复旦大学：《数学分析》精品课程授课教案（讲义）8 重积分变量代换公式的证明

教案重积分变量代换公式的证明1.教学内容我们先对本原变换证明二重积分变量代换公式，然后将一般的变量代换视为向量值函数，将它分解为两个本原变换的复合，从而给出了重积分变量代换公式一个容易理解而简单的证明。2.指导思想重积分变量代换公式的证明是数学分析课程教学中的一个难点，如何化解这一难点，使学生理解并掌握这一重要内容，是本教案的目的。我们通过将一般的变量代换分解为两个本原变换的复合的方法，然后对本原变换的情况进行证明，使得证明简单而容易理解。同时，也教给学生一个如何将复杂的问题化成简单问题的方法。3.教学安排1.我们先叙述定积分的变量代换公式（即换元法），然后利用类比法看一下二重积分变量代换公式应该是怎样的：定积分：设f(x)在区间[a,bl上连续，变换x=β()是一一对应，有连续导数，x=β(t):[α,β) (或[β,α])→[a,b] ((α)=a,p(β)=b),则f' f(x)dx = J f(p(t)p'(t)dt[x= x(u,v)二重积分：设f(x,J)在有界闭区域D连续，变换T：D → T(D)(y= y(u,v)是一一对应，有连续偏导数，则类比定积分的变量代换公式，重积分的变量代换公式似乎应该是(=((,,u,)da(u,v)DT(D)其中(x,兴是向量值函数T的导数。但是注意在定积分情况下，如果0(0)0,a(u,v)则α>β，即右端积分的上限小于下限，交换积分上下限后，β'()就换成-()；a(x,）也有可能小于0，但由于积分区域D没有方向（或符而在重积分情况下，a(u,v)号）概念，因此对9(，兴要加上绝对值符号，即a(u,v)-

教案 重积分变量代换公式的证明 1. 教学内容 我们先对本原变换证明二重积分变量代换公式，然后将一般的变量代换视为向量 值函数，将它分解为两个本原变换的复合，从而给出了重积分变量代换公式一个 容易理解而简单的证明。 2. 指导思想 重积分变量代换公式的证明是数学分析课程教学中的一个难点，如何化解这一难 点，使学生理解并掌握这一重要内容，是本教案的目的。我们通过将一般的变量 代换分解为两个本原变换的复合的方法，然后对本原变换的情况进行证明，使得 证明简单而容易理解。同时，也教给学生一个如何将复杂的问题化成简单问题的 方法。 3. 教学安排 1．我们先叙述定积分的变量代换公式（即换元法），然后利用类比法看一下 二重积分变量代换公式应该是怎样的： 定积分：设 xf )( 在区间 上连续，变换 ba ],[ = ϕ tx )( 是一一对应，有连续导数， = ϕ tx :)( α β ],[ （或 β α],[ ） （ → ba ],[ ϕ( ) α = a ，ϕ( ) β = b ），则 f x dx a b ( ) ∫ = f t td ( ( )) ) ϕ ϕ α β ′( ∫ t 二重积分：设 在有界闭区域D 连续，变换 是一一对应，有连续偏导数，则类比定积分的变量代换公式，重积分的变量代换 公式似乎应该是 )(: ),( ),( : T D vuyy vuxx T → ⎩ ⎨ ⎧ = = yxf ),( D ∫∫ ∫∫ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( )),(),((),( )( ， ),( ),( vu yx ∂ ∂ 其中 是向量值函数T 的导数。但是注意在定积分情况下，如果ϕ t β ，即右端积分的上限小于下限，交换积分上下限后，ϕ t)(' 就换成−ϕ t)(' ； 而在重积分情况下， ,( ,( u x ∂ ∂ ) ) v y 也有可能小于 0，但由于积分区域D 没有方向（或符 号）概念，因此对 ),( ),( vu yx ∂ ∂ 要加上绝对值符号，即 1

a(x,y)[[ F(x, y)dxdy =[[ F(x(u,v), y(u, v)dudy。a(u,v)T(D)D2.二重积分变量代换公式设U为uv平面上的开集，V是xy平面上开集，映射T: x=x(u,v),y=y(u,v)是U到V的一个一一对应。进一步假设x=x(u,v),=(u,v)具有连续偏导数，且有(x,)a(x,在U上不变号。对于U中任意具有分段*0，则由连续性可知%a(u,v)a(u,v)光滑边界的有界闭区域D，记它的像为E=T(D)cV，则E=T(D)也是具有分段光滑边界的有界闭区域。换言之，区域D与E=T(D)都具有零边界。在这样的假设下，我们有如下的二重积分的变量代换公式。定理1（二重积分变量代换公式）映射T和区域D如上假设。如果二元函数f(x,J)在T(D)上连续，则a(x,y)dudy。[f(x,y)dxd y=[[f(x(u,v),y(u,v)a(u,v)T(D)n为证明定理1，我们将区域D用水平线与垂直线分割成许多小矩形，由于区域D具有零边界，当分割充分细的时候，与区域D边界相交的小矩形的面积之和可以任意小，因此我们只需要考虑包含在区域D内的小矩形R。3.定义形如T: x=x(u,v)=u, y=y(u,v)或T,: x=x(u,v), y=y(u,v)=v的映射称为本原映射。引理1设T为本原映射，则对于每个小矩形R，等式a(x,y)mRmT(R)=(u,)la5)成立，这里（u,）为R上某一点。证仅对本原映射T证明，对T的证明是类似的。设在U上J>0。由于这时成立01y>0,a(x,y)J=aydyava(u,v)aua所以在每个小矩形R=[e,J×[g,h]上，对于固定的u,(u,v)是v的单调增加函数，因此R被一一对应地映到T(R)=((x,y)le≤x≤f, y(x,g)≤y≤y(x,h)) 。2

∫∫∫∫ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( ),( )),(),(( )( 。 2．二重积分变量代换公式 设U 为 平面上的开集， 是 uv V xy 平面上开集，映射 T: ( , ), ( , ) x = x u v y = y u v 是 到 的一个一一对应。 U V 进一步假设 x = x( , ), ( , ) u v y = y u v 具有连续偏导数， 且有 ),( ),( vu yx ∂ ∂ ),( ),( vu yx ∂ ∂ ≠ 0，则由连续性可知 在 上不变号。对于 中任意具有分段 光滑边界的有界闭区域 ，记它的像为 U U D = T DE )( ⊂ V ，则 = T DE )( 也是具有分段 光滑边界的有界闭区域。换言之，区域 与D = T DE )( 都具有零边界。在这样的假 设下，我们有如下的二重积分的变量代换公式。 定理 1(二重积分变量代换公式) 映射T 和区域D如上假设。如果二元函数 yxf ),( 在 上连续，则 T D)( ∫∫ ∫∫ ∂ ∂ = D D vu vu yx vuyvuxfyxyxf T dd ),( ),( )),(),((dd),( )( 。 为证明定理 1，我们将区域D用水平线与垂直线分割成许多小矩形，由于区 域 具有零边界，当分割充分细的时候，与区域 边界相交的小矩形的面积之和 可以任意小，因此我们只需要考虑包含在区域 内的小矩形 D D D R 。 3．定义 形如 Tx : = = = vuyyuvuxx ),(,),( 或 : = = ),(,),( = vvuyyvuxx Ty 的映射称为本原映射。 引理 1 设T 为本原映射，则对于每个小矩形 R ，等式 mR vu yx RmT vu ) ~, ~( ),( ),( )( ∂ ∂ = 成立，这里 为 (~,~ u v ) R 上某一点。 证 仅对本原映射 证明，对 的证明是类似的。 Tx Ty 设在 上U J > 0 。由于这时成立 0 01 ),( ),( > ∂ == = v y v y u y vu yx J ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ， 所以在每个小矩形 R=[e, f]×[g, h]上，对于固定的 是 的单调增加函数， 因此 vuyu ),(, v R 被一一对应地映到 = ≤ ≤ ≤ ≤ hxyygxyfxeyxRT )},(),(,|),{()( 。 2

(x,h)(x,g)O可e图13.3.9所以T(R)的面积为'dxmT(R)= [[dxdy= (dy=[y(x,h) - y(x,g)]dx =(y(u,h)- y(u,g)(f -e),T(R其中e≤≤了。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得(a(x,y)ayoy((u,)(h-g)(f -e)= -(u,)mR =mR,mT(R) =ayOv((u,))(u,)其中g<<h。如果T的Jacobi行列式为负的，以上讨论中关于y的不等式反向，重复以上证明可同样得到[a(x, y)mT(R)=mR。[(u,v) a,5)证毕下面证明变量代换公式对于本原映射成立。引理2设T为本原映射，二元函数f(x,J)在T(D)上连续，则a(x,y)[ f(x, y)dxdy =[[ f(x(u, v), y(u, v)dudya(u,v)T(D)证考虑上述对区域D的分割，设D,D,,…,D是包含在区域D内的所有小矩形，由引理1，在D,上成立[a(x, y2)]mD,,mT(D,) =a(u,v)la)这里(u,)为D,中某一点。设对=x(i,),,=(u,)，则从上式得a(x,y)Z(X,J,)mT(D,)=Ef(x(u,),y(u,)mD,,a(u,v)a,3)设所有小矩形的对角线长度的最大值为p，令p趋于0，由二重积分的定义，即得a(x,y)[ f(x, y)dxdy =JJ f(x(u, ), y(u,v)dudya(u,v)T(D)证毕3

v h g O e f u y hxy ),( gxy ),( O e f x 图 13.3.9 所以T( ) R 的面积为 ),))(, ~(), ~ )( (()],(),([ ),( ),( )( RmT efguyhuydxgxyhxydydxdxdy f e hxy gxy f e RT == = − −= − ∫∫∫∫∫ 其中 。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得 eu f ≤ ≤ ~ mR vu vu yx mRvu v y efghvu v y RmT ) ~, ~( ),( ),( ) ~, ~())()( ~, ~()( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ =−− ∂ ∂ = ， 其中 。 gvh < < ~ 如果T 的 Jacobi 行列式为负的，以上讨论中关于 y 的不等式反向，重复以上 证明可同样得到 mR vu yx RmT vu ) ~, ~( ),( ),( )( ∂ ∂ = 。 证毕 下面证明变量代换公式对于本原映射成立。 引理 2 设T 为本原映射，二元函数 在 上连续 yxf ),( T D)( ，则 ∫∫∫∫ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( ),( )),(),(( )( 。 证 考虑上述对区域 的分割，设 是包含在区域 内的所有小矩 形，由引理 1，在 上成立 DDD M , D 21 L D Di i vu i m vu yx mT ii D D ) ~, ~( ),( ),( )( ∂ ∂ = ， 这里 为 中某一点。设 (~ ,~ u v ) i i ~ (~ ,~ ) , ~ (~ ,~ x xu v y yu v ) Di i ii i i = = i ，则从上式得 ∑ ∑ ∂ ∂ = i i vu iiii i ii i mD vu yx vuyvuxfDmTyxf ii ) ~, ~( ),( ),( )) ~, ~(), ~, ~(()() ~, ~ ( ， 设所有小矩形的对角线长度的最大值为 ρ ，令 ρ 趋于 0，由二重积分的定义，即 得 ∫∫∫∫ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( ),( )),(),(( )( 。 证毕 3

为了完全证明定理1，还需要以下的结果：引理3设T满足定理1的假设，则对于任意点Q。=(uo,"o)eU，T在点Q附近可以表示成2个具有连续偏导数的、一对一的本原映射的复合。证设x。=x(uo,vo),y。=y(uo,v), P=(xo,yo)。a(x,y)(%%)0，行列式中必有元素不为零。不妨设%（由于-(uo,v)*0,Oua(u,v)于是，本原映射E=x(u,v)n=v%(%g,%）)0，由隐函数存在定理（或道映射定的 Jacobi行列式 G:(u.%)= a(u,v)u[u=g(5,n)且g(5,n)在T(ub, o)的一个邻域具有连续理），局部地可得逆映射、[v=n,偏导数。注意这时成立g(x(u,v),v)=u。作[x=5,[y= y(g(s,n),n),则有x=E=x(u,v)y=y(g(5,n),n)=y(g(x(u,v),v),v)=y(u,v)。即T,。T=T。证毕4．二重积分变量代换公式的证明：根据引理3，对于每点Q=(u,v)eD存在它的一个邻域U(Q)，在这个邻域中，T可以表示为两个一对一的本原映射的复合。由于(Q)IQeD覆盖了D，由Heine-Borel定理，存在有限多个邻域Us(0),Us/(02),.,Us(Os)J8+ 8,..&s!它们覆盖了D。设，=min2222取划分充分细，使得所有的小矩形的对角线长度都小于8，，那么当小矩形D，与U。/(,)相交时，D,必包含在某个U。(Q)中(I≤j≤S)。于是在每个D，（i=/1,2,,M）上成立T=T,。T（为简便起见去掉了标记i，注意对不同的D,，可能有不同T和T），这里T和T是本原映射。设[5=5(u,v),x=x(,n),和T,T :(n=n(u,v),(y= y(s,n).那么a(x,y) _ a(x,y) o(s,n)a(u,v)a(s.n) a(u,v)由引理2得4

为了完全证明定理 1，还需要以下的结果： 引理 3 设T 满足定理 1 的假设，则对于任意点 = vuQ 000 ),( ∈ U ，T 在点 附近可以表示成 2 个具有连续偏导数的、一对一的本原映射的复合。 Q0 证 设 ),(),(),( 0 000 00000 = = = yxPvuyyvuxx 。 0),( ),( ),( 00 ≠ ∂ ∂ vu vu yx 0),( 00 ≠ ∂ ∂ vu u x 由于 ，行列式中必有元素不为零。不妨设 ， 于是，本原映射 ⎩ ⎨ ⎧ = = v vux T η ξ ),( : 1 0),( 00 ≠ ∂ ∂ vu u x = ∂ ∂ ),( ),( ),( 00 vu vu ξ η 的 Jacobi 行列式 ，由隐函数存在定理（或逆映射定 理），局部地可得逆映射 且 ⎩ ⎨ ⎧ = = , ),( η ηξ v gu g(, ) ξ η 在 的一个邻域具有连续 偏导数。注意这时成立 Tu v 100 (,) )),(( = uvvuxg 。 作 ⎩ ⎨ ⎧ = = ),),(( , : 2 ηηξ ξ gyy x T 则有 ),()),),((()),(( 。 ),( gyy vuyvvvuxgy vuxx = = = == ηηξ ξ 即 。 o 12 = TTT 证毕 4．二重积分变量代换公式的证明： 根据引理 3，对于每点 = vuQ ),( ∈ D存在它的一个邻域U ，在这个邻域 中， δ ( ) Q { |)( QQU ∈ D} 2 T 可以表示为两个一对一的本原映射的复合。由于 δ 覆盖了 ， 由 Heine-Borel 定理，存在有限多个邻域 D U QU Q U Q S δδ δ S 1 2 1 2 2 2 2 ( ) , ( ), , ( ) L ， ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 2 , 2 , 2 min 21 * δδ δ S 它们覆盖了 。设 D δ L 。 取划分充分细，使得所有的小矩形的对角线长度都小于δ * ，那么当小矩形Di 与 )( 2 j j δ QU 相交时， 必包含在某个 中 Di QU )(j δ ≤ ≤ Sj )1( 。于是在每个 （ Di i = ）上成立 （为简便起见去掉了标记i ，注意对不同的 ，可 能有不同 和 ），这里 和 是本原映射。设 M Di L,2,1 TTT = 2 o 1 T1 T2 T1 T2 ⎩ ⎨ ⎧ = = ),( ),( : 1 vu vu T ηη ξξ 和 ⎩ ⎨ ⎧ = = ).,( ),( : 2 ηξ ηξ yy xx T 那么 ),( ),( ),( ),( ),( ),( vu yx vu yx ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ ξ η ηξ 。 由引理 2 得 4

a(x,y)[L f(x,y)dxdy = (l f(x(5,n), y(5,n))dEdna(5,n)T(D)T(D)[a(x, J)[a(5, n)]dudh= J[ f(x((u,v),n(u, v), (5(u, v), n(u, v)a(5,n)a(u, v)DJax.lanudv.= [[ f(x(u, v),y(u, v)a(u,v)D因此[f(x, y)dxdy -Z ([ (x, y)dxdy=(D)T(D)u= (x(,),ua(x, y)EJ] f(x(u, v),y(u,v)dudya(u,v)a(u,v)EID证毕5.n重积分的变量代换公式对于n重积分的变量代换，我们不加证明给出公式：设U为R"（n>2）上的开集，映射T: y, = yi(xi,,x,),.", yh=y,(xi,",x)将U一一对应地映到VcR"上。进一步假设y=y(x",x),,y=y,（x,",x）都具有连续偏导数，而且这个映射的Jacobi行列式不等于零。设2为U中具有分片光滑边界的有界闭区域，则有与二维情形类似的结论：定理2映射T和区域2如上假设。如果f(yi,J2,,y）是T(2)上的连续函数，那么变量代换公式ed..dx.[ f(y,, y.)dy,..dy,= [ f(y.(x),.., y,(x))(x",x.)T(Q)成立，其中x=(xi,",xn)。4.注意点1．重积分变量代换的概念，是数学分析课程中一个比较困难的内容。我们先通过类比方法，写出重积分变量代换的公式，使得学生先有一个对重积分变量代换的概念，然后再来证明，学生也就容易理解。同时通过类比，使学生容易记住这一重要的公式。2.将一般的变量代换视为向量值函数，将它分解为两个本原变换的复合，也就是将复杂的函数分解成简单函数的复合，将问题化为对简单函数的证明，这是数学上常用的一种方法，通过学习，希望同学掌握这一方法。3.在证明中，我们只考虑了包含在区域D内的小矩形，这是因为区域D具有零边界。通过学习，要求同学理解为什么我们在本章开始要引进零边界区域的概念。5

∫∫ ∫∫ ∂ ∂ = )( )( 1 ),( ),( ),( )),(),(( i T i T dd yx dxdyyxf yxf D D ηξ ηξ ηξηξ ∫∫ 。 ∫∫ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = i i dudv vu yx vuyvuxf dudv vu yx vuvuyvuvuxf D D ),( ),( )),(),(( ),( ),( ),( ),( ))),(),(()),(),((( ηξ ηξ ηξηξ 因此 . ),( ),( ),(),(( ),( ),( ),(),(( ),( ),( 1 )( 1 )( ∑∫∫ ∫∫ ∫∫ ∑ ∫∫ ∂ ∂ = ∂ ∂ = = = = D D D D dudv vu yx vuyvuxfdudv vu yx vuyvuxf dxdyyxf dxdyyxf M i i M i i T T 证毕 5． 重积分的变量代换公式 n 对于 重积分的变量代换，我们不加证明给出公式： n 设U 为 n R （ ）上的开集，映射 n > 2 ),(,),(: 111 n nn 1 n = LL = L xxyyxxyyT 将 一一对应地映到 上。进一步假设 都具有连续偏导数，而且这个映射的 Jacobi 行列式不等于零。 U n ⊂ RV y yx x y yx x 1 11 = = n nn 1 ( , , ), , ( , , ) LL L n 设 Ω 为 中具有分片光滑边界的有界闭区域，则有与二维情形类似的结论： U 定理 2 映射T 和区域 Ω 如上假设。如果 21 L yyyf n ),( 是T (Ω)上的连续函 数，那么变量代换公式 ∫ ∫ Ω Ω = n n n n T n n dxdx xx yy yyfdydyyyf L L L L L L 1 1 1 1 )( 1 1 ),( ),( ),( ))(,),(( ∂ ∂ xx 成立，其中 x = 1 L xx n ),( 。 4．注意点 1．重积分变量代换的概念，是数学分析课程中一个比较困难的内容。我们先通 过类比方法，写出重积分变量代换的公式，使得学生先有一个对重积分变量代换 的概念，然后再来证明，学生也就容易理解。同时通过类比，使学生容易记住这 一重要的公式。 2．将一般的变量代换视为向量值函数，将它分解为两个本原变换的复合，也就 是将复杂的函数分解成简单函数的复合，将问题化为对简单函数的证明，这是数 学上常用的一种方法，通过学习，希望同学掌握这一方法。 3．在证明中，我们只考虑了包含在区域 内的小矩形，这是因为区域 具有零 边界。通过学习，要求同学理解为什么我们在本章开始要引进零边界区域的概念。 D D 5