复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题十二（解答）

第十二章第1节1. (1)%Oz= 5x4-24x3y2,=6y5-12x4y;axay2x3azO22x2y2xln(x? +y2)+一(2)?+y2'axayx?+y2az1azx(3)=X-=+-axayyOzOz= = x[cos(xy)- sin(2xy)];(4)= y[cos(xy) - sin(2xy)] ,axayOz= = e*(xcos y-sin y);(5)=e*(cos y+ xsin y+ sin y),axayx2(μ)z2xOz2(6)2secsecax(ayyJaz1Ozcos=cos+ysin=sin,x1cos=cossin=sin(7)axx2ayyxyx4yyxxyazzxy= y2(1+ xy)-1,(1+xy)(8)=In(1 + xy) +axdy1+xyaz1az1(9)axayx+Inyy(x+lny)O1Oz1(10)-ax1+x21+y2ayouOu=(3x2 + y2 + 22) e(+y2+2) ,+= 2xy e(+*+y+2),(11)axayou = 2xz e(x*+y*+) ,2ylnxInxouQu_ou(12):x=:.OzaxayZ41

第十二章 第 1 节 1. (1) 4 3 2 5x 24x y x z = − ∂ ∂ ， y x y y z 5 4 = 6 −12 ∂ ∂ ； (2) 2 2 3 2 2 2 2 ln( ) x y x x x y x z + = + + ∂ ∂ ， 2 2 2 2 x y x y y z + = ∂ ∂ ； (3) y y x z 1 = + ∂ ∂ ， 2 y x x y z = − ∂ ∂ ； (4) y[ ] cos(xy) sin(2xy) x z = − ∂ ∂ ， x[ ] cos(xy) sin(2xy) y z = − ∂ ∂ ； (5) e (cos y x sin y sin y) x z x = + + ∂ ∂ ， e (x cos y sin y) y z x = − ∂ ∂ ； (6) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ y x y x x z 2 2 sec 2 ， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∂ ∂ y x y x y z 2 2 2 2 sec ； (7) x y y x x y z cos cos 1 = ∂ ∂ x y y x x y sin sin 2 + ， x y y x y x y z cos cos 2 = − ∂ ∂ x y y x x sin sin 1 − ； (8) 2 1 (1 ) − = + ∂ ∂ y y xy x z ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = + + + ∂ ∂ xy xy xy xy y z y 1 (1 ) ln(1 ) ； (9) x x y z ln 1 + = ∂ ∂ ， ( ln ) 1 y y x y z + = ∂ ∂ ； (10) 2 1 1 x x z + = ∂ ∂ ， 2 1 1 y y z + = ∂ ∂ ； (11) (3 ) 2 2 2 x y z x u = + + ∂ ∂ ( ) 2 2 2 x x y z e + + ， = ∂ ∂ y u 2xy ( ) 2 2 2 x x y z e + + ， = ∂ ∂ z u 2xz ( ) 2 2 2 x x y z e + + ； (12) −1 = ∂ ∂ z y x z y x u ， = ∂ ∂ y u z y x z ln x ， = ∂ ∂ z u z y x z y x 2 ln − ； 1

ouauXOu1(13)axayOz(r2 + y2 + 22)x2-2+ 112ouououii-!-lxyInx,=yxyInxlny;(14)==axayOzOu(15)ai,i=1,2,,n;ax,Ou=zayou=Za(16)i=12,...,n,j=1,2,.,nax;ay,j-=li=l22. f,(3,4)=f,(3,4) =554. 0=45. (1) df(1,2) = 8dx - dy;48dx+(2) df(2,4) =2212)=d(3) df(0,1)= dx, dyS846. (1)dz = y* In ydx + xyx-l dy;(2) dz = e (1 + xy)(ydx + xdy):2y2x(3)dz：dx +dy(x- y)2(x-y)2x2xy(4)dz =dxdy(x2 +y2)(x? +y2)2xdx+ ydy+ zdz(5)du= Vx2 + y2 +222(xdx + ydy + zdz)(6)du=x? + y2 +221Oz>avV22

(13) ( )2 3 2 2 2 x y z x x u + + = − ∂ ∂ ， = ∂ ∂ y u ( )2 3 2 2 2 x y z y + + − ， = ∂ ∂ z u ( )2 3 2 2 2 x y z z + + − ； (14) −1 = ∂ ∂ z z y y x x u ， = ∂ ∂ y u zy x x z z y ln −1 ， = ∂ ∂ z u y x x y z z y ln ln ； (15) a i n x u i i = , = 1,2,", ∂ ∂ ； (16) a y i n x u n j ij j i , 1,2, , 1 = = " ∂ ∂ ∑ = ， a x j n y u n i ij i j , 1,2, , 1 = = " ∂ ∂ ∑ = . 2． 5 2 f x (3,4) = ， 5 1 f y (3,4) = . 4. 4 π θ = . 5. (1) df (1,2) = 8dx − dy ; (2) df dx dy 21 8 21 4 (2,4) = + ; (3) df (0,1) = dx , df dx dy 8 2 8 2 ,2) 4 ( = − π . 6. (1) dz y ydx xy dy ; x x 1 ln − = + (2) dz e (1 xy)( ydx xdy) ; xy = + + (3) dy x y x dx x y y dz 2 2 ( ) 2 ( ) 2 − + − = − ; (4) dx x y xy dz 2 3 2 2 ( + ) = − dy x y x 2 3 2 2 2 ( + ) + ; (5) 2 2 2 x y z xdx ydy zdz du + + + + = ; (6) 2 2 2 2( ) x y z xdx ydy zdz du + + + + = . 7. 2 1 = − ∂ ∂ v z . 2

Oz8.a)=cosα+sina,5元5元T元(1)v = (cos *); (2) V=(cos,sinsin-44443元7元m3元7元或v=(cos(3) v=(cos,sin,sin444A14af(2)9. (1) grad f(1,2) =(2,2),v/a,2)510. (1)grad z =(2x + y cos(xy), 2ysin(xy)+xy2 cos(xy));(2) gad=(--);a3,62(3) grad u(1,1,1) = (11,9,5),11.在(x,y)(0,0)点，增长最快的方向为gradf=(y,x)；在(0,0)点，增长最快的方向为(1,1)和(-1,-1)0?2 -y2 -x216. (1) 0=az2xy2xy(x? + y2)2ax?(x?+y2)2x0y(x2 +y2)2y2a?z(2)(2 - y)cos(x+ y)-xsin(x+ y),=ax?a?z=(1- y)cos(x+ y)-(1+ x)sin(x+ y),axdy02ycos(x+ y)-(x +2)sin(x+ y)ay2a32a3z(2+4xy+x2)e(3)=(3x2+x3y)eyaxoy2axay6a4atua'u6ab2(4)ax4ax?ay?(ax + by + cz)4(ax + by + cz)4 ?ap+9z(5)= plq!.axPay!ap+g+ru=(x + p)(y+q)(z + r)ex+y+:(6)axPayaz"3

8. (1,1) = cosα + sinα ∂ ∂ v z , (1) ) 4 ,sin π π 4 v =(cos ; (2) ) 4 5 ,sin 5π π 4 v =(cos ; (3) ) 4 3 ,sin 3π π 4 v =(cos 或 ) 4 7 ,sin 7π π 4 v =(cos . 9. (1) grad f (1,2) = (2,2), (2) 5 14 (1,2) = ∂ ∂ v f . 10. (1) grad ( 2 cos( ), 2 sin( ) cos( )); 3 2 z = x + y xy y xy + xy xy (2) ) 2 , 2 grad ( 2 2 b y a x z = − − ; (3) grad u(1,1,1) = (11,9,5) . 11. 在 (x, y) ≠ (0,0) 点, 增长最快的方向为 grad f = ( y, x) ; 在 点, 增长最快 的方向为 和 (0,0) (1,1) (−1,−1). 16. (1) 2 2 2 2 2 ( ) 2 x y xy x z + = ∂ ∂ , = ∂ ∂ ∂ x y z 2 2 2 2 2 2 (x y ) y x + − , = ∂ ∂ 2 2 y z 2 2 2 ( ) 2 x y xy + − ; (2) (2 ) cos( ) sin( ) 2 2 y x y x x y x z = − + − + ∂ ∂ , = ∂ ∂ ∂ x y z 2 (1− y) cos(x + y) − (1+ x)sin(x + y), = ∂ ∂ 2 2 y z − y cos(x + y) − (x + 2)sin(x + y). (3) xy xy x y e x y z (2 4 ) 2 2 2 3 = + + ∂ ∂ ∂ , xy x x y e x y z (3 ) 2 3 2 3 = + ∂ ∂ ∂ . (4) 4 4 4 4 ( ) 6 ax by cz a x u + + = − ∂ ∂ , 4 2 2 2 2 4 ( ) 6 ax by cz a b x y u + + = − ∂ ∂ ∂ . (5) p!q! x y z p q p q = ∂ ∂ ∂ + . (6) x y z p q r p q r x p y q z r e x y z u + + + + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ( )( )( ) . 3

22dxdy-号 dy2;17. (1)d2z = -dx2 + 3yxy(2) d3= = -4 sin 2(ax + by)(adx + bdy)3:(3) d3u = e*+y+*[(x2 + y2 +22 +6x+6)dx3 +(x2 + y2 + 22 +6y+6)dy3+(x? + y? +2? + 6z +6)d-']+3e++y+ [(x? + y? + 2? + 4x+2y+2)dx d)+(x2+y2+=2+4y+2z+2)dydz+(x2+y2+2+4z+2x+2)dz*dx+(x2+y?+22+2x+4y+2)dxdy2+(x2+y2+22+2y+4z+2)dydz2+(x? + y2 +22 +22+ 4x+2)dzdx2] +e*+y+(x2 + y2 + 22 +2x+2y+22)dxdydz .2(si( +号元元dxdyk-i(4) dkz =i218. f(x, y) =(2 - x)sin y- =In(1- xy) + y3..320.α=2ab,o);C21. (1) f ()-2, 21(3 e?-2e2(2) f(1, 2, ") A1216(3 (-1 0)(3) g'(1, 元) =|0 (0 1[fi(x,y,z)=x+C22. (2) f2(x, y,2) = y +C2 ;s(x,y,2)=z+C3[Ji(x, y,2)=[ p(x)dx(3) f2(x, ,z)=Jq(y)dy[Js(x, y,2)=[r(2)dz第2节

17. (1) 2 2 2 1 2 2 dy y x dxdy y dx x d z = + − ; (2) ; 3 3 d z = −4sin 2(ax + by)(adx + bdy) (3) 3 2 2 2 3 d u e [(x y z 6x 6)dx x y z = + + + + + + 2 2 2 3 + (x + y + z + 6y + 6)dy ( 6 6) ] 2 2 2 3 + x + y + z + z + dz + e x y z x y dx dy x y z 2 2 2 2 3 [( + + + 4 + 2 + 2) + + x y z y z dy dz 2 2 2 2 + ( + + + 4 + 2 + 2) x y z z x dz dx 2 2 2 2 + ( + + + 4 + 2 + 2) 2 2 2 2 + (x + y + z + 2x + 4y + 2)dxdy 2 2 2 2 + (x + y + z + 2y + 4z + 2)dydz ( 2 4 2) ] 2 2 2 2 + x + y + z + z + x + dzdx e x y z x y z dxdydz x y z ( 2 2 2 ) 2 2 2 + + + + + + + + . (4) x i k i k i k dx dy k i e y i k d z − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ π 2 sin 0 . 18. 3 ln(1 ) 1 ( , ) (2 )sin xy y y f x y = − x y − − + . 20. 2 3 α = − . 21. (1) ) 4 ( π f' T , ) 2 2 , 2 2 = (− a b c ; (2) ) 4 (1, 2, π f' ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 3 12 16 3 2 2 2 e e ; (3) g'(1, π) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 1 0 1 1 0 . 22. (2) ; ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + 3 3 2 2 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) f x y z z C f x y z y C f x y z x C (3) . ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ∫ ∫ ∫ f x y z r z dz f x y z q y dy f x y z p x dx ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) 3 2 1 第 2 节 4

dz(1)(21.0)sec(2tdtd2[(cost-6t?)-sint-12t];(2)dt?dw(3)=eax sinx;dx3x2Oz2xln(3x-2y)+axy2y2(3x-2y)(4)2x22x2OzIn(3x -2y)-ayy2(3x-2y)LOu(2x+2ysinxcosx)ax(5)Ozer+y+y'sin**(2y+4y sin?x)Oy[=e'(sinu+2xcosu)+e'(sinu+2cosu)+e(sinu+2cos)at(6)aw=te(sinu+2xvcosu)+es+t(sinu+2zvcosu)as其中u=x?+y?+2?,V=x+y+z;%=2(u +V)-sin(u+V+ aresin v),(7)au"= =2-cos(u +v+ arcsin v)1+Ovou%=[.](8)axouXxy,-12ayVaux1J2xy,3axoyyau2x[x,]+xfil)ya2V

1. (1) ) 2 )sec(2 4 (2 3 2 t t dt t dz = − + ; (2) [(cos 6 ) sin 12 ] sin 2 2 2 2 3 e t t t t dt d z t t = − − − − ; (3) e x dx dw ax = sin ; (4) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − − − ∂ ∂ − = − + ∂ ∂ (3 2 ) 2 ln(3 2 ) 2 (3 2 ) 3 ln(3 2 ) 2 2 2 3 2 2 2 2 y x y x x y y x y z y x y x x y y x x z ; (5) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + ∂ ∂ = + ∂ ∂ + + + + (2 4 sin ) (2 2 sin cos ) sin 3 2 sin 4 2 2 4 2 2 2 4 2 e y y x y z e x y x x x u x y y x x y y x ; (6) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + ∂ ∂ = + + + + + ∂ ∂ + + (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) te u xv u e u zv u s w e u xv u e u yv u e u zv u t w s s t s t s t 其中u = x 2 + y 2 + z 2，v = x + y + z ; (7) 2(u v) sin(u v arcsin v) u z = + − + + ∂ ∂ , ) 1 1 2 cos( arcsin )(1 2 2 v u v v v u z − = − + + + ∂ ∂ ∂ ; (8) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ y x f xy y y x yf xy x u , 1 , 1 2 , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ y x f xy y x y x xf xy y u , , 1 2 2 , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ ∂ y x f xy y y x f xy x y u , 1 , 1 2 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + y x f xy y x y x xyf xy, , 11 3 22 , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ y x x f xy y x f xy y x y u , , 2 11 2 2 3 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x f xy y x y x f xy y x , , 2 4 22 2 2 12 2 . 5

ououau1 =22f(x?+y2 +22),= 2xf(x2 + y2 + 2)=2yf(x2 +y2+22),(9)ayaxOza'uau = 4xyf"(x2 + y2 + 22)=2f'(x2 + y2 +22)+4x2 f"(x? + y2 +22)ax2axoyow=f++f,+V.ow=Jx-f,+f.(10)Ouavm - Ta +(u+/e - y +(u-)/, + J + / Quoy2. f,(x,x2)=23. p'(1)=17.1 0z 1 0z14.xaxyay"yf(x?-y)0220224u? +v2(0*z+ 02z一7.artoov2Ou?xa2fafyof-2e-r'y28.22yax?xay2axayazOzx?+y29. (2)+y-Xaxdy：a2z[x,])-[)+(J2x,10yaxoyV()-()0(2r2rcos20-2r?sin2011.r?cos20rsin20owOw= fugy+J.hy,Ow= fug:12.=fx+f,hy,axayaxdx+ ydy..y+= ydx+xdy..13. dz =ulnux? + y2x2 + y26

(9) 2 '( ) 2 2 2 xf x y z x u = + + ∂ ∂ , 2 '( ) 2 2 2 yf x y z y u = + + ∂ ∂ , 2 '( ) 2 2 2 zf x y z z u = + + ∂ ∂ , 2 '( ) 2 2 2 2 2 f x y z x u = + + ∂ ∂ 4 "( ) 2 2 2 2 + x f x + y + z , 4 "( ) 2 2 2 2 xyf x y z x y u = + + ∂ ∂ ∂ . (10) x y z f f vf u w = + + ∂ ∂ , x y ufz f f v w = − + ∂ ∂ , xx xz yy yz z uvfzz f u v f f u v f f u v w = + + − + − + + ∂ ∂ ∂ ( ) ( ) 2 . 2. 2 1 ( , ) 2 f y x x = − . 3. ϕ'(1) = 17 . 4. ( ) 1 1 1 2 2 y yf x y z x y z x − = ∂ ∂ + ∂ ∂ . 7. 2 2 2 2 y z x z ∂ ∂ + ∂ ∂ 4 ( ) 2 2 2 2 2 2 v z u z u v ∂ ∂ + ∂ ∂ = + . 8. 2 2 2 2 2 2 y f x y x y f x f y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ 2 2 2 x y e− = − . 9. (2) 2 2 x y y z y x z x = + ∂ ∂ + ∂ ∂ . 10. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ ∂ y x f xy x y z , 1 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x f xy y , 1 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + y x xyf xy, 11 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x f xy y , 1 3 22 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x g y ' 1 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x g y x " 3 . 11. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − θ θ θ θ sin 2 cos 2 2 cos 2 2 sin 2 2 0 2 2 r r r r r 12. x vhx f f x w = + ∂ ∂ , u y vhy f g f y w = + ∂ ∂ , u gz f z w = ∂ ∂ . 13. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + + + = − u u x y ydx xdy v x y xdx ydy dz uv ln 2 2 2 2 1 . 6

022_ y?-xy-x?arctanarctan-14. dz =[(2x+ y)dx+(2y- x)dyle-arx? +y?axoy15. (1) du = 2 f"(ax2 + by? + cz)(axdx + bydy + czdz)(2) du =(fi + yf2)dx+(fi + xf2)dy,2fi(xdx+ ydy+ zdz) +e*+y+= f2(dx+ dy+ d).(3) du=1+x2+y2+z16. d*u= f(k)(ax +by+ cz)(adx + bdy + cdz)17.提示：当r*0时，-f(rcos0,rsin)= cos f(rcos,rsin)+ sin f,(rcos0,rsin0)(xf(x, )+ yf,(x, )= 0 所以f(rcos9,rsinの)=F().再利用f(x,y)在(0,0)点的连续性，得到f(x,y)为常数。18.提示：设F(t)=f(x+t(y-x))，利用F(I)-F(0)=f’F"(t)dt第3节2. f(x,y)= -14 -13(x -1)-6(y-2)+ 5(x -1)2 -12(x-1)(y-2)+ 4(y-2)2+3(x - 1)3 - 2(x- 1)2(y - 2) - 2(x -1)(y - 2)? +(y- 2)31 y2 +o((/x2 +y2)3)3. f(x,y)= xy2+(+ y)*..4. f(x,y)=1+(x+y)+(x+y)"+Rn,nl1(n+) (+ )l/e+),其中R,=5. (1) 5(x,y)=1-(x-1)+(x-1)2 -→y2+R2,2R=(x-1)(x-1)y+(x-)y2+y，其中65215=1+0(x-1),n=0y,0<<1;

14. [ ] x y dz x y dx y x dy e arctan (2 ) (2 ) − = + + − ； x y e x y y xy x x y z arctan 2 2 2 2 2 − + − − = ∂ ∂ ∂ . 15. (1) 2 '( )( ) , 2 2 2 du = f ax + by + cz axdx + bydy + czdz (2) du ( f yf )dx ( f xf )dy , = 1 + 2 + 1 + 2 (3) ( ) 1 2 2 2 2 1 xdx ydy zdz x y z f du + + + + + = ( ) e f 2 dx dy dz x y z + + + + + . 16. . k k k d u f (ax by cz)(adx bdy cdz) ( ) = + + + + 17. 提示: 当r ≠ 0时， = ∂ ∂ f (r cosθ ,rsinθ ) r cosθ f x (r cosθ ,rsinθ ) + sinθ f (r cosθ ,rsinθ ) y ( ) ( , ) ( , ) 0 1 = xf x y + yf x y = r x y , 所以 f (r cosθ ,rsinθ ) = F(θ ). 再利用 在 点的连续性，得到 为 常数。 f (x, y) (0,0) f (x, y) 18．提示：设 F(t) = f ( ) x + t(y − x) ，利用 − = ∫ 1 0 F(1) F(0) F'(t)dt. 第 3 节 2. 2 2 f (x, y) = −14 −13(x −1) − 6( y − 2) + 5(x −1) −12(x −1)( y − 2) + 4( y − 2) . 3 2 2 3 + 3(x −1) − 2(x −1) ( y − 2) − 2(x −1)( y − 2) + ( y − 2) 3. ( ) 2 2 2 3 ( ) 2 1 f (x, y) = xy − xy + D x + y . 4. n n x y R n f x y = + x + y + x + y + + ( + ) + ! 1 ( ) 2! 1 ( , ) 1 ( ) 2 " , 其中 1 ( ) ( ) ( 1)! 1 n x y n x y e n R + + + + = θ . 5．（1） 2 2 2 2 1 f (x, y) = 1− (x −1) + (x −1) − y + R ， 2 3 2 2 3 3 2 4 6 sin ( 1) 2 cos ( 1) sin ( 1) cos R x x y x y y ξ η ξ η ξ η ξ η = − − − − + − + ，其中 ξ = 1+θ (x −1) ，η = θ y ，0 < θ < 1 ； 7

tc;(-1)y- (n- j)]cos( )(x-1)"-1 y/ ]+ R(2) f(x,y)=1+Z[=n=01k+11元)(x -1)k+1-j yZck+(-1)k+- (k +1- j)!-R, =Ek-J+2COS(n+(k+1)02当x=1时，=1，对任意yE(-,+)，R→0(k→)显然成立2当04x-1k时，号41X<<于是对任意yE(-80,+0)，有2S32E1(k +1)!k+1(k+1- j)15/-/2 / -1/+-1yPR<(k +1)! =0 jl(k +1- j)!1 k+l 11x-1Ey-Eoix-i因此也成立R→0（k→o0）。6. 8.962.03 ~ 85.74 。第4节y?-erdydy_(xlny-y)dy_x+y(3)(1)(2)1.dxcosy-2xydx=x(ylnx-x)dxx-yα?d'y2a?dy(4)[a? +(x+ y)"];dr2(x+ y)?dx(x + y)522dzZ(5)axx+zayy(x+2)az02z2y22y?2?e"OzJzxz(6)ax2" (e" - y)?(e"-xy)3axdyei-xye"-xya?2xyz?e:2xyzN(e= - xy)3axaye"-xy(e" - xy)?OzOzyzxz(7)axay22- xy22.-xy8

（2） ∑ ∑ = − − = = + − − − + n j k j n j n j j n k n x y R j C n j n f x y 1 0 )( 1) ] 2 ( 1) ( )!cos( ! 1 ( , ) 1 [ π ， ∑ + = + − − + + − + − + − + − + = 1 0 1 2 1 1 )( 1) 2 cos( 1 ( 1) ( 1 )! ( 1)! 1 k j k j j k j j k j k k x y j C k j k R η π ξ 。 当 x = 1时，ξ = 1，对任意 y ∈ (−∞,+∞) ， Rk → 0 (k → ∞) 显然成立； 当 3 1 0 <| x −1|< 时， 3 4 3 2 < ξ < ， 2 1 1 < − ξ x ，于是对任意 y ∈ (−∞,+∞) ，有 ∑ + = + − − + + − − + − + + ≤ 1 0 1 2 | 1| | | | | 1 ( 1 )! !( 1 )! ( 1)! ( 1)! 1 | | k j k j j k j k k j x y j k j k k R ξ j k j k j y x j + − + = ∑ − = 1 1 0 1 ! 1 1 ξ ξ j j k x y j x ∑ ∞ = + − − ≤ 0 1 ! 1 1 1 1 ξ ξ ξ 1 1 1 1 − + − = x k y e x ξ ξ ξ ， 因此也成立 Rk → 0 （ k → ∞）。 6. 8.962.03 ≈ 85.74 。 第 4 节 1. （1） y xy y e dx dy x cos 2 2 − − = ；（2） ( ln ) ( ln ) x y x x y x y y dx dy − − = ；（3） x y x y dx dy − + = ； （4） 2 2 (x y) a dx dy + = ， [ ( ) ] ( ) 2 2 2 5 2 2 2 a x y x y a dx d y + + + = − ； （5） x z z x z + = ∂ ∂ ， ( ) 2 y x z z y z + = ∂ ∂ ； （6） e xy yz x z z − = ∂ ∂ ， e xy xz y z z − = ∂ ∂ ， 2 2 2 2 ( ) 2 e xy y z x z z − = ∂ ∂ 3 2 2 (e xy) y z e z z − − ， e xy z x y z z − = ∂ ∂ ∂ 2 2 ( ) 2 e xy xyz z − + 3 2 (e xy) xyz e z z − − ； （7） z xy yz x z − = ∂ ∂ 2 ， z xy xz y z − = ∂ ∂ 2 ， 8

a?z2xy2822325 -2xy23 -xy22ax?(2- xy)3axdy(22 - xy)3az.azfi+f3fi+ f2(8)axayJ2+fsf2 + fs近d2f2Oz(9)axay1-xfi - J21- xfi - f210?22002)1+2%（=+×%）Ji+Ifi2z+xaxaxar2S1- xfi- f2Oz.OzJi+f2+f=-f2+f(10)axayJf3a?z[+2+2)2++)++ax?a?z(2+J2)-3+(+)3-(+22)]axdyf3dz_x(1+ 62)xdy--5.(1)dxdx1+3zJ(2 + 62)3x2x2(1+62)23x211d?z1d?y2dx?dx?21+3z2y2(1+3z)2(1 + 32)31+3z(1+ 32)3ououux -yyvx-uy(2)J2-x2axJ2-x2ayu_ 2v(x? +y2)-4xyuau2u(x2 +y2)-4xyvax?(y2 - x2)2(y2 - x2)2axayavouf2g1 +ufi(2vyg2 -1)(1-xfi)g1-ufigi(3)axaxf2g1 -(xf, -1)(2vyg2 -1) f2g1 -(xf -1)(2vyg2 -1)拉OzOz(4)= uv(v-u).=uv(u+v),axOy2(ucosv-vsinv)=_ 2(vcosv+ usin v)022(5)e"axaye"9

= ∂ ∂ 2 2 x z 2 3 3 ( ) 2 z xy xy z − − ， = ∂ ∂ ∂ x y z 2 2 3 5 3 2 2 ( ) 2 z xy z xyz x y z − − − ； （8） 2 3 1 3 f f f f x z + + = − ∂ ∂ ， 2 3 1 2 f f f f y z + + = − ∂ ∂ ； （9） 1 2 1 1 xf f zf x z − − = ∂ ∂ ， 1 2 2 1 xf f f y z − − = − ∂ ∂ ， = ∂ ∂ 2 2 x z ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ∂ ∂ − − 22 2 11 12 2 1 1 2 2 2 1 1 f x z f x z z x x z f x z f z x x z xf f ； (10) 3 1 2 3 f f f f x z + + = − ∂ ∂ ， 3 2 3 f f f y z + = − ∂ ∂ ， [ ] 33 2 11 12 22 3 1 2 13 23 1 2 2 3 3 3 2 2 ( 2 ) 2 ( )( ) ( ) 1 f f f f f f f f f f f f x f z = − + + − + + + + ∂ ∂ ， [ ] 12 22 2 3 13 2 1 2 33 3 1 2 23 2 3 3 3 2 ( ) ( ) ( 2 ) 1 f f f f f f f f f f f f f f x y f z = − + − + + − + ∂ ∂ ∂ . 5. （1） (2 6 ) (1 6 ) y z x z dx dy + + = − ， z x dx dz 1+ 3 = ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + + − + = 2 (1 3 ) 3 2 (1 3 ) (1 6 ) 1 3 1 2 1 3 2 2 2 2 2 2 2 z x y z x z dx y z d y ， 3 2 2 2 (1 3 ) 3 1 3 1 z x dx z d z + − + = . (2) 2 2 y x ux vy x u − − = ∂ ∂ , 2 2 y x vx uy y u − − = ∂ ∂ , 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 4 y x u x y xyv x u − + − = ∂ ∂ , 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 4 y x v x y xyu x y u − + − = ∂ ∂ ∂ . (3) ( 1)(2 1) (2 1) 2 1 1 2 2 1 1 2 − − − + − = ∂ ∂ f g xf vyg f g uf vyg x u , ( 1)(2 1) (1 ) 2 1 1 2 1 1 1 1 − − − − − = ∂ ∂ f g xf vyg xf g uf g x v . (4) uv(u v) x z = + ∂ ∂ , uv(v u) y z = − ∂ ∂ . (5) u e u v v v x z 2( cos − sin ) = ∂ ∂ , u e v v u v y z 2( cos + sin ) = ∂ ∂ . 9

yz-/xyzxz-2/xy26. (1) dz = }drdy/xyz-xyxyz - xysiny+xcosyxcosv-sinu(2) du=dx+dyxcosv+ycosuxcosv+ycosudy=ycosu-sinydx+ycosu+sinudyxcos+ycosuxcosv+ycosudx_ yF,G, + xy°F,G, +(y-2)F,G27.dyy(FG2 - yF2G,)d=_=FG, -y3F,G,-y(x+ y)F,G,dyy(FG2 - yF2G))a?fa?fa?f1 a?f1af8.ax2oy2r2002r9.取入，，μ为方程A+2Bt+Ct?=0的两个根(022a?zoz(o.Oz+2b10.=0a(ag?5(an?agonana?211.=0Ouovawa2wa?wOw12. (1) w+= 0; (2)-1= 0 ; (3)2=0+vvavavOv2Ou?4第5节1:（1)切线：2(x-1)=y-1=4(2z-1)，法平面：8x+16y+2z=25；V2元+1=y-1=（2）切线：x2:22+1)+(y-1)+V2(=-2/2)=0;法平面：(x-2x+z=2（3）切线：法平面：X=2；(V=-2/2RRR（4）切线：法平面：x-y+R=0V2N2210

6. (1) dy xyz xy xz xyz dx xyz xy yz xyz dz − − + − − = 2 ; (2) dy x v y u x v u dx x v y u v x v du cos cos cos sin cos cos sin cos + − + + + = , dy x v y u y u u dx x v y u y u v dv cos cos cos sin cos cos cos sin + + + + − = . 7. ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 y F G y F G yF G xy F G y z F G dy dx − + + − = ; ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 3 1 2 y F G y F G zF G y F G y x y F G dy dz − − − + = . 8. = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 y f x f r f r f r r f ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 1 1 2 2 2 2 2 θ . 9. 取λ,µ 为方程 2 0 的两个根. 2 A + Bt + Ct = 10. 2 0 2 2 2 2 2 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ξ ξ ξ η η η z z c z b z z a 11. 0 2 = ∂ ∂ ∂ u v z . 12. (1) = 0 ∂ ∂ v w ; (2) ( 1) 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + − ∂ ∂ v w u v u w ; (3) 2 0 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ v w v v w . 第 5 节 1. (1) 切线：2(x −1) = y −1 = 4(2z −1)，法平面：8x +16 y + 2z = 25 ； （2）切线： 2 2 2 1 1 2 x − + = y − = z − π ， 法平面： 1) ( 1) 2( 2 2) 0 2 (x − + + y − + z − = π ； （3）切线： ，法平面： ⎩ ⎨ ⎧ = − + = 2 2 y x z x = z； （4）切线： 2 2 2 R z R y R x − = − + = − + ，法平面： 0 2 2 x − y − z + R = . 10