复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题十二（题目）

习题12.11.求下列函数的偏导数：(2) z = x2 In(x2 + y2):(1) z= x -6xy +y6;(3) 2= x+±,(4) z = sin(xy)+ cos'(xy) ;y(6) z =tan(5) z=e'(cosy+xsiny):(7) z=sin ≥.cos,(8) z =(1+xy)*;xyx+y(9) z=In(x+lny);(10)z=arctan-1- xyY(11) u=e(r+y+),(12) u=x=1(14) u= x(13)u =Vx2+y?+2?a,xj，a,=a,且为常数。(15)u=a,x,a,为常数）；(16)u=i=li,j=l设f(x,y)=x+y-/x2 +y2,求f(3,4)及f,(3,4)。2.XOz1..Oz2=0。，验证2x3.设z=e"axoyx? + y2曲线4.在点（2.4,5）处的切线与x轴的正向所夹的角度是多少？4(y= 45.求下列函数在指定点的全微分：(1) f(x,y)=3xy-xy2, 在点(1,2);(2) f(x,y)=ln(1+x2 +y), 在点(2,4);sinx元(3) F(x,J) = 在点(0,1)和福y?6.求下列函数的全微分：(1) z=yt;(2) z= xye;yx+y(3)z=(4)zx-yVx2 + y2(5) u= /x2 +y2 +22 ;(6) u= In(x? + y? +2)。7.求函数z=xe2在点P(1,0)处的沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)方向的方向导数。8．设z=x2-xy+y2，求它在点(1I)处的沿方向v=(cosα,sinα)的方向导数，并指出：（1）沿哪个方向的方向导数最大？（2）沿哪个方向的方向导数最小？（3）沿哪个方向的方向导数为零？9.如果可微函数f(x,y)在点(1,2)处的从点(1,2)到点(2,2)方向的方向导数为2，从点(1,2)到点(1,1)方向的方向导数为-2。求1

习 题 12.1 1． 求下列函数的偏导数： （1） ； （2） ； 5 4 2 6 z = x − 6x y + y ln( ) 2 2 2 z = x x + y （3） y x z = xy + ； （4） sin( ) cos ( ) ； 2 z = xy + xy （5） z e (cos y xsin y) ； （6） x = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x z 2 tan ； （7） x y y x z = sin ⋅ cos ； （8） ； y z = (1+ xy) （9） z = ln(x + ln y) ； （10） xy x y z − + = 1 arctan ； （11） ； （12） ( ) 2 2 2 ex x y z u + + = z y u = x (13) 2 2 2 1 x y z u + + = ； （14） ； z y u = x （15） ∑ （ 为常数）； （16） 且为常数。 = = n i i i u a x 1 ai ij ji n i j ij i j u = ∑a x y a = a = , , 1 2． 设 2 2 f (x, y) = x + y − x + y ，求 f x (3,4)及 f y (3,4) 。 3． 设 2 e y x z = ，验证 2 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ y z y x z x 。 4． 曲线 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 4 , 4 2 2 y x y z 在点(2,4,5)处的切线与 x 轴的正向所夹的角度是多少？ 5． 求下列函数在指定点的全微分： （1） ，在点 ； 2 2 f (x, y) = 3x y − xy (1,2) （2） ( , ) ln(1 ) ，在点 ； 2 2 f x y = + x + y (2,4) （3） 2 sin ( , ) y x f x y = ，在点(0,1) 和 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ,2 4 π 。 6． 求下列函数的全微分： （1） ； （2） ； x z = y xy z = xy e （3） x y x y z − + = ； （4） 2 2 x y y z + = ； （5） 2 2 2 u = x + y + z ； （6） ln( ) 。 2 2 2 u = x + y + z 7． 求函数 z = x e2 y 在点 P(1,0) 处的沿从点 P(1,0) 到点Q(2,−1)方向的方向导数。 8． 设 ，求它在点 处的沿方向 2 2 z = x − xy + y (1,1) v = (cosα,sinα) 的方向导数，并指 出： （1）沿哪个方向的方向导数最大？ （2）沿哪个方向的方向导数最小？ （3）沿哪个方向的方向导数为零？ 9．如果可微函数 在点 处的从点 到点 方向的方向导数为 2，从点 到点 方向的方向导数为-2。求 f (x, y) (1,2) (1,2) (2,2) (1,2) (1,1) 1

（1）这个函数在点（1,2）处的梯度：（2）点（1,2）处的从点（1,2)到点（4,6)方向的方向导数。10.求下列函数的梯度：(1) z= x? + y sin(xy):(2) z =163a(3）u=x2+2y2+3z2+3xy+4yz+6x-2y-5z，在点(1,1,1)。11.对于函数f(x,y)=xy，在第I象限（包括边界）的每一点，指出函数值增加最快的方向。12.验证函数f(x,y)= /xy在原点(0,0)连续且可偏导，但除方向e,和-e，（i=1,2）外，在原点的沿其它方向的方向导数都不存在。13.验证函数xyx2+y?+0,Vx?+y?f(x,y)=x? +y? =00,在原点（0,0）连续且可偏导，但它在该点不可微。14.验证函数1x2+y?+0sinf(x,y):x2 + 10,x2 +y?=0的偏导函数f,(x,y),f,(x,y)在原点(0,0)不连续，但它在该点可微。证明函数15.2xy2x?+y*+0,x+y4,f(x,y)=S0,x?+y? =0在原点(0,0)处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因而不可微。16.计算下列函数的高阶导数：0z0202(1) ≥= arctan,，求"axoyay?Ox2"x求(2)z=xsin(x+y)+ycos(x+y),ax?axoy'ay?aza3z(3）z=xe，求ax'ay'axoy?auotz(4)u=ln(ax+by+cz),求axtax?0y?Op+9z(5) z=(x-a)p(y-b),求axPay!ap+g+ru(6) u= xyze*+y+:XaxPOy'Ozr17.计算下列函数的高阶微分：2

（1）这个函数在点(1,2) 处的梯度； （2）点(1,2) 处的从点(1,2) 到点(4,6) 方向的方向导数。 10. 求下列函数的梯度： （1） sin( ) ； （2） 2 2 z = x + y xy ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 2 2 2 2 1 b y a x z ； （3）u x 2y 3z 3xy 4yz 6x 2y 5z ，在点 。 2 2 2 = + + + + + − − (1,1,1) 11. 对于函数 ，在第Ι象限（包括边界）的每一点，指出函数值增加最快 的方向。 f (x, y) = xy 12． 验证函数 3 f (x, y) = xy 在原点(0,0) 连续且可偏导，但除方向ei 和 i − e （i = 1,2 ）外，在原点的沿其它 方向的方向导数都不存在。 13. 验证函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在原点(0,0) 连续且可偏导，但它在该点不可微。 14. 验证函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ + + = 0, 0 , 0, 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 的偏导函数 f x (x, y), f y (x, y) 在原点(0,0) 不连续，但它在该点可微。 15. 证明函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, 2 ( , ) 2 2 2 2 2 4 2 x y x y x y xy f x y 在原点(0,0) 处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因而不可微。 16．计算下列函数的高阶导数： （1） x y z = arctan ，求 2 2 2 2 2 , , y z x y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （2） z = x sin(x + y) + y cos(x + y) ，求 2 2 2 2 2 , , y z x y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （3） z = x exy ，求 2 3 2 3 , x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （4）u = ln(ax + by + cz) ，求 2 2 4 4 4 , x y z x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （5） ，求 p q z = (x − a) ( y − b) p q p q x y z ∂ ∂ ∂ + ； （6） ，求 x y z u xyz + + = e p q r p q r x y z u ∂ ∂ ∂ ∂ + + 。 17．计算下列函数的高阶微分： 2

(1) z=xln(xy), 求d2 z;(2)z=sin2(ax +by)，求d'z;(3)u=e++y+=(x? +y? +2),求d"u:;(4) z=e'siny, 求d* z。18.函数z=f(x,y)满足1==-siny+及 f(0,y)= 2sin y+y3。ax1-xy求f(x,y)的表达式。19.验证：o=k（1）z=e-krsin(ny)满足热传导方程ax=koys:ouououL=0(2）u=≥arctan二满足Laplace 方程%ax?+ay?+z?y220.设f(r,t)=te4，确定α使得f满足方程af-1 a(raf)atarr21.求下列向量值函数在指定点的导数：(1) (x)=(acosx,bsinx,cx)T, 在x=点;4(2)(x,J,z)=(3x+e"cotz,x3 +y2 tanz)T, 在1. -(3) g(u,v)=(ucosv,usinv,v)T, 在(l,元)点。22.设f:R→R为向量值函数。(1)如果坐标分量函数f(x,y,=)=x,f(x,y,2)=y,f(x,,)=z，证明的导数是单位阵；（2）写出坐标分量函数的一般形式，使f的导数是单位阵：(3）如果已知f的导数是对角阵diag(p(x),q(y),r(z))，那么坐标分量函数应该具有什么样的形式？习题12.21.利用链式规则求偏导数：1dz(1) z = tan(3t+2x2 - y2),/t求xy=dttd2求(2) z=er-2y, x=sint, y=t, dr?e"(y-z)dw(3)W=求z=cOSX,v=asinx,2a2 +1dxaz(4) z=u lnv, u=_v=3x-2y,axayy3

（1） z = x ln(xy) ，求d2 z ； （2） sin ( ) ，求 ； 2 z = ax + by z 3 d （3） e ( ) ，求 ；； 2 2 2 u x y z x y z = + + + + u3 d （4） z y ，求 。 x = e sin z k d 18．函数 z = f (x, y) 满足 xy y x z − = − + ∂ ∂ 1 1 sin ，及 。 3 f (0, y) = 2sin y + y 求 f (x, y) 的表达式。 19．验证： （1） e sin( ) 满足热传导方程 2 z ny −kn x = 2 2 y z k x z ∂ ∂ = ∂ ∂ ； （2） y x u = z arctan 满足 Laplace 方程 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u ； 20．设 t r f r t t 4 2 ( , ) e − = α ，确定α 使得 f 满足方程 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ r f r t r r f 2 2 1 。 21．求下列向量值函数在指定点的导数： （1） ，在 T f (x) = (a cos x,bsin x,cx) 4 π x = 点； （2） ，在 3 2 T (x, y,z) (3x e cot z, x y tan z) y f = + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 4 1, 2, π 点； （3） ，在 T g(u,v) = (u cos v,u sin v,v) (1,π ) 点。 22．设 为向量值函数。 3 3 f : R → R （1）如果坐标分量函数 f (x, y,z) = x, f (x, y,z) = y, f (x, y,z) = z 1 2 3 ，证明 的 导数是单位阵； f （2）写出坐标分量函数的一般形式，使 f 的导数是单位阵； （3）如果已知 f 的导数是对角阵diag( p(x),q( y),r(z))，那么坐标分量函数应该 具有什么样的形式？ 习 题 12.2 1．利用链式规则求偏导数： （1） y t t z = t + x − y x = , = 1 tan(3 2 ), 2 2 ，求 t z d d ； （2） ，求 2 3 z e , x sin t, y t x y = = = − 2 2 d d t z ； （3） 1 ( ) 2 + − = a e y z w ax ， y = a sin x ， z = cos x ，求 x w d d ； （4） v x y y x z u ln v, u , 3 2 2 = = = − ，求 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , ； 3

，sinx求(5)u=et+y+axayOwOw(6) w=(x+y+z)sin(x2+y2+=2),x=te',y=e', z=es+,求asat求兰”(7) z=x2 + y2+cos(x+y),x=u+v,=arcsiny,)Ou'Ovou以下假设f具有二阶连续偏导数。x)u（8）u=xyyaxayaxayay2(9) u=(x +y +=),求uuuuuax"Oy'oz"ax?"axoywwaw(10) w=f(x,y,z2), x=u+v, y=u-v, ==w, 求ouOvouo2.设f(x,y)具有连续偏导数，且f(x,x2)=1，f,(x,x2)=x，求f,(x,x)。3.设f(x,y)具有连续偏导数，且f(1,1)=1，f,(1,1)=2，f,(1,1)=3。如果p(x)=f(x, f(x,x)),求p'(1)。1 0z±1 0zy其中f()具有连续导数，且f()+0，求-4.设z=：f(x2 - y2)xoxyyxy=u-v,验证5.设z=arctanx=u+v,yOu-yu?+y2。Qu+ov6.设β和具有二阶连续导数，验证ou+xu__u(1) u=yp(x2-y)满足y-Yaxayyau20u(2）u=p(x-at)+y(x+at)满足波动方程at?ax?02202在坐标变换7.设z=f(x,y)具有二阶连续偏导数，写出ax+ay[u=x?-y?,[v=2x)下的表达式。e8. 设f(x,y)y ax?axoyx ay?9.如果函数f(x,y)满足：对于任意的实数t及x,y，成立f(tx,ty)= t" f(x, y),那么称为n次齐次函数。(1）证明n次齐次函数f满足方程.af.of= nf :TOxOy4

（5） ， ，求 2 2 2 x y z u e + + = z y sin x 2 = y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （6） ( )sin( ) ， ， ， ，求 2 2 2 w = x + y + z x + y + z s x = te t y = e s t z e + = t w s w ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （7） cos( ) ， 2 2 z = x + y + x + y x = u + v ， y = arcsin v ，求 v u z u z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , ； 以下假设 f 具有二阶连续偏导数。 （8） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x u f xy, ，求 2 2 2 , , , y u x y u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （9） ( ) ，求 2 2 2 u = f x + y + z x y u x u z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 , , , , ； （10） w = f (x, y,z) ， x = u + v ， y = u − v ， z = uv ，求 u v w v w u w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , , 。 2．设 f (x, y) 具有连续偏导数，且 ( , ) 1， ，求 。 2 f x x = f x x x x ( , ) = 2 ( , ) 2 f x x y 3 ． 设 f (x, y) 具 有 连续偏 导 数，且 f (1,1) = 1 ， f x (1,1) = 2 ， f y (1,1) = 3 。如果 ϕ(x) = f (x, f (x, x))，求ϕ′(1) 。 4．设 ( ) 2 2 f x y y z − = ，其中 f (t) 具有连续导数，且 f (t) ≠ 0 ，求 y z x y z x ∂ ∂ + ∂ 1 ∂ 1 。 5．设 y x z = arctan ， x = u + v ， y = u − v ，验证 2 2 u v u v v z u z + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 6．设ϕ 和ψ 具有二阶连续导数，验证 （1） ( )满足 2 2 u = yϕ x − y u y x y u x x u y = ∂ ∂ + ∂ ∂ ； （2）u = ϕ(x − at) +ψ (x + at) 满足波动方程 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ 。 7．设 z = f (x, y) 具有二阶连续偏导数，写出 2 2 2 2 y z x z ∂ ∂ + ∂ ∂ 在坐标变换 ⎩ ⎨ ⎧ = = − v xy u x y 2 , 2 2 下的表达式。 8．设 = ∫ − ，求 xy t f x y e dt 0 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2 y f x y x y f x f y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ 。 9．如果函数 f (x, y) 满足：对于任意的实数t 及 x, y ，成立 f (tx,ty) t f (x, y) n = ， 那么 f 称为 n 次齐次函数。 （1） 证明 n 次齐次函数 f 满足方程 nf y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ ； 4

Oz...Oz利用上述性质，对于z=x+y2求出x(2）ax+ayaz10.设z=，其中具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求fixy.+gaxoyyV11.设向量值函数f：R2→R的坐标分量函数为[x=u? +y?,y=u?-y?2=向量值函数g：R2→R2的坐标分量函数为[u=rcosa[v=rsing.求复合函数g的导数。OwOwOw12. 设w= f(x,u,v), u=g(y,z), v= h(x,y), 求ax"oy'oz13.设z=u，u=ln/x+y，=arctan，求dz。xa?z-arctan，求dz和14. 设z=(x2 +y2)eaxoy15.求下列函数的全微分：(1)u=f(ax2+by?+cz);(2) u= f(x+y,xy);(3) u = f(ln(1 + x2 + y? +22),e*+y-)16.设f(t)具有任意阶连续导数，而u=f(ax+by+cz)。对任意正整数k，求d*u。17.设函数z=f(x,y)在全平面上有定义，具有连续的偏导数，且满足方程xf.(x,y)+yf,(x,y)=0,证明：f(x,y）为常数。18.设n元函数f在R"上具有连续偏导数，证明对于任意的x=（x,x2，,x），y=（yi,y2,,J,）eR"，成立下述Hadamard公式：()-()=0, -x)%(+(y-x)d。:axi=l习题12.31.对函数f(x,y)=sinxcosy应用中值定理证明：存在θe(O,1)，使得3元..元0元元-sinsin:cos-cOS-4"3℃0366362.写出函数f(xy)=3x3+y3-2x2y-2xy2-6x-8y+9在点(1,2)的Taylor展开式。3.求函数f(x,y)=sinxln(1+y)在(0,0)点的Taylor展开式（展开到三阶导数为止）。4.求函数f(x,y)=er+y在(0,0)点的n阶Taylor展开式，并写出余项。cosy5. 设f(x,y)=x>0.x5

（2） 利用上述性质，对于 2 2 z = x + y 求出 y z y x z x ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 10．设 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x g y x z f xy, ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 11．设向量值函数 f ： 2 R → 3 R 的坐标分量函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = + . , , 2 2 2 2 z uv y u v x u v 向量值函数 g ： 2 R → 2 R 的坐标分量函数为 ⎩ ⎨ ⎧ = = sin . cos , θ θ v r u r 求复合函数 f D g 的导数。 12．设 w = f (x,u, v) ，u = g( y,z) ，v = h(x, y) ，求 z w y w x w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , 。 13．设 z = uv ， 2 2 u = ln x + y ， x y v = arctan ，求 dz 。 14．设 x y z x y e arctan 2 2 ( ) − = + ，求 dz 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 15．求下列函数的全微分： （1） ( ) ； 2 2 2 u = f ax + by + cz （2）u = f (x + y, xy) ； （3） ( ) x y z u f x y z e + + = ln(1+ + + ), 2 2 2 。 16．设 f (t) 具有任意阶连续导数，而u = f (ax + by + cz) 。对任意正整数k ，求dk u 。 17. 设函数 z = f (x, y)在全平面上有定义，具有连续的偏导数，且满足方程 xf x (x, y) + yf y (x, y) = 0 , 证明： f (x, y) 为常数。 18．设n 元函数 f 在 n R 上具有连续偏导数，证明对于任意的 x = ( , , , ) 1 2 n x x " x ， ( , , , ) 1 2 n y = y y " y n ∈ R ，成立下述 Hadamard 公式： ∑∫ = + − ∂ ∂ − = − n i i i i t dt x f f f y x 1 1 0 (y) (x) ( ) (x (y x)) 。 习 题 12.3 1．对函数 f (x, y) = sin x cos y 应用中值定理证明：存在θ ∈ (0, 1) ，使得 6 sin 3 sin 6 6 cos 3 cos 4 3 3 π πθ πθ π πθ πθ = − 。 2．写出函数 ( , ) 3 2 2 6 8 9在点 的 Taylor 展开式。 3 3 2 2 f x y = x + y − x y − xy − x − y + (1,2) 3．求函数 f (x, y) = sin x ln(1+ y) 在(0,0) 点的 Taylor 展开式（展开到三阶导数为止）。 4．求函数 在 点的 阶 Taylor 展开式，并写出余项。 x y f x y + ( , ) = e (0,0) n 5．设 , 0 cos ( , ) = x > x y f x y . 5

（1）求f(x,y)在(1,O)点的Taylor展开式（展开到二阶导数），并计算余项R，。(2）求f(x,y)在(1,0)点的k阶Taylor展开式，并证明在(1,0)点的某个领域内，余项R，满足当k→0时，R→0。6.利用Taylor公式近似计算8.962.03（展开到二阶导数）。7.设f(x,y)在R2上可微。I,与l,是R2上两个线性无关的单位向量（方向）)。若af(x,y)=0， i=12,al,证明：在R2上f(x,J)=常数。8. 设(x,J)=sin（x0)，证明：X0af(x,y)=0, k≥l。+yxaxdy习题12.41.求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：edyxy2=0，(1)siny+erdxdy(2)xdxdy= arctany(3)In求dxx,d’y和x+y_y=0，求(4)arctandx?:dxaa(5）=n，求和%ayaxTyOz0°2Oz三利?和(6) e"-xyz=0，-1ararEayaxoya2zOz来心和(7) 23 -3xyz =a3,Oaxaxoy%和求(8)f(x+y,y+z,z+x)=0,ax和oy022OzOz求和(9) z=f(xz,z-y),ar:ax"ayzOzOz(10)f(x,x+y,x+y+z)=0,求axOx2ayxOv2.设y=tan(x+y)确定y为x的隐函数，验证dy?2(3y4 +8y2 +5)dx3ys3.设Φ是可微函数，证明由d(cx-az,cy-bz）=0所确定的隐函数z=f(x,y)满足方程0+b%=C。axy6

（1） 求 f (x, y) 在(1,0) 点的 Taylor 展开式（展开到二阶导数），并计算余项 R2 。 （2） 求 在 点的 阶 Taylor 展开式，并证明在 点的某个领域内，余 项 满足当 时， 。 f (x, y) (1,0) k (1,0) Rk k → ∞ Rk → 0 6．利用 Taylor 公式近似计算8.962.03 （展开到二阶导数）。 7．设 f (x, y) 在 2 R 上可微。 l1与 l2 是 2 R 上两个线性无关的单位向量（方向）。若 ( , ) ≡ 0 ∂ ∂ x y l f i ， i = 1,2 ， 证明：在 2 R 上 f (x, y) ≡ 常数。 8．设 x y f (x, y) = sin （ x ≠ 0 ），证明： ( , ) ≡ 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ f x y y y x x k ，k ≥ 1。 习 题 12.4 1．求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数： （1）sin 0 ，求 2 y + e − xy = x x y d d ； （2） ，求 y x x = y x y d d ； （3） x y ln x y arctan 2 2 + = ，求 x y d d ； （4）arctan − = 0 + a y a x y ，求 x y d d 和 2 2 d d x y ； （5） y x z x = ln ，求 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ ； （6）e − xyz = 0 ，求 z x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ ， 2 2 x z ∂ ∂ 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 ； （7） ，求 3 3 z − 3xyz = a x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ ， 2 2 x z ∂ ∂ 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 ； （8） f (x + y, y + z,z + x) = 0 ，求 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ ； （9） z = f (xz,z − y) ，求 x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ 和 2 2 x z ∂ ∂ ； （10） f (x, x + y, x + y + z) = 0，求 x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ ， 2 2 x z ∂ ∂ 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 2．设 y = tan(x + y) 确定 y 为 x 的隐函数，验证 8 4 2 3 3 2(3 8 5) d d y y y x y + + = − 。 3．设φ 是可微函数，证明由φ(cx − az, cy − bz) = 0 所确定的隐函数 z = f (x, y) 满足方程 c y z b x z a = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 6

4.设方程x+zyy+zx-"）=0确定隐函数z=f(x,y)，证明它满足方程OzOza+Z-xy.X-5.求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：2-x2-y2=0,dydy和dzdz(1)求和dx2[x2 +2y? +322 = 4a2,dxdxdx?a"u[xu+yv=0,au和ouOu来(2)和ar?ax'yu + xv= 1,ayaxoy[u=f(ux,v+y)求兴和%(3)ax(v=g(u-x,vy),Oxx=u+y,dz和包(4)求一Ry=u-y：axdy[2=uv2,x=e"cosy,%和%(5)y=e"sinv,求二axay2=u?+v?6.求微分(1)x+2y+z-2/xyz=0,求dz;[x+y=u+y,（2）_sinu求du与dv。Ly"siny(F(y-x, y-2)=0,[x = x(y),7.设是由方程组Z所确定的向量值隐函数，其中二元函数=0G[z = z(y)xy,-y求会和兰F和G分别具有连续的偏导数，dydyx=rcos08．设f(x,J)具有二阶连续偏导数。在极坐标变换下，求y=rsingof+fax?y?关于极坐标的表达式。9．设二元函数「具有二阶连续偏导数。证明：通过适当线性变换[u=x+ly,[v=x+Hy,可以将方程a"f+c=0+2B(AC-B3<0).ax?Qy2axoy化简为a"f=0。Ouoy7

4．设方程 ( , ) 0确定隐函数 1 1 + + = − − φ x zy y zx z = f (x, y) ，证明它满足方程 z xy y z y x z x = − ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 5．求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数： （1） 求 ⎩ ⎨ ⎧ + + = − − = 2 3 4 , 0, 2 2 2 2 2 2 x y z a z x y x y d d ， x z d d ， 2 2 d d x y 和 2 2 d d x z ； （2） 求 ⎩ ⎨ ⎧ + = + = 1, 0, yu xv xu yv x u ∂ ∂ ， y u ∂ ∂ ， 2 2 x u ∂ ∂ 和 x y u ∂ ∂ ∂ 2 ； （3） 求 ⎩ ⎨ ⎧ = − = + ( , ), ( , ), 2 v g u x v y u f ux v y x u ∂ ∂ 和 x v ∂ ∂ ； （4） 求 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = + , , , 2 2 z u v y u v x u v x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ ； （5） 求 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = = , sin , cos , 2 2 z u v y e v x e v u u x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ 。 6．求微分 （1） x + 2y + z − 2 xyz = 0，求d z ； （2） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + , sin sin , v u y x x y u v 求du 与dv 。 7． 设 是由方程组 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ), z z y x x y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = , 0 ( , ) 0, y z G xy F y x y z 所确定的向量值隐函数，其中二元函数 F 和G 分别具有连续的偏导数，求 dy dx 和 dy dz 。 8． 设 f (x, y) 具有二阶连续偏导数。在极坐标 变换下，求 ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ sin cos , y r x r 2 2 2 2 y f x f ∂ ∂ + ∂ ∂ 关于极坐标的表达式。 9． 设二元函数 f 具有二阶连续偏导数。证明：通过适当线性变换 ⎩ ⎨ ⎧ = + = + , , v x y u x y µ λ 可以将方程 2 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ y f C x y f B x f A （ 0 ）. 2 AC − B < 化简为 0 2 = ∂ ∂ ∂ u v f 。 7

并说明此时入,μ为一元二次方程A+2Bt+Ct?=0的两个相异实根。[x=e.变换方程10.通过自变量变换y=ear0a?z12022+2bxy=0.a.b.c为常数。+cVOy?ax2axdy[u=x-2/y,变换方程11.通过自变量变换V=x+2/j02z02z1 0zy>0。a-"2012.导出新的因变量关于新的自变量的偏导数所满足的方程：[u=x? +y?11（1）用及w=lnz-(x+y)变换方程V=xyOzOz=(y-x)z:-Xyo-*oyu=x,(2）用及W=x+y+z变换方程[v=x+y=-20= ++(1+2)02=0ax?axoyxJoy2u=x+y,及W=二变换方程（3）用x+02-2 032 +022二=0ax?axayay?13.设y=f(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)=0所确定的x,y的隐函数，其中f和F都具有连续偏导数。证明ofaFafaFdyaxaratoxdxafoFaFat oyat14.设二元函数f(x.V）：R?→R具有连续偏导数，证明：存在一对一的连续的向量值函数G(t):R→R2，使得foG=常数。习题12.51.求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：[y=x?,1在1,,点(1)2=X21+x8

并说明此时λ, µ 为一元二次方程 2 0 的两个相异实根。 2 A + Bt + Ct = 10. 通过自变量变换 变换方程 ⎩ ⎨ ⎧ = = η ξ e e , y x 2 0 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ y z cy x y z bxy x z ax ， a,b, c 为常数。 11．通过自变量变换 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = − v x y u x y 2 2 , 变换方程 , 0 2 1 2 2 2 2 > ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ y y z y z y x z 。 12．导出新的因变量关于新的自变量的偏导数所满足的方程： （1）用 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + x y v u x y 1 1 , 2 2 及 w = ln z − (x + y)变换方程 y x z y z x x z y = ( − ) ∂ ∂ − ∂ ∂ ； （2）用 及 ⎩ ⎨ ⎧ = + = v x y u x, w = x + y + z 变换方程 2 1 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ y z x y x y z x z ； （3）用 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + x y v u x y, 及 x z w = 变换方程 2 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ y z x y z x z 。 13．设 y = f (x,t) ，而t 是由方程 F(x, y,t) = 0 所确定的 x, y 的隐函数，其中 和 都具 有连续偏导数。证明 f F t F y F t f x F t f t F x f dx dy ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = 。 14. 设二元函数 具有连续偏导数，证明：存在一对一的连续的向量值函 数 ，使得 R → R 2 f (x, y) : 2 G(t) : R → R f DG ≡ 常数。 习 题 12.5 1．求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程： （1） ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = = . 1 , 2 x x z y x 在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 1,1, 点； 8

x=t-sint,元对应的点；在1=(2)y=l-cost,2tz =4sin-2[x+y+z=0,(3)在(1,-2,1)点：[x2 + y2 +22 = 6[x? +y? =R?,(RRR)(4)点。X? +2? = R?.（2222.在曲线x=t,y=t?,z=t3上求一点，使曲线在这一点的切线与平面x+2y+z=10平行。"所对应的点处的切线的方向余弦。3.求曲线x=sin?t,y=sintcostz=cost在t=24.求下列曲面在指定点的切平面与法线方程：(1）z=2x*+3y3，在点(2,1,35)：xy(2）e=+e==4，在点(ln2,ln2,1)：（3）x=u+v,y=u2+z=u+，在点u=0,v=1所对应的点。5.在马鞍面z=xy上求一点，使得这一点的法线与平面x+3y+z+9=0垂直，并写出此法线的方程。6.求椭球面x2+2y2+322=498的平行于平面x+3y+5z=7的切平面。7.求圆柱面x2+y2=α2与马鞍面bz=xy的交角。8.已知曲面×x2-2-32=0,求经过点A(0.0,-1)且与直线==号平行的切平面的方212程。9.设椭球面2x2+3y2+z2=6上点P(1,1,1)处指向外侧的法向量为n，求函数/6x2 +8y2u=在点P处沿方向n的方向导数。210.证明曲面/x+y+V==Va（α>0)上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。11.证明：曲线x=ae'cost,y=ae'sint,z=ae与锥面x?+y2=2的各母线相交的角度相同。12.证明曲面f(ax-bz,ay-cz)=0上的切平面都与某一定直线平行，其中函数f连续可微，且常数a,b,c不同时为零。|（x≠0)在任一点处的切平面都通过原点，其中函数「连续可微。13.证明曲面z=xfzxy14.证明曲面F=0的所有切平面都过某一定点，其中函数F具有连续偏导数。(y2x)15.设F(x,y,=)具有连续偏导数，且F2+F2+F2±0。进一步，设k为正整数，9

（2） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = − . 2 4sin 1 cos , sin , t z y t x t t 在 2 π t = 对应的点； （3） 在 ⎩ ⎨ ⎧ + + = + + = 6. 0, 2 2 2 x y z x y z (1,−2,1) 点； （4） 在 ⎩ ⎨ ⎧ + = + = . , 2 2 2 2 2 2 x z R x y R ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 , 2 , 2 R R R 点。 2．在曲线 上求一点，使曲线在这一点的切线与平面 平 2 3 x = t, y = t ,z = t x + 2y + z = 10 行。 3．求曲线 x t y t t z t 在 2 2 = sin , = sin cos , = cos 2 π t = 所对应的点处的切线的方向余弦。 4．求下列曲面在指定点的切平面与法线方程： （1） ，在点 ； 4 3 z = 2x + 3y (2,1,35) （2）e + e = 4 z y z x ，在点(ln 2,ln 2,1) ； （3） ，在点 2 2 3 3 x = u + v, y = u + v , z = u + v u = 0, v = 1所对应的点。 5．在马鞍面 z = xy 上求一点，使得这一点的法线与平面 x + 3y + z + 9 = 0 垂直，并写出此 法线的方程。 6．求椭球面 2 3 498的平行于平面 2 2 2 x + y + z = x + 3y + 5z = 7 的切平面。 7．求圆柱面 与马鞍面 2 2 2 x + y = a bz = xy 的交角。 8．已知曲面 3 0，求经过点 2 2 x − y − z = A(0,0,−1)且与直线 2 1 2 x y z = = 平行的切平面的方 程。 9 ．设椭球 面 2 3 6 上 点 处 指 向 外侧的 法 向量为 ， 求 函 数 2 2 2 x + y + z = P(1,1,1) n z x y u 2 2 6 + 8 = 在点 P 处沿方向 n的方向导数。 10．证明曲面 x + y + z = a (a > 0) 上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之和等 于 a 。 11．证明：曲线 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = t t t z a y a t x a t e e sin , e cos , 与锥面 的各母线相交的角度相同。 2 2 2 x + y = z 12．证明曲面 f (ax − bz, ay − cz) = 0 上的切平面都与某一定直线平行，其中函数 f 连续 可微，且常数 a,b, c 不同时为零。 13．证明曲面 ⎟ ( ≠ 0) ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x x y z xf 在任一点处的切平面都通过原点，其中函数 f 连续可微。 14．证明曲面 , , = 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x y z x y z F 的所有切平面都过某一定点，其中函数 F 具有连续偏导数。 15．设 F(x, y,z) 具有连续偏导数，且 0 。进一步，设 为正整数， 2 2 2 Fx + Fy + Fz ≠ k 9

F(x,y,=)为k次齐次函数，即对于任意的实数t和(x,y,-)，成立F(tx,ty,tz) = t* F(x,y,z) 。证明：曲面F(x,y,=)=0上所有点的切平面相交于一定点。（提示：利用恒等式xF(x,y,z)+yF(x,y,z)+zF.(x,y,z)=kF(x,y,z))习题12.61.讨论下列函数的极值：(1) f(x,y)= x* +2y4-2x2-12y2 +6:(2) (x,y)=x4 +y4-x2-2xy-y;(3) f(x,y,2)=x2 + y2 - 22;(4) f(x,y)=(y-x)(y-x):a3.b3，其中常数a>0，b>0：(5) f(x,y)= xy+xy(6) F(x,y,2)=x++三+2(x,y,z>0)。xyz2.设f(x,y,z)=x2+3y2+222-2xy+2xz，证明函数f的最小值为0。3.证明函数f(x,y)=(1+e")cosx-ye"有无穷多个极大值点，但无极小值点。4.求函数f(x,y)=sinx+siny-sin(x+y)在闭区域D=(x,y)|x≥0, y≥0, x+y≤2元)上的最大值与最小值。5.在[0,1]上用怎样的直线==ax+b来代替曲线y=x2，才能使它在平方误差的积分J(a,b)=[(y-5)’ dx为极小意义下的最佳近似。6.在半径为R的圆上，求内接三角形的面积最大者。7.要做一圆柱形帐幕，并给它加一个圆锥形的顶。问：在体积为定值时，圆柱的半径R，高H，及圆锥的高h满足什么关系时，所用的布料最省？8.求由方程x2+2xy+2y2=1所确定的隐函数y=y(x）的极值。9.求由方程2x2+2y2+z2+8yz-z+8=0所确定的隐函数z=z(x,y)的极值。10.在Oxy平面上求一点，使它到三直线x=0，y=0，和x+2y-16=0的距离的平方和最小。11：证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小。12.证明：圆的所有内接n边形中，以正n边形的面积为最大。13.证明：当0β>0)。求使产鱼总量最大的放养数。计算实习题（在教师的指导下，编制程序在电子计算机上实际计算）10

F(x, y,z) 为 k 次齐次函数，即对于任意的实数t 和(x, y,z) ，成立 F(tx,ty,tz) t F(x, y,z) k = 。 证明：曲面 F(x, y,z) = 0上所有点的切平面相交于一定点。 （提示：利用恒等式 xF (x, y,z) yF (x, y,z) zF (x, y,z) kF(x, y,z) x + y + z = ） 习 题 12.6 1． 讨论下列函数的极值： （1） ( , ) 2 2 12 6 ； 4 4 2 2 f x y = x + y − x − y + （2） ； 4 4 2 2 f (x, y) = x + y − x − 2xy − y （3） ； 2 2 2 f (x, y,z) = x + y − z （4） ( , ) ( )( ) ； 2 4 f x y = y − x y − x （5） y b x a f x y xy 3 3 ( , ) = + + ，其中常数 a > 0, b > 0 ； （6） y z z x y f x y z x 2 ( , , ) = + + + （ x, y,z > 0 ）。 2．设 f (x, y,z) x 3y 2z 2xy 2xz ，证明函数 的最小值为 。 2 2 2 = + + − + f 0 3．证明函数 有无穷多个极大值点，但无极小值点。 y y f (x, y) = (1+ e )cos x − y e 4．求函数 f (x, y) = sin x + sin y − sin(x + y) 在闭区域 D = {(x, y)| x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2π} 上的最大值与最小值。 5．在[0,1]上用怎样的直线ξ = ax + b 来代替曲线 ，才能使它在平方误差的积分 2 y = x ∫ = − 1 0 2 J (a,b) ( y ξ ) dx 为极小意义下的最佳近似。 6．在半径为 R 的圆上，求内接三角形的面积最大者。 7．要做一圆柱形帐幕，并给它加一个圆锥形的顶。问：在体积为定值时，圆柱的半径 R ， 高 H ，及圆锥的高h 满足什么关系时，所用的布料最省？ 8．求由方程 2 2 1所确定的隐函数 2 2 x + xy + y = y = y(x) 的极值。 9．求由方程2 2 8 8 0 所确定的隐函数 2 2 2 x + y + z + yz − z + = z = z(x, y) 的极值。 10．在Oxy 平面上求一点，使它到三直线 x = 0， y = 0 ，和 x + 2y −16 = 0 的距离的平方 和最小。 11．证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小。 12．证明：圆的所有内接 n 边形中，以正 n 边形的面积为最大。 13．证明：当0 β > 0 ）。 求使产鱼总量最大的放养数。 计 算 实 习 题 （在教师的指导下，编制程序在电子计算机上实际计算） 10