复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题四（题目）

习题4.11.半径为1厘米的铁球表面要镀一层厚度为0.01厘米的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9克/立方厘米。）2.用定义证明，函数y=/x2在它的整个定义域中，除了x=0这一点之外都是可微的。习题4.21．设f(x。）存在，求下列各式的值：f(xo -Ax)-f(xo)(1)limArAr→>0f(x)- f(xo) .(2) limx-xoX→Xf(x +h)-f(xo-h)(3) limhh->02．（1）用定义求抛物线y=2x2+3x-1的导函数；(2）求该抛物线上过点（-1,-2）处的切线方程：3）求该抛物线上过点（-2,1)处的法线方程；(4）问该抛物线上是否有点（a,b），过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？3.设f(x)为(-o0,+o）上的可导函数，且在x=0的某个邻域上成立f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x)其中α(x)是当x>0时比x高阶的无穷小。求曲线y=f(x)在(1f(1))处的切线方程。4．证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反射光必定经过它的另一个焦点（图4.2.5）。5.证明：双曲线xy=α2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积恒为2α?。6．求函数在不可导点处的左导数和右导数。(1)y=|sinx|;(2)y=/1-cosx ;(3) y=e-xl;(4) y=[In(x + 1)l.7.讨论下列函数在x=0处的可导性：x2,x>0,[1x+a sin(a>0)x±0,(2)y(1)y=(o,ax+b,x≤0,x = 0;1

习 题 4.1 ⒈ 半径为 1 厘米的铁球表面要镀一层厚度为 0.01 厘米的铜，试用求微分的方法 算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为 8.9 克/立方厘米。） ⒉ 用定义证明，函数 y = x 3 2 在它的整个定义域中，除了 x = 0 这一点之外都 是可微的。 习 题 4.2 1． 设 f x ′( 0 ) 存在，求下列各式的值： ⑴ lim ( ) ( ∆ ∆ x ∆ f x x f x ) → x − − 0 0 0 ； ⑵ lim ( ) ( ) x x f x f x → x x − 0 − 0 0 ； ⑶ lim ( ) ( ) h f x h f x h → h + − − 0 0 0 。 2． ⑴ 用定义求抛物线 y x = + 2 3x − 2 1的导函数； ⑵ 求该抛物线上过点( , − −1 2) 处的切线方程； ⑶ 求该抛物线上过点(−2 1, ) 处的法线方程； ⑷ 问该抛物线上是否有点( , a b) ，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？ 3．设 f (x) 为(−∞,+∞) 上的可导函数，且在 x = 0的某个邻域上成立 f (1+ sin x) − 3 f (1− sin x) = 8x +α(x) ， 其中α(x) 是当 x → 0时比 x 高阶的无穷小。求曲线 y = f (x)在(1, f (1))处的切线方程。 4． 证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反射光必定经过它的另一 个焦点（图 4.2.5）。 5． 证明：双曲线 xy = a2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积恒为2a2 。 6． 求函数在不可导点处的左导数和右导数。 ⑴ y = |sin x |； ⑵ y x = −1 cos ； ⑶ y x = − e | | ； ⑷ y = |ln(x + 1)| . 7．讨论下列函数在 x = 0 处的可导性： ⑴ ⎩ ⎨ ⎧ = > ≠ = + 0, 0; | | sin ,( 0) 0, 1 1 x x a x y x a ⑵ y x x ax b x = > + ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 2 0 0 , , , ; 1

Nxer,x>0x+ 0,(3)y=(4)VIax?,x≤00,x=08．设f(x)在x=0处可导，在什么情况下，Lf(x)在x=0处也可导？9.设f(x)在[a,b]上连续，f(a)=f(b)=0，且f(a)·f(b)>0，证明f(x)在(a,b)至少存在一个零点。10.设f(x)在有限区间(α,b)内可导，(1)若limf(x)=o0，那么能否断定也有limf(x)=co？(2)若limf(x）=c0，那么能否断定也有limf(x)=co？11.设函数f(x)满足f(O)=0。证明f(x）在x=0处可导的充分必要条件是：存在在x=0处连续的函数g(x)，使得f(x)=xg(x)，且此时成立f(0)=g(0)。习题4.31.用定义证明(cosx)==sinx。2.证明：(1) (cscx)'=-cotxcscx ;(2) (cotx)'=-csc2 x ;11(3)(arccosx)=(4)(arccotx)'=Vi-x21+x21(5)(ch- x)=(6) (th-" x)" = (cth-" x)'=V2-11-x3.求下列函数的导函数：(1) f(x)=3sinx+Inx-/x;(2) f(x)=xcosx+x2+3:(4) f(x)= x2(3tanx+2secx) :(3) f(x)=(x2 +7x-5)sinx 3(6) (x)=2sinx+x-2(5) f(x)=e sinx-4cosx+Vx:3/x2(8) J(x)-xsinx-2Inx1(7)f(x)=Vx +1x+cosx2

⑶ y x x ax x x = > ≤ ⎧ ⎨ ⎩ e , , , ; 0 0 2 ⑷ y x x a x = ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ e , , . 2 0 0 0 , 8． 设 f x( )在 x = 0 处可导，在什么情况下，| ( f x)| 在 x = 0 处也可导？ 9．设 f x( )在[ , a b]上连续， f a( ) = f b( ) = 0，且 ′( )⋅ ′( ) > 0 + − f a f b ，证明 在( , 至少存在一个零点。 f (x) a b) 10．设 f x( )在有限区间( , a b) 内可导， ⑴ 若 lim ( ) ，那么能否断定也有 x a f x → + = ∞ 0 lim ( ) x a f x → + ′ = ∞ 0 ？ ⑵ 若 lim ( ) ，那么能否断定也有 x a f x → + ′ = ∞ 0 lim ( ) x a f x → + = ∞ 0 ？ 11．设函数 f (x) 满足 f (0) = 0 。证明 f (x) 在 x = 0处可导的充分必要条件是：存在在 处连续的函数 ，使得 x = 0 g(x) f (x) = xg(x) ，且此时成立 f ′(0) = g(0) 。 习 题 4.3 ⒈ 用定义证明(cos x x )′ = − sin 。 2. 证明： ⑴ (csc x)′ = −cot x csc x ； ⑵ x x 2 (cot )′ = −csc ； ⑶ (arccos x) x ′ = − − 1 1 2 ； ⑷ 2 1 1 (arc cot ) x x + ′ = − ； ⑸ (ch ) − ′ = − 1 2 1 1 x x ； ⑹ (th ) (cth ) − − ′ = ′ = − 1 1 2 1 1 x x x 3. 求下列函数的导函数： ⑴ f x( ) = + 3sin x ln x − x ； ⑵ f x( ) = x cos x + x +2 3 ； ⑶ f x( ) = + (x x − )sin x 2 7 5 ； ⑷ ( ) (3tan 2sec ) 2 f x = x x + x ； ⑸ f x x x x x ( ) = − e sin 4 cos + 3 ； ⑹ f x x x x x ( ) sin = 2 2 + − 3 2 ； ⑺ f x x x ( ) cos = + 1 ； ⑻ f x x x x ( ) sin ln = − x + 2 1 ； 2

x+cotxxsinx+cosx(9)f(x)(0)f(x)=Inxxsinx-cosx(aDf(x)=(e*+log3x)arcsinx;(2)f(x)=(cscx-3lnx)x2 shx;x+sinx(3 (x)=-#+seex(14)f(x) =x-cscxarctanx4.求曲线y=lnx在(e,1)处的切线方程和法线方程。5.当a取何值时，直线y=x能与曲线y=log。x相切，切点在哪里？6.求曲线y=x"（nEN+）上过点（1,1)的切线与x轴的交点的横坐标x，，并求出极限lim y(x,)。7.对于抛物线y=ax2+bx+c，设集合S,=((x,y)/过(xy)可以作该抛物线的两条切线)：S,=((x,y)/过(x,y)只可以作该抛物线的一条切线）：S,=((x,y)/过(x,y)不能作该抛物线的切线)请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。8.(1)）设f(x）在x=x处可导，g(x)在x=x处不可导，证明cf(x)+C2g(x）在x=x。处也不可导。(2)设f(x)与g(x)在x=x处都不可导，能否断定cf(x)+C2g(x)在x=x处一定可导或一定不可导？9.在上题的条件下，讨论f(x)g(x）在x=x。处的可导情况。10.设J(x）（i,j=1,2,,n）为同一区间上的可导函数，证明fi(x)fi2(x).fin(x)Fn(x)Jiz2(x).. fin(x)目1:dF2i(x) F2(x) .. J2n(x)=>fi(x)Jk2(x)fm(x)::dxkal：:：Fm(x) fn2(x) ... Jm(x)m(x)...Jfm(x)fn2(x)习4.4题1.求下列函数的导数：3

⑼ x x x f x ln cot ( ) 3 + = ； ⑽ f x x x x x x x ( ) sin cos sin cos = + − ； ⑾ f x x x x ( ) = + (e log3 ) arcsin ； ⑿ f x( ) = (csc x − 3ln x)x sh x 2 ； ⒀ f x x x x x ( ) sec csc = + − ； ⒁ x x x f x arc tan sin ( ) + = ； 4. 求曲线 y x = ln 在(e,1)处的切线方程和法线方程。 5. 当a 取何值时，直线 y = x 能与曲线 y a = log x 相切，切点在哪里？ 6. 求曲线 y = x n （ n ∈ N+ ）上过点( , 1 1)的切线与 x 轴的交点的横坐标 x ，并求出极限 n lim ( ) 。 n n y x →∞ 7. 对于抛物线 y a = + x 2 bx + c ，设集合 S1 = {( , x y)|过( , x y)可以作该抛物线的两条切线}； S { 2 = (x y, )|过(x y, )只可以作该抛物线的一条切线}； S3 = {( , x y)|过( , x y)不能作该抛物线的切线}， 请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。 8. ⑴ 设 f x( )在 x = x0 处可导，g x( ) 在 x = x0 处不可导,证明c f x c g x 1 2 ( ) + ( ) 在 处 也不可导。 x = x0 ⑵ 设 f x( ) 与 g x( ) 在 x = x0 处都不可导, 能否断定 c f x c g x 1 2 ( ) + ( ) 在 处一定 可导或一定不可导？ x = x0 9. 在上题的条件下，讨论 f x( )g(x) 在 x = x0 处的可导情况。 10．设 fij (x) （i, j = 1,2,", n ）为同一区间上的可导函数，证明 ∑= = ′ ′ ′ n k n n nn k k kn n n n nn n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x dx d 1 1 2 1 2 11 12 1 1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) " # # # " # # # " " # # # " " 。 习 题 4.4 ⒈ 求下列函数的导数： 3

(1) y=(2x? -x+1)?;(2) y=e2x sin3x;1Inx(3)y=1+(4)(5)y=sinx3;(6)y=cOsx;(8) y=arcsin(e-);(7) y=/x+1-In(x+Vx+1);1(9)y= In(10)y:(2x2 + sin x)21+In2xx()y=(12)y=xV1-x2V1+cscx223(14) y=e-sin2x(3)y=3/2x2-14/3x3+1x(5)y=xVa2-x2Va?-x?2．求下列函数的导数：(1) y=lnsinx:(2)y=In(cscx-cotx);xa?-x +a' arcsin=(4) y= In(x+/x2 +a2);(3)y=2a-(5) y=(xx-α-aln(x+x-)3.设f(x)可导，求下列函数的导数：(1) (/x2):(3)(4)F(x) :arctan f(x);(5)(6)sin(f(sin x)) :f(f(er"):1(7)(8)f(f(x)f(x)4

⑴ y x = − ( ) 2 1 x + 2 2 ； ⑵ y x x = e sin 2 3 ； ⑶ y x = + 1 1 3 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x = sin 3； ⑹ y x = cos ； ⑺ y x = +1 − ln(x + x +1) ； ⑻ y x = − arcsin (e ) 2 ； ⑼ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 2 1 ln x y x ； ⑽ y x x = + 1 2 2 2 ( sin ) ； ⑾ y x x x = + − 1 1 2 2 ln ； ⑿ y x x = 1+ 2 csc ； ⒀ y x x = − + + 2 2 1 3 3 1 3 2 4 3 ； ⒁ y x = − e sin2 ； ⒂ y x a x x a x = − + − 2 2 2 2 . ⒉ 求下列函数的导数： ⑴ y x = ln sin ； ⑵ y = ln(csc x − cot x)； ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + a x y x a x a arcsin 2 1 2 2 2 ； ⑷ y x = + ln( x + a ) 2 2 ； ⑸ y = − x x a − a x + x − a 1 2 2 2 2 2 2 ( ln( ) . ⒊ 设 f x( )可导，求下列函数的导数： ⑴ f ( ) x 3 2 ； ⑵ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x f ln 1 ； ⑶ f x( ) ； ⑷ arc tan f (x) ； ⑸ f f ex ( ( )) 2 ； ⑹ sin ( f (sin x))； ⑺ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ( ) 1 f x f ； ⑻ 1 f f ( (x)) . 4

4.用对数求导法求下列函数的导数：(2) y=( + sin)(1) y=x*:(4) y= ln*(2x +1):(3) y=cos*x;V1- x2(6)V=(5) y=xI(x-x,):Vi+x3:(7)y= sindy5.对下列隐函数求dr:(1)y=x+arctany;(2)y+xey=l;(3)(4)xy- In(y+1)= 0:/x-cosy=siny-x;(5)(6)er2+y - xy? = 0:tan(x+ y)- xy = 0;(7)(8)x3 + y3 - 3axy = 0.2ysinx+xlny=0;6.设所给的函数可导，证明：（1）奇函数的导函数是偶函数：偶函数的导函数是奇函数：(2）周期函数的导函数仍是周期函数。7.求曲线xy+lny=1在M(1,1)点的切线和法线方程。dy对下列参数形式的函数求一8.dr :Jx=at?,[x=1-t?(1)(2)[y=bt';ly=t-;[x=t' sint,[x=ae",(3)(4)ly=t cost,[y=be';[x=acos't,[x=shat,(5)(6)ly=asin't,[y= ch bt,t+1xsx=/1+i,t(7)(8)t.y=/i-t;5

⒋ 用对数求导法求下列函数的导数： ⑴ y x x = ； ⑵ y ( ) x x x 1 3 = + sin ； ⑶ y x x = cos ； ⑷ y x x = ln (2 + 1) ； ⑸ y x x x = − + 1 1 2 3 ； ⑹ y x i i n = − = ∏( ) 1 x ； ⑺ y x x = sin . ⒌ 对下列隐函数求 dy dx ： ⑴ y = x + arc tan y ； ⑵ y x y + e 1 = ； ⑶ x y − = cos sin y − x ； ⑷ xy − ln( y + 1) = 0； ⑸ e xy x y 2 2 0 + − = ； ⑹ tan(x + y) − xy = 0 ； ⑺ 2 0 y x sin + x ln y = ； ⑻ x y axy 3 3 + − 3 0 = . 6． 设所给的函数可导，证明： ⑴ 奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数； ⑵ 周期函数的导函数仍是周期函数。 7．求曲线 xy + ln y = 1在 M (1,1) 点的切线和法线方程。 8． 对下列参数形式的函数求 dy dx ： ⑴ ⎩ ⎨ ⎧ = = ; , 3 2 y bt x at ⑵ ⎩ ⎨ ⎧ = − = − ; 1 , 3 2 y t t x t ⑶ ⎩ ⎨ ⎧ = = cos ; sin , 2 2 y t t x t t ⑷ ⎩ ⎨ ⎧ = = − e ; e , t t y b x a ⑸ ⎩ ⎨ ⎧ = = sin ; cos , 3 3 y a t x a t ⑹ ⎩ ⎨ ⎧ = = ch ; sh , y bt x at ⑺ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = ; 1 , 1 t t y t t x ⑻ ⎩ ⎨ ⎧ = − = + 1 ; 1 , y t x t 5

x =e-2t cos? t,x = In(1+t?),(10)(9)ly= e-2t sin? t,y=t-arctant.21+ 122t-t2上与t=1对应的点处的切线和法线方程。9.求曲线x=1+3，s1+t3[e* =3t? +2t +],dy确定y为x的函数，其中t为参变量，10.设方程2元dx=0.tsiny-y+211.证明曲线[x= a(cost +tsint),y=a(sint-tcost).上任一点的法线到原点的距离等于a。12.设函数u=g(x)在x=x。处连续，y=f(u)在u=ug=g(xo)处连续。请举例说明，在以下情况中，复合函数y=f(g(x))在x=x。处并非一定不可导：(I)u=g(x)在x处可导，而y=f(u)在ug处不可导；(2)u=g(x)在x处不可导，而y=f(u)在ug处可导：(3）u=g(x）在x处不可导，y=f(u)在uo处也不可导。13.设函数f(u)，g(u)和h(u)可微，且h(u)>1，u=(p(x)也是可微函数，利用一阶微分的形式不变性求下列复合函数的微分：f(u)g(u)(2) (l) f(u)g(u)h(u);h(u)(3)h(u)g(m);(4) logh(u) g(u) :1[f(u)](5)arctan(6)f2(u)+h2(u)[h(u)习题4.51.求下列函数的高阶导数：6

⑼ ⎩ ⎨ ⎧ = = − − e sin ; e cos , 2 2 2 2 y t x t t t ⑽ ⎩ ⎨ ⎧ = − = + arc tan . ln(1 ), 2 y t t x t 9．求曲线 3 2 1 2 t t t x + + = ， 3 2 1 2 t t t y + − = 上与t = 1对应的点处的切线和法线方程。 10．设方程 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = = + + 0. 2 sin 3 2 1, 2 π t y y e t t x 确定 y 为 x 的函数，其中t 为参变量，求 dx t=0 dy 。 11. 证明曲线 ⎩ ⎨ ⎧ = − = + (sin cos ). (cos sin ), y a t t t x a t t t 上任一点的法线到原点的距离等于 a 。 12．设函数u g = (x)在 x = x0 处连续， y f = (u)在u u = = g x 0 ( ) 0 处连续。请举例说明， 在以下情况中，复合函数 y f = ( ( g x)) 在 x = x0 处并非一定不可导： ⑴ u g = (x)在 x0 处可导，而 y f = (u)在u0 处不可导； ⑵ u g = (x)在 x0 处不可导，而 y f = (u)在u0 处可导； ⑶ u g = (x)在 x0 处不可导， y f = (u)在u0 处也不可导。 13．设函数 f u( ) ， g u( ) 和 h u( ) 可微，且 h u( ) > 1，u = ϕ(x)也是可微函数，利用一阶微 分的形式不变性求下列复合函数的微分： ⑴ f u( )g( ) u h(u) ； ⑵ f u g u h u ( ) ( ) ( ) ； ⑶ h u g u ( ) ( )； ⑷ log ( ) h(u) g u ； ⑸ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ( ) ( ) arc tan h u f u ； ⑹ 1 2 2 f u( ) + h ( ) u . 习 题 4.5 ⒈ 求下列函数的高阶导数： 6

(1)y=x3+2x2-x+l,求y";(2)y=xlnx, 求y";In xx2，求y";(4) =，求y";(3) y=x2/1+x(5)y= sinx,求y"、y";(6)y=x3cosVx，求y"、y";(7) y=x2e3x,求y";(8)y=e-rarcsinx,求y";(0)y=(2x2 +1)shx,求y(99)(9)y=x3cos2x，求y(80);2.求下列函数的n阶导数y(n)：(1)y= sin?ox:(2) y=2lnx:1er(3) (4) y=y=x2-5x+6x(5) y=ear cosβx;(6)y=sin*x+cos*x3.研究函数[x2x≥0.f(x) =-x,x<0的各阶导数。4.设f(x)任意次可微，求(1)[f(x?)]" :(3) (4)[f(ln x)" ;[ln f(x)]" ;(6)(5)[f(arc tan x)".[f(e-)]";5.利用Leibniz公式计算y()(0)：(1)y=arctanx，（提示：y'(1+x2)=1);(2)y=arcsinx，（提示：xy=(1-x2)y"）d?y对下列隐函数求6.dx27

⑴ y x = + x − x + 3 2 2 1, 求 y′′′ ； ⑵ y x = x 4 ln ，求 y′′ ； ⑶ y x x = + 2 1 ，求 y′′ ； ⑷ y x x = ln 2 ，求 y′′ ； ⑸ y x = sin 3，求 y′′ 、 y′′′ ； ⑹ y x = x 3 cos ，求 y′′ 、 y′′′ ； ⑺ y x x = 2 3 e ，求 y′′′； ⑻ y x x = − e arcsin 2 ，求 y′′ ； ⑼ y x = x 3 cos 2 ，求 y(80) ； ⑽ y x = (2 1 + )s x 2 h ，求 y . (99) ⒉ 求下列函数的 n 阶导数 y( n) ： ⑴ y x = sin2 ω ； ⑵ y x x = 2 ln ； ⑶ y x x = e ； ⑷ y x x = − + 1 5 6 2 ； ⑸ y e x x = α cosβ ； ⑹ y x = sin + cos x 4 4 . ⒊ 研究函数 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < ≥ = , 0 , 0, ( ) 2 2 x x x x f x 的各阶导数。 4．设 f x( )任意次可微，求 ⑴ [ ( f x )] 2 ′′′ ； ⑵ ″ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x f 1 ； ⑶ [ ( f ln x)]′′ ； ⑷ [ln f x( )]′′ ； ⑸ [ ( f e )] − x ′′′ ； ⑹ [ f (arc tan x)]′′ . 5．利用 Leibniz 公式计算 y( ) n (0) ： ⑴ y = arc tan x ，（提示： y x ′(1 1 + ) = 2 ）； ⑵ y = arc sin x ，（提示： xy′ = (1− x ) y′′ 2 ）. 6． 对下列隐函数求 d y dx 2 2 ： 7

(1)(2)er+y-x?y=0;tan(x+ y)-xy = 0;(3)(4)x3 + y3 - 3axy = 02ysin x + x ln y= 0;dy1对下列参数形式的函数求dr2[x= at?,x= atcost,(1)(2)[y=bt3,y=atsint,x=t(l-sint)x=ae-,(3)(4)y=ber,ly=tcost,x=/1+1,x = sin at,(5)(6)y=Vi-iy=cosbtdx_18.利用反函数的求导公式，，证明dyd?xJd'x_ 3(y")? -y'y"(1)(2)dy2dy3()3(y')s求下列函数的高阶微分：9.(1)y=x-tanx,求d2y:(2)y=xte-x,求dy:V1+x2secx(3)，求dy:(4) y=求d?y;V=Vx2-1x(5)y=xsin3x，求d3y;(6)y=x,求dy;Inx(8)y=x"cos2x,求d"y(7) y=求d"y;.x10.求d2(er)，其中(2)(1)：x是自变量；x=(t)是中间变量1l.设f(u)，g(u)任意次可微，且g(u)>0。(1）当u=tanx时，求d?f；8

⑴ e x y x y 2 2 0 + − = ; ⑵ tan(x + y) − xy = 0 ; ⑶ 2 0 y x sin + x ln y = ; ⑷ x y axy 3 3 + − 3 0 = . 7． 对下列参数形式的函数求 d y dx 2 2 ： ⑴ x at y bt = = ⎧ ⎨ ⎩ 2 3 , , ⑵ x at t y at t = = ⎧ ⎨ ⎩ cos , sin , ⑶ x t t y t t = − = ⎧ ⎨ ⎩ ( sin ) cos , 1 , ⑷ x a y b t t = = ⎧ ⎨ ⎩ − e , e , ⑸ x t y t = + = − ⎧ ⎨ ⎩ 1 1 , , ⑹ ⎩ ⎨ ⎧ = = cos . sin , y bt x at 8． 利用反函数的求导公式 dx dy y = ′ 1 ，证明 ⑴ d x dy y y 2 2 3 = − ′′ ( )′ ; ⑵ d x dy y y y y 3 3 2 5 3 = ′′ − ′ ′′′ ′ ( ) ( ) . 9． 求下列函数的高阶微分： ⑴ tan , 3 y = x − x 求 d 2 y ； ⑵ y x x = 4 − e ，求 d 4 y ； ⑶ y x x = 1+ 2 ，求 d 2 y ； ⑷ y x x = − sec 2 1 ，求 d 2 y ； ⑸ y x = sin 3x ，求 d 3 y ； ⑹ y x x = ，求 d 2 y ； ⑺ y x x = ln ，求 d n y ； ⑻ y x x n = cos 2 ，求 d y . n 10．求 d 2 (ex ) ，其中 ⑴ x 是自变量; ⑵ x = ϕ(t) 是中间变量. 11．设 f u( ) ， g u( ) 任意次可微，且 g u( ) > 0 。 ⑴ 当u = tan x 时，求 d 2 f ； 8

当u=、V=lnx时，求d2g(2)d?[f(u)g(u)];(4) d2[ng(u)];(3)f(u)(5)Lg(u)]12.利用数学归纳法证明：(-1)"yier9

⑵ 当u v = 、 v = ln x 时，求 d 2 g ； ⑶ d f u g u 2 [ ( ) ( )]； ⑷ d g u 2 [ln ( )]； ⑸ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ( ) ( ) 2 g u f u d ； 12.利用数学归纳法证明： x n n n n x e x x e 1 1 ( ) 1 1 ( 1) + − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 。 9