复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第四章 微分 4.5 高阶导数和高阶微分

习题4.5高阶导数和高阶微分1.求下列函数的高阶导数：(1)y=x3+2x2-x+1, 求y";(2)y=x4lnx，求y";x，求y";(4) y=婴，求":(3) y=+x7(5) y=sinx3,求y"、y";(6)y=x3cos/x，求y"、y";(7) y=x?e3x,求y";(8)y=e-r arcsinx，求y";(9)y=x3cos2x，求p(80);(10) y=(2x2 +1)shx,求y(99)解（1）y=3x2+4x-1,y"=6x+4,J"=6。(2）y=4xlnx+x3，"=12x21nx+4x2+3x2=12x2lnx+7x212x/1+x-x22/1+x_ 4x+3x2(3) y1+x2(1+ x)(4x+ 3x2)(1+x)(4+6x)(1+ x)2.3x+8x+8b2(1 + x)34(1 + x)2(4) y'=x.x-2 -2lnx-x-_ 1-2lnxx3J"=-2x*x* -3(1-21n x)x-+ = 6lnx-5x4(5) y=cosx3 .(3x2)= 3x? cosx3,y"=6xcosx3+3x(-sinx")(3x)=6xcosx3-9x*sinx,y"=6cosx -6xsinx3.(3x2)-36x* sinx -9x* cosx3 (3x)=-54x sinx -(27x6 -6)cosx。(6) y= 3x* cos/ +x(-sin /)/)= 3x cos /x-x sin /,2/x283

习 题 4.5 高阶导数和高阶微分 ⒈ 求下列函数的高阶导数： ⑴ y x = + x − x + 3 2 2 1, 求 y′′′； ⑵ y x = x 4 ln ，求 y′′； ⑶ y x x = + 2 1 ，求 y′′； ⑷ y x x = ln 2 ，求 y′′； ⑸ y = sin 3 x ，求 y′′、 y′′′ ； ⑹ y x = x 3 cos ，求 y′′、 y′′′； ⑺ y x x = 2 3 e ，求 y′′′； ⑻ y x x = − e arcsin 2 ，求 y′′； ⑼ y x = x 3 cos 2 ，求 y(80)； ⑽ y x = (2 1 + )s x 2 h ，求 y . (99) 解 （1） ' 3 4 1, '' 6 4, 2 y = x + x − y = x + y'''= 6 。 （2） y'= 4x 3 ln x + x 3 ， y"= 12x 2 ln x + 4x 2 + 3x 2 = 12x 2 ln x + 7x 2 。 （3） 2 2 3 2 1 2 1 2 1 4 3 ' 1 2(1 ) x x x x x x y x x + − + + = = + + ， 3 1 2 2 2 2 3 5 2 3 (4 6 )(1 ) (4 3 )(1 ) 3 8 2 " 2(1 ) 4(1 ) x x x x x x x y x x + + − + + + +8 = = + + 。 （4） 3 1 2 3 1 2ln ' 2ln x x y x x x x − = ⋅ − ⋅ = − − − ， 4 1 3 4 6ln 5 " 2 3(1 2ln ) x x y x x x x − = − − − = − − − 。 （5） y'= cos x 3 ⋅(3x 2 ) = 3x 2 cos x 3 ， 3 2 3 2 3 4 3 y"= 6x cos x + 3x (−sin x )(3x ) = 6x cos x − 9x sin x ， 3 3 2 3 3 4 3 y x ''' = − 6cos 6x sin x ⋅(3x ) − 36x sin x − 9x cos x ⋅(3 ) 2 x 3 3 6 3 = −54x sin x x − (27 − 6) cos x 。 （6） x x x x x y x x x x sin 2 1 ) 3 cos 2 1 ' 3 cos ( sin )( 2 5 2 3 2 = + − = − ， 83

y"=6xcos Vx+3x:(-sin V)/-5,1xsinr2(cosx22Vx2/x4)cosVh_11sinVx,(6x44)(-sin V)/_33 11P)cos/x+(6x"=(64A2/x2/8x)cosx+(l_57=(6_ 15 x2)sinx8X(7)y'=2xe3* +x2e3*(3x)=(2x +3x2)e3xyl"=(2 +6x)e3 +(2x+3x°)e3*(3x)=(9x? +12x+2)e3xy"=(18x+12)e3* +(9x? +12x+2)e*(3x)=(27x? +54x+18)e3x(8)y'=(-x2)e-rarcsinx+e-r(arcsinx)'=(-2xarcsinx/1-1y"=(-x2)(-2xarcsinx-V12x=(-2x)(-2xarcsin2arcsinV1-x(4x2 3)2(2x2-1)arcsinx(1-x(9) (80) = x3 cos(80) 2x+Cl 3x cos(79) 2x+C% 6xcos(78) 2x+C 6 cos7) 2x=280x3cos2x+80.279.3x2sin2x-3160.278.6xcos2x-82160.277.6sin2x280x(x2-4740)cos2x+(120x2-61620)sin2x(10)(99) =(2x2 +1)sh(99)x+Cl4x sh(98) x+C2.4 sh(97) x=(2x2+1)ch x+99.4xshx+4851.4ch x=(2x2+19405)chx+396xshx 。2.求下列函数的n阶导数y(n)84

3 5 2 2 2 1 5 1 1 " 6 cos 3 ( sin ) sin (cos ) 2 2 4 2 y x x x x x x x x x x = + − − − 3 2 2 1 11 (6 ) cos sin 4 4 = −x x x − x x ， 2 1 3 2 2 1 33 11 1 ''' (6 ) cos (6 )( sin ) sin cos 2 4 2 2 8 4 x x y x x x x x x x x x = − + − − − − 3 1 2 2 15 1 57 (6 ) cos ( )sin 8 8 8 = − x x x + − x x 。 （7） y'= 2xe3x + x 2 e3x (3x)'= (2x + 3x 2 )e3x ， x x x y x e x x e x x x e 3 2 3 2 3 ''= (2 + 6 ) + (2 + 3 ) (3 )'= (9 +12 + 2) ， x x x y x e x x e x x x e 3 2 3 2 3 '''= (18 +12) + (9 +12 + 2) (3 )'= (27 + 54 +18) 。 （8） 2 2 2 ) 1 1 ' ( )' arcsin (arcsin )' ( 2 arcsin 2 2 x x x e x y x e x e x x x − − − − = − + = − + ， ; (1 ) (4 3) 2(2 1) arcsin (1 ) ( 2 ) ) 2 1 ( 1 2 ) 2arcsin 1 1 ( 2 )( 2 arcsin )' 1 1 ) ( 2 arcsin 1 1 " ( )'( 2 arcsin 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x e x x x x x e x x x x e x x x x x e x e x x x y x x x − − − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − − = − − + − + − + − = − − + （9） (80) 3 (80) 1 2 (79) 2 (78) 3 (77) 80 80 80 y = + x cos 2x C 3x cos 2x +C 6x cos 2x C+ 6cos 2x 80 3 79 2 78 77 = + 2 x cos 2x x 80⋅ 2 ⋅3 sin 2x − 3160⋅ 2 ⋅6x cos 2x −82160⋅ 2 ⋅6sin 2x 80 2 2 = − 2 ⎡ ⎤ x(x x 4740) cos 2 + (120x − 61620)sin 2 ⎣ ⎦ x x 。 （10） (99) 2 (99) 1 (98) 2 (97) 99 99 y x = + (2 1)sh x +C 4x sh x + C 4sh 2 = + (2x 1)ch 99 x x + ⋅ 4 sh x + 4851⋅4ch x 2 = + (2x 19405)chx + 396xshx 。 ⒉ 求下列函数的n阶导数 y(n) ： 84

(1) y= sin ox;(2) y= 2*Inx ;1(3) y(4) y=x2-5x+6Y(5) y= ea cos βx ;(6) y= sin*x+cos*x(1) (n)_1(1 -cos 2ax)) = -2"-l 0" cos(2ax + " 元解元）22=2"l0"sin(20x +"-],元）。2(2) y() =Zc;(2*)(-)(ln x)() =In"2.2"Inx+ZC,2ln"-* 2k=0-2"In"2 ln x+Zc, n"* 2. (-1)(k-1)k=lCk (-1)*k!(-1)"k!(3) μ(n) =-k(e)C+4+l-A+Xke(=0k=0（4）由于=(-1)"n(x- 3)*+(x-2)"Z(x -2)*(x- 3)-k1=(-1)"n! (=0(x-3)(r-2)-=(-1)"n1)k=0 (x-2)"-k+(x-3)*+IKTZc (ear) an-k [cos(βx)*) = ea(5) y(m) = Cn-kβ*cos(Bx-KOk=0(6)y=(sinx+cosx)?-2sin2xcosxsin22x=1_|((1-cos4x)= 3+ cos4x=1-12444所以元y(n)=4"-1cos(4x+23.研究函数x≥0,f(x):x2，x<085

⑴ y x = sin2 ω ； ⑵ y x x = 2 ln ； ⑶ y x x = e ； ⑷ y x x = − + 1 5 6 2 ； ⑸ y e x x = α cosβ ； ⑹ y x = sin + cos x 4 4 . 解 （1） ) 2 (1 cos 2 ) 2 cos(2 2 ( ) 1 ( ) 1 = − ω = − ω ω + π − n y x x n n n n 1 1 2 sin(2 2 n n n ω ω π x ) − − = + 。 （2） ( ) ( ) ( ) 0 (2 ) (ln ) n n k x n k k x n k y C − = = ∑ ( 1) 1 1 ln 2 2 ln 2 ln 2 k n n x k x n k n k x C x − − = ⎛ ⎞ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 1 1 ( 1) ( 1)! 2 ln 2 ln ln 2 n k x n k n k n k k k x C x − − = ⎡ ⎤ − − = ⋅ + ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ 。 （3） ∑ ∑= + = − − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n k k k k x n n k k k x n k n n x k C e x y C e 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ! ( ) 1 0 ( 1) ! + = − = ∑ k n k k k n x x k e C 。 （4）由于 2 1 3 1 − − − = x x y ， ( ) ( ) ( ) 1 1 3 2 n n n y x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ⎝ ⎠ 1 1 1 1 ( 1) ! ( 3) ( 2) n n n n x x + + ⎡ ⎤ = − − ⎢ ⎥ ⎣ − − ⎦ 0 1 1 1 0 ( 2) ( 3) 1 ( 1) ! ( 1) ! ( 3) ( 2) ( 2) ( 3) n k n k n n k n n n n k k x x n n x x x x − = + + − + = − − = − = − − − − − ∑ ∑ k+1 。 （5） [ ]( ) 0 ( ) ( ) ( ) cos( ) k n k k x n k n n y C e βx α ∑= − = 0 cos( ) 2 n x k n k k n k k e C x α π α β β − = = + ∑ 。 （6） y x x x x 2 2 2 2 2 = (sin + cos ) − 2sin cos 1 2 1 sin 2 2 = − x 1 3 1 (1 cos 4 ) 4 4 cos 4 4 x = − − x = + ， 所以 ( ) 1 4 cos(4 ) 2 n n n y x − π = + 。 ⒊ 研究函数 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < ≥ = , 0 , 0, ( ) 2 2 x x x x f x 85

的各阶导数。解当x>0时，f(x)=2x；当x0,由此得到f"(x)=-2,x2时，f((x)=不存在，x=0。4．设f(x)任意次可微，求(2)()(1) [f(x2)" ;(3) [f(In x)" ;(4) [n f(x)" ;(6) [f(arctan x)".(5) [f(e)]" ;解(1) [f(x2)"= f"(x2)(x2)=2xf"(x),[f(x)"= 2xf"(x2)(x2)+(2x) f'(x2)= 4x? f"(x2)+2f'(x2) [f(x)"= 4x"f"(x2)(x)+(4x)'f"(x3)+2f"(x2)(x2)'= 8x f"(x2)+12xf"(x*)。(2)[--[(]--(()-()()-()+()[(]--()-(-(-r(86

的各阶导数。 解 当 x > 0时， f '(x) = 2x；当 x ⎪ = − ⎨ 2时， ( ) 0, 0, ( ) 0 n x f x x ⎧ ≠ = ⎨ ⎩不存在， = 。 4．设 f x( )任意次可微，求 ⑴ [ ( f x )] 2 ′′′； ⑵ 1 f x ′′′ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ； ⑶ [ ( f ln x)]′′； ⑷ [ln f x( )]′′； ⑸ [ ( f e )] − x ′′′； ⑹ [ f (arc tan x)]′′ . 解 （1）[ f (x 2 )]'= f '(x 2 )(x 2 )'= 2xf '(x 2 )， [ ( )]'' 2 ''( )( )' (2 )' '( ) 4 ''( ) 2 '( ) 2 2 2 2 2 2 2 f x = xf x x + x f x = x f x + f x ， 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 [ ( )]''' 4 '''( )( )' (4 )' ''( ) 2 ''( )( )' 8 '''( ) 12 ''( ) 2 f x = + x f x x x f x + f x x = x f x + xf x 。 （2） ' 2 1 1 1 1 f f ' ' f 1 x x x x x ′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， ' ' 2 2 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 f f '' f ' f '' ' 1 f x x x x x x x x x ′′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x ， 6 5 5 4 1 1 1 4 1 2 1 6 1 f f f f f x x x x x x x x ′′′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ′′′ −−− ′′ ′′ ′ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 86

[（)+6（)+6x（)(3) [(n)= (nx)lnx)=(n),[(n x)"=(nn)x-(n)_ "(nx)-(n)x2x2(4) [n (x)"= [(℃,f(x)[n (x)]"= ["()/()-(r(x)f°(x)(5) [f(e)}'= f"(e*)(e"*)'= -e"* f"(e-")[f(e-*)]"= -e-"f"(e-")(e-")'-(e-)' f'(e")=e-* f"(e-")+e"" f'(e-*),[f(e)"=e-* f"(e-"(e")'+(e-)'f"(e")+ef"(e*)(e*)'+(e")'f(er)= -e-* f"(e"*)-3e-** f"(e"")-e"*f'(e"") 。(6) [(artanx)'= (arctan x)(arctanx)=arctan1+ x2[(actan)"+)"areaaran+)arctan(1+x2)2f"(arctan x)-2xf (arctan x)(1+x)25.利用Leibniz公式计算y(n)(O)：(1) y= arc tan x ;(2) y=are sinx 。2x解（1）由y=令x=0，可得y(0)=1,"(0)=0。在1+x2(1+x2)等式y(1+x2）=1两边对x求n阶导数（n>1)，得到Zch y(n-k+1)(1+ x2)() = 0 ,k=0注意到(1+x2)"=0，上式简化为87

2 6 1 1 1 1 f x6 6 f x f x x x ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ′′′ + ′′ + ′ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 。 （3） ( ) ( ) x f x f x f x x ' ln [ (ln )]'= ' ln (ln )'= , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 '' ln (ln )' ' ln ( )' '' ln ' ln [ (ln )]'' x f x f x x f x x x f x x f x − = ⋅ − = 。 （4） ( ) '( ) [ln ( )]' f x f x f x = , ( ) ( ) ''( ) ( ) '( ) [ln ( )]'' 2 2 f x f x f x f x f x − = 。 （5）[ ( )]' '( )( )' '( ) x x x x x f e f e e e f e − − − − − = = − 2 [ ( )]'' ''( )( )' ( )' '( ) ''( ) '( ) x x x x x x x x x x f e e f e e e f e e f e e f e − − − − − − − − − = − − = + − x , 2 2 [ ( )]''' '''( )( )' ( )' ''( ) ''( )( )' ( )' '( ) x x x x x x x x x x f e e f e e e f e e f e e e f e − − − − − − − − − − = + + + − 3 2 x '''( ) 3 ''( ) '( ) x x x x x e f e e f e e f e − − − − − − = − − − 。 （6） 2 '(arctan ) [ (arctan )]' '(arctan )(arctan )' 1 f x f x f x x x = = + , 2 2 2 2 (1 ) ''(arctan )(arctan )' (1 )' '(arctan ) [ (arctan )]'' (1 ) x f x x x f f x x + − + = + x 2 2 ''(arctan ) 2 '(arctan ) (1 ) f x xf x x − = + 。 5．利用 Leibniz 公式计算 y( ) n (0) ： ⑴ y = arc tan x； ⑵ y x = arc sin 。 解（1）由 2 2 2 (1 ) 2 , '' 1 1 ' x x y x y + = − + = ，令 x = 0，可得 y'(0) = 1, y''(0) = 0 。在 等式 y'(1+ x 2 ) = 1两边对 x求n阶导数（n >1），得到 ∑= − + + = n k k n k k n C y x 0 ( 1) 2 ( ) (1 ) 0， 注意到(1+ x 2 )'''= 0 ，上式简化为 87

y((1+x)+ my() .2x+ n(n-),1).2=02以x=0代入，得到递推公式y(n+1)(0) = -n(n-1)y(n-1)(0) ,从而得到y(")(0)=(-1)(n-1)。n为奇数;[o,n为偶数。(2) 由y'=(1-x),y"=(-)(1-x)(1-x)=x(1-x),令x=0,1-x可得y(0)=1,"(0)=0，且xy=(1-x)"。在等式xy"=(1-x)"两边对x求n阶导数（n≥1），得到Zchy(a-)(x)() Zc, y(n-2)(1- x2)(k),=k=即xy(+1) +my(n) = y(+2)(1- x2)(k) - 2xmy(+1) - n(n-1)y()xy(n+) + ny(m) = y(n+2)(1- x2)- 2xny(n+1) =n(n -1)μ(n) ,以x=0代入，得到递推公式y(n+2)(0) = n2y(m) (0) ,从而得到[(n- 2)],n为奇数；y(n) (0) =[0,n为偶数。6．对下列隐函数求d2(1) er+y-xy=0;(2) tan(x + y)-xy = 0;(3) 2ysinx+xlny=0;(4) x3 + y-3axy= 0解（1）在等式两边对x求导，有88

( 1) 2 ( ) ( 1) ( 1) (1 ) 2 2 0 2 n n n n n y x ny x y + − − + + ⋅ + ⋅ = ， 以 x = 0 代入，得到递推公式 (0) ( 1) (0) ( +1) ( −1) = − − n n y n n y ， 从而得到 1 2 ( ) ( 1) ( 1)!, ; (0) 0, n n n n y n − ⎧ ⎪ − − = ⎨ ⎪⎩ 为奇数 为偶数。 （2）由 1 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ' ' (1 ) , '' ( )(1 ) (1 )' (1 ) 2 1 xy y x y x x x x x − − − = − = − − − = − = − ，令 x = 0， 可得 ，且 。 在等式 两边对 求 阶导数（ ），得到 y'(0) = 1, y''(0) = 0 ' (1 ) '' 2 xy = − x y ' (1 ) '' 2 xy = − x y x n n ≥1 ∑ ∑= − + = − + = − n k k n k k n n k k n k k n C y x C y x 0 ( 2) 2 ( ) 0 ( 1) ( ) ( ) (1 ) ， 即 ( 1) ( ) ( 2) 2 ( ) ( 1) ( ) (1 ) 2 ( 1) n n n k n n xy + ny = y − x − xny − n n − y + + + ( 1) ( ) ( 2) 2 ( 1) ( ) (1 ) 2 ( 1) n n n n n xy ny y x xny n n y + + + + = − − − − ， 以 x = 0代入，得到递推公式 (0) (0) (n 2) 2 (n) y = n y + ， 从而得到 2 ( ) [( 2)!!] (0) 0 n n n y n ⎧ − = ⎨ ⎩ ， 为奇数； ， 为偶数。 6． 对下列隐函数求 2 2 d y dx ： ⑴ e x y x y 2 2 0 + − = ; ⑵ tan(x + y) − xy = 0 ; ⑶ 2 0 y x sin + = x ln y ; ⑷ 3 3 x y + − = 3 0 axy . 解 （1）在等式两边对 x求导，有 88

er+(r2 + y)-(x*y)=er+(2x+ y)-2xy-xy= 0 ,再对x求导，得到et+(x +y)(2x+y)+er+(2x+y)'-(2xy+x*y)=er+(2x+y)*+er+(2+y")-2y-4xy'-*y"=0,从而解出-4y+2y-*[2++*+4y+(er'+y-x2其中y=2x(y-er+y)er+y-x（2）在等式两边对x求导，有sec(x+ y)(x+ y)-(xy)'= sec (x+ y)(1+ y')- y-xy'= 0 ,再对x求导，得到2 sec(x+ y) tan(x+ y)(x+y)(1+ y')+ sec'(x+ y)(1+ y')'- y'-(xy')=2 sec'(x+ y)tan(x+ y)(1+ y')? + sec*(x+ y)y"-2y'- xy"=0 ,从而解出y"= sec(x+ y)tan(x+ y)(+y) -2y ,x-sec(x+y)其中y=sec*(x+)-x- sec(x+y)（3）在等式两边对x求导，有2y'sinx+2ycosx+lny+=.y'=0再对x求导，得到2y"sinx+4y'cosx-2ysin x+2_X)+=.y"=0Jy2山89

( )' ( )' (2 ') 2 ' 0 2 2 2 2 2 + − = + − − = + + e x y x y e x y xy x y x y x y ， 再对 x求导，得到 )' = 2 2 2 2 ( )'(2 ') (2 ')' (2 ' x y x y e x y x y e x y xy x y + + + + + + − + 2 2 2 2 (2 ') (2 '') 2 4 ' '' 0 x y x y e x y e y y xy x y + + = + + + − − − ， 从而解出 2 2 2 2 2 4 ' 2 [2 4 4 ' ( ') ] '' e x xy y e x xy y y x y x y − + − + + + = + + ， 其中 2 2 2 2 ( ) ' e x x y e y x y x y − − = + + 。 （2）在等式两边对 x求导，有 x sec ( )( )' ( )' sec ( )(1 ') ' 0 2 2 x + y x + y − xy = x + y + y − y − xy = ， 再对 求导，得到 2 2 2sec (x + + y x )tan( y)(x + y)'(1+ y ') + sec (x + y)(1+ y ')'− y '− (xy ')' 2 2 2 = + 2sec ( ) x y tan(x y + )(1+ y ') + sec ( ) x + y y ''− 2y '− xy '' = 0 ， 从而解出 sec ( ) 2sec( )tan( )(1 ') 2 ' '' 2 2 x x y x y x y y y y − + + + + − = ， 其中 sec ( ) sec ( ) ' 2 2 x x y x y y y − + + − = 。 （3）在等式两边对 x求导，有 2 'sin + 2 cos + ln + ⋅ y'= 0 y x y x y x y ， 再对 x求导，得到 ( ') '' 0 ' 2 ''sin 4 'cos 2 sin 2 2 2 + − + − ⋅ + ⋅ y = y x y y x y y y x y x y x ， 89

从而解出"_ 2y* sinx-4y*ycos x-2y+x(y)?xy +2y?sin x其中y=_2y°cosx+ylnyx+2ysinx（4）在等式两边对x求导，有3x?+3yy'-3ay-3axy'=0,再对x求导，得到6x +6y(y)?+3y2y"-6ay'-3axy"=0,从而解出J"_ 2x+2y(y)? -2ayax-y?其中y=ay-x2y-ax7．对下列参数形式的函数求：dr2[x=at?,x=atcost(1)2y=bt3,= at sint,(x = t(1 - sin t),x=ae-",(3)(4）y=be',y=tcost,x=Vi+1x= sinat,(5)(6)y= Vi-ty=cosbt.d"y_ (bt")"(at*)-(bt")(at")"_ (6bt)(2at)-(3bt’)(2a) _3b(1)解dx?4a[(at?)']3(2at)3d'y_((at sint)"(at cost)'-(at sint)(at cost)"(2)dx?[(at cost)T90

从而解出 xy y x y x y y x yy x y y 2 sin 2 sin 4 'cos 2 ' ( ') '' 2 3 2 2 + − − + = ， 其中 x y x y x y y y 2 sin 2 cos ln ' 2 + + = − 。 （4）在等式两边对 x求导，有 x 3 3 ' 3 3 ' 0 2 2 x + y y − ay − axy = ， 再对 求导，得到 6 6 ( ') 3 '' 6 ' 3 '' 0 2 2 x + y y + y y − ay − axy = ， 从而解出 2 2 2 2 ( ') 2 ' '' ax y x y y ay y − + − = ， 其中 y ax ay x y − − = 2 2 ' 。 7． 对下列参数形式的函数求 d y dx 2 2 ： ⑴ x at y bt = = ⎧ ⎨ ⎩ 2 3 , , ⑵ x at t y at t = = ⎧ ⎨ ⎩ cos , sin , ⑶ x t t y t t = − = ⎧ ⎨ ⎩ ( sin ) cos , 1 , ⑷ x a y b t t = = ⎧ ⎨ ⎩ − e , e , ⑸ x t y t = + = − ⎧ ⎨ ⎩ 1 1 , , ⑹ ⎩ ⎨ ⎧ = = cos . sin , y bt x at 解 （1） a t b at bt at bt a at bt at bt at dx d y 3 2 2 2 3 3 2 3 2 2 2 4 3 (2 ) (6 )(2 ) (3 )(2 ) [( )'] ( )''( )' ( )'( )'' = − = − = 。 （2） 2 2 3 ( sin )''( cos )' ( sin )'( cos )'' [( cos )'] d y at t at t at t at t dx at t − = 90

(2acost-atsint)(acost-atsint)+(asint+atcost)(2asint+atcost)a(cost-tsint)P+2(t? +2)(sin* t+ cos t)a(cost-tsint)a(cost-tsint)3d"y_ (tcost)"[(t(1-sint)'-(tcost)[t(1-sint)]"(3)dx?[t(1-sint)]"3(-2 sint-tcost)(1-sint-tcost)-(cost-tsint)(-2cost+t sint)(l-sint-tcost)t?+2-2sint-tcost(l-sint-tcost)d'y_ (be')"(ae")'-(be')(ae")"_ -be'e"-be'e" _ 2b e"(4)dx?-a?e-31[(ae-")Tad'y_ (1-)(V1+)-(V-0)(V1+)"(5)dx?[(V1+t)T-112/1+1)3=-2(1-t)4(/1-t)(2~/1+)2(/1-t)[4(/1+t)3]d'y_((cosbt)"(sinat)'-(cosbt)'(sinat)"(6)dx?(sinat)3b(-asin at sin bt -b cosat cos bt)b(asinatsinbt+bcosatcosbt)a’ cos ata’cos'at利用反函数的求导公式尝_，证明8.dyyd'xJl3(y")2 - y'y""d3x(2) (1)dyi(y)3,dy?(y')sdx_d(d)=(((1)证dy?dy dydyy1 dy11dy'dxy"y"(y)?(y3() dy(ydx dy山1dy"d'x.ddx)=d-y"+3"dy(2)dy dy?dy3dy(y)dy(y')t dy(v)"J"1 dy"dxdy'dx13(y")2. 13(y")? - y'y"y"(J(y)J(ys()dxdy(y')t dx dy91

3 3 2 2 2 2 3 3 (2 cos sin )( cos sin ) ( sin cos )(2 sin cos (cos sin ) ( 2)(sin cos ) 2 (cos sin ) (cos sin ) a t at t a t at t a t at t a t at t a t t t t t t t a t t t a t t t − − + + + ) = − + + + = = − − 。 （3） 2 2 3 ( cos )''[( (1 sin )]' ( cos )'[ (1 sin )]'' [ (1 sin )]' d y t t t t t t t t dx t t − − − = − 3 2 3 ( 2sin cos )(1 sin cos ) (cos sin )( 2cos sin ) (1 sin cos ) 2 2sin cos (1 sin cos ) t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t − − − − − − − + = − − + − − = − − 。 （4） 2 2 3 ( )''( )' ( )'( )'' [( )'] t t t t t d y be ae be ae dx ae − − − − = 3 2 3 2 2 t t t t t t be e be e b e a e a − − − − − = = − 。 （5） 2 2 3 ( 1 )''( 1 )' ( 1 )'( 1 )'' [( 1 )'] d y t t t t dx t − + − − + = + 3 3 2 3 3 1 1 (2 1 ) 2(1 ) 4( 1 ) (2 1 ) 2( 1 )[4( 1 ) ] t t t t t t ⎡ ⎤ − − = − ⎢ ⎥ + = ⎣ ⎦ − + − + − − 。 （6） 2 2 '3 (cos )''(sin )' (cos )'(sin )'' (sin ) d y bt at bt at dx at − = 2 3 ( sin sin cos cos ) cos b a at bt b at bt a at − − = 2 3 ( sin sin cos cos ) cos b a at bt b at bt a at + = − 。 8． 利用反函数的求导公式 dx dy y = ′ 1 ，证明 ⑴ 2 3 2 ( ') '' y y dy d x = − ; ⑵ d x dy y y y y 3 3 2 5 3 = ′′ − ′ ′′′ ′ ( ) ( ) . 证 （1） 2 2 1 ( ) ( ) ' d x d dx d dy dy dy dy y = = 2 2 2 1 ' 1 ' '' 1 '' ( ') ( ') ( ') ' ( ') dy dy dx y y y dy y dx dy y y y = − = − = − ⋅ = − 3 。 （2） ( ) 3 2 3 2 3 '' ( ) [ ] ' d x d d x d y dy dy dy dy y = = − 3 4 1 '' '' 3 ( ') ( ') dy y dy y dy y dy = − + ' 2 2 3 4 3 4 1 '' '' ' ''' 1 3( '') 1 3( '') ' ''' 3 ( ') ( ') ( ') ' ( ') ' ( ') dy dx y dy dx y y y y y y dx dy y dx dy y y y y y − = − + = − ⋅ + ⋅ = 5 。 91

9．求下列函数的高阶微分：(1)y=/x-tanx,求d2y;(2)y=xe-，求dy;secxV1+x2，求dy;求dy;(3) y:(4) y=Vx2-1(5)y=xsin3x，求dy;(6)y=x*，求dy;Inx，求d"y;(7) y(8)y=x"cos2x，求d"y解（1）dy:-(x-tan x)3(1-sec2 x)dx =(x- tan x) 3 tan’xdx ,(1- sec2 x)2 _ 13(2tan xsecx)ldxdy=[tanx)(x-tanx)3x.2tan'x+6sec* xtan x(x-tanx) dx?。9(tan x-x)3(2) d'y=Z[c(r)(e)-)jat*-2c _ 4l-* (-1)4-k e-*dx4(4-k)!=0k=(=(x*-16x3 +72x2-96x+24)e-*dx4。1-(2x)-x- /1+ x2 .1(3) dy=2/1+r1dxdxx2x2/1+x?22x3x2+2dx?d'y=Idx?x3/1+x?2x(1+x2)x(1+x)an seex_1 sx-(2)]dx = secx(x -1)tanx-ldx,(4)dy2(x2-1)(x2 -1)(x2 -1)sec x tan x[(x?-1)tan x-x]+sec x[2x tan x+(x2-1)sec x-1)dy:(x2-1)23 secx(-I)tanx(2x2(x2 -1)292

9． 求下列函数的高阶微分： ⑴ tan , 3 y = x − x 求d 2 y ； ⑵ y x x = 4 − e ，求d 4 y； ⑶ y x x = 1+ 2 ，求d 2 y ； ⑷ y x x = − sec 2 1 ，求d 2 y ； ⑸ y x = sin 3x ，求d 3 y ； ⑹ y x x = ，求d 2 y ； ⑺ y x x = ln ，求d n y； ⑻ y x x n = cos 2 ，求d y . n 解 （1） 2 1 3 2 ( tan ) (1 sec ) 3 dy x x x dx − = − − 2 1 3 2 ( tan ) tan 3 x x x − = − − dx， 5 2 2 2 2 1 3 3 2 [ ( tan ) (1 sec ) ( tan ) (2 tan sec )] 9 3 d y x x x x x x x dx − − = − − − − − 2 2 4 2 2 5 3 2 tan 6sec tan ( tan ) 9(tan ) x x x x x dx x x + − = − 。 （2） 4 4 4 ( ) (4 ) 4 4 0 [ ( ) ( ) ] k k x k k d y C x e dx − − = = ∑ 4 4 4 4 0 4! ( 1) (4 )! k k k k C x e k − − − = = − − ∑ x 4 dx 4 3 2 4 (x 16x 72x 96x 24)e dx −x = − + − + 。 （3） dx x x dx x x x x x dy 2 2 2 2 2 1 1 (2 ) 1 1 2 1 1 + = − ⋅ ⋅ − + ⋅ + = ， 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 [ ] 1 2 (1 ) (1 ) x x d y dx dx x x x x x x + = + = + + + 2。 （4） 2 1 3 3 2 2 2 2 2 2 tan sec 1 sec (2 ) sec [( 1)tan ] [ ] 2 ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x dy dx dx x x x ⋅ − = − ⋅ = − − − − ， 2 2 2 3 2 2 sec tan [( 1)tan ] sec [2 tan ( 1)sec 1] ( 1) x x x x x x x x x x d y x ⎧ ⎪ − − + + − − = ⎨ ⎪ ⎩ − 2 2 2 5 2 2 3 sec [( 1)tan ] (2 ) 2 ( 1) x x x x x dx x ⎫ − − ⋅ ⎪ − ⋅ ⎬ ⎪ − ⎭ 92