复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题十四（解答）

第十四章第1节1. （1)1+/2:（2)4=acos3（3）4a3，提示：将L的参数方程取为y=asin3]x=cos2cos0（4）2V2.提示：将L的参数方程取为y=Vcos20sin(3a +4元2b/a2 +b：（6）16%(5)1433.（7）-元a3.提示：在L上成立xy+yz+zx：[(x+ y+2)? -(x2 + y2 +22)] Va?-b22a2b2.当a>b：2b2arcsinVa?-b2a2a2bVb2h当a<b：2b2+Vb2-a2a当a=b：4?2元(l+a3. (1)3a2（2）8/3ma2.提示：S=J[dS=J[2dxdy，其中F[x=u-v，则(,)=2,y)(x? -xy+y)+2a(x+y)≤2a2)。再令D=(x,yy=u+y'a(u,v)S= J[2dxdy=[[4dudy,其中 D'=(u,v)[(u+2a) +3v2≤6a2)D(3)(2- ~2)元a2;adzdx,D= (z,x)-x≤z≤x, 0<x≤a),（4）2α2，提示：S=[-D Va?r220-3元2；（6）4元2ab。(5)9H4. （1)-ma’;（2）(+ 2)元；（3）/2a*；（4)2元arctan15a

第十四章 第 1 节 1. （1）1+ 2 ；（2）4 ； （3） 3 4 4a . 提示：将 L 的参数方程取为 ； ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = y a t x a t 3 3 sin cos （4）2 2 . 提示：将 L 的参数方程取为⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = θ θ θ θ cos 2 sin cos 2 cos y x ； （5） 2 2 2 2 2 (3 4 ) 3 2 a + π b a + b π ；（6） 143 16 2 ； （7）−πa3 . 提示：在 L 上成立 [( ) ( )] 2 1 2 2 2 2 xy + yz + zx = x + y + z − x + y + z 。 2．当a > b ： a a b a b a b b 2 2 2 2 2 2 arcsin 2 2 − − + ； 当a < b： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + a b b a b a a b b 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 ； 当a = b ：4a 2。 3．（1） ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ (1+ ) −1 3 2 2 3 4 2 a a π ； （2） 2 8 3πa . 提示： = ∫∫ = ∫∫ ，其中 S D S dS 2dxdy { } 2 2 2 D = (x, y)(x − xy + y ) + 2a(x + y) ≤ 2a 。再令 ，则 ⎩ ⎨ ⎧ = + = − y u v x u v 2 ( , ) ( , ) = ∂ ∂ u v x y ， = ∫∫ = ∫∫ ' 2 4 D D S dxdy dudv ，其中 { } 2 2 2 D'= (u,v)(u + 2a) + 3v ≤ 6a 。 （3） 2 (2 − 2)πa ； （4）2a 2，提示： ∫∫ − = D dzdx a x a S 2 2 ， D = {(z, x) − x ≤ z ≤ x, 0 ≤ x ≤ a}。 （5） 2 9 20 3 a − π ；（6）4π2 ab。 4．（1）−πa3 ；（2） (1 2)π 2 1 + ；（3） 4 2 15 64 a ；（4） a H 2π arctan ； 1

(5) 13a，提示：由对称性，Jxds=Js=[-ds=[(x++2)d；9（6）1564V/7+4元，提示：由对称性，[Jxds=0，[Jrds- J[(x? + y2)ds,15[ zds:f(x2y2)ds ;(7)元?(a/1+a? +ln(a+/1+α2))。324a25.R=2，提示：设Z的球心在(0,0,a)，则球面Z在球面a,Smax10327R2x+2+22=内部的曲面为：=R2-(x2+y)，2+R2(1-4aR容易求得面积为S=2元R2(1-2a6.质量为12V3+2元，重心为(0.0.596-45/15749[obab2提示：设=(x,,)x++=质点位于(0,0,b）点，则球面对质点的x=asingcosgG(b-2)引力为F=y=asingsing，则ds。令[x? + y? +(z-b)"j2z=acospGb-acoso)asingdo，再作变量代换=+b2-2abcosg。F=rde(a? +b2 - 2abcosp)2[x=xo+RSR?,au,?ua?8. (2)提示：令y=y+Rn，则60x2y2a22(00-0)z=Zo+RJJu(xo + R5, o +Rn,z0 +Rs)ds,其中2*=(5,n,S)52 +n +? =1T(R) =4元起利用对称性，有[Eds=ns=sds=0;[nd=Jnsd=Js=0和2Nn2

（5） 4 9 13 πa . 提示：由对称性，∫∫ Σ x dS = 2 ∫∫ Σ y dS = 2 ∫∫ Σ z dS = 2 ∫∫ Σ (x + y + z )dS 3 1 2 2 2 ； （6） π 15 1564 17 + 4 . 提示：由对称性，∫∫ 3 0， Σ x dS = ∫∫ Σ y dS = 2 ∫∫ Σ (x + y )dS 2 1 2 2 ， ∫∫ Σ zdS = ∫∫ Σ (x + y )dS 2 1 2 2 ； （7） ( 1 ln( 1 )) 2 2 2 π a + a + a + + a 。 5． R a 3 4 = , 2 max 27 32 S = πa . 提示：设 Σ 的球心在 ，则球面 在球面 内部的曲面为： (0,0, a) Σ 2 2 2 2 x + y + z = a ( ) 2 2 2 z = a − R − x + y ， ) 4 (1 2 2 2 2 2 a R x + y ≤ R − ， 容易求得面积为 ) 2 2 (1 2 a R S = πR − 。 6．质量为 π 15 12 3 + 2 ，重心为 ) 749 596 45 3 (0,0, − 。 7．设质点离球心的距离为b ，则 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < = b a b Ga b a F 2 2 4 0 π 。 提示：设 { } 2 2 2 2 Σ = (x, y,z) x + y + z = a ，质点位于 点，则球面对质点的 引力为 (0,0,b) dS x y z b G b z F ∫∫ Σ + + − − = 2 3 2 2 2 [ ( ) ] ( ) 。令 ，则 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos z a y a x a ∫ ∫ + − − = π π ϕ ϕ ϕ ϕ θ 2 0 0 2 3 2 2 2 ( 2 cos ) ( cos ) sin d a b ab G b a a F d ，再作变量代换t 2 = a 2 + b2 − 2ab cosϕ 。 8．（2） ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ( ) 6 x y z z u y u x R u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + . 提示：令 ，则 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + ς η ξ z z R y y R x x R 0 0 0 T(R) = ∫∫ Σ + + + * ( , , ) 4 1 0 0 0 u x Rξ y Rη z Rς dS π ，其中 {( , , ) 1} * 2 2 2 Σ = ξ η ς ξ +η + ς = . 利用对称性，有∫∫ ； 和 Σ = * ξdS ∫∫ Σ = * ηdS 0 * ∫∫ Σ ς dS = ∫∫ Σ = * ξηdS ∫∫ Σ = * ης dS 0 * ∫∫ Σ ς ξdS = 2

[= ds = [[nds = [Is? ds ="(=?+n?+s?)dS；由此得到T(O)=0和3,a?u.a?uauT"(0)ax?ay?3022Xo.J0,-0)3提示：过p(x,y,2)点的切平面为xX+yY+2zZ=2，原点到切平面的距离为9.T2x=2sin@coso2y=2singpsing，则p(x,y,=)x2 + y2 +4z=COSx?+y?+42?=2sinp+4cos，EG-F?=sing2sin@+4cos，由3此得到门IS p(x,y,=)10.提示：将xyz-坐标系保持原点不动旋转成xyz-坐标系，使z轴上的单位1向量为(a,bc)，则球面不变，面积元ds也不变。设球面上一Va?+b?+点(x,y,z)的新坐标为(x,",z")，则ax+by+cz=a2+b?+c2，于是J,f(ax+ by+ cz)ds = JJ,f(Va? +b? +c2=)dS 。计算这一曲面积分，令x'=sincos，y=sinsin，z'=cosp。11.需要100小时提示：设在时刻t雪堆的体积为V(t)，雪堆的侧面积为S(t)，dy139dh_13h()。由得到-元h'(t), S(t) =则V(t)=S(t)，再由12dt10410dth(0)=130,得到h(100)=0。第2节14（3）-2元；1.（1)2：（2)15（4）当a=e?时，【=(7+e)；当a=e时，1(1-e-4），其他情况下，l-ae21-ae-2I=Ina:lna+2Ina-23

∫∫ Σ = * 2 ξ dS ∫∫ Σ = * 2 η dS ∫∫ Σ = * 2 ς dS ∫∫ Σ + + * ( ) 3 1 2 2 2 ξ η ς dS ；由此得到T '(0) = 0和 T"(0) = ( , , ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ( ) 3 1 x y z z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + 。 9． π 2 3 . 提示：过 p(x, y,z) 点的切平面为 xX + yY + 2zZ = 2 ，原点到切平面的距离为 2 2 2 4 2 ( , , ) x y z x y z + + ρ = 。 令 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos 2 sin sin 2 sin cos z y x ，则 + + = 2 2 2 x y 4z ϕ ϕ 2 2 2sin + 4cos ， − = 2 EG F ϕ ϕ ϕ 2 2 sin 2sin + 4cos ，由 此得到 π ρ 2 3 ( , , ) ∫∫ = Σ dS x y z z 。 10. 提示：将 xyz − 坐标系保持原点不动旋转成 x' y'z'− 坐标系，使 轴上的单位 向量为 z' ( , , ) 1 2 2 2 a b c a + b + c ，则球面Σ 不变，面积元 也不变。设球面Σ 上一 点 的新坐标为 ，则 dS (x, y,z) (x', y',z') ' 2 2 2 ax + by + cz = a + b + c z ，于是 ∫∫Σ f (ax + by + cz)dS ∫∫Σ = f ( a + b + c z')dS 2 2 2 。 计算这一曲面积分，令 x'= sinϕ cosθ ， y'= sinϕ sinθ ， z'= cosϕ 。 11．需要 100 小时. 提示：设在时刻 雪堆的体积为 ，雪堆的侧面积为 ， 则 t V (t) S(t) ( ) 4 1 ( ) 3 V t = πh t ， ( ) 12 13 ( ) 2 S t = πh t 。由 ( ) 10 9 S t dt dV = − ，得到 10 13 = − dt dh ，再由 h(0) = 130 ，得到h(100) = 0 。 第 2 节 1.（1）2 ；（2） 15 14 − ；（3）− 2π ； （4）当a = e 2时， (7 ) 2 1 4 I = − + e ；当a = e−2时， (1 ) 2 1 −4 I = − e ，其他情况下， a a ae a ae I ln ln 2 1 ln 2 1 2 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + − = − + − ； 3

(5)13;（6）-/2元α2提示：以z=α-x代入积分，得到[ydx+zdy+xdz=J(y-x)dx+(a-x)dy，其中L为L在xy平面上的投影曲线L.（椭圆）2x2+y2=α2，取逆时针方向。（7）2元(cosα-sinα）.提示：以y=xtanα代入积分，得到[(y-z)dx+(=-x)dy+(x-y)dz=(1-tanα)xdz-zdx，其中Lx为L在zx平面上的投影曲线（椭圆）=2+x2sec2α=1，取顺时针方向。2.提示：eR2.83.15 °4.（1）24h3;"abe2，提示：设曲面≥的单位法向量为(cosa,cosβ,cosr），由(2）4ddy，于是dedx= cos βds 与 ddy = cosy ds , 得到 dx= cosβdxdyb?zcosyydd，其中D=a+[[ yzdzdx =ydxdy =一a2h2D63Hx= cos0（3）0.提示：取的参数表示y=sin，0≤0≤2元，0≤z≤4。Z=268(4)元.提示：设曲面Z的单位法向量为（cosα,cosβ,cosy)，由3dd=cosads与ddy=cosy，得到yd=cosaddy=2xddy，于是cOsyJ zxdydz = J[2x2zdxdy= -J[2x2(4- x2- y2)dxdy,其中 D= (x, y)x21：（6）h(h2+10)，提示：由对称性，JJx2dydz=0，JJy2dzdx=0。(5)P2(7) 2元e/2(V2-1);4

（5）13； （6） 2 − 2π a . 提示：以 z = a − x代入积分，得到 ∫ + + = L ydx zdy xdz ∫ − + − Lxy ( y x)dx (a x)dy ，其中 Lxy 为 L 在 xy 平面上的投影曲线 （椭圆）2x 2 + y 2 = a 2 ，取逆时针方向。 （7）2π (cosα − sinα). 提示：以 y = x tanα 代入积分，得到 ∫ − + − + − = L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz − ∫ − Lzx (1 tanα) xdz zdx，其中 Lzx 为 L 在 zx 平面上 的投影曲线（椭圆） z 2 + x 2 sec2 α = 1，取顺时针方向。 2. 提示： 2 8 R I R π ≤ 。 3． 15 8 − 。 4.（1）24h3 ； （ 2 ） 2 4 abc π . 提示：设曲面 Σ 的单位法向量为 (cosα, cos β , cosγ ) ， 由 dzdx = cos β dS 与 dxdy = cosγ dS ，得到 dxdy b z c y dzdx dxdy 2 2 cos cos = = γ β ，于是 ∫∫ Σ yzdzdx = ∫∫ Σ y dxdy = b c 2 2 2 ∫∫ D y dxdy b c 2 2 2 ，其中 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ( , ) + ≤ 1 2 2 2 2 b y a x D x y 。 （3）0 . 提示：取Σ 的参数表示 ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = z z y x θ θ sin cos 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ z ≤ 4 。 （4） π 3 68 − . 提示：设曲面Σ 的单位法向量为(cosα, cos β , cosγ ) ，由 dydz = cosα dS 与dxdy = cosγ dS ，得到dydz dxdy 2xdxdy cos cos = = γ α ，于是 ∫∫ Σ zxdydz = ∫∫ ，其中 Σ x zdxdy = 2 2 − ∫∫ − − D 2x (4 x y )dxdy 2 2 2 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y ≤ 。 （5） 2 1 ；（6） ( 10) 2 1 2 2 πh h + . 提示：由对称性，∫∫ ， 。 Σ = 0 2 x dydz ∫∫ Σ = 0 2 y dzdx （7）2 ( 2 1) 2 π e − ； 4

4(a2b2 +b2c? +c?a);(8)abc8(a+b+c)R?。(9)3第3节1408(e" -1); (5) （6)(2+≥):(2) 0; (3) 0; (4)1)ab_元1. (1)33（7）元，提示：设积分1=[P(,)+(x,)dy，先证明2(_P()=0axay再将积分路径换成椭圆4x2+y2=1，即x=cost,y=sint.t:0→2元。2（8）元，提示：设积分1=[P(x,)x+(x,)，先证明(x_P(=0,ayax再将积分路径换成椭圆x2+4y?=1，即x=costysint,t:0→2元。2(9)2元，提示：设积分1=[P(x,)x+(x,)dy，先证明()_P()=0,dyax再将积分路径换成圆L,：x2+y2=r2，即x=rcost,y=rsint,t:0→2元；于是2”ercostcos(rsint)dt，令r→0，即得到|=2元。得到I：3βma’;(2) Ia2; (3) 3ma2。2. (1)863. （1) 0; (2) [p(t)-p(t)]dt; (3) 9。4. x? sin y+ y? sinx .5. ↓1n(x2+ y°)。26. Q(x,y)= x? +2y-1a2x(* + y2)]_ a[x2(x4 +y2)]7．元=-1.提示：利用ayax9.（1)3a4；（2)1;（3）-元h4；（4）2元R3;（5）2元a2(e2a-1)；（6）-223ma提示：原式=JJxdydz+！(7)-(a +=) dxdy ;25

（8） ( ) 4 2 2 2 2 2 2 a b b c c a abc + + π ； （9） 3 ( ) 3 8 a + b + c R π 。 第 3 节 1.（1） 3 140 − ；（2）0 ；（3）0 ；（4） ( 1) 5 1 − π e ；（5） 3 8 ；（6） 2 3 2 ) 2 (2 a b a π π + − ； （7）π . 提示：设积分 = ∫ + ，先证明 L I P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 ( , ) ( , ) = ∂ ∂ − ∂ ∂ y P x y x Q x y ， 再将积分路径换成椭圆4x 2 + y 2 = 1，即 cos , sin , : 0 2π 2 1 x = t y = t t → 。 （8）π . 提示：设积分 = ∫ + ，先证明 L I P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 ( , ) ( , ) = ∂ ∂ − ∂ ∂ y P x y x Q x y ， 再将积分路径换成椭圆 x 2 + 4y 2 = 1，即 sin , : 0 2π 2 1 x = cost, y = t t → 。 （9）2π . 提示：设积分 = ∫ + ，先证明 L I P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 ( , ) ( , ) = ∂ ∂ − ∂ ∂ y P x y x Q x y ， 再将积分路径换成圆 Lr ： x 2 + y 2 = r 2，即 x = r cost, y = rsin t, t : 0 → 2π ；于是 得到 = ∫ ，令 ，即得到 2π 0 cos I e cos(rsin t)dt r t r → 0 I = 2π 。 2．（1） 2 8 3 πa ；（2） 2 6 1 a ；（3）3πa 2。 3．（1）0 ；（2）∫ − ；（3）9。 2 1 [φ(t) ϕ(t)]dt 4． x 2 sin y + y 2 sin x 。 5． ln( ) 2 1 2 2 x + y 。 6．Q(x, y) = x 2 + 2y −1。 7．λ = −1. 提示：利用 [ ] = ∂ ∂ + y xy x y λ 2 ( ) 4 2 [ ] x x x y ∂ ∂ − + λ ( ) 2 4 2 。 9.（1）3a 4 ；（2）1；（3） 4 2 1 − πh ；（4）2πR3 ；（5）2πa 2 (e 2a −1)；（6） 2 π − ； （7） 3 2 3 − πa . 提示：原式 ∫∫ Σ = + a + z dxdy a xdydz 2 ( ) 1 ； 5

-3x2（8）（0）4元，提示：设r=x2+1axr2 -3y22 -32213。设2"=(x,,2)x2+2 +2 =82)，方向ayOzr5x=sinpcoso为外侧，取其参数表示为y=6sinpsin,(p,0)D'=(0≤≤元,0≤0≤2元),z=6cosp则 Jj dyd + yded + =dxdyfr xdydz + ydzdx + zdxdyIsin pd pde ;r3r3(i)2元.(x-2)2 (y-1)2≤1,2 = 0) -((x,y,2)x2 +y2 <82,z = 0) ,提示：设"=((x,y,916方向为下侧，"=((x,,=)x+y2+z2=2,z≥0)，方向为下侧。取"的参数表[x=sinpcosa示为=Esingsine, (g,0)e D"=(0≤≤号,0≤0≤2元), 则由2=cos2xyda+yd+d=，得到yd+yd+rr3r3E+E'+E"[J] xdyd + ydedx + zdxdy _II sin pd pdo 。r311. (1)0;(2)0。9112.（1)-/3元a2；（2）2元；（3）-2元a(a+h)；（4)h3:(5)(6)962311y13．提示：「xf(y)dy-dx = [[(f(y)+)dxdy = J[(f(x) +dxdy.f(x)f(x)f(x)DID[u= xyF(xy)dy=[[f(axy)dxdy，再作变量代换14.提示：yyaDxn.115.提示：设n=(cosα,cosβ,cosr)，1=(a,b,c)，则cos(n,l)[-2]16

（8）(i) 4π . 提示：设 2 2 2 r = x + y + z ，则 5 3 2 2 3 r r x x r x − = ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ， 5 3 2 2 3 r r y y r y − = ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ， 5 3 2 2 3 r r z z r z − = ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ 。设 ' {( , , ) } 2 2 2 2 Σ = x y z x + y + z = ε ，方向 为外侧，取其参数表示为 ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ε ϕ ε ϕ θ ε ϕ θ cos sin sin sin cos z y x (ϕ,θ ) ∈ D'= {0 ≤ ϕ ≤ π ,0 ≤ θ ≤ 2π}， 则∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy ∫∫ Σ + + ' 3 r xdydz ydzdx zdxdy = ∫∫ ' sin D ϕdϕdθ ； (ii) 2π . 提示：设 1, 0} 9 ( 1) 16 ( 2) ' {( , , ) 2 2 ≤ = − + − Σ = z x y x y z {( , , ) , 0} 2 2 2 − x y z x + y < ε z = ， 方向为下侧， " {( , , ) , 0} 2 2 2 2 Σ = x y z x + y + z = ε z ≥ ，方向为下侧。取 的参数表 示为 ， Σ" ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ε ϕ ε ϕ θ ε ϕ θ cos sin sin sin cos z y x ,0 2 } 2 ( , ) " {0 θ π π ϕ θ ∈ D = ≤ ϕ ≤ ≤ ≤ ，则由 0 ' " ∫∫ 3 Σ+Σ +Σ = + + r xdydz ydzdx zdxdy ，得到∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy ∫∫ −Σ = + + " 3 r xdydz ydzdx zdxdy ∫∫ " sin D ϕdϕdθ 。 11．（1）0 ；（2）0 。 12．（1） 2 − 3πa ；（2）2π ；（3）− 2πa(a + h)；（4） 2 9 − ；（5） 3 3 1 h ；（6）− 96。 13．提示： ∫ − = L dx f x y xf y dy ( ) ( ) ∫∫ + = D dxdy f x f y ) ( ) 1 ( ( ) ∫∫ + D dxdy f x f x ) ( ) 1 ( ( ) 。 14．提示： ∫ ∂ = D dy y F(xy) ∫∫ D f (xy)dxdy ，再作变量代换 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = x y v u xy 。 15．提示：设n = (cosα, cos β, cosγ )，l = (a,b, c)，则cos(n,l) = ⋅ = l n l 6

acosa+bosβ+ccos。 注意 J[cosads= Jdydz=0, Jcos Bas= Jddx=0,Va?+b? +c?[[cos ydS = [ dxdy =0 。Zr.n16.提示：设n=(cosα,cosβ,cos)，r=(x,y,z)，则cos(r,n)Irxcosα+ycosβ+zcosyVx2+y2+22ldxdydz18.提示：cosaαcosβcosyI/cosadydz+cosBdzdx+cosydxdy=24y[[(cos’ α+ cos? β+ cos’ )ds = S S第4节1,（1)0;（2)(siny-cosx)dx^dy;（3)(x+6)dx^dy^dz。2. 0。3. 0。4. 0 =-([a,(y)dy)dx -([a,(-)dz)dy -([a2(x)dx)dz 。第5节1. (1) gradf =-(x? +y2 +22) 2 (xi+ yj+zk),div(fa) = -(x? + y2 +22) 2 (3x + 20y-152) ;(2)gradf =2xi+2yj+2zk,div(fa)=6x+40y-30z);(3) gradf =2(x?+ y2 +2)-l (xi+yj +zk),div(fa) =(x? + y? +22)-1 (6x+ 40y-30z) 。32.一元。83. (1) (r)=cr-3; (2) f(r)=cr-l +C2 7

2 2 2 cos cos cos a b c a b c + + α + β + γ 。注意 ， ， 。 ∫∫ Σ cosαdS = 0 ∫∫ Σ dydz = ∫∫ Σ cos βdS = 0 ∫∫ Σ dzdx = ∫∫ Σ cosγdS = 0 ∫∫ Σ dxdy = 16．提示：设n = (cosα, cos β, cosγ )，r = (x, y,z)，则cos(r,n) = ⋅ = r r n 2 2 2 cos cos cos x y z x y z + + α + β + γ 。 18．提示： ∫ L x y z dx dy dz cosα cos β cosγ 2 1 ∫∫ Σ = cosαdydz + cos βdzdx + cosγdxdy = ∫∫ Σ (cos + cos + cos )dS = S 2 2 2 α β γ 。 第 4 节 1.（1）0 ；（2）(sin y − cos x)dx ∧ dy ；（3）(x + 6)dx ∧ dy ∧ dz 。 2．0 。 3．0 。 4．ω = −(∫ a3 ( y)dy)dx − (∫ a1(z)dz)dy − (∫ a2 (x)dx)dz 。 第 5 节 1.（1）gradf 2 3 2 2 2 ( ) − = − x + y + z (xi + yj + zk ) ， div( fa) 2 3 2 2 2 ( ) − = − x + y + z (3x + 20y −15z) ； （2）gradf = 2xi + 2yj + 2zk ， div( fa) = 6x + 40 y − 30z)； （3）gradf 2 2 2 1 2( ) − = x + y + z (xi + yj + zk ) ， div( fa) 2 2 2 1 ( ) − = x + y + z (6x + 40 y − 30z) 。 2． π 8 3 。 3．（1） f (r) = cr −3 ；（2） f (r) = c1r −1 + c2 。 7

3c4.2c.r5. （1) 0; (2)-2元。6.rotr(M)=-i-3j+4k)，r在M点沿方向n的环量面密度为38. rotE=0, (x,y,2)+0。I( +y3+2)-2y+C。10. U(x,y):311. V(x)=-U(x,)=-In(x*+y2)-arean-+C2X12. V(x,J) = -U(x, J) = -xyz(x+ y+z)+C 。QuouauouOu14.提示：-cos(t,x)，得到由-cos(n,x)+cos(n,y) =-cos(t,y)anaxdyaxOyuOuOudsdxhanaxOy15.提示：A(FP)=pFP-[(uwx-vu.) +(uv,-vu,)"]+ p(p-1)FP-*[(uux +)? +(uu, +w,)"]。16. 提示：(/Vg·Fdxdydz=[/V-(gF)dxdydz-[[[gV.FdxdydzRR=[gF·dS-[llgV.Fdxdydz.OBROuau.uoudx+u[(eu +(u +g17.提示：0=「-u-dy =2axay?axdyaxaDDIououaudsOu-cos(n,x) +cos(n,y) -18.（1）提示：cos(n. =)ldsJanayaxOzOu dxdy ou dzdx +/roudydz+ayOzar(2)提示：cos(r,n)=-n，ucos(r,n)1 ou1=(gradu)-n，于是S14ont4元ron(y-yo)u+ru)I Poyda+Qdd+ Rady, 其中 P=(x-xo)u+ru0-P34元T(z-z0)u+r?u满足R=0。取以(xo,Jo,=)为中心，>0为半R:13axyaz径的球面S。，使得S。CQ，并取n为S。的单位外法向量，然后在与S。所围的区域上应用Gauss公式，得到1.cos(r,n)1ou1cos(r,n), 1ou)dsds2ur24元ron4元50ronrouds=0,注意=为常数，cos(r,n)=1与令→0。Son8

4． c r c 2 ⋅ 3 。 5．（1）0 ；（2）− 2π 。 6．rot r (M ) = −i − 3j + 4k )，r 在M 点沿方向n 的环量面密度为 3 1 。 8．rotE = 0 ，(x, y,z) ≠ 0 。 10．U (x, y) = (x + y + z ) − 2xyz + C 3 1 3 3 3 。 11．V (x, y) = −U (x, y) C x y = − ln(x + y ) − arctan + 2 1 2 2 。 12．V (x, y) = −U (x, y) = −xyz(x + y + z) + C 。 14．提示：由 cos( , ) cos( , y) y u x x u u n n ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ n cos( , ) cos( , x) y u y x u τ τ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ，得到 ∫ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ C C dx y u dy x u ds u n 。 15．提示：∆( ) = p F [( ) ( ) ] 4 2 2 x x y y p pF uv − vu + uv − vu − ( 1) [( ) ( ) ] 4 2 2 x x y y p + p p − F uu + vv + uu + vv − 。 16．提示：∫∫∫∇g ⋅ dxdydz = B F ∫∫∫∇ ⋅ g dxdydz − B ( F) g dxdydz B ∫∫∫ ∇ ⋅ F g dS 。 B = ⋅ ∫∫ ∂ F g dxdydz B ∫∫∫ − ∇ ⋅ F 17．提示： ∫ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − D dy y u dx u x u 0 u ∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = D y u x u u y u x u ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 。 18．（1）提示： = ∂ ∂ ∫∫ Σ dS n u ∫∫ Σ ∂ ∂ [ cos( , x) x u n cos( , y) y u n ∂ ∂ + z dS z u cos(n, )] ∂ ∂ + ∫∫ Σ ∂ ∂ = dydz x u dzdx y u ∂ ∂ + dxdy z u ∂ ∂ + 。 （2）提示： r r ⋅ n cos(r,n) = ， = ⋅ n ∂ ∂ (gradu) n u ，于是 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∫∫ + Σ dS n u r r u cos( , ) 1 4 1 2 r n π ∫∫ Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 4π 1 ，其中 3 2 0 ( ) r x x u r u P − + x = ， 3 2 0 ( ) r y y u r u Q − + y = ， 3 2 0 ( ) r z z u r u R − + z = ，满足 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z R y Q x P 。取以(x0 , y0 ,z0 )为中心，δ > 0为半 径的球面 S0，使得 S0 ⊂ Ω ，并取n 为 的单位外法向量，然后在Σ 与 所围的 区域上应用 Gauss 公式，得到 S0 S0 ∫∫ Σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dS n u r r u cos( , ) 1 4 1 2 r n π ∫∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + 0 cos( , ) 1 4 1 2 S dS n u r r u r n π ， 注意 r = δ 为常数，cos(r,n) = 1与 0 0 = ∂ ∂ ∫∫ dS n u S ，令δ → 0。 8