复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第九章 数项级数 9. 3 正项级数

习题9.3正项级数1.讨论下列正项级数的敛散性：2n4n3(2) (1)int+i'n+3n>(4)(3) min!'lnnSn2(1- cos (5) (6)nn)Z(/n-1);(7) (8)台n=l22+(D(9)(10)2022n+1n=l2m(11)(12)= n"(vn +1- Vn -1);Z(2n-Vn? +1-Vn2-1);(13) (14)n=n2+1m(10 2(-Incos);元(15)n?-]nn=3a"W(17)(a>0)。= (1+a)(1+a")...(1+a")44n由于4收敛，所以之_收敛。解（1）因为(→8)，由n4 +1n=in3=I nt +12n22→)，由于发敏，所以，发。（2）因为(nn3+3nninn+3n1>1由于发散，所以之发散。（3）因为In? nn=inn=In?n（4）因为当n≥4有一<一由于收敛，所以收敛。，=I n!in21（5）因为lnn由于一收敛，所以收敛。annnn?in/n元21-cos=2sin2元，(6)(n→),2n22nn由于元？元一收敛，收敛。所以Z1-cos-=12n?nn=l (1

习 题 9. 3 正项级数 1. 讨论下列正项级数的敛散性： ⑴ ∑ ∞ =1 +4 1 4 n n n ; ⑵ ∑ ∞ =1 +3 2 3 2 n n n n ; ⑶ ∑ ∞ =2 2 ln 1 n n ; ⑷ ∑ ∞ =1 ! 1 n n ; ⑸ ∑ ∞ =1 2 ln n n n ; ⑹ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 cos n n π ; ⑺ ∑ ∞ =1 1 n n n ; ⑻ ( 1) 1 ∑ − ∞ n= n n ; ⑼ ∑ ∞ =1 2 n 2n n ; ⑽ ∑ ∞ = + + − 1 2 1 2 [2 ( 1) ] n n n n ; ⑾ ∑ ∞ = − 1 2 e n n n ; ⑿ ∑ ∞ =1 2 ! n n n n n ; ⒀ ∑ ∞ = + − − 1 2 2 ( 1 1) n n n ; ⒁ ∑ ∞ = − + − − 1 2 2 (2 1 1) n n n n ; ⒂ ∑ ∞ = − + 2 2 2 1 1 ln n n n ; ⒃ ( ln cos ) 3 ∑ ∞ = − n n π ; ⒄ ∑ ∞ =1 + + + 2 n (1 )(1 ) (1 ) n n a a a a " (a＞0)。 解（1）因为 1 4 4 n + n ～ 3 4 n (n → ∞)，由于 ∑ ∞ =1 3 4 n n 收敛，所以∑ ∞ =1 +4 1 4 n n n 收敛。 （2）因为 n n n 3 2 3 2 + ～ n 2 (n → ∞)，由于∑ ∞ =1 2 n n 发散，所以∑ ∞ =1 +3 2 3 2 n n n n 发散。 （3）因为 n n 1 ln 1 2 > ，由于 ∑ ∞ =1 1 n n 发散，所以∑ ∞ =2 2 ln 1 n n 发散。 （4）因为当n ≥ 4有 2 1 ! 1 n n < ，由于 ∑ ∞ =1 2 1 n n 收敛，所以∑ ∞ =1 ! 1 n n 收敛。 （5）因为 n n n ln n 1 2 < ，由于 ∑ ∞ =1 1 n n n 收敛，所以∑ ∞ =1 2 ln n n n 收敛。 （6） n 2n 1 cos 2sin π 2 π − = ～ 2 2 2n π (n → ∞)， 由于 ∑ ∞ =1 2 2 n 2n π 收敛，所以∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 cos n n π 收敛。 1

1=10，所以一发散。（7）由于limn->00/n二n（8）因为当n≥3有1n-1>en-1~(n→) :n由于发散，所以之(/n-1)发散。n=inn=ln?则(9）设xonlimn+100Xnn?收敛由D'Alembert判别法，Am=/24(10)设x,=[2+(-1)""则22n+13limg/xn41>0[2+(-1"工收敛。由Cauchy判别法，22.2n+l=(11）设x=n2e-"，则Xn+11lim -00Xne心~收收由D'Alembert判别法，2"n!则（12）设x=2hh2lim r+1<l,en-00Xn2"n收敛。由D'Alembert判别法，Zn'n=l2

（7）由于 1 0 1 lim = ≠ →∞ n n n ，所以∑ ∞ =1 1 n n n 发散。 （8）因为当n ≥ 3有 1 1 1 − > − n n n e ～ n 1 (n → ∞)， 由于 ∑ ∞ =1 1 n n 发散，所以 ( 1) 1 ∑ − ∞ n= n n 发散。 （9）设 n n n x 2 2 = ，则 n n n x x 1 lim + →∞ 1 2 1 = < ， 由 D’Alembert 判别法，∑ ∞ =1 2 n 2n n 收敛。 （10）设 2 1 2 [2 ( 1) ] + + − = n n n n x ，则 n n n x →∞ lim 1 4 3 = < ， 由 Cauchy 判别法，∑ ∞ = + + − 1 2 1 2 [2 ( 1) ] n n n n 收敛。 （11）设 xn = n 2 e−n ，则 n n n x x 1 lim + →∞ 1 1 = < e ， 由 D’Alembert 判别法，∑ 收敛。 ∞ = − 1 2 e n n n （12）设 n n n n n x 2 ! = ，则 n n n x x 1 lim + →∞ 1 2 = < e ， 由 D’Alembert 判别法，∑ ∞ =1 2 ! n n n n n 收敛。 2

2Vn?+1-n?-1-(13)→8)(nVn?+1+Vn?-1M由于-发散，所以(n+1-n-I)发散。n=in2(n2 - J(n2 +1)(n2 -1)(（14）2n-n2+1-yn2-12n+n?+1+n?-121 (n→),4n2n+n?+1+n?-1n?+/(n2+1)(n2-1)由于收敛，所以(2n-+1--1)收敛。n=4n3n=ln2 +122(15)In Inl 1 +(n→0),n?-1n2-1n由于号收敛，所以n收敛。n?=in(16) -Incos= =-In[1-b2sin2元1-cos5(n→8)2n22nnn)由于元？收敛，所以2(-Incos≤)收敛。1=12n?nn=3a"则（17）设x,=(1+a)(1+a)..(1+a")[α 000 Xn10a>1a"8V由D'Alembert判别法，(a>0)收敛。 (1 +a)(1+a?).(I+α")2.利用级数收敛的必要条件，证明：n"(2n)!= 0;(2)=0。(1) limlim2n(n+1)(n!)21-00n"则 lim ×+ = lim（1）设x证0，由D'Alembert(nl)2n->00n+10Xn3

（13） 1 1 2 2 n + − n − 1 1 2 2 2 + + − = n n ～ n 1 (n → ∞)， 由于 ∑ ∞ =1 1 n n 发散，所以∑ ∞ = + − − 1 2 2 ( 1 1) n n n 发散。 （14）2 − +1 − −1 = 2 2 n n n ( ) 2 1 1 2 ( 1)( 1) 2 2 2 2 2 + + + − − + − n n n n n n ( 1)( 1) 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 + + − ⋅ + + + − = n n n n n n ～ 3 4 1 n (n → ∞)， 由于 ∑ ∞ =1 3 4 1 n n 收敛，所以∑ ∞ = − + − − 1 2 2 (2 1 1) n n n n 收敛。 （15） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + − + 1 2 ln 1 1 1 ln 2 2 2 n n n ～ 2 2 n (n → ∞)， 由于 ∑ ∞ =1 2 2 n n 收敛，所以∑ ∞ = − + 2 2 2 1 1 ln n n n 收敛。 （16） ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − − n n π π ln cos ln 1 1 cos ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − 2n ln 1 2sin 2 π ～ 2 2 2n π (n → ∞)， 由于 ∑ ∞ =1 2 2 n 2n π 收敛，所以 ( ln cos ) 3 ∑ ∞ = − n n π 收敛。 （17）设 (1 )(1 ) (1 ) 2 n n n a a a a x + + + = " ，则 n n n x x 1 lim + →∞ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > = < < = 0 1 1 2 1 0 1 a a a a ， 由 D’Alembert 判别法，∑ ∞ =1 + + + 2 n (1 )(1 ) (1 ) n n a a a a " (a＞0)收敛。 2. 利用级数收敛的必要条件，证明： (1) lim n→∞ 2 (n!) nn = 0； (2) lim n→∞ ( 1) 2 (2 )! n n+ n = 0。 证 （1）设 2 (n!) n x n n = ，则 n n n x x 1 lim + →∞ 0 1 1 1 1 lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = →∞ n n n n ，由 D’Alembert 3

n"S判别法，收敛，所以limx,=lim0(n!)n=1(2n)!(2n+1)(2n+2)=0,由 D'AlembertXn+l设x,则lim=(2)im2n(n+l),22(n+1)n-00xnn->0(2n)!2x,收敛，所以limx,=lim判别法，0。2n(n+l)n=13.利用Raabe判别法判断下列级数的敛散性：n!?(1)(a>0);= (a+1)(a+2)...(a+n)(2) (3)2(2)n!则解(1)设x=(a+D)a+2)(a+m)7limn>004由Raabe判别法，当a>1时，级数收敛，当01,n→onXn+l由Raabe判别法，级数收敛。1则(3)设2limnIn2(1)dx;dx:保x2V117he4

判别法， ∑ 收敛，所以 ∞ n=1 n x lim n→∞ xn = lim n→∞ 2 (n!) nn = 0。 （2）设 ( 1) 2 (2 )! + = n n n n x ，则 n n n x x 1 lim + →∞ 0 2 (2 1)(2 2) lim 2( 1) = + + = + →∞ n n n n ，由 D’Alembert 判别法， ∑ 收敛，所以 ∞ n=1 n x lim n→∞ xn = lim n→∞ ( 1) 2 (2 )! n n+ n = 0。 3. 利用 Raabe 判别法判断下列级数的敛散性： (1) ∑ ∞ =1 ( +1)( + 2) ( + ) ! n a a a n n " (a＞0)； (2) ∑ ∞ =1 ln 3 1 n n ； (3) n n 1 2 1 1 1 2 1 + + + ∞ = ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ " 。 解 (1) 设 ( 1)( 2) ( ) ! a a a n n xn + + + = " ，则 a x x n n n n =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ lim 1 1 , 由 Raabe 判别法， 当a > 1时, 级数收敛，当0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ n n n x x n , 由 Raabe 判别法，级数收敛。 (3) 设 n n x 1 2 1 1 2 1 + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = " ，则 lim 1 ln 2 1 1 = < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ n n n x x n , 由 Raabe 判别法，级数发散。 4. 讨论下列级数的敛散性： (1) ∑∫ ∞ =1 − 1 0 d n 1 n x x x ； (2) ∑∫ ∞ = π π 1 2 2 2 d sin n n n x x x ； 4

Z(3)" In(1+x) dx。JO解（1）当n≥2，有nnx由于一收敛，所以又dx收敛。n=inVnxn=l2nasinx112n元sin? xdx:(2)D4n2元8n元由于发散，所以dx发散。Jnx2=18n元(3)[ In(1 + x)dx0X2xxxxx所以数列，单调减少有下界，因此收敛。6.设之x，与，是两个正项级数，若lim=0或+α，请问这两个:yn级数的敛散性关系如何？军若lim兰=0,则当n充分大时有x，<，所以当y，收敛时x，必解yn定收敛，当x，发散时，必定发散；1=1n=l5

(3) ∑∫ ∞ = + 1 1 0 ln(1 ) d n n x x。 解 (1) 当n ≥ 2，有 ∫ − n dx x x 1 0 1 n n n xdx 1 2 1 0 ∫ π π π n n xdx n 2 2 2 2 sin 4 1 8nπ 1 = ， 由于 ∑ ∞ =1 8 1 n nπ 发散，所以 ∑∫ ∞ =1 2 2 2 d sin n n n x x π x π 发散。 (3) ∫ n + x dx ∫ + 2 1 d x x ∫ +"+ 3 2 d x x ∫ n+1 d n x x − ∫ n x x 1 d ∫ + = n 1 d n x x > 0， 所以数列{xn }单调减少有下界，因此收敛。 6. 设∑ 与 是两个正项级数，若 ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n y lim n→∞ n n y x = 0 或+∞，请问这两个 级数的敛散性关系如何? 解 若lim n→∞ n n y x =0，则当n充分大时有 n n x < y ，所以当 收敛时 必 定收敛，当 发散时 必定发散； ∑ ∞ n=1 n y ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n y 5

若lim=+，则当n充分大时有x,>yn，所以当y，发散时yn-x，必定发散，当x，收敛时y，必定收敛。1==17.设正项级数又x，收敛，则又x?也收敛；反之如何？n=1n=l解设正项级数x收敛，则limx，=0，所以当n充分大时有0≤x,时，由解2nzl<1x,+np2p以及x，与的收敛性，可知收敛。n=in2pnpnln=l当0≤时，不一定收敛。例如x,=，则x收敛，2nPnln?n=l但之发。 nP9.设f(x)在[1,+0)上单调增加，且lim f(x)=A。（1）证明级数L(n+1)-(n)收敛，并求其和；-(2）进一步设f(x)在[1,+)上二阶可导，且"(x)<0，证明级数Zr(n)收敛。证(1）级数Lf(n+1)-f(n))的部分和为S,=f(n+1)-f(I)，由-lim f(x)= A得到S= lim S,= A-f(I);6

若 lim n→∞ n n y x = + ∞ ，则当 充分大时有 ，所以当 发散时 必定发散，当 收敛时 必定收敛。 n n n x > y ∑ ∞ n=1 n y ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n y 7. 设正项级数∑ 收敛，则 也收敛；反之如何? ∞ n=1 n x ∑ ∞ =1 2 n n x 解 设正项级数∑ 收敛，则 ∞ n=1 n x lim = 0 →∞ n n x ，所以当 充分大时有 ， 即有 ，因此 收敛；反之，当 收敛时，∑ 不一定收敛， 例如 n 0 ≤ xn 时，级数 ∑ ∞ n=1 p n n x 收敛；又问当 2 1 0 时，由 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ + p n p n n x n x 2 1 2 1 以及∑ 与 ∞ n=1 n x ∑ ∞ =1 2 1 n p n 的收敛性，可知∑ ∞ n=1 p n n x 收敛。 当 2 1 0 < p ≤ 时，∑ ∞ n=1 p n n x 不一定收敛。例如 n n xn 2 ln 1 = ，则 收敛， 但 ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 p n n x 发散。 9．设 f (x)在[1,+∞)上单调增加，且 f x A x = →+∞ lim ( ) 。 （1）证明级数∑ 收敛，并求其和； ∞ = + − 1 [ ( 1) ( )] n f n f n （2）进一步设 f (x) 在[1,+∞) 上二阶可导，且 f ′′(x) < 0 ，证明级数 ∑ 收敛。 ∞ = ′ 1 ( ) n f n 证 (1) 级 数 ∑ 的部分和为 ∞ = + − 1 [ ( 1) ( )] n f n f n S f (n 1) f (1) n = + − ， 由 f x A得到 x = →+∞ lim ( ) S lim S A f (1) n n = = − →∞ ； 6

(2)由Lagrange中值定理以及f(x)单调减少，得到0≤ f'(n)0，证明级数收敛。n=in证（1） a, +an+2=J tan"xdx+Jtan"+2 xdx=(4 tan" xd tan x n+1于是1an +an+2 =51:=in(n+1)n1111于是（2）由a,>0及an+an+2可知annl+n+1n+lnt1由于收敛，可知之收敛。n=inl+ana >1-1(n=1,2)，证明x发散11.设,>0，Xann=ll >1-1,证得到由x,>0,Xnn(n-1)x,0，使得nx+≥α，因而αXn+1 >n由之~发散即可知之x，发散。n=inn=112．设正项级数x，发散（x,>0，n=1,2.…），证明必存在发散的正n=I7

(2) 由 Lagrange 中值定理以及 f '(x)单调减少，得到 0 ≤ f '(n) 0，证明级数∑ ∞ n=1 n n a λ 收敛。 证 （1）an + an+2 = ∫ 4 0 tan π xdx n ∫ + + 4 0 2 tan π xdx n = ∫ 4 0 tan tan π xd x n 1 1 + = n ， 于是 ∑ ∞ = + + 1 2 n n n n a a 1 ( 1) 1 1 = + = ∑ ∞ n= n n ； （2）由an > 0 及an + an+2 = 1 1 n + ，可知an n n 1 1 1 0 , 使得nxn+1 ≥ α ，因而 n xn α +1 > 。 由 ∑ ∞ n=1 n α 发散即可知∑ 发散。 ∞ n=1 n x 12．设正项级数∑ 发散（ ， ∞ n=1 n x xn > 0 n = 1,2,"），证明必存在发散的正 7

使得lim=0。项级数yn，10 X nn=l证设S,=Zxk，则limS,=+o0。令k=lJi=/, yn =s,-/-(n = 2,3,4,-..) ,于是之yk=,，即y,是发散的正项级数，且k=lVs, -/S.1lim = lim= lim=0。n00Xns.+s.n-00Xnn-→oS. -2,证明级数文善收敛。13.设正项级数之x，发散，ISn=lk=l证由S,≥S-I，可知11Xn<Sn -Sn-l -s.2Sh-IS,S,Sn-由此得到=2_1由limS,=+oo，得到台sxs.02岁=2。..sx14.设(a,)为Fibonacci数列。证明级数之%收敛，并求其和。=/2解首先Fibonaci数列具有性质am=a,+an与lim-与+<22an(见例2.4.4)。设x=%，则2″V5 +1lim r+L4n-00Xn由D'Alembert 判别法可知级数Z%收敛。1124设s-2%，则25=Sanl，两式相加得到=12月n=02n8

项级数∑ ，使得 ∞ n=1 n y lim = 0 →∞ n n n x y 。 证 设 ∑ , 则 = = n k n k S x 1 = +∞ →∞ n n lim S 。令 1 S1 y = , n = Sn − Sn−1 y (n = 2,3,4,") ， 于是 n n k k ∑ y = S =1 ，即∑ 是发散的正项级数，且 ∞ n=1 n y = →∞ n n n x y lim = − − →∞ n n n n x S S 1 lim 0 1 lim 1 = + − →∞ n n n S S 。 13. 设正项级数∑ 发散， ，证明级数 ∞ n=1 n x ∑= = n k n k S x 1 ∑ ∞ =1 2 n n n S x 收敛。 证 由Sn ≥ Sn−1，可知 n n n n n n n n S S S S S S S x 1 1 1 1 1 2 = − − ≤ − − − ， 由此得到 n n k k k S x S x 2 1 1 1 2 ∑ = − = 。由 = +∞ →∞ n n lim S ，得到 1 1 2 2 S x x n n n ∑ = ∞ = 。 14．设{an }为 Fibonacci 数列。证明级数∑ ∞ n=1 2n an 收敛，并求其和。 解 首先 Fibonacci 数列具有性质an+1 = an + an−1与 2 2 5 1 lim 1 < + = + →∞ n n n a a (见例 2.4.4)。设 n n n a x 2 = ，则 1 4 5 1 lim 1 < + = + →∞ n n n x x ， 由 D’Alembert 判别法可知级数∑ ∞ n=1 2n n a 收敛。 设 ∑ ∞ = = n 1 2n an S , 则 ∑ ∞ = + = 0 1 2 2 n n an S , 两式相加得到 8

an+22=4s-a-a2"3S = a, +Z=1 2"于是S= ai +a2 = 2 。9

∑ ∞ = + = + 1 2 1 2 3 n n n a S a 1 2 = 4S − a − a ， 于是 2 S = a1 + a2 = 。 9