2 tan+122arctan+CV3V3195

∫ R x( ,) a + + x b x dx = R t a t t a b tdt ∫2 ( − , , − + ) 2 2 再令 t − a + b = t + u 2 ，则 u b a u t 2 2 − − = ，从而 ∫ R x( ,) a + + x b x dx ∫ − − ⋅ − − − + − − − − − = du u a b u u b a u u b a u u b a u a u b a u R 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 , 2 ) , 2 (( 为有理函数的积分。 ⒍ 求下列不定积分： ⑴ dx 4 5 + x ∫ cos ； ⑵ dx 2 + x ∫ sin ； ⑶ dx 3 x 2 + ∫ sin ； ⑷ dx 1+ + x x ∫ sin cos ； ⑸ dx 2 5 sin x − cos x + ∫ ； ⑹ dx ( c 2 + os x)sin ∫ x ； ⑺ ∫ x + x dx tan sin ； ⑻ dx sin(x a + + ) cos(x b) ∫ ； ⑼ ∫ tan x tan(x + a)dx； ⑽ sin cos sin cos x x x x dx + ∫ ； ⑾ dx sin x cos x 2 2 ∫ ； ⑿ sin sin 2 2 1 x x dx + ∫ 。 解（1）设 , 2 tan x u = 则 2 2 2 1 2 , 2arctan , 1 1 cos u du x u dx u u x + = = + − = ，于是 dx 4 5 + x ∫ cos = 2 3 tan 2 1 3 1 2 ln ln 9 3 3 3 3 tan 2 x du u c C u u x + + = + = + − − − ∫ 。 （2）设 , 2 tan x u = 则 2 2 1 2 , 2arctan , 1 2 sin u du x u dx u u x + = = + = ，于是 dx 2 + x ∫ sin = c u u u du + + = + + ∫ 3 2 1 arctan 3 2 1 2 2 tan 1 2 2 arctan 3 3 x C + = + 。 195