沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第4章 特征值与特征向量 4.1 向量的内积

第四章特征值与特征向量$4.1向量的内积向量的内积与长度正交向量组三施密特正交化方法四、正交矩阵五、小结001018

第四章 特征值与特征向量 §4.1 向量的内积 一、 向量的内积与长度 二、 正交向量组 三、 施密特正交化方法 四、 正交矩阵 五、 小结

一、向量的内积与长度定义1：设有n维向量α= (a1,a2..an)T β= (bl,b2,.b称数 ab+ab,+…+a,b，为向量 α与的内积，记作[α,β].即[α, β]=ab, +a,b, +...+a,b, =α'β= βTα000?

一、向量的内积与长度 定义1:设有n维向量  1 2 1 2 , , , ,    T T    a a a b b b n n  称数 1 1 2 2 n n a b a b a b    为向量  与 的内积  ，   T T 1 1 2 2 , n n             a b a b a b 记作  ,  .即

向量的内积与长度一、注当为维行向量时，即α=(a,a2,".,an)β=(bi,bz,..,bn)α与β 的内积[α, β]=ab +a,b, +...+ab, =aβT = βα

注 当 为  , n维行向量时，即   a a a 1 2 , , , n    b b b 1 2 , , , n   与  的内积   T T 1 1 2 2 , n n           a b a b a b 一、向量的内积与长度

内积具有下列性质(1对称性[α,β]=[β,α]（2）非负性当α≠时，α,α]>0.事实上[α,α]=0 的充分必要条件是α=0[α+β,]=[α,]+[β,]（3）线性性[aα, β]= [α, β]

（1）对称性     , ,     的充分必要条件是   0  , 0    , 0     0 （3）线性性           , , ,            , ,     （2）非负性 当 时， .事实上， 内积具有下列性质：

对于任意一个n维向量α=(a,a2,,a,)，称定义2[α,α]为向量α的长度，记作αl，即[αl= V[α,α] = Ja +a +..+a?

定义2 对于任意一个n维向量   T 1 2 , , , n   a a a ，称  ,  为向量  的长度，记作  ，即   2 2 2 1 2 , n         a a a

向量的长度具有如下性质：α≥0，当且仅当α=0时，α=0(1）非负性12α = [2（2）齐次性（3）三角不等式 α+β≤ α+β

（1）非负性   0 ，当且仅当   0 时，   0 （2）齐次性      （3）三角不等式    ≤    向量的长度具有如下性质：

长度为1的向量称为单位向量αα±0时,e为单位向量，α由向量α得到单位向量e。的过程称为将非零向量α单位化[α,β]对于两个非零向量 α,β，称 =arccos/al// l(0≤0≤元)为向量α,β的夹角001018

长度为1的向量称为单位向量.   0 时，    e α 为单位向量， 由向量  得到单位向量 e α 的过程称为将  单位化. 对于两个非零向量  , ，称  ,    arccos     为向量  , 的夹角 (0 )     非零向量

例1 向量α=(1 2 2 -1), 求[a与eα解α= /12 +2 +22 +(-1) = /10α 2２ 2２ -1)10α设向量α=(1 1 0 0),β=(1 0 1例2求α与β的夹角.Iβ=故两向量的夹角为解[α,β]=1 Iαl=~2 [α, β]元0 = arccosarccos3/al// l200108

例1 向量   T    1 2 2 1 ，求  与 e α 解 2 2 2 2        1 2 2 ( 1) 10   1 T 1 2 2 1 10      e α 例2 设向量   T   1 1 0 0 ，   T   1 0 1 0 求   的夹角. 解  , 1     2   2 故两向量的夹角为  ,  1 arccos arccos 2 3          与

二、正交向量组定义3对于n维向量α,β，如果[α,β]=0，即ab +a,b,++a,b,=O，称α与β正交，记作αβ定义4如果一组非零向量两两正交，则称该向量组为正交向量组008

二、正交向量组 定义3 对于n维向量  , ，如果  , 0   ，即 1 1 2 2 0 n n a b a b a b     ，称  与  正交，记作    定义4 如果一组非零向量两两正交，则称该向量组 为正交向量组

定义5如果正交向量组中每个向量都是单位向量则称该向量组为一个单位正交向量组，简称单位正交组。也称标准正交组或规范正交组00例如，e, =00为一标准正交组00X

定义5 如果正交向量组中每个向量都是单位向量， 则称该向量组为一个单位正交向量组，简称单 位正交组。也称标准正交组或规范正交组. 例如， 1 2 3 1 0 0 0 , 1 , 0 0 0 1                                  e e e 为一标准正交组