复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题十一（题目）

习题11.1证明定理11.1.1：距离满足正定性、对称性和三角不等式。1.2.证明：若R”中的点列（x）收敛，则其极限是唯一的。设R"中的点列(x}和(y收敛，证明：对于任何实数α,β，成立等式3.lim(ox+By)=αlimx+βlimyk。4.求下列R中子集的内部、边界与闭包：(1) S= ((x,y)/x>0,y+ 0) :(2) S= (x,y)10r):(4)u=arcsinx? + y?1

习 题 11.1 1. 证明定理 11.1.1： 距离满足正定性、对称性和三角不等式。 2. 证明：若 n R 中的点列{xk }收敛，则其极限是唯一的。 3. 设 n R 中的点列{xk }和{yk }收敛，证明：对于任何实数α, β ，成立等式 lim( ) k k k αx + βy →∞ = α k k x →∞ lim + β k k y →∞ lim 。 4. 求下列 2 R 中子集的内部、边界与闭包： （1）S = {(x, y)| x > 0, y ≠ 0}； （2）S = ≤ ； 2 2 {(x, y) | 0 r ； （4） 2 2 arcsin x y z u + = 。 1

2.设(x>0),求f(x)。(x +v)3/2X3.若函数z(x,y)= V+ f(V-1)且当y=4时z=x+1，求f(x)和z(x,y)。4．讨论下列函数当(x,y)趋于(0,0)时的极限是否存在：(1) f(x,y)=x-y,xy(2) f(x,y)=x?+y2x+yx3y3[1, 00且r20且x2<y<2x2,f(x,y)=20,其它点2

2. 设 2 2 3 / 2 3 (x y ) x x y f + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (x > 0) ，求 f (x) 。 3． 若函数 z(x, y) = y + f ( x −1) ， 且当 y = 4时 z = x +1，求 f (x) 和 z(x, y)。 4． 讨论下列函数当(x, y) 趋于(0,0) 时的极限是否存在： （1） x y x y f x y + − ( , ) = ； （2） 2 2 ( , ) x y xy f x y + = ； （3） （4） ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 其它点 且 且 0, (2 ), 0 2 , 1 , 2 1 , 0 2 2 1 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x x y x x y x x x y x x f x y 2

在原点不连续，而在其它点连续。10.讨论函数xyx+2+0f(x,y)=/x? +y20,x2+y2=0的连续范围。11.设f(t)在区间(a,b)上具有连续导数，D=(a,b)×(a,b)。定义D上的函数(f(x)-f(y)x+y,F(x,y)=x-yf'(x),x=y.证明：对于任何ce(a,b)成立lim F(x,y)= f'(c)。(x,y)-(c,c)12.设二元函数f(x,y）在开集DcR内对于变量x是连续的，对于变量y满足Lipschitz条件：If(x,y')-f(x,y")/ ≤lly'-y"l,其中(x,y),(x,")eD，L为常数（通常称为Lipschitz常数）。证明f(x,)在D内连续。13.证明：若和g是D上的连续映射，则映射f+g与函数在D上都是连续的。14.证明复合映射的连续性定理（定理11.2.2）。习题11.31.设DcR"，:D→R"为连续映射。如果D中的点列(x)满足limx=a，且aeD，证明lim f(x)= f(a) 。2．设f是R”上的连续函数，c为实数。设A,=(xeR"If(x)0，点集(xeR"If(x)≤c)是紧集。5.设二元函数f在R2上连续。证明：3

在原点不连续，而在其它点连续。 10. 讨论函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 的连续范围。 11．设 f (t) 在区间(a,b)上具有连续导数， D = (a,b) × (a,b) 。定义 D上的函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ = ≠ − − = ( ), . , , ( ) ( ) ( , ) f x x y x y x y f x f y F x y 证明：对于任何c ∈ (a,b) 成立 lim ( , ) ( ) ( , ) ( , ) F x y f c x y c c = ′ → 。 12．设二元函数 f (x, y) 在开集 2 D ⊂ R 内对于变量 x 是连续的，对于变量 y 满足 Lipschitz 条件： | f (x, y′) − f (x, y′′) | ≤ L | y'− y′′ | ， 其中(x, y′), (x, y′′)∈D ， L 为常数（通常称为 Lipschitz 常数）。证明 在 内连 续。 f (x, y) D 13．证明：若 f 和 g 是 D 上的连续映射，则映射 f + g 与函数＜f , g＞在 D 上都是连续的。 14. 证明复合映射的连续性定理（定理 11.2.2）。 习 题 11.3 1． 设D⊂ n R ， 为连续映射。如果D中的点列{x m f : D → R k}满足 x = a ，且 →∞ k k lim a∈D，证明 lim f (x ) = f (a) →∞ k k 。 2． 设 f 是 n R 上的连续函数，c 为实数。设 { | f ( ) c} n Ac = x ∈ R x 0 ，点集{x | f (x) ≤ 是紧集。 n ∈ R c} 5． 设二元函数 f 在 2 R 上连续。证明： 3

(1)）若，lim，f(x,y)=+o，则f在R2上的最小值必定存在；+(2）若，lim(x,y)=0，则f在R2上的最大值与最小值至少存在一个。-6.设「是R”上的连续函数，满足(1)当x±0时成立f(x)>0；(2)对于任意x与c>0，成立f(cx)=cf(x)。证明：存在a>0,b>0，使得a|x|≤f(x)≤b|xl.7.设：R→R”为连续映射。证明对于R"中的任意子集A，成立J(A)CF(A)。举例说明f(A)能够是f(A)的真子集。8.设f是有界开区域DCR2上的一致连续函数。证明：（1）可以将连续延拓到D的边界上，即存在定义在D上的连续函数了，使得,=;（2）f在D上有界。4

（1） 若 = +∞ ，则 在 + →+∞ lim ( , ) 2 2 f x y x y f 2 R 上的最小值必定存在； （2） 若 2 lim2 ( , ) = 0，则 在 + →+∞ f x y x y f 2 R 上的最大值与最小值至少存在一个。 6．设 f 是 n R 上的连续函数，满足 (1) 当 x ≠ 0时成立 f (x) > 0 ； (2) 对于任意 x 与c > 0，成立 f (cx) = cf (x)。 证明：存在a > 0, b > 0 ，使得 a | x |≤ f (x)≤b | x | 。 7．设 f : Rn → Rm 为连续映射。证明对于 n R 中的任意子集 A，成立 f (A) ⊂ f (A) 。 举例说明 f (A)能够是 f (A)的真子集。 8．设 f 是有界开区域 2 D ⊂ R 上的一致连续函数。证明： （1）可以将 f 连续延拓到D的边界上，即存在定义在D上的连续函数 ，使 得 f ~ f = f D ~ ； （2） f 在D上有界。 4