复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十章 函数项级数 10. 3 幂级数

习题10.3幂级数1.求下列幂级数的收敛半径与收敛域。 3” +(-2)*N(2) 11+(1)rn2n(-1)"2n(4) 2(-1)y +(x+1);(3)1n.2nn+ln=l7=FIn'nr3"X-(5)(6)"=2n"n!l(n!)?n(7)(8)=in (2n)!(2n)!!!(9)(2n+1)解（1)设”+(-2)"x"=a,，/-3，所以收敛半径为R=3n1n=ln=l2当x=1时，Zanx"=2211+(-2)"]，级数发散。3n=inn=l1时，a,"=2[(-1)"+("，级数收敛。当x=-3n=in所以收敛区域为D：3311(2) 设之(1-1)"=a,(x-1)"，lim/a|=1，所以收敛半1-2nn（径为R=1。Za,(x-1)"=2当x=2时，级数发散。1++..+2nn=lZa,(x-1)" = 2(-1)"(1++++当x=0时，又，通项不趋于零，级n=11=数也发散。所以收敛区域为D=(0,2)。52

习 题 10. 3 幂级数 1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。 ⑴ ∑ ∞ = + − 1 3 ( 2) n n n n x n ; ⑵ n n x n ( 1) 1 2 1 1 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = " ; ⑶ ∑ ∞ = ⋅ − 1 2 2 ( 1) n n n n n x ; ⑷ ∑ ∞ = + + + − 1 ( 1) 1 ln( 1) ( 1) n n n x n n ； ⑸ n n n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = 2 1 ! 3 1 ; ⑹ 2 2 2 ln n n n x n n ∑ ∞ = ; ⑺ n n n x n n ∑ ∞ =1 ! ； ⑻ n n x n n ∑ ∞ =1 2 (2 )! ( !) ; ⑼ n n x n n ∑ ∞ =1 (2 +1)!! (2 )!! 。 解（1）设∑ ∞ = + − 1 3 ( 2) n n n n x n ∑ ∞ = = n 1 n n a x ，lim = 3 →∞ n n n a ，所以收敛半径为 3 1 R = 。 当 3 1 x = 时， ∑ ∞ n=1 n n a x = ∑ ∞ = + − 1 ) ] 3 2 [1 ( 1 n n n ，级数发散。 当 3 1 x = − 时， ∑ ∞ n=1 n n a x = ∑ ∞ = − + 1 ) ] 3 2 [( 1) ( 1 n n n n ，级数收敛。 所以收敛区域为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ = − 3 1 , 3 1 D 。 （2）设 n n x n ( 1) 1 2 1 1 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = " ∑ ∞ = = − 1 ( 1) n n n a x ， lim = 1 →∞ n n n a ，所以收敛半 径为R = 1。 当 x = 2时， n n n a (x 1) 1 ∑ − ∞ = ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + 1 1 2 1 1 n n " ，级数发散。 当 x = 0时， n n n a (x 1) 1 ∑ − ∞ = ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + + + 1 1 2 1 ( 1) 1 n n n " ，通项不趋于零，级 数也发散。 所以收敛区域为D = (0,2)。 52

2n5-1)"1(3)设(-1)"所以收敛Eanx"lim/lanlim272n.2"n.2nn-2orn=ln→o0nml半径为R=/2。≥(-1)"Zax"当x=±V2时，级数收敛。之hn=ln=l所以收敛区域为D=V2,V2]。(4) 设(-1) ln(n+(x+1)"=2a,(x+1)"，lim%/a|=1，所以收敛半n+1n=l=径为R=1。ln(n+1)是Leibniz级数，所以收敛。Za,(x+1)" =2(-1当x=0时，又n+1n=ln=lIn(n+I)当x=-2时，级数发散。Ea,(x+1)" = 1n+1n=lnel所以收敛区域为D=(-2,0l。3+1nl.2n(5) 设3(x-1Za,(x-1)",a.lim0limnl2(n + 1)!-2"+l3"a,n=l所以收敛半径为R=+00，收敛区域为D=(-80+)。In?n(6）设nn=)-a.xIim/a,llim=1，所以收敛半径为I n"n-n-0n"n=lR=1。显然a,tx"收敛，所以收敛区域为D=[-1,]。当x=±时，n=la+(n + 1)!-2a设款n"所以收敛半(7)limlimX[(n + 1) n+lann!en=1n->o0径为R=e。2a.24当x=±e时,(te)"，应用Stirling公式in=1n!~2元n"*2e-" (n→00),53

（3）设∑ ∞ = ⋅ − 1 2 2 ( 1) n n n n n x ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = →∞ n n n lim a 2 1 2 ( 1) lim 2 = ⋅ − →∞ n n n n n ，所以收敛 半径为R = 2 。 当 x = ± 2 时， ∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = − = 1 ( 1) n n n ，级数收敛。 所以收敛区域为D = [− 2, 2]。 （4）设∑ ∞ = + + + − 1 ( 1) 1 ln( 1) ( 1) n n n x n n ∑ ∞ = = + 1 ( 1) n n n a x ， lim = 1 →∞ n n n a ，所以收敛半 径为R = 1 。 当 x = 0时，∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n a x ∑ ∞ = + + = − 1 1 ln( 1) ( 1) n n n n 是 Leibniz 级数，所以收敛。 当 x = −2时， ∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n a x ∑ ∞ = + + = 1 1 ln( 1) n n n ，级数发散。 所以收敛区域为D = (− 2,0]。 （5）设 n n n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = 2 1 ! 3 1 ∑ ∞ = = − 1 ( 1) n n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 0 3 !2 ( 1)!2 3 lim 1 1 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ + ⋅ + + →∞ n n n n n n n ， 所以收敛半径为R = +∞ , 收敛区域为D = (− ∞,+∞)。 （6）设 2 2 2 ln n n n x n n ∑ ∞ = ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = →∞ n n n lim a 1 ln lim 2 2 = →∞ n n n n n ，所以收敛半径为 R = 1。 当 x = ±1时，显然 ∑ 收敛，所以收敛区域为 ∞ n=1 n n a x D = [−1,1]。 （7）设 n n n x n n ∑ ∞ =1 ! ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim n e n n n n n n 1 ( 1) ! ( 1)! lim 1 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + + + →∞ ，所以收敛半 径为R = e。 当 x = ± e时， ∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = = ± 1 ( ) ! n n n e n n ，应用 Stirling 公式 n!～ n n n e− + 2 1 2π (n → ∞)， 53

可知级数的通项(土e)"不趋于零，因而发散。所以收敛区域为D=(-e,e)。(8）设(nl)[[(n+1)]2 (2n)!antZax，所以收lim1im(2n)![2(n+1)]!(nl)n-a,n=ln>00敛半径为R=4。Eanx"="(nl)?0当x=±4时，(+4)"，应用Stirling公式(2n)！n=lXnl ~ /2元n"*2e-" (n -→c0),可知级数的通项(nl)2(+4"不趋于零，因而发散。(2n)!所以收敛区域为D=(-4,4)。Jan+![(2n+2)! (2n+1)]!(9）设(2n)Za.x",rnlim=1，所lim(2n+1)[(2n+3)]!!(2n)!!a.→00n=l以收敛半径为R=1。(2n)!!2(-1)"Za.x"-当x=-1时，是Leibniz级数，所以收敛。(2n+ 1)!!n=ln=I(2n)!!bn1当x=1时，2a,x"=2,(2m)令blimn(-1)=2(2n + 1)!!=i(2n+1)!bn+ln>o0n=l由Raabe判别法可知级数发散。所以收敛区域为D=[-11)2.设a>b>0，求下列幂级数的收敛域。(2) (+)a"+b"n(3) ax+bx?+ax+b?x*+ .. +a"x2n-1+b"x2n +..。bn解（1）lim所以收敛半径为R=a.nn2a((-1)"b"(-1)")当x=_一时，级数收敛。x"=n’a"nOnal54

可知级数的通项 n n e n n ( ) ! ± 不趋于零，因而发散。 所以收敛区域为D = ( ) − e,e 。 （8）设 n n x n n ∑ ∞ =1 2 (2 )! ( !) ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 4 1 ( !) (2 )! [2( 1)]! [( 1)!] lim 2 2 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + + →∞ n n n n n ，所以收 敛半径为R = 4 。 当 x = ± 4时， ∑ ∞ n=1 n n a x n n n n ( 4) (2 )! ( !) 1 2 = ∑ ± ∞ = ，应用 Stirling 公式 n!～ n n n e− + 2 1 2π (n → ∞)， 可知级数的通项 n n n ( 4) (2 )! ( !) 2 ± 不趋于零，因而发散。 所以收敛区域为D = ( ) − 4,4 。 （9）设 n n x n n ∑ ∞ =1 (2 +1)!! (2 )!! ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 1 (2 )!! (2 1)!! (2 3)!! (2 2)!! lim =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ + + →∞ n n n n n ，所 以收敛半径为R = 1。 当 x = −1时， ∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = + = − 1 (2 1)!! (2 )!! ( 1) n n n n 是 Leibniz 级数，所以收敛。 当 x = 1时，∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = + = 1 (2 1)!! (2 )!! n n n ，令 (2 1)!! (2 )!! + = n n bn ， − = + →∞ lim ( 1) n 1 n n b b n 2 1 ， 由 Raabe 判别法可知级数发散。 所以收敛区域为D = [−1,1)。 2. 设 a＞b＞0，求下列幂级数的收敛域。 ⑴ n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ; ⑵ ∑ ∞ n=1 +n n n a b x ; ⑶ a x + b x 2 + a 2 x 3 + b2 x 4 + . + an x 2n - 1 + bn x 2n +.。 解（1） a n b n a n n n n = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ 2 lim ，所以收敛半径为 a R 1 = 。 当 a x 1 = − 时， n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = 1 2 ( 1) ( 1) n n n n n n a b n ，级数收敛。 54

)=2(+)当x=二时，级数发散。0所以收敛区域为D11(2)lim"所以收敛半径为R=a。Va"+bnan00x"2当x=±α时，的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区=ia"+b"域为D=(-a,a)。(3)设ax+bx?+a?x3+bx++d"x2n-1+b"x2n+..=c.x"，则1=im/le,=lim2"-/a"=Va，所以收敛半径为R=Jan-o10”的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区域1当x=±-va,11为D=aVaZa,与Zb,"的收敛半径分别为R,和R，讨论下列幂级数的3. 设N=0ns0收敛半径：Za,x*Z(a,+b,)x";(1)(2)n=0n=0Za,b,x".(3)n-0保（1）设≥a,的收敛半径为R。解1=0a,x2"收敛，当>时，当刚R时，Za,x2"发散，所以2o1=0R=/R, 。（2）设(a,+b,)x"的收敛半径为R。n=055

当 a x 1 = 时， n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + 1 2 1 n n n n a b n ，级数发散。 所以收敛区域为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ = − a a D 1 , 1 。 （2） a b a n n n n 1 1 lim = →∞ + ，所以收敛半径为R = a。 当 x = ±a时，∑ ∞ n=1 +n n n a b x 的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区 域为D = (−a, a)。 （3）设a x + b x 2 + a 2 x 3 + b2 x 4 +.+ an x 2n - 1 + bn x 2n +. ∑ ，则 ∞ = = n 1 n n c x = →∞ n n n lim c a a n n n = − →∞ 2 1 lim ，所以收敛半径为 a R 1 = 。 当 a x 1 = ± ， 的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区域 为 ∑ ∞ n=1 n n c x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − a a D 1 , 1 。 3. 设 ∑ 与 的收敛半径分别为R ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n b x 1和R2, 讨论下列幂级数的 收敛半径： (1) ∑ ; (2) ∑ ; ∞ =0 2 n n n a x ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x (3) ∑ 。 ∞ n=0 n n n a b x 解 （1）设∑ 的收敛半径为 ∞ =0 2 n n n a x R 。 当 R1 x 时，∑ 发散，所以 ∞ =0 2 n n n a x R = R1 。 （2）设∑ 的收敛半径为 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x R 。 55

当xmin(R,R2)，RR时，n=0但当R=R时，(a,+b,)x"的收敛半径有可能增加，例如n=02a."="，收敛半径为1，Zb," =-1"收敛半径也为1，n=0(2"n=0n=01=0但(a,+b,)x"的收敛半径为2。7=0所以R≥min(R,R)。（3）设a,b,x"的收敛半径为R。1=0由limg/la,b,|≤limg/a,|·lim/b,，可知R≥R,R2。Zx2n,上式等号可能不成立，例如a,x"=>收敛半径为1，n=0n=02a x-2，收敛半径也为1，但≥.b,x的收敛半径为R=+0。=01=0n=04.应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并指出它们的定义域。(2) (1)Znx"=02n+1=x"-1)"-n2x" :(3)(4) n(n+I)Fx2nn(n+ 1)x" ;(5)(6) 1 + >台 (2n)! 11n+1(7)x"2m（1）级数>nx”的收敛半径为R=1，当x=±1时，级数发散，所以解n=l定义域为D=(-1,1)。S(x)0.Znx"--，利用逐项求积分，得到设S(x)=Znx",f(x)=xn=1n=l56

当 x ( ) 1 2 min R , R ，R1 ≠ R2 时，∑ 发散。 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x 但当 时， 的收敛半径有可能增加，例如 ，收敛半径为1， R1 = R2 ∑ ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = = n 0 n x ∑ ∞ n=0 n n b x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 1 2 1 n n n x 收敛半径也为1， 但∑ 的收敛半径为 。 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x 2 所以R ≥ min( ) R1,R2 。 （3）设∑ 的收敛半径为 ∞ n=0 n n n a b x R 。 由 ≤ →∞ n n n n lim a b n n n a →∞ lim n n n b →∞ ⋅ lim ，可知R ≥ R1R2 。 上式等号可能不成立，例如 ∑ ，收敛半径为1， ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = = 0 2 n n x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = + = 0 2 1 n n x ，收敛半径也为1，但∑ 的收敛半径为 ∞ n=0 n n n a b x R = +∞ 。 4. 应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并 指出它们的定义域。 ⑴ ∑ ∞ n=1 n nx ； ⑵ ∑ ∞ =0 + 2 n 2 1 n n x ； ⑶ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n x ； ⑷ ∑ ∞ =1 ( +1) n n n n x ； ⑸ ∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n n x ； ⑹ ∑ ∞ = + 1 2 (2 )! 1 n n n x ； ⑺ ∑ ∞ = + 1 ! 1 n n x n n 。 解 （1）级数∑ 的收敛半径为 ∞ n=1 n nx R = 1，当 x = ±1时，级数发散，所以 定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ， ∞ = = 1 ( ) n n S x nx ∑ ∞ = − = = 1 1 ( ) ( ) n n nx x S x f x ，利用逐项求积分，得到 56

2( nx"-ldx =n['f(x)dx=1-3n=l=所以dxS(x) =dx(1-x(1-r)(2）级数的收敛半径为R=1，当x=±1时，级数发散，所以=02n+1定义域为D=(-1,1)。2n+1x2n设S(x)=利用逐项求导，得到f(x) = xS(x) =n=02n+1n=02n+11f(x)=1-x2,所以dx11+xS(x) =nJ01-x22x1-xx（3）级数(-1)"n2x"的收敛半径为R=1，当x=±1时，级数发散，T所以定义域为D=(-1,1)。S(x)设 S(x)= Z(-1)"-In2x", f(x)= S(-1)n-1n2x"-1，利用逐项求积xn=ln=l分与上面习题（1），得到21/- xJ6f()dx=2(-1)"-in2x"-ldx =)(1+ x)2==1所以dx(1 - x)S(x) =(1 + x)3dx((1 + x)2（4）级数的收敛半径为R=1，当x=±1时，级数收敛，所以 n(n+ 1)57

∫ = x f x dx 0 ( ) ∑∫ ∞ = − 1 1 0 n x n nx dx x x x n n − = ∑ = ∞ =1 1 ， 所以 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = x x dx d S x x 1 ( ) 2 (1 x) x − = 。 （2）级数∑ ∞ =0 + 2 n 2 1 n n x 的收敛半径为 R = 1，当 x = ±1时，级数发散，所以 定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ∞ = + = 0 2 2 1 ( ) n n n x S x ， f (x) = xS(x) = ∑ ∞ = + 0 + 2 1 n 2 1 n n x ，利用逐项求导，得到 2 0 2 1 1 '( ) x f x x n n − = ∑ = ∞ = ， 所以 ∫ − = x x dx x S x 0 2 1 1 ( ) x x x − + = 1 1 ln 2 1 。 （3）级数∑ 的收敛半径为 ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n x R = 1，当 x = ±1时，级数发散， 所以定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ， ∞ = − = − 1 1 2 ( ) ( 1) n n n S x n x ∑ ∞ = − − = = − 1 1 2 1 ( 1) ( ) ( ) n n n n x x S x f x ，利用逐项求积 分与上面习题（1），得到 ∫ = x f x dx 0 ( ) ∑∫ ∞ = − − − 1 2 1 0 1 ( 1) n x n n n x dx ∑ ∞ = − = − 1 1 ( 1) n n n nx 2 (1 x) x + = ， 所以 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 (1 ) ( ) x x dx d S x x 3 (1 ) (1 ) x x x + − = 。 （4）级数∑ ∞ =1 ( +1) n n n n x 的收敛半径为R = 1，当 x = ±1时，级数收敛，所以 57

定义域为D=[-1,1]。设s(x)=_"利用逐项求导，得到启n(n+1)’ (n)=x(x)=)=n(n+1)F"(x) = 2x"-1=-于是()=J=-ln(1-x)，所以1r(x)dx =1-(1_)In(1- x), xe[-1,1),S(x) = -1=1。注意S(1)也可利用S(x)在[-1,1]上的连续性，由极而 S(1)==n(n+1)限s(1)=limS(x)=1得到。（5）级数≥n(n+1)x"的收敛半径为R=1，当x=±1时，级数发散，所=1以定义域为D=(-1,1)。S(x) _设S(x)=Zn(n+1)x", f(x)=Sn(n+1)x"-1，利用逐项求积分xn=ln=1与上面习题（1），得到1[f(x)dx= 2f n(n+ 1)x"-ldx =Z(n+1)x" :(1- x)2n=1=1所以-2xS(x) =dx/(1-Yxn（6）级数1+的收敛半径为R=+o0，所以定义域为D=(-0,+o)。台 (2n)!则 s(t)=_r2n-1设S(x)=1+2n(2n-I)，由S(n)+S(a)=e*与=(2n)!S(x)-S(x)=e-，即可得到58

定义域为D = [−1,1]。 设 ∑ ∞ = + = 1 ( 1) ( ) n n n n x S x ， f (x) = xS(x) = ∑ ∞ = + 1 + 1 n ( 1) n n n x ，利用逐项求导，得到 x f x x n n − = ∑ = ∞ = − 1 1 "( ) 1 1 ， 于是 f '(x) = ln(1 ) 10 x x x dx = − − − ∫ ，所以 S(x) = ∫ = x f x dx x 0 '( ) 1 )ln(1 ) 1 1 (1 x x − − − ， x∈[ 1− ,1) ， 而 1 1 (1) 1 ( 1) n S n n ∞ = = = + ∑ 。注意S(1)也可利用S x( ) 在[ 1− ,1]上的连续性，由极 限 得到。 1 (1) lim ( ) 1 x S S x → − = = （5）级数∑ 的收敛半径为 ∞ = + 1 ( 1) n n n n x R = 1，当 x = ±1时，级数发散，所 以定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ， ∞ = = + 1 ( ) ( 1) n n S x n n x ∑ ∞ = − = = + 1 1 ( 1) ( ) ( ) n n n n x x S x f x ，利用逐项求积分 与上面习题（1），得到 ∫ = x f x dx 0 ( ) ∑∫ ∞ = − + 1 1 0 ( 1) n x n n n x dx ∑ ∞ = = + 1 ( 1) n n n x 1 (1 ) 1 2 − − = x ， 所以 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 (1 ) 1 ( ) 2 dx x d S x x 3 (1 ) 2 x x − = 。 （6）级数 ∑ ∞ = + 1 2 (2 )! 1 n n n x 的收敛半径为R = +∞ ，所以定义域为 。 设 D = (−∞,+∞) ∑ ∞ = = + 1 2 (2 )! ( ) 1 n n n x S x ，则 ∑ ∞ = − − = 1 2 1 (2 1)! '( ) n n n x S x ，由S(x) + S'(x) = e x与 x S x S x e− ( ) − '( ) = ，即可得到 58

S(x)（7）级数≥"+1x"的收敛半径为R=+，所以定义域为 D=(-80,+o)。二n!+gn+1,设S(x)=则[,s(x)dx = )=x(e-1)，所以1=n!n!=1只[k(e -1]S(x) = -= (1+x)ex-1。dx注本题也可直接利用例题10.3.6，得到=01x" =(1+x)e*-1。S(x) =n=(n-1)=in!Za,"，则不论a,"在x=r是否收敛，只要*5. 设f(x)= n=on+11=0在x=r收敛，就成立J'f(x)dx = anrnln=0n+]并由此证明：['ln,.dx=2]-in21-xx证由于x在x=r收敛，可知x的收敛半径至少为r，n=0n+1h=on+1所以Za,x"的收敛半径也至少为r。当xe[0,r)，利用逐项积分，得到an+Jf(x)dx =)n=0n+1由于收敛，可知在[0,]连续，令x→-，得到n=on+1n=on+1Jef(x)dx=2anrn+1 。n=on+1一利用上述结果，就得到对f(x)=-lnx59

( ) 2 1 ( ) x x S x e e− = + 。 （7）级数∑ ∞ = + 1 ! 1 n n x n n 的收敛半径为R = +∞ ，所以定义域为 。 设 D = (−∞,+∞) ∑ ∞ = + = 1 ! 1 ( ) n n x n n S x ，则∫ = x S x dx 0 ( ) ( 1) 1 ! 1 ∑ = − ∞ = + x n n x e n x ，所以 ( ) = [ ] ( −1) = x x e dx d S x (1+ ) −1 x x e 。 注 本题也可直接利用例题 10.3.6，得到 ∑ ∞ = + = 1 ! 1 ( ) n n x n n S x + − = ∑ ∞ = − 1 1 n ( 1)! n n x x ∑ ∞ = = 1 ! 1 n n x n (1+ ) −1 x x e 。 5. 设 f (x) = ∑ , 则不论 在 x = r 是否收敛，只要 ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n x n a 在 x = r 收敛，就成立 ∫ r f x x 0 ( ) d = ∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n r n a ， 并由此证明： ∫ ⋅ − 1 0 d 1 1 ln x x x =∑ ∞ =1 2 1 n n 。 证 由于∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n x n a 在 x = r 收敛，可知∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n x n a 的收敛半径至少为r ， 所以∑ 的收敛半径也至少为 ∞ n=0 n n a x r 。当 x ∈[0,r)， 利用逐项积分，得 到 ∫ ∑ ∞ = + + = x n n n x n a f x dx 0 0 1 1 ( ) 。 由于 1 0 1 + ∞ = ∑ + n n n r n a 收敛, 可知 1 0 1 + ∞ = ∑ + n n n x n a 在 [0,r] 连续, 令 x → r − ，得到 ∫ ∑ ∞ = + + = r n n n r n a f x dx 0 0 1 1 ( ) 。 对 x x f x − = 1 1 ln 1 ( ) 利用上述结果，就得到 59

1ex11x-dx131Adx=dx =/-10n=in?nXXnn=1=16.证明：gx4n满足方程(4)(1)V=V=o(4n)xn满足方程xy"+y'(2) y=-y=0。=0 (nl)2（1）连续4次逐项求导，得到证x4n(4) = )>=V。=i(4n-4)!n=0(4n)（2）应用逐项求导，可得"-11-2J=3"==(n-1)Inl'n=2(n-2)n!于是nx "-1"-1"1+2x"SWxy"+y'=1+J。n=0(n!)?n=2(n - 1)!n!=2[(n - 1)]?7.应用幂级数性质求下列级数的和12(-1~n2(2) (1)2″In·2"n=l(n+1)2n(n+2)(3)(4)4 *+2"1=n=011Z(-1)"Z(-1)"(6)(5)2"(n2-1)3"(2n +1) nade22#+2-)"(7)n!=0军（1)设(t)=2(-1)-Ix，令g(n)=()=2(-1)-Im-l，利用逐项解xn=ln=l求积分可得1x于是(x)=g(x) =(1 + x)2(1 + x)2所以2(-1)=)-号2n9=/60

∫ ⋅ = − 1 0 1 1 ln x dx x ∫ ∑ = ∞ = − 1 0 1 1 n n dx n x ∑∫ ∑ ∞ = ∞ = − = 1 1 0 1 2 1 1 n n n n dx n x 。 6. 证明： (1) y = ∑ ∞ =0 4 (4 )! n n n x 满足方程 y (4) = y ; (2) y = ∑ ∞ =0 2 n ( !) n n x 满足方程 x y′′ + y ' - y = 0。 证 （1）连续 4 次逐项求导，得到 = (4) y ∑ ∞ = − 1 − 4 4 n (4 4)! n n x y n x n n = ∑ = ∞ =0 4 (4 )! 。 （2）应用逐项求导，可得 ∑ ∞ = − − = 1 1 ( 1)! ! ' n n n n x y ， ∑ ∞ = − − = 2 2 ( 2)! ! " n n n n x y ， 于是 xy"+ y'= 1+ ∑ ∞ = − 2 − 1 n ( 1)! ! n n n nx ∑ ∞ = − − = + 2 2 1 [( 1)!] 1 n n n x y n x n n = ∑ = ∞ =0 2 ( !) 。 7. 应用幂级数性质求下列级数的和 ⑴ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n ; ⑵ ∑ ∞ = ⋅ 1 2 1 n n n ; ⑶ ∑ ∞ = + + 1 1 4 ( 2) n n n n ; ⑷ ∑ ∞ = + 0 2 2 ( 1) n n n ; ⑸ ∑ ∞ = + − 0 3 (2 1) 1 ( 1) n n n n ; ⑹ ∑ ∞ = − − 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) n n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − 0 1 ! 2 ( 1) n n n n 。 解 （1）设 ∑ ，令 ∞ = − = − 1 1 ( ) ( 1) n n n f x nx ∑ ∞ = − − = = − 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) n n n nx x f x g x ，利用逐项 求积分可得 2 (1 ) 1 ( ) x g x + = ，于是 2 (1 ) ( ) x x f x + = ， 所以 9 2 ) 2 1 ( 2 ( 1) 1 1 ∑ − = = ∞ = − f n n n n 。 60

x"，利用逐项求导可得(2）设f(x)=）=inf(x)= In所以T=ln2nzin.2n1（3）首先由逐项求积分可得≥nx"-1n(n + 2)xn+1设f(x)= (1- x)2n=1n=l再利用逐项求积分，得到.3Zmnx*2XJf(x)dx= >(1- x)2n=l于是x2(3 - x)f(x)=3(1- x)3所以gn(n+ 2)4+1271=（4）设f(x)=Z(n+1)2x"，利用逐项求积分可得n=0x[e(x)dx= Z(n+1)x =Zn" =(1 x)2n=1n=0于是1+ xf(x)=(1- x)3所以(n+1)?1212″n=061

（2）设 ∑ ∞ = = 1 1 ( ) n n x n f x ，利用逐项求导可得 x f x − = 1 1 ( ) ln ， 所以 ∑ ∞ =1 ⋅ 2 1 n n n = ) = 2 1 f ( ln 2。 （3）首先由逐项求积分可得 2 1 1 (1 ) 1 x nx n n − ∑ = ∞ = − 。设 ， 再利用逐项求积分，得到 ∑ ∞ = + = + 1 1 ( ) ( 2) n n f x n n x ∫ = x f x dx 0 ( ) 2 3 1 2 (1 x) x nx n n − ∑ = ∞ = + ， 于是 3 2 (1 ) (3 ) ( ) x x x f x − − = ， 所以 = = + ∑ ∞ = + ) 4 1 ( 4 ( 2) 1 1 f n n n n 27 11 。 （4）设 ∑ ，利用逐项求积分可得 ∞ = = + 0 2 ( ) ( 1) n n f x n x ∫ = x f x dx 0 ( ) ∑ + = ∞ = + 0 1 ( 1) n n n x 2 1 (1 x) x nx n n − ∑ = ∞ = ， 于是 3 (1 ) 1 ( ) x x f x − + = ， 所以 ∑ ∞ = + 0 2 2 ( 1) n n n ) 12 2 1 = f ( = 。 61