复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十章 函数项级数 10. 4 函数的幂级数展开 10. 5 用多项式逼近连续函数

习题10.4函数的幂级数展开1.求下列函数在指定点的Taylor展开，并确定它们的收敛范围：1(2)(1) 1 + 2x-3x2 + 5x3,Xo= 1;xo= -1;x元.Xo= 0;(3)(4) sin x,Xo=2-x-x2"6'(6) 3/4-x2,(5) lnx，xo=2;xo= 0;x-1(7) Xo= 1;(8) (1+x) ln(1-x), xo= 0;x+i'e*[1+x(10) xo=0。(9) In,xo= 0;1-xV1- x解（1）令x-1=t，则1 + 2x-3x2 + 5x3 = 1 + 2(t + 1) - 3(t+ 1)2 + 5(t +1)3= 5+11t +12t2 +5t3= 5+11(x-1)+12(x-1)? +5(x -1)3。因为级数只有有限项，所以收敛范围是D=(-α0+)。(2）由二2(x+1)"，应用逐项求导得到1-(x+1)XM=01-2n(x+1)-1 =Z(n+1)(x+1)"。En=0级数的收敛半径为R=1。当x=-2与x=0时，级数发散，所以收敛范围是D=(-2,0)。2xx101(3)(2 +x)(1 - x)2±x2-x-x23(1-(-1)"2x"_S(-1)"21=023=02″3|=0级数的收敛半径为R=1。当x=±1时，级数发散，所以收敛范围是D=(-1,1)。)+=sin个A元(4))+cOS sinx=sin[(x--cos(x-sin(x -6666661

习 题 10. 4 函数的幂级数展开 1. 求下列函数在指定点的 Taylor 展开，并确定它们的收敛范围： ⑴ 1 + 2x-3x 2 + 5x 3 ，x0 = 1; ⑵ 2 1 x ， x0 = -1; ⑶ 2 2 x x x − − ， x0 = 0; ⑷ sin x， x0 = 6 π ; ⑸ ln x ， x0 = 2; ⑹ 3 4 − x 2 ， x0 = 0; ⑺ 1 1 + − x x ， x0 = 1; ⑻ (1+x) ln (1-x), x0 = 0; ⑼ ln x x − + 1 1 ， x0 = 0; ⑽ x x − − 1 e , x0 = 0。 解（1）令 x −1 = t，则 1 + 2x-3x 2 + 5x 3 2 3 = 1+ 2(t +1) − 3(t +1) + 5(t +1) 2 3 = 5 +11t +12t + 5t 2 3 = 5 +11(x −1) +12(x −1) + 5(x −1) 。 因为级数只有有限项，所以收敛范围是D = (−∞,+∞)。 （2）由 1 ( 1) 1 1 − + = − x x ∑ ∞ = = + 0 ( 1) n n x ，应用逐项求导得到 2 1 x = ∑ + = ∞ = − 1 1 ( 1) n n n x ∑ ∞ = + + 0 ( 1)( 1) n n n x 。 级数的收敛半径为R = 1。 当 x = −2与 x = 0时，级数发散，所以收敛范围是D = (−2,0)。 （3） 2 2 x x x − − (2 x)(1 x) x + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = x 2 x 2 1 1 3 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ∑ − ∑ ∞ = ∞ =0 0 2 ( 1) 3 1 n n n n n n x x n n n n ∑ x ∞ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = + 0 1 2 ( 1) 1 3 1 。 级数的收敛半径为R = 1。 当 x = ±1时，级数发散，所以收敛范围是D = (−1,1)。 （4） sin sin[( ) ] 6 6 x x π π = − + = − ) + 6 cos( 6 sin π π x cos sin( ) 6 6 x π π − 1

3(-1)"1(-1)"_元2n+2元2m+-2 =0(2n+1)!62 h= (2n)!6级数的收敛半径为R=+o0，所以收敛范围是D=(-00,+)。 (-1)"+1x-2)(5)=ln2±In x = In[2 +(x-2)] = In 2 + In| 1+(x-2)" 。n=ln.2"2级数的收敛半径为R=2。当x=4时，级数为In2+(-1)收敛；当x=0时，级数为Nn=l8-1发散。所以收敛范围是D=(0,4]。In2+=in3/4-x2=34.3(6)级数的收敛半径为R=2。(1)1当x=±2时，级数为/42(-1)"Au则3n=0(n)nJun3(n +1)4lim nlim>133n-1n-→00un+n>o由Raabe判别法，级数收敛。所以收敛范围是D=[-2,2]。x-1X-1(-1)" (-1)"-11x-1(7)-1)"=(x-1)"。x.2x-12x+1=0 2"2"n=l1+2级数的收敛半径为R=2。当x=3与x=-1时，级数发散，所以收敛范围是D=(-1,3)。(+)(1+x)In(1-x)=(+x)2(-1x)=-x-2(8)级数的收敛半径为R=1。2

2 0 1 ( 1) ( ) 2 (2 )! 6 n n n x n π ∞ = − = − ∑ + 2 1 0 3 ( 1) ( ) 2 (2 1)! 6 n n n x n π ∞ + = − − + ∑ 。 级数的收敛半径为R = +∞ ，所以收敛范围是D = (−∞,+∞)。 （5） ln x x = + ln[2 ( − 2)] ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + + 2 2 ln 2 ln 1 x n n n n x n ( 2) 2 ( 1) ln 2 1 1 − ⋅ − = + ∑ ∞ = + 。 级数的收敛半径为R = 2 。 当 x = 4时，级数为 ∑ ∞ = + − + 1 1 ( 1) ln 2 n n n ，收敛；当 x = 0时，级数为 ∑ ∞ = − + 1 1 ln 2 n n ，发散。所以收敛范围是D = (0,4]。 （6） 3 2 4 − x = ⋅ 3 4 3 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x n n n n x n 2 0 2 3 3 1 2 ( 1) 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∑ ∞ = 。 级数的收敛半径为R = 2 。 当 x = ±2时，级数为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ − ∞ = n n n 3 1 4 ( 1) 0 3 ，令 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − n u n n 3 1 ( 1) ，则 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ lim 1 n 1 n n u u n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + →∞ 1 3 1 3( 1) lim n n n n 1 3 4 > ， 由 Raabe 判别法，级数收敛。所以收敛范围是D = [−2,2]。 （7） 1 1 + − x x = − + − = ⋅ 2 1 1 1 2 1 x x − = − − ∑ ∞ = n n n n x x ( 1) 2 ( 1) 2 1 0 n n n n (x 1) 2 ( 1) 1 1 − − ∑ ∞ = − 。 级数的收敛半径为R = 2 。 当 x = 3与 x = −1时，级数发散，所以收敛范围是D = (−1,3)。 （8） 1 1 (1 )ln(1 ) (1 ) ( ) n n x x x x n ∞ = + − = + ∑ − = n n x n n x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − − 2 1 1 1 。 级数的收敛半径为R = 1。 2

当x=1时，级数发散；当x=-1时，级数收敛。所以收敛范围是D=[-1,1] 。-(9)[n(1 + x) In(1 x)]-112n+1n=02n+1nn级数的收敛半径为R=1。当x=±1时，级数发散，所以收敛范围是D=(-1,1)。11(-1)-2(x".2x(10)=1+4!1-xn=(213)n!n=0n!n=0设级数的x"项的系数为α，，则111<an<(n≥4),213!2!所以级数的收敛半径为R=1。当x=±1时，级数的通项不趋于零，级数发散。所以收敛范围是D=(-11) 。2.求下列函数在xo=0的Taylor展开()盖至x;(2)esinx至x4;sin x1+×至x。(3) In cos x至x°;(4)11-11xx解(1)sinx十124Y61206120120120=1+-3606111(2)esinx=1+sinx+sin4xsinx+sin'x+24263

当 x = 1时，级数发散；当 x = −1时，级数收敛。所以收敛范围是 D = [−1,1)。 （9） 1 ln 1 x x + − [ ] 1 ln(1 ) ln(1 ) 2 = + x − − x 1 1 1 ( 1) 1 2 n n n n x x n n ∞ − = ⎡ − ⎤ = + = 2 1 0 2 1 1 + ∞ = ∑ + n n x n ⎢ ⎥ 。 ⎣ ⎦ ∑ 级数的收敛半径为R = 1。 当 x = ±1时，级数发散，所以收敛范围是D = (−1,1)。 （10） x x − − 1 e ∑ ∑ ∞ = ∞ = ⋅ − = 0 ! 0 ( ) n n n n x n x n n n x n ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = + − + − + 2 ! ( 1) 4! 1 3! 1 2! 1 1 " 。 设级数的 xn项的系数为an ，则 2! 1 3! 1 2! 1 − < an < (n ≥ 4)， 所以级数的收敛半径为R = 1。 当 时，级数的通项不趋于零，级数发散。所以收敛范围是 。 x = ±1 D = (−1,1) 2. 求下列函数在x0 = 0 的Taylor展开 ⑴ x x sin 至 x 4 ； ⑵ sin x e 至 ； 4 x ⑶ ln cos x至 x 6 ； ⑷ x x − + 1 1 至x 4 。 解 (1) = x x sin = − 3 + 5 −" 120 1 6 1 x x x x 2 4 1 1 1 1 6 120 x x ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ " 1 1 2 4 1 6 120 x x ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ " 2 1 1 2 4 6 120 x x ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ − + + ⎝ ⎠ " " 1 7 2 4 1 6 360 = + x + x +"。 (2) sin x e = + x + 2 x + 3 x + sin 4 x +" 24 1 sin 6 1 sin 2 1 1 sin 3

1+x-+x3+.+ +(x-+.Ix3 +...x--6C+(-.+1,2_1,4=1+x+二X628-cosx)2_(3) Incosx=In[1-(1-cosx)l=-(1-cosx)-(1(l-cosx)1+4+..-x4 +..2-x*+..242424212312711224021 + X(4)/1+2(x+x2 +x3 +x4 +...) =1+(x+x2 +x3 +x4+...)1(x+x2+.)3_15-(x+x2 +x3 +.)2 +(x+...)242+12++++#**+=1+x+22”83.利用幂级数展开，计算下列积分，要求精确到0.001。ci sinxdx;(2)cosxdx;(1)dxarctanx0dx;（4）(3)1+xx(-1)"1sinx1解x2n dx(1)-dx=n=0(2n + 1)!x(-1)"r (-1)"x2"dx=V一0(2n+1)!n=0(2n+1)!(2n+1)这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值1设un由于u～0.00003，因此前面4项之和的小数部(2n +1)I(2n +1)分具有三位有效数字，所以3(-1)"1sinx-dx~n=0(2n+1)!(2n+1)XT.cosx* dx=2n dx(2)=0 (2n)!r1 (-1)n(-1)"8Lx4n dx=Nn=o(2n)(4n+1)0(2n)!1=0这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值，-设un=由于u3～0.0001，因此前面4项之和的小数部分具(2n)(4n+1)4

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − 3 +" 6 1 1 x x 2 3 6 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x − x +" 3 3 6 1 6 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x − x +" "⎟ +" ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + 4 3 6 1 24 1 x x = + + 2 − 4 +" 8 1 2 1 1 x x x 。 (3) ln cos x = − ln[1 (1− cos x)] = − − − − 2 − (1− cos ) 3 −" 3 1 (1 cos ) 2 1 (1 cos x) x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 − 4 +" 24 1 2 1 x x 2 2 4 24 1 2 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x − x +" "⎟ −" ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + 3 2 4 24 1 2 1 3 1 x x = − 2 − 4 − 6 −" 240 7 12 1 2 1 x x x 。 (4) x x − + 1 1 1 2( ) = + x + x 2 + x3 + x 4 +" 1 ( ) = + x + x 2 + x 3 + x 4 +" 2 3 2 ( ) 2 1 − x + x + x +" 2 3 ( ) 2 1 + x + x +" 4 ( ) 24 15 − x +" = + + 2 + 3 + 4 +" 8 3 2 1 2 1 1 x x x x 。 3. 利用幂级数展开，计算下列积分，要求精确到 0.001。 ⑴ ∫ 1 0 d sin x x x ； ⑵ ∫ 1 0 2 cos x d x； ⑶ ∫ 2 1 0 d arctan x x x ； ⑷ ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x 。 解 (1) ∫ 1 0 d sin x x x ∫ ∑ ∞ = + − = 1 0 0 2 d (2 1)! ( 1) x x n n n n ∑ ∫ + − = ∞ = 1 0 2 0 (2 1)! ( 1) x dx n n n n ∑ ∞ = + + − = 0 (2 1)!(2 1) ( 1) n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 (2 1)!(2 1) 1 + + = n n un ，由于 ≈ ，因此前面 项之和的小数部 分具有三位有效数字，所以 u3 0.00003 4 ∫ 1 0 d sin x x x ≈ ∑ = + + − 3 0 (2 1)!(2 1) ( 1) n n n n ≈ (2) ∫ 1 0 2 cos x d x ∫ ∑ ∞ = − = 1 0 0 4 d (2 )! ( 1) x x n n n n ∑ ∫ − = ∞ = 1 0 4 0 d (2 )! ( 1) x x n n n n ∑ ∞ = + − = 0 (2 )!(4 1) ( 1) n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 (2 )!(4 1) 1 + = n n un ，由于u3 ≈0.0001，因此前面4项之和的小数部分具 4

有三位有效数字，所以(-1)"3cosxdx~n=0(2n)!(4n +1)(-12" dx,arctanx(3)dx=2）n=02n+1x(-1)"1((-1" x2"n dx =7=0(2n+1)222n+102n+1这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值，11设u，由于u～0.00016，因此前面4项之和的小数部(2n+1)222m+，分具有三位有效数字，所以(-1)"1[ arctan x3dx~22n+1Jon=0(2n +1)2xdx(-1)n-Idx(4)d3n1+x31n=1x"_(-1)"-1[+0 (-1)"-1dx== (3n-1)23n-1"43n这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值1设un=“(3m-1)2，由于u~0.004，因此前面4项之和的小数部分具有三位有效数字，所以+_dx~_(-1)"-I[ 1+~2(3n-1)23m-T4.应用-1在x=0的幂级数展开，证明：xnS=1。台(n+1)e"-1_-(x"n-1证-D==in!n=o(n+1)!n=0n!xx应用逐项求导，得到 nxh-1xe'-e"+1N2=(n+1)!以x=1代入，即得到n=1。(n +1)!5.求下列函数项级数的和函数 (-1)"-(1)n(n+15

有三位有效数字，所以 ∫ 1 0 2 cos x d x≈ ∑ = + − 3 0 (2 )!(4 1) ( 1) n n n n ≈ (3) ∫ 2 1 0 d arctan x x x ∫ ∑ ∞ = + − = 2 1 0 2 0 d 2 1 ( 1) x x n n n n ∑ ∫ + − = ∞ = 2 1 0 2 0 d 2 1 ( 1) x x n n n n 2 1 0 2 2 1 (2 1) ( 1) + ∞ = ⋅ + − = ∑ n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 2 2 1 2 1 (2 1) 1 + ⋅ + = n n n u ，由于 ≈ ，因此前面 项之和的小数部 分具有三位有效数字，所以 u3 0.00016 4 ∫ 2 1 0 d arctan x x x ≈ 2 1 3 0 2 2 1 (2 1) ( 1) + = ⋅ + − ∑ n n n n ≈ (4) ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 3 3 1 1 d x x x ∫ ∑ +∞ ∞ = − − = 2 1 3 1 ( 1) dx n x n n ∑ ∫ +∞ ∞ − = − = 2 3 1 1 ( 1) dx x n n n ∑ ∞ = − − − − = 1 3 1 1 (3 1)2 ( 1) n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 3 1 (3 1)2 1 − − = n n n u ，由于 ≈ ，因此前面4 项之和的小数部分 具有三位有效数字，所以 4 u 0.00004 ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x ≈∑ = − − − − 4 1 3 1 1 (3 1)2 ( 1) n n n n ≈ 4. 应用 x x e −1在 x = 0 的幂级数展开，证明： ∑ ∞ =1 ( +1)! n n n = 1。 证 = − x e x 1 ∑ − = ∞ = 1) ! ( 1 n 0 n n x x ∑ = ∞ = − 1 1 n ! n n x ∑ ∞ n=0 ( +1)! n n x , 应用逐项求导，得到 = − + 2 1 x xe e x x ∑ ∞ = − 1 + 1 n ( 1)! n n nx ， 以 x = 1代入，即得到 ∑ ∞ =1 ( +1)! n n n = 1。 5．求下列函数项级数的和函数 （1）∑ ∞ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − 1 2 1 2 2 ( 1) ( 1) n n n x x n n ； 5

(2)n(-1)n-1解（1)令f(t)=t"+l，应用逐项求导，得到=in(n+1)1F"()=2(-1)"-1n- 1+tn=l于是f'(0)= In(1+0), f(t)= ('ln(1+t)dt =(1+t)In(1+t)-1 ,从而得到"(-1)"-1n =(1+-)In(1+t)-1, te[-1,1]。n=in(n+1)2+x以1=代入，得到22(x2 + 4)2(x2 + 4) (-1)"-1(2+x2-1, xe(-0,0] 。rin(n+1)(2-x)(x+ 2)2(x - 2)2(2）由级数乘法的Cauchy乘积，2(++)"-(Exn2其中xe(-1,1)。6．设(a,)是等差数列，b>1，求级数"的和。n=1b解设a,=c+(n-1)d,n=1,2,，则2%=c2+ain!Zn=2bnn=ib"n=ib"11首先我们有！！on-1设f(x)=>m-2，则1bb-1n=ib"=26"b3-1xxf(x)dx=b2"=2 b"+b(b- x)1-b1于是f(x)=所以(b-x)26

（2）∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + 1 1 2 1 1 n n x n " 。 解 (1) 令 1 1 1 ( 1) ( 1) ( ) + ∞ = − ⋅ + − = ∑ n n n t n n f t ，应用逐项求导，得到 t f t t n n n + = − = − ∞ = − ∑ 1 1 "( ) ( 1) 1 1 1 ， 于是 f '(t) = ln(1+ t) ， = ∫ + = t f t t dt 0 ( ) ln(1 ) (1+ t)ln(1+ t) − t ， 从而得到 )ln(1 ) 1 1 (1 ( 1) ( 1) 1 1 ⋅ = + + − + − ∑ ∞ = − t t t n n n n n ，t ∈[−1,1]。 以 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = x x t 代入，得到 1 ( 2) 2( 4) ln ( 2) 2( 4) 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 2 2 1 1 − − + + + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − ∑ ∞ = − x x x x x x n n n n n , x ∈(− ∞,0]。 (2) 由级数乘法的 Cauchy 乘积， ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = n n x 1 n 1 2 1 1 " ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=1 n n x − x − x = 1 1 ln 1 1 , 其中 x ∈ (−1,1) 。 6．设{an }是等差数列，b > 1，求级数∑ ∞ n=1 n n b a 的和。 解 设an = c + (n −1)d , n = 1,2,"，则 ∑ = ∞ n=1 n n b a ∑ + ∞ =1 1 n n b c ∑ ∞ = − 2 1 n n b n d 。 首先我们有 1 1 1 1 1 1 1 1 − = − ∑ = ⋅ ∞ = b b n b b n 。设 2 2 1 ( ) − ∞ = ∑ − = n n n x b n f x ，则 ∫ ∑ ∞ = − = x n n n b x f x dx 0 2 1 ( ) b b x x − = ⋅ 1 1 2 b(b x) x − = ， 于是 2 ( ) 1 ( ) b x f x − = ，所以 6

12n=lf(1)(b-1)21=2 bn从而得到2-++d2l-d1=1b"=2 bn(b-1)2"=ib"1Inx7．利用幂级数展开，计算-dx01-xI Inx解(+nx)dx=Zf* xd =dx:J01-n=0(2n+1)21=0n=0利用例题10.4.6中得到的结果-等式两边乘以！得到n=in?618得到两式相减，>24=i(2n)228V18n=0(2n +1)2于是得到2Inx8"1(1)应用计算元的值，要求精确到10-；8.= arctan=+ arctan-3A2(2)应用匹计算元的值，要求精确到10-4。=arcsin-654[24-(2+ ]解(1)元= 4(arctan=+ arctan=1(-1)n:1-20-12这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值，41F设u.由于u，～0.000038，因此前面7项之和的小(22n-132n-2n-1数部分具有四位有效数字，所以411～3.1416。元~Z(-1)"-321-12n.n=l1(2n-1)!!11(2)元=6arcsin-(2n)(2n+1)22n+/。22(2n-1)!!110由于u<设un～0.0000125，因此前面(2n)(2n+1)22n+622n+l13mn=67项之和的小数部分具有四位有效数字，所以7

2 2 ( 1) 1 (1) 1 − = = − ∑ ∞ = b f b n n n 。 从而得到 ∑ = ∞ n=1 n n b a ∑ + ∞ =1 1 n n b c 2 2 ( 1) 1 ( 1) − − + = − ∑ ∞ = b c b d b n d n n 。 7．利用幂级数展开，计算∫ − 1 0 2 1 ln dx x x 。 解 ∫ ∫ ∑ ∑∫ ∞ = ∞ = = = − 0 1 0 1 2 0 0 1 2 0 2 ( ln ) ln 1 ln n n n n dx x x dx x xdx x x ∑ ∞ = + = − 0 2 (2 1) 1 n n ， 利用例题 10.4.6 中得到的结果 6 1 2 1 2 π ∑ = ∞ n= n ，等式两边乘以 4 1 ，得到 (2 ) 24 1 2 1 2 π ∑ = ∞ n= n ，两式相减，得到 (2 1) 8 1 2 0 2 π = + ∑ ∞ n= n ， 于是得到 1 8 ln 2 1 0 2 π = − − ∫ dx x x 。 8． (1) 应用 4 π = arctan 2 1 + arctan 3 1 , 计算π的值，要求精确到10 −4 ； (2) 应用 6 π = arcsin 2 1 , 计算π的值，要求精确到10 −4 。 解 (1) π = 4( arctan 2 1 + arctan 3 1 ) ∑ ∞ = − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − 1 2 1 2 1 1 3 1 2 1 2 1 4 ( 1) n n n n n 。 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 2 −1 2 −1 3 1 2 1 2 1 4 n n n n u ，由于 ≈ ，因此前面 项之和的小 数部分具有四位有效数字，所以 u7 0.000038 7 π ≈ ∑ = − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − 7 1 2 1 2 1 1 3 1 2 1 2 1 4 ( 1) n n n n n ≈3.1416。 (2) π = 6 arcsin 2 1 ∑ ∞ = + ⋅ + − = + 1 2 1 2 1 (2 )!!(2 1) (2 1)!! 2 1 n n n n n 。 设 2 1 2 1 (2 )!!(2 1) (2 1)!! + ⋅ + − = n n n n n u ，由于 ∑ < ∞ n=6 n u ∑ ∞ = + 6 2 1 2 1 13 1 n n ≈ ，因此前面 项之和的小数部分具有四位有效数字，所以 0.0000125 7 7

6(2n-1)!1=6arcsin~！～3.1416。2~2(2n)(2n+1)22m+9.利用幂级数展开，计算edx的值，要求精确到10-4。rerd =f2d=2 P解-dxn=0nlxn=oJinlx"=2-In3+2(-(1-)3-1n=2nl(n-1)(这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值，11设un=），由于u<0.000033，因此前面8项之和的小数nl(n-1)(1-3"-1)部分具有四位有效数字，所以J,e"dx~2-In3+2(-1)"331~1n=2nl(n-1)(8

π = 6 arcsin 2 1 ≈ ∑ = + ⋅ + − + 6 1 2 1 2 1 (2 )!!(2 1) (2 1)!! 2 1 n n n n n ≈3.1416。 9．利用幂级数展开，计算∫ 3 − 1 1 e dx x 的值，要求精确到10 −4 。 解 ∫ 3 − 1 1 e dx x ∫ ∑ ∞ = − = 3 1 0 ! ( 1) dx n n x n n ∑ ∫ − = ∞ = 3 1 0 ! ( 1) dx n x n n n ∑ ∞ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − + 2 1 3 1 1 !( 1) ( 1) 2 ln3 n n n n n 。 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = −1 3 1 1 !( 1) 1 n n n n u ，由于u7 < 0.000033，因此前面 项之和的小数 部分具有四位有效数字，所以 8 ∫ 3 − 1 1 e dx x ≈ ∑ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − + 7 2 1 3 1 1 !( 1) ( 1) 2 ln 3 n n n n n ≈ 8

习题10.5用多项式逼近连续函数1.求f(x)=x"的Bernstein多项式B,(f,x)。"k3 k(k -1)(k-2)ckx*(1-x)n-k +2ca-m)解B.(f,x)=k3n3≥3k(k-c**(1-x)-k+ch*(-x)-。n3k=2k=inAn!利用等式4=in?k=in1Ch-1xk-I(1- x)"-k n-1n?n?k=1所以"k3C+*(1-x)-k_ (n-1)n-2) r + 3(n-1) 2B,(f,x)=Xin3n?n?n2.设f(x)=Vx，xE[0,1]，求它的四次Bernstein多项式B(f,x)。≤,Ec4x*(1-x)-k解B4(f,x)=)4V4C= 2x(1- x)3 +3 /2x2(1- x)2 +2/3x3(1- x) +x4=(3/2-2/3-1)x4 +2(3 + /3 -3/2)x3 +3(/2-2)x2 +2x 。3.设f(x)在[a,bl上连续，证明：对任意给定的ε>0，，存在有理系数多项式P(x)，使得[P(x)- f(x)0，存在多项式g(x)，使得对一切xE[a,b]成立[e()- f(x)<号。2设Q(x)=bx*，其中b(k=0,1,2.,n)是实数，由于有理数集合在k=09

习 题 10. 5 用多项式逼近连续函数 1. 求f (x) = x 3 的Bernstein多项式Bn (f , x)。 解 Bn ( f , x) = k k n k n n k C x x n k − = ∑ (1− ) 1 3 3 − + − − = − = ∑ k k n k n n k C x x n k k k (1 ) ( 1)( 2) 3 3 − + − − = ∑ k k n k n n k C x x n k k (1 ) 3 ( 1) 2 3 k k n k n n k C x x n k − = ∑ (1− ) 1 3 。 利用等式 1 1 !( )! ! − = − − = ⋅ k n k n C k n k n n k C n k ，可分别得到 − = − − − = ∑ k k n k n n k C x x n k k k (1 ) ( 1)( 2) 3 3 k k n k n n k C x x n n n − − − = − − − ∑ (1 ) ( 1)( 2) 3 3 3 2 − = − − = − − − − = ∑ k k n k n n k x C x x n n n (1 ) ( 1)( 2) 3 3 3 3 3 2 3 2 ( 1)( 2) x n n − n − ； − = − − = ∑ k k n k n n k C x x n k k (1 ) 3 ( 1) 2 3 k k n k n n k C x x n n − − − = − − ∑ (1 ) 3( 1) 2 2 2 2 k k n k n n k x C x x n n − − − − = − − = ∑ (1 ) 3( 1) 2 2 2 2 2 2 2 2 3( 1) x n n − = ； k k n k n n k C x x n k − = ∑ (1− ) 1 3 k k n k n n k C x x n − − − = = ∑ (1− ) 1 1 1 1 2 k k n k n n k x C x x n − − − − = = ∑ (1− ) 1 1 1 1 1 2 x n 2 1 = 。 所以 Bn ( f , x) = k k n k n n k C x x n k − = ∑ (1− ) 1 3 3 3 2 ( 1)( 2) x n n − n − = 2 2 3( 1) x n n − + x n 2 1 + 。 2. 设 f (x) = x ，x∈[0, 1]，求它的四次 Bernstein 多项式B4 (f ,x)。 解 B4 ( f , x) = k k k k C x x k − = ∑ − 4 4 4 1 (1 ) 4 3 = 2x(1− x) 2 2 + 3 2x (1− x) 2 3 (1 ) 3 + x − x 4 + x 4 = (3 2 − 2 3 −1)x 3 + 2(3 + 3 − 3 2)x 3( 2 2)x 2x 2 + − + 。 3. 设 f (x)在[a, b]上连续，证明：对任意给定的ε > 0，存在有理系数 多项式 P(x)，使得 P x( ) − f ( ) x 0，存在多项式 ，使得对一 切 成立 Q(x) x ∈[a,b] 2 ( ) ( ) ε Q x − f x < 。 设 ∑ ，其中 = = n k k k Q x b x 0 ( ) bk (k = 0,1,2,", n)是实数，由于有理数集合在 9

实数集中是稠密的，可以取有理数ak(k=0,1,2,n)分别与b(k=0,1,2,n)充分接近，令P(x)=akx，使得对一切xe[a,b]成立k=0[P(x) -Q(x) 0，存在多项式P(x)，使得对一切xe[a,b]成立[P(x)- f(x)<8 。由于["L(x)- P(x)P dx = 'LF2(x)-2f(x)P(x)+ P2(x)dx = ['LF2(x)+ P2(x)]dx ,所以 2(x)dx≤ ["'LF2(x) + P2(x)]dx = 'Lf(x)- P(x) dx <(b-a)? 。由ε的任意性，得到' f?(x)dx = 0 ,再由f(x)的连续性，得到f(x)= 0。5. 设P(n)=0, Pau(x)=P,(x)+二-P() (n=0,1,2,), 证明: ( P,(n)在[-1,1]上一致收敛于「x1。证首先有0≤P()≤。设0≤P(n)≤冈，由于函数h()=1+=在210

实数集中是稠密的，可以取有理数 ak (k = 0,1,2,", n) 分别与 充分接近，令 ，使得对一切 成立 bk (k = 0,1,2,", n) ∑ = = n k k k P x a x 0 ( ) x ∈[a,b] 2 ( ) ( ) ε P x − Q x 0，存在多项式 ，使得对一 切 成立 P(x) x ∈[a,b] P(x) − f (x) < ε 。 由于 ∫ − = b a f x P x dx 2 [ ( ) ( )] ∫ − + = b a [ f (x) 2 f (x)P(x) P (x)]dx 2 2 ∫ + b a [ f (x) P (x)]dx 2 2 ， 所以 ∫ ≤ b a f (x)dx 2 ∫ + b a [ f (x) P (x)]dx 2 2 = ∫ − b a f x P x dx 2 [ ( ) ( )] 2 < (b − a)ε 。 由ε 的任意性，得到 ( ) 0 2 ∫ = b a f x dx ， 再由 f (x)的连续性，得到 f (x) ≡ 0。 5. 设P0 (x)=0，Pn+1 (x) = Pn (x)+ 2 ( ) 2 2 x P x − n （n = 0,1,2,.），证明：｛ (x)｝ 在[-1,1]上一致收敛于｜x｜。 Pn 证 首先有0 ≤ P (x) ≤ x 0 。设 P x x 0 ≤ k ( ) ≤ ，由于函数 2 ( ) 2 2 x t h t t − = + 在 10