中国矿业大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第九章 多元函数微分法及其应用

S9.1多元函数的基本概念一、平面点集二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性

一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 §9.1 多元函数的基本概念 -1-

一、平面点集在平面上，引进直角坐标系后点P. P(x, y)一对应x0(x, y)二元有序实数组(x,)的全体，即,R?= RxR= ((x,y)xe R,yeR)就表示坐标平面

在平面上，引进直角坐标系后， P(, ) x y x y 0 二元有序实数组 的全体，即， (, ) x y 一、平面点集   2 R    RR x(, ) , y x R y R ， 就表示坐标平面. - 2 - 点 P 一一对应

平面点集：坐标平面上具有某种性质P的点的集合，记作 E=((x,y)l(x,y)具有性质P)如，平面上以原点0为中心、2为半径的圆内所有点的集合：E = ((x,y)|x? + y? <4)或 E=(P|IOPK2)3

记作 E  {( , ) ( , ) }. xy xy P 具有性质 或 E P OP   {| | 2 }. 2 2 E xy x y   {( , ) 4} 平面点集：坐标平面上具有某种性质 的点的集合, P 如，平面上以原点 为中心、2为半径的圆内所有 O 点的集合： - 3 -

邻域设P(xo,y)ExOy面，且实数>0.与点P距离小于S即的点的全体，称为点P的S邻域，记为U(P,S),U(P,8)=(PPP <)S.Po= ((x, y)/ /(x - xo)2 +(y- y0)2 <8)点P的去心S邻域，记作U(P,8)，即U(Po,8)=(P0 </ PP < 8)= ((x,y)10< /(x-xo) +(y-yo) <S)注：在不需要强调邻域的半径θ时，用U(P)和U(P)分别表示点P的某个邻域和其去心邻域

邻域 0 0 U P P PP ( ,) { | | }     2 2 0 0     {( , ) | ( ) ( ) }. xy x x y y  P0   0 0 ( ,) o 点 的去心 邻域 P UP   ，记作 ，即 0 0 ( ,) { 0| | } o U P P PP     0 0 0 0 0 0 ( ,) ( , ) 0. P UP P x y xOy P      距离小  点 的 邻域 设 面，且实数 与点 的点的全体，称为 ，记为 于 ，即 -4- 2 2 0 0      {(, ) xy x x y y | 0 ( )( )  }. 0 0 0 () () o U P 在不需要强调邻域的半径 时，用 和  P UP 分别表示点 的某个邻域和其去 注： 心邻域

点与点集间的关系任意一个点集ECR，任意一点PER?①内点若点P的某个邻域U(P)CE，则称P为E的内点②外点若点P的某个邻域U(P)，满足U(P)NE=Φ，则称P为E的外点③边界点若点P的任一邻域既含有属于E的点，又E含有不属于E的点，则称P为E的边界点

点与点集间的关系 2 2 任意一个点集 ，任意一点 ． E   R PR E P  若 点 的某个邻域 则称 为 的内点.   P UP E P E ( ) ， ① 内点  P  P ( ) () . P UP UP E P E     ， ， 若 点 的某个邻域 满足 则称 为 的外点 ② 外点 . P E E PE ， ， 若点 的任一邻域既含有属于 的点 又 含有不属于 的点 则称 为 的边界点 ③ 边界点 -5-

聚点VS>0，点P的去心邻域U(P,8)内总有E中的点，即，U(P,)NE≠Φ，则称P为E的聚点说明：E1. 内点一定是聚点；2.边界点可能是聚点，也可能不是3.E的聚点可能属于E，也可能不属于E例 E=((x,y)10<x2 +y2≤1)(O,O)既是E边界点，也是E聚点，但不属于E

0 (, δ ) ( , δ) . P UP E UP E P E         ， ， ， ， 点 的去心邻域 内总有 中的点 即 则称 为 的聚点 E 聚点 1. 内点一定是聚点; 说明： 2. 边界点可能是聚点，也可能不是. {( , ) | 0 1 } 2 2 例 E  x y  x  y  (0,0)既是E边界点，也是E聚点，但不属于E． 3. E的聚点可能属于E，也可能不属于E. - 6 -

重要的平面点集，若点集E的点都是内点，则称E为开集E的边界点的全体称为E的边界，记作E;若点集EDE，则称E为闭集；若E中任意两点都可用一完全属于E的折线相连，则称E是连通集；D连通的开集称为开区域，简称区域；，开区域连同它的边界一起称为闭区域7

D  若点集E的点都是内点，则称E为开集；  若点集E E , 则称E为闭集； 若E 中任意两点都可用一完全属于E 的折线相连， 则称E 是连通集;  开区域连同它的边界一起称为闭区域.  连通的开集称为开区域，简称区域; 。 。  E的边界点的全体称为E的边界, 记作E；  重要的平面点集 -7-

例如，在xOy平面上L((x,y)|x+y>0)开区域XO((x,y)[1<x? +y2 <4)y((x, y)| x+ y≥0)闭区域((x,y)[1≤x? +y2 ≤4)2xytX2xS

(x, y) x  y  0  ( , ) 1 4  2 2 x y  x  y  (x, y) x  y  0 ( , ) 1 4  2 2 x y  x  y  开区域 闭区域     x y o 1 2 x y o x y o 1 2 x y o 例如 在 平面上 ， xOy -8-

整个平面是最大的开区域，也是最大的闭区域；点集((x,)|[x>1)1x-10是开集，但非区域点集((x,y)| x≥1)是闭集，但非闭区域OX

是开集，但非区域. 整个平面是最大的开区域 ，也是最大的闭区域； 1 o 1 x y 是闭集，但非闭区域. 1 o 1 x y  点集  (, ) 1 xy x   点集  (, ) 1 xy x   -9-

有界集、无界集对于平面点集E，若存在某一正数r，使得EcU(O,r)，其中O是坐标原点，则称E为有界集，否则称E为无界集有界集如: ((x,y)/1≤x +y2 0)X-10-

{(x, y)| x  y  0} 有界集 无界集 x y o 如： ( ,) E r E UOr O E E  对于平面点集 ，若存在某一正数 ，使得 ，其中 是坐标原点， 则称 为有界集，否则称 为无界集． 2 2 {( , ) |1 4} xy x y  有界集、无界集 -10-