沈阳师范大学：《数学分析》课程授课教案（讲义一，共七章，授课教师：韩硕）

课程课程名称数学分析1课程代码07100020基本学时学分课程性质90学时/6学分专业必修课情况授课年级2024级数学与应用数学（师范）专业教材：[1]《数学分析》（第五版)，华东师范大学数学科学学院编.高等教育出版社，2019年教材《数学分析》（第五版)为“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材。该书可作为高等学校数学和其他相关专业的教材使用。该书分上下两册，共二十分析三章，每小节后均有相应的习题。数学分析1课程使用本教材上册。参考资料：[1]《数学分析》（第二版)，陈纪修，於崇华，金路.高等教育出版社，2004年[2]《数学分析》（第三版)，复旦大学数学系编.高等教育出版社，2007年.[3]】《数学分析》（第三版），郭大钧等.高等教育出版社，2015年本课程是高等院校数学与应用数学专业本科生一年级第一学期开设的专业学情「必修课程。其先修课程为高中数学函数与导数等部分内容。通过本课程的学习分析可为数学分析2、数学分析3、复变函数、实变函数、泛函分析、常微分方程等数学学科的后续课程提供必要的基础理论和基本方法。课程目标1：理解《数学分析1》中的全部基本概念和基础理论知识。系统地掌握数学分析严谨的逻辑推理方法，理解具体和抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系。具有良好的逻辑推理能力、抽象思维能力以及严谨的数学语言表达能力。具有运用所学知识提出问题、分析问题，解决实际问题的初步能课程全力。课程目标2：通过课前预习、课堂引导和启发、课后作业等方式，激发学生目标探索与求知的欲望，培养学生自主学习能力、自我反思能力和批判性思维。课程目标3：通过课后分组作业，使学生掌握团队协作的相关知识与技能，具有团队协作活动的体验，具备良好的团队协作精神；能够与同伴、教师进行有效的沟通交流，具有良好的集体协作和组织协调能力

课 程 基 本 情 况 课程名称 数学分析 1 课程代码 07100020 学时学分 90 学时/6 学分 课程性质 专业必修课 授课年级 2024 级数学与应用数学（师范）专业 教 材 分 析 教材： [1]《数学分析》(第五版),华东师范大学数学科学学院编.高等教育出版 社,2019 年. 《数学分析》(第五版)为“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材。该 书可作为高等学校数学和其他相关专业的教材使用。该书分上下两册，共二十 三章，每小节后均有相应的习题。数学分析 1 课程使用本教材上册。 参考资料： [1]《数学分析》(第二版),陈纪修,於崇华,金 路.高等教育出版社,2004 年. [2]《数学分析》(第三版),复旦大学数学系编.高等教育出版社,2007 年. [3]《数学分析》(第三版),郭大钧等.高等教育出版社,2015 年. 学 情 分 析 本课程是高等院校数学与应用数学专业本科生一年级第一学期开设的专业 必修课程。其先修课程为高中数学函数与导数等部分内容。通过本课程的学习 可为数学分析 2、数学分析 3、复变函数、实变函数、泛函分析、常微分方程等 数学学科的后续课程提供必要的基础理论和基本方法。 课 程 目 标 课程目标 1：理解《数学分析 1》中的全部基本概念和基础理论知识。系统 地掌握数学分析严谨的逻辑推理方法，理解具体和抽象、特殊与一般、有限与 无限的辩证关系。具有良好的逻辑推理能力、抽象思维能力以及严谨的数学语 言表达能力。具有运用所学知识提出问题、分析问题，解决实际问题的初步能 力。 课程目标 2：通过课前预习、课堂引导和启发、课后作业等方式，激发学生 探索与求知的欲望，培养学生自主学习能力、自我反思能力和批判性思维。 课程目标 3：通过课后分组作业，使学生掌握团队协作的相关知识与技能， 具有团队协作活动的体验，具备良好的团队协作精神；能够与同伴、教师进行 有效的沟通交流，具有良好的集体协作和组织协调能力

课程目标与毕业要求指标点对应关系毕业要求课程目标毕业要求分解指标点3.1系统掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能，具有良好的数学抽象、逻辑推理、数课程目标13.知识整合学建模、直观想象等数学学科专业能力：3.3掌握数学学科的基本思想和方法，了解数学课程目标2的历史概况和发展的基本规律。10.1理解教学反思对教师专业成长和教育的价值：学会运用批判性思维方法，独立思考判断，10.反思研究课程目标3自主分析解决问题，养成从学生学习、课程教学、学科理解等不同角度反思分析问题的习惯。11.2掌握沟通合作技能，与同事合作交流，分享经验和资源，实现共同发展；能够与中学生、家11.交流合作课程目标3长进行有效的沟通交流，具有良好的集体协作和组织协调能力及符合社会发展的适用能力。教学重点：数列极限的概念：各种函数极限的分析定义：函数极限的性质及其计算：教学函数连续的概念：闭区间上连续函数的性质：导数的定义：微分中值定理：利重点用导数研究函数性态。教学难点：难点确界原理；迫敛性和单调有界定理；海涅定理及柯西准则的应用；一致连续的概念及证明；微分的概念；泰勒定理的证明及应用。成绩评定办法：总评成绩=平时表现成绩（占总成绩的20%）+期末笔试试卷成绩（占总成绩学习的80%）。评价注：①平时成绩包括：课堂表现（占总成绩的5%）+阶段测验（占总成绩的3%）+各项作业成绩（占总成绩的12%）。②各项作业成绩包括：共3项作业，每项作业分别占总成绩的4%

课程目标与毕业要求指标点对应关系 毕业要求 毕业要求分解指标点 课程目标 3.知识整合 3.1 系统掌握数学学科的基本知识、基本原理和 基本技能，具有良好的数学抽象、逻辑推理、数 学建模、直观想象等数学学科专业能力； 课程目标 1 3.3 掌握数学学科的基本思想和方法，了解数学 的历史概况和发展的基本规律。 课程目标 2 10.反思研究 10.1 理解教学反思对教师专业成长和教育的价 值；学会运用批判性思维方法，独立思考判断， 自主分析解决问题，养成从学生学习、课程教学、 学科理解等不同角度反思分析问题的习惯。 课程目标 3 11.交流合作 11.2 掌握沟通合作技能，与同事合作交流，分享 经验和资源，实现共同发展；能够与中学生、家 长进行有效的沟通交流，具有良好的集体协作和 组织协调能力及符合社会发展的适用能力。 课程目标 3 教 学 重 点 难 点 教学重点： 数列极限的概念；各种函数极限的分析定义；函数极限的性质及其计算； 函数连续的概念；闭区间上连续函数的性质；导数的定义；微分中值定理；利 用导数研究函数性态。 教学难点： 确界原理；迫敛性和单调有界定理；海涅定理及柯西准则的应用；一致连 续的概念及证明；微分的概念；泰勒定理的证明及应用。 学 习 评 价 成绩评定办法： 总评成绩=平时表现成绩（占总成绩的 20%）+期末笔试试卷成绩（占总成绩 的 80%）。 注：①平时成绩包括：课堂表现（占总成绩的 5%）+ 阶段测验（占总成绩 的 3%）+ 各项作业成绩（占总成绩的 12%）。②各项作业成绩包括：共 3 项作业， 每项作业分别占总成绩的 4%

章次内容总课时理论课时实践课时支撑课程目标651实数集与函数课程目标12三1210数列极限课程目标1学时三133函数极限16课程目标12四函数的连续性1210课程目标1、2分配2五导数和微分1412课程目标1六203微分中值定理及其应用17课程目标1、2、3七1082实数的完备性课程目标1

学 时 分 配 章次 内容 总课时 理论课时 实践课时 支撑课程目标 一 实数集与函数 6 5 1 课程目标 1 二 数列极限 12 10 2 课程目标 1 三 函数极限 16 13 3 课程目标 1 四 函数的连续性 12 10 2 课程目标 1、2 五 导数和微分 14 12 2 课程目标 1 六 微分中值定理及其应用 20 17 3 课程目标 1、2、3 七 实数的完备性 10 8 2 课程目标 1

第一章实数集与函数课时2学时授课题目s1.1实数s1.2数集·确界原理【知识目标】1.理解实数与邻域的概念2.掌握实数的基本性质；3.理解实数确界的定义及确界原理【能力目标】教学目标1.会熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式2.能够在有关命题的证明过程中正确地运用确界原理【素养目标】1.培养学生树立正确的科学观；具有独立思考、提出问题、解决问题的能力；2.培养学生树立正确的学习观和方法论；具有学以致用的能力，【教学重点】1.实数的概念；2.区间、邻域、确界的定义重点与难点【教学难点】1.实数的性质；2.集合的有界性、确界原理【教学方法】讲授法、启发式教学法、讨论法方法与手段【教学手段】板书与学习通、雨课堂平台等现代化教学手段线上线下混合式教学新课导入新课讲解巩固练习课堂小结时间分配(分钟)555030课堂教学过程教学活动设计师生互动【师】提问为什么数学分析要《数学分析1》是高等院校数学与应用数学专业本科生最重要的学科基础从“实数”开始必修课程之一，是从初等数学迈向高等数学的桥梁，其基本思想对整个数学研究的发展起着重要的作用。从本节课开始，我们就按照教材顺序向大家介绍这【生】积极回新课门课程的主要内容，首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始答.导入【设计意图】通【问题】为什么从"实数"开始过问题导入法答：数学分析理论主要由微积分和级数理论组成，主要研究对象是实函激发学生的学数，即以实数为自变量并且在实数中取值的函数（《复变函数》研究的是定义习兴趣和探索在复数集上的函数）.为此，我们要先了解一下实数的有关性质，精神

授课题目 第一章 实数集与函数 §1.1 实数 §1.2 数集·确界原理 课时 2 学时 教学目标 【知识目标】 1.理解实数与邻域的概念； 2.掌握实数的基本性质； 3.理解实数确界的定义及确界原理. 【能力目标】 1.会熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式； 2.能够在有关命题的证明过程中正确地运用确界原理. 【素养目标】 1.培养学生树立正确的科学观；具有独立思考、提出问题、解决问题的能力; 2.培养学生树立正确的学习观和方法论；具有学以致用的能力. 重点与难点 【教学重点】 1.实数的概念； 2.区间、邻域、确界的定义. 【教学难点】 1.实数的性质； 2.集合的有界性、确界原理. 方法与手段 【教学方法】 讲授法、启发式教学法、讨论法. 【教学手段】 板书与学习通、雨课堂平台等现代化教学手段线上线下混合式教学. 时间分配 （分钟） 新课导入 新课讲解 巩固练习 课堂小结 5 50 30 5 课堂教学过程 教学活动设计 新课 导入 《数学分析 1》是高等院校数学与应用数学专业本科生最重要的学科基础 必修课程之一，是从初等数学迈向高等数学的桥梁，其基本思想对整个数学 的发展起着重要的作用。从本节课开始，我们就按照教材顺序向大家介绍这 门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． [问题]为什么从“实数”开始． 答：数学分析理论主要由微积分和级数理论组成，主要研究对象是实函 数，即以实数为自变量并且在实数中取值的函数（《复变函数》研究的是定义 在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 师生互动 【师】提问为什 么数学分析要 从 “实数 ”开始 研究. 【生】积极回 答. 【设计意图】通 过问题导入法 激发学生的学 习兴趣和探索 精神

s1.1实数一、实数及其性质数[正分数,(P,9为整数且b或存在非负整发学生的学习兴趣和探索精数l，使得ak=bk,k=1,2,l，而a+>bi，则称x大于y或y小于x神分别记为x>或y-y，则分别称为x=y与xx）规定：任何非负实数大于任何负实数，引入新定义2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）【师】以举例子定义2（不足近似与过剩近似)：x=aoaian为非负实数，称有理数

新课 讲解 §1.1 实数 一、实数及其性质 1、实数 ( , q p q p          正分数, 有理数 为整数且q 0)或有限小数和无限小数. 负分数, 无理数:用无限不循环小数表示. R x x = − −  | 为实数 全体实数的集合  ． [问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为 以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为 此作如下规定： 对于正有限小数𝑥 = 𝑎0. 𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛. 其中0 ≤ 𝑎𝑖 ≤ 9, 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛, 𝑎𝑛 ≠ 0, 𝑎0为非负整数,记 𝑥 = 𝑎0. 𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛−19999 ⋯；对于正整数 0 x a = , 则记𝑥 = (𝑎0 − 1).9999 ⋯； 对于负有限小数（包括负整数） y ，则先将 −y 表示为无限小数，现在 所得的小数之前加负号．０＝0.0000 ⋯ 例：2.001 → 2.0009999 ⋯ 3→2.9999⋯ -2.001→-2.009999⋯ -3→-2.9999⋯ 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示． 但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？ ２、两实数大小的比较 1）定义１ 给定两个非负实数𝑥 = 𝑎0𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 ⋯，𝑦 = 𝑏0𝑏1 ⋯ 𝑏𝑛 ⋯. 其中 0 0 a b, 为非负整数， , k k a b (𝑘 = 1,2, ⋯ )为整数， 0 9,0 9 k k     a b ．若有 𝑎𝑘 = 𝑏𝑘, 𝑘 = 1,2, ⋯，则称 x 与 y 相等，记为 x y = ；若 0 0 a b  或存在非负整 数 l ，使得𝑎𝑘 = 𝑏𝑘, 𝑘 = 1,2, ⋯ , 𝑙，而 l l 1 1 a b + +  ，则称 x 大于 y 或 y 小于 x ， 分别记为 x y  或 y x  ．对于负实数 x 、 y ，若按上述规定分别有 − = − x y 或 −  − x y ，则分别称为 x y = 与 x y  （或 y x  ）． 规定：任何非负实数大于任何负实数． 2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）． 定义２（不足近似与过剩近似）：𝑥 = 𝑎0𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 ⋯为非负实数，称有理数 师生互动 【师】提问我们 之前中学时是 怎么定义实数 的呢？ 【生】积极回 答. 【设计意图】贴 近学生中学所 学过的数学知 识，使学生更感 兴趣，有利于理 解重点概念. 问题延伸 【师】提问如何 比较实数的大 小？ 【生】积极回 答. 【设计意图】激 发学生的学习 兴趣和探索精 神. 引入新定义 【师】以举例子

的方式加强学1生对新概念的x=aoai"an为实数x的n位不足近似；x=x,+称为实数x的n位过10%理解.再配合两个简单的练习剩近似；对于实数x=-aoai"an"，其n位不足近似xn=-aoai"an"-题巩固学生的n位过剩近似xn=-aoaian"10记忆注：实数x的不足近似x，当n增大时不减，即有xo≤x1≤x2≤≤x过剩近似x当n增大时不增，即有xo≥xi≥x≥≥x雨课堂一课堂习例：设x=32.17569352求题X5,X6, x5,x6, (-x)3 (-x)4, (-x)3, (-x)4命题：记x=aoai"an"，y=bobibn"为两个实数，则x>y的等【师】线上发布测试价条件是：存在非负整数n，使x，>y，（其中x,为x的n位不足近似，y,为【生】在线作答y的n位过剩近似）【设计意图】检例：设x,y为实数，xb,a=b.中理解并熟练运用相关性质·传递性；ac=a>c·阿基米德性：Va,beR,b>a>0=3neN使得na>b.课程思政·稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数。【师】阿基米德是古希腊数学。实数集R与数轴上的点有着一一对应关系家、哲学家。他例2设Va,beR，证明：若对任何正数，有a<b+s，则a<b曾说过：“给我一个支点，我就（提示：反证法，利用"有序性"，取ε=a-b）能撬起整个地球。"阿基米德

𝑥 = 𝑎0𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛为实数 x 的 n 位不足近似； 1 10 n n n x x = + 称为实数 x 的 n 位过 剩近似；对于实数𝑥 = −𝑎0𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 ⋯，其 n 位不足近似𝑥𝑛 = −𝑎0𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 ⋯ − 1 10 𝑛； n 位过剩近似𝑥𝑛 = −𝑎0𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 ⋯. 注：实数 x 的不足近似 n x 当 n 增大时不减，即有𝑥0 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ ⋯ ≤ 𝑥; 过剩近似 n x 当 n 增大时不增，即有𝑥0 ≥ 𝑥1 ≥ 𝑥 ≥ ⋯ ≥ 𝑥. 例： 设𝑥 = 32.17569352 ⋯,求 𝑥5, 𝑥6, 𝑥5, 𝑥6, (−𝑥)3, (−𝑥)4, (−𝑥)3, (−𝑥)4. 命题：记𝑥 = 𝑎0𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛 ⋯，𝑦 = 𝑏0𝑏1 ⋯ 𝑏𝑛 ⋯为两个实数，则 x y  的等 价条件是：存在非负整数 n，使 n n x y  （其中 n x 为 x 的 n 位不足近似， n y 为 y 的 n 位过剩近似）． 例：设 x y, 为实数， x y  ，证明存在有理数 r ，满足 x r y   ． 证 ． 由 x y  ， 知 ： 存 在 非 负 整 数 n ，使得 n n x y  ． 令 ( ) 1 2 n n r x y = + ，则 r 为有理数，且 n n x x r y y     ．即 x r y   ． ３、实数常用性质 ⚫ 封闭性（实数集Ｒ对 + −   , , , ）四则运算是封闭的．即任意两 个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数． ⚫ 有序性 ： 任 意 两 个 实 数 ab, 必 满 足 下 列 关 系 之 一 ： a b a b a b = , , ． ⚫ 传递性； a b b c a c     , ． ⚫ 阿基米德性：        a b R b a n N , , 0 使得 na b  ． ⚫ 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数． ⚫ 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系． 例２．设   a b R , ，证明：若对任何正数  ，有 a b  +  ，则 a b  ． （提示：反证法．利用“有序性”，取  = − a b ） 的方式加强学 生对新概念的 理解.再配合两 个简单的练习 题巩固学生的 记忆. 雨课堂-课堂习 题 【师】线上发布 测试. 【生】在线作 答. 【设计意图】检 测学生对集合 不足近似与过 剩近似概念掌 握情况. 教学难点 【师】实数的性 质是教学难点. 授课过程中结 合例题，使学生 在思考的过程 中理解并熟练 运用相关性质. 课程思政 【师】阿基米德 是古希腊数学 家、哲学家。他 曾说过：“给我 一个支点，我就 能撬起整个地 球。”阿基米德

的几何著作是希腊数学的顶二、绝对值与不等式峰，他把欧几里1、绝对值的定义得严格的推理方法与柏拉图a,a≥0鲜艳的丰富想实数α的绝对值的定义为α=[-a a0);4）对任何a,bR有|a|-ba±ba|+|bl（三角不等式);教学难点5[abal-[b];【师】实数绝对值的有关性质[al_ [al(b+0).6)以及常见的不[6]~16]等式是分析论练习题：证的重要工具，也是教学难点1证明：对任何xeR有授课过程中结(1) [x-1/+/x-21;合练习题，使学生在思考的过(2) 1x-1/+/x-2|+|x-32程中理解并熟练运用相关性2.证明：x-x-质和不等式。S1.2数集·确界原理一、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）设a,beR且a<b

二、绝对值与不等式 １、绝对值的定义 实数 a 的绝对值的定义为 , 0 | | 0 a a a a a   =  −  ． ２、几何意义：从数轴看，数 a 的绝对值 | | a 就是点 a 到原点的距离．认识到 这一点非常有用，与此相应， | | x a − 表示就是数轴上点 x 与 a 之间的距 离． ３、性质 １） | | | | 0;| | 0 0 a a a a = −  =  = （非负性）； ２） −   | | | | aaa ； ３） | | a h h a h   −   ，| | .( 0) a h h a h h   −    ； ４）对任何 a b R ,  有 | | | | | | | | | | a b a b a b −    + （三角不等式）； ５） | | | | | | ab a b =  ； ６） | | | | a a b b = （ b  0 ）． 练习题： １．证明：对任何 x R  有 （１） | 1| | 2 | 1 x x − + −  ； （２） | 1| | 2 | | 3| 2 x x x − + − + −  . ２．证明： | | | | | | x y x y −  − . §1.2 数集·确界原理 一、区间与邻域 1、区间（用来表示变量的变化范围） 设 a b R ,  且 a b  . 的几何著作是 希腊数学的顶 峰，他把欧几里 得严格的推理 方法与柏拉图 鲜艳的丰富想 象和谐地结合 在一起，达到了 至善至美的境 界。 【设计意图】由 阿基米德的故 事引申思政教 育，鼓励学生勇 于探索创新. 教学难点 【师】实数绝对 值的有关性质 以及常见的不 等式是分析论 证的重要工具， 也是教学难点. 授课过程中结 合练习题，使学 生在思考的过 程中理解并熟 练运用相关性 质和不等式

开区间:(xeR|aa)=(a,+00)(xeR/x0，满足不等式/x-ak的全体辑性。实数x的集合称为点a的邻域，记作U(a,)，或简记为U(a)，即U(a,0)=(x[x-ak8)=(a-,a+8)（2）点a的空心邻域U(a,8)=[x0 x-ak8)=(a-8,a)u(a,a+)@U(a)（3）a的右邻域和点a的空心右邻域Ut(a;)=[a,a+)=U.(a)=(x|a≤xM)，（其中M为充分大的正数）U(+0)=(x|x> M), U(-) =(x|x<-M )二、有界集与无界集什么是界"？

                  | ( , ) . | [ , ]. | [ , ) | ( , ] | [ , ). | ( , ]. | ( , ). | ( , ). | . x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R          =       =      =        =       = +    = −      = +    = −    −   + =  开区间: 有限区间 闭区间: 闭开区间: 半开半闭区间 开闭区间: 区间 无限区间             2、邻域 联想：“邻居”．字面意思：“邻近的区域”．与 a 邻近的“区域”很多，到底 哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于 a 的对称区间”；如何用数学语言 来表达呢？ （１） a 的  邻域：设 a R   , 0  ，满足不等式 | | x a −   的全体 实数 x 的集合称为点 a 的  邻域，记作 U a( ; )  ，或简记为 U a( ) ，即 U a x x a a a ( ; ) | | ( , )     = −  = − +   . （２） 点 a 的空心  邻域 ( ; ) 0 | | ( , ) ( , ) ( )   o o U a x x a a a a a U a     =  −  = −  + @ . （３） a 的  右邻域和点 a 的空心  右邻域 𝑈+(𝑎; 𝛿) = [𝑎, 𝑎 + 𝛿) ≜ 𝑈+(𝑎) = {𝑥|𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑎 + 𝛿}; 𝑈+ 0 (𝑎; 𝛿) = (𝑎, 𝑎 + 𝛿) ≜ 𝑈+ 0 (𝑎) = {𝑥|𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿}. （４） 点 a 的  左邻域和点 a 的空心  左邻域 𝑈 − (𝑎; 𝛿) = (𝑎 − 𝛿, 𝑎] ≜ 𝑈−(𝑎) = {𝑥|𝑎 − 𝛿 < 𝑥 ≤ 𝑎}; 𝑈− 0 (𝑎; 𝛿) = (𝑎 − 𝛿, 𝑎) ≜ 𝑈+ 0 (𝑎) = {𝑥|𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎}. （５）  邻域， + 邻域， − 邻域 U x x M ( ) | | ,  =    （ 其 中 Ｍ 为 充 分 大 的 正 数 ）； U x x M ( ) , + =    U x x M ( ) − =  −   二、有界集与无界集 什么是“界”？ 教学重点 【师】区间与邻 域的概念是教 学重点内容.在 讲授过程中要 确保数学语言 的严谨性与逻 辑性

定义1（上、下界)：设S为R中的一个数集.若存在数M(L)使得一切xES都有x≤M(x≥L），则称S为有上（下）界的数集.数M(L)称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集，问题延伸【师】提问已知若数集S不是有界集，则称S为无界集，有界的定义，那注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S的关系如何？无界的定义用看下例：数学语言如何描述？例1讨论数集N，=(nn为正整数）的有界性，【生】积极回答分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取L=1；上界【设计意图】激似乎无，但需要证明，发学生的学习解：任取nEN，显然有n≥1，所以N,有下界1；但N,无上兴趣和探索精神界。证明如下：假设N.有上界M,则M>0，按定义，对任意nEN.，都有n≤M，这是不可能的，如取n=[M]+l,则ngEN+，且n>M.综上所述知：N是有下界无上界的数集，因而是无界集例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集，（3）由有限个数组成的数集是有界集[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？（答：不唯一，有无穷多个）三、确界与确界原理1、确界的定义引入新定义定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数n满足：（1）对一切【师】确界的定义是教学重点xeS,有x≤n（即n是S的上界）(2）对任何αα（即n是S的上界中最小的一个），则称数n为数集S的上确界，记作确界的定义，加强学生对“确n=supS界”这一新概念的理解.再配合定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数≤满足：（1)对一切xES两个简单的练习题巩固学生有x≥（即是S的下界)；（2）对任何β>,存在xS,使得x<β的记忆.（即是S的下界中最大的一个），则称数5为数集S的下确界，记作

定义１（上、下界）： 设 S 为 R 中的一个数集．若存在数 M L( ) ， 使得一切 x S  都有 x M x L   ( ) ，则称Ｓ为有上（下）界的数集．数 M L( ) 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为 有界集． 若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集． 注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？ 看下例： 例 1 讨论数集 N n n + =  | 为正整数 的有界性． 分析：有界或无界  上界、下界？下界显然有，如取 L =1 ；上界 似乎无，但需要证明． 解：任取 0 n N  + ，显然有 0 n 1 ，所以 N+ 有下界１；但 N+ 无上 界．证明如下：假设 N+ 有上界 M,则 M>0，按定义，对任意 0 n N  + ，都 有 0 n M ，这是不可能的，如取 0 n M = + [ ] 1, 则 0 n N  + ，且 0 n M . 综上所述知： N+ 是有下界无上界的数集，因而是无界集． 例 2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无 界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集． [问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯 一 ，有无穷多个)． 三、确界与确界原理 １、确界的定义 定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数  满足：(1) 对一切 x S  , 有 x  （即  是Ｓ的上界）; (2) 对任何   ，存在 0 x S  ，使得 0 x  （即  是Ｓ的上界中最小的一个），则称数  为数集Ｓ的上确界，记作  = sup . S 定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数  满足：（１）对一切 x S  , 有 x   （即  是Ｓ的下界）；（２）对任何    ，存在 0 x S  ，使得 0 x   （即  是Ｓ的下界中最大的一个），则称数  为数集Ｓ的下确界，记作 问题延伸 【师】提问已知 有界的定义，那 无界的定义用 数学语言如何 描述？ 【生】积极回 答. 【设计意图】激 发学生的学习 兴趣和探索精 神. 引入新定义 【师】确界的定 义是教学重点 内容.以提出问 题的方式引出 确界的定义，加 强 学 生 对 “ 确 界”这一新概念 的理解.再配合 两个简单的练 习题巩固学生 的记忆

E=infs上确界与下确界统称为确界雨课堂一课堂习例1讨论数集S=(xx为区间(0,1)中的有(无)理数的确界题【师】线上发布分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界，测试.提示：利用有理数集在实数集中的稠密性：supS=1,inf S=0【生】在线作答例2.设E=(-ln=1,2,)证明：supE=1,infE=【设计意图】检测学生对确界2、确界的性质知识掌握情况.。唯一性：若数集S存在上（下）确界，则一定是唯一的；。若数集S存在上、下确界，则有infS<supS；数集S的确界可能属于S，也可能不属于S；。存在性一定理1.1（确界原理）设S为非空数集，若S有上界，则教学难点【师】确界原理S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.是教学难点内例3设数集S有上界，证明：n=supSeS-n=maxS容.授课过程中结合例题，使学分析：由确界原理，SupS意义，按确界定义证明生在思考的过程中理解并熟例4、设A、B为非空数集，满足：对一切xEA和yEB有x≤y.证练运用确界原理解决具体问明：数集A有上确界，数集B有下确界，且supA≤infB题分析：首先，证明supA,infB.有意义，用确界原理，其次，证明sup A≤ inf B.例5设A、B为非空有界数集，S=AUB，证明：（1）sup S=max(sup A,sup B): (2) inf S=min(inf A,inf B)分析：首先，由S=AUB及A、B的性质知，S也是非空有界集：其次，证明（1）、（2）【生】总结知识点和思想方法。实数：实数及其性质、绝对值与不等式【师】鼓励学生课堂区间与邻域，确界的定义；勇于探索创新.小结集合的有界性，确界原理

 = inf S . 上确界与下确界统称为确界 例 1 讨论数集 S x x =  为区间(0,1)中的有(无)理数 的确界． 分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界． 提示：利用有理数集在实数集中的稠密性． sup 1,inf 0. S S = = 例 2．设𝐸 = { 𝑛 𝑛+1 |𝑛 = 1,2, ⋯ }证明： 𝑠𝑢𝑝 𝐸 = 1, 𝑖𝑛𝑓 𝐸 = 1 2 . ２、确界的性质 ⚫ 唯一性：若数集Ｓ存在上（下）确界，则一定是唯一的； ⚫ 若数集Ｓ存在上、下确界，则有 inf sup S S  ； ⚫ 数集Ｓ的确界可能属于Ｓ，也可能不属于Ｓ； ⚫ 存在性——定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则 Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界． 例 3 设数集Ｓ有上界，证明：   =   = sup max . S S S 分析：由确界原理， sup S 意义，按确界定义证明． 例 4．设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切 x A  和 y B  有 x y  . 证 明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且 sup inf . A B  分析：首先，证明 sup ,inf . A B 有意义，用确界原理．其次，证明 sup inf . A B  例 5 设 Ａ 、 Ｂ 为 非 空 有 界 数 集 ， S A B =  ， 证 明 ：（ １ ） sup max sup ,sup S A B =   ；（２） inf min inf ,inf S A B =   ． 分析：首先，由 S A B =  及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集．其次， 证明（１）、（２）． 雨课堂-课堂习 题 【师】线上发布 测试. 【生】在线作 答. 【设计意图】检 测学生对确界 知识掌握情况. 教学难点 【师】确界原理 是教学难点内 容.授课过程中 结合例题，使学 生在思考的过 程中理解并熟 练运用确界原 理解决具体问 题. 课堂 小结 实数：实数及其性质、绝对值与不等式； 区间与邻域，确界的定义； 集合的有界性，确界原理. 【生】总结知识 点和思想方法。 【师】鼓励学生 勇于探索创新