复旦大学：《数学分析》精品课程授课教案（讲义）5 函数的幂级数展开

教案函数的幂级数展开复旦大学陈纪修金路1.教学内容函数的幂级数（Taylor级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。2.指导思想（1）函数的幂级数（Taylor级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。（2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。3.教学安排首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f（x)在xo的某个邻域O(xo,r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f(x）在xo的Taylor级数："(x0)(x-xo)", xe 0(o, r).(*)f(x)=)n!月=0另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式：() f()=er ="=0 n!x"+..1+x+x E(-0,+00)。2!3!n!(-1)"r.2n+1(2) f(x)= sinx==(2n+1)!x+xs2n+/+(-1)"=x-+,xE(-80,+8)。3 5!(2n + 1)!1

教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整 个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较 它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如 何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算 能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学 中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论， 而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数 的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展 开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函 数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求 函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级 数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质 教育的一个不可忽视的环节。 3. 教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x)在 x0 的某个邻域 O(x0, r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x) 在x0 的Taylor级数： （*） ( ) , ( , ). ! ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) x x x O x r n f x f x n n n = ∑ − ∈ ∞ = 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式： (1) f (x) = ex = ∑ ∞ =0 ! n n n x 2! 3! ! 1 2 3 n x x x x n = + + + +"" + ., x ∈(-∞, +∞)。 (2) f (x) = sin x = ∑ ∞ = + + − 0 2 1 (2 1)! ( 1) n n n x n (2 1)! ( 1) 3! 5! 3 5 2 1 + = − + − + − + n x x x x n "" n + ., x∈(-∞, + ∞)。 1

(-1)"r2m(3) f(x)= cos x= (2n)!=-42n-1xE(-00, + 0)。I.421(2n)!了(-1)"-142n~1(4) f(x)=arctanx:台2n-1+2n+1r3s+(-1)"xE[-1, 1]。=x352n+1(-1) +x"(5) f(x)= ln (1 +x) =2nx3x4x?+(-1)"-1 r"xE(-1, 1].=x234n(6)α丰0是任意实数。f(x)=(1+x),当α是正整数m时，m(m-1)f(x)=(1 +x)" = 1 + mx ++.. + mxm-l+x", xE(-0,+o)2即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。当α不为0和正整数时，x(-1,1),当α≤-1,(1 + x)α1xe(-1,1], 当-10α(α-l)......(α-n+1)其中(n= 1,2...) 和n!n0设函数f(x)在xo的某个邻域O(xo,r)中任意阶可导，要求它在O(xo,r)中的幂级数展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法：1，通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。1例 1求 (x)=在x=0的幂级数展开。3+5x-2x解利用部分分式得到1f(x)=21xY再利用（6）式（α=-1），得到15f(x)=m=0[3°+元例2求f(x)=sinx在x=的幂级数展开。6331.（元解-cos3(xf(x)= sin x =sin3x=-sinx--sin444(66642

(3) f (x) = cos x = ∑ ∞ = − 0 2 (2 )! ( 1) n n n x n (2 )! ( 1) 2! 4! 1 2 4 2 n x x x n n = − + −""+ − + ., x∈(-∞, + ∞)。 (4) f (x) = arctan x = ∑ ∞ = − − − − 1 2 1 1 2 1 ( 1) n n n x n 2 1 ( 1) 3 5 3 5 2 1 + = − + − + − + n x x x x n "" n + ., x∈[-1, 1]。 (5) f (x) = ln (1 + x) = ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n x n n x x x x x n n 1 2 3 4 ( 1) 2 3 4 − = − + − +""+ − + ., x∈(-1, 1]。 (6) f x( ) = + (1 x) α ，α≠0 是任意实数。 当α 是正整数 m 时， f (x) = (1 + x) m = 1 + mx + 2 2 ( 1) x m m − + . + + x m−1 mx m，x∈(-∞, +∞) 即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。 当α不为 0 和正整数时， ∑ ∞ = α ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛α + = 0 (1 ) n n x n x , ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > − < < ≤ − ∈ − ∈ − ∈ − 0. 1 0, 1, [ 1,1], ( 1,1], ( 1,1), α α α 当 当 当 x x x 其中 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n α ! ( 1) ( 1) n α α − "" α − n + , (n = 1,2,.) 和 1。 0 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛α 设函数f (x)在 x0 的某个邻域O(x0, r)中任意阶可导，要求它在O(x0, r)中的幂级数 展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例 介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法： 1． 通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。 例 1 求 2 3 5 2 1 ( ) x x f x + − = 在 x = 0 的幂级数展开。 解 利用部分分式得到 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⋅ x x f x 1 2 1 7 2 3 1 1 21 1 ( ) ， 再利用（6）式（α = −1），得到 ( ) n n n n f x ∑ x ∞ = + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − 0 1 1 2 3 1 7 1 ( ) ， ). 2 1 , 2 1 x ∈ (− 例2 求 f (x) = sin3 x 在 6 π x = 的幂级数展开。 解 ) 6 cos3( 4 1 ) 6 ( 6 sin 4 3 sin 3 4 1 sin 4 3 ( ) sin3 π π π ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ f x = x = x − x = + x − x 2

3V331元元sin(xcos(x-cos3(x86'8646利用（2）式与（3）式，即得到3/3(-1)"3(-1)"元2m+_-(2.32-1 -1)(x-")2", xe(-00,+0),f(x)=(Y:68(2n+1)8= (2n)!6求(s)=lnx，(x>0）关于变量二的幂级数展开。例3x+11+tx-1则x：解令t=(00.=2n+1=2n+1x+12.对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。1例4求f(x)=在x=1的幂级数展开。x211之(x-1)"，利用逐项求导，即可得到解由于g(x)=x1+(x-1)n=0Zn(x-1)"-l =E(n+1)(x-1)", xe (0, 2).f(x)=-g(x)=n=ln=0例 5求f(x)=arcsinx在x=0的幂级数展开。解利用(6)式(α=可知当xe(-1,1)时,A1=(1-x2)V1-x?01 23(2n-1)!!2n=1+1-X2+4.28(2n)!!对等式两边从0到x积分，利用幂级数的逐项可积性与dtarcsinx,/1-t2即得到(2n -1)! x2n+!arcsin x= x +xE[-1, 1].(2n)!! 2n+1-其中关于幂级数在区间端点x=土1的收敛性，可用Raabe判别法得到。特别，取x=1，我们得到关于元的一个级数表示：(2n-1)!!1T=1+2202n+1°(2n)！！("的函数，可分别用 Cauchy乘积与“待定系数法"。3.对形如f(x)g(x)，g(x)设f(s)的幂级数展开为a,x"，收敛半径为Ri，g(x)的幂级数展开为b,x"，n=0n=03

) 6 cos3( 4 1 ) 6 cos( 8 3 ) 6 sin( 8 3 3 π π π = x − + x − − x − ， 利用（2）式与（3）式，即得到 ) , ( , ). 6 (2 3 1)( (2 )! ( 1) 8 3 ) 6 ( (2 1)! ( 1) 8 3 3 ( ) 2 1 2 0 0 2 1 ⋅ − − ∈ −∞ +∞ − − − + − = − ∞ = ∞ = + ∑ ∑ x x n x n f x n n n n n n n π π 例3 求 f (x) = ln x, (x > 0) 关于变量 1 1 + − x x 的幂级数展开。 解 令 , 1 1 + − = x x t 则 , (0 1) 1 1 + − ⋅ + ⋅ = + = ∑ ∑ ∞ = + + ∞ = x x x n t n n n n n 2．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。 例 4 求 2 1 ( ) x f x = 在 x = 1 的幂级数展开。 解 由于 ∑ ∞ = = − + − = = 0 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( ) n n x x x g x ，利用逐项求导，即可得到 ( ) '( ) ( 1) ( 1)( 1) , (0, 2). 1 0 1 = − = ∑ ∑ − = + − ∈ ∞ = ∞ = − f x g x n x n x x n n n n 例 5 求 f (x)= arcsin x 在 x = 0 的幂级数展开。 解 利用(6)式 ) 2 1 (α = − ，可知当 x∈(-1,1)时， 2 1 1 − x = 2 1 2 (1 ) − − x = ∑ ∞ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 0 2 2 1 ( ) n n x n = 1 + 2 2 1 x + 4 8 3 x + . + n x n n 2 (2 )!! (2 −1)!! + .， 对等式两边从 0 到 x 积分，利用幂级数的逐项可积性与 ∫ − x t t 0 2 1 d = arcsin x， 即得到 arcsin x = x + ∑ ∞ = + + − 1 2 1 (2 )!! 2 1 (2 1)!! n n n x n n ， x∈[-1, 1]。 其中关于幂级数在区间端点 x = ±1 的收敛性，可用 Raabe 判别法得到。 特别，取 x = 1，我们得到关于π的一个级数表示： 2 π = 1 + ∑ ∞ = + ⋅ − 0 2 1 1 (2 )!! (2 1)!! n n n n 。 3．对形如 f (x)g(x) ， ( ) ( ) g x f x 的函数，可分别用 Cauchy 乘积与“待定系数法”。 设 f (x) 的幂级数展开为∑ ，收敛半径为R ∞ n=0 n n a x 1，g(x) 的幂级数展开为∑ , ∞ n=0 n n b x 3

收敛半径为R2，则f(x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积：()g() -(2a.xX2b.)-Zec.xn=0n=0n=0dEc,x"La,b其中cn的收敛半径R≥min（Ri，R2)。k=0nao当bo≠0时，我们可以通过待定系数法求(的幂级数展开：设g(x)f(x)Zc,xg(x)则n）=Zarn=0-分离x的各次幂的系数，可依次得到ao→Co=bo Co=aoboa, -b,cobo Ci + bi Co= aiCI=Uboa, -b,c -b,cobo C2+ bi Ci+ b2 Co=a2C=Ubo直继续下去，可求得所有的cn例6求e’sinx的幂级数展开（到x)。3x2x4x3xs解e'sinx=( 1+x+...)(x.2!3!4!3!5!11x3x5=x+ x?++,330由于e与sinx的收敛半径都是R=o0，所以上述幂级数展开对一切xE(-o,+)都成立。例7求tanx的幂级数展开（到x）。解由于tanx是奇函数，我们可以令sin x=cx+x+cx+.tanx=cosx于是x2+x3 xs(cix+c3x +csx + ....)(1x2!4!3!5!比较等式两端x,x与x的系数，就可得到21CI= 1,C5=C3 =3'15因此21x+x福tan x= x +315“代入法”4.4

收敛半径为R2，则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积： f (x)g(x) = (∑ )( ) = , ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n b x ∑ ∞ n=0 n n c x 其中cn = ∑ , 的收敛半径 = − n k k n k a b 0 ∑ ∞ n=0 n n c x R ≥ min｛R1，R2｝。 当b0 ≠ 0 时，我们可以通过待定系数法求 ( ) ( ) g x f x 的幂级数展开：设 ( ) ( ) g x f x = ∑ , ∞ n=0 n n c x 则 (∑ ) ( )= , ∞ n=0 n n b x ∑ ∞ n=0 n n c x ∑ ∞ n=0 n n a x 分离 x 的各次幂的系数，可依次得到 b0 c0 = a0 ⇒ c0 = 0 0 b a , b0 c1 + b1 c0 = a1 ⇒ c1 = 0 1 1 0 b a − b c ， b0 c2 + b1 c1 + b2 c0 = a2 ⇒ c2 = 0 2 1 1 2 0 b a − b c − b c ， . 一直继续下去，可求得所有的cn 。 例 6 求e x sin x的幂级数展开( 到x 5 )。 解 e x sin x = ( 2! 3! 4! 1 2 3 4 x x x + x + + + + .)( − + −" 3! 5! 3 5 x x x ) = x + 2 3 5 30 1 3 1 x + x − x + .， 由于e x 与sin x 的收敛半径都是 R = ∞ ，所以上述幂级数展开对一切x∈(-∞, + ∞) 都成立。 例 7 求tan x的幂级数展开( 到x 5 )。 解 由于 tan x 是奇函数，我们可以令 tan x = x x cos sin = c1 x + c3 x 3 + c5 x 5 + .， 于是 (c1 x + c3 x 3 + c5 x 5 + .)( − + −" 2! 4! 1 2 4 x x ) = − + −" 3! 5! 3 5 x x x ， 比较等式两端x, x 3 与x 5 的系数，就可得到 c1 = 1, c3 = 3 1 , c5 = 15 2 , 因此 tan x = x + 3 1 x 3 + 15 2 x 5 + .。 4． “代入法” 4

对于例7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在1Z"=1+u+u+..1-uh=0x2_x4中，以u=+.代入，可得到2!4!x2x41x2x4=1+)+(2+.2!4!2!4cosx5x+=1+x?+ 241然后求sinx与的Cauchy乘积，同样得到上述关于tanx的幂级数展开。cOS x需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x=x。的小邻域中，幂级数展开是成立儿儿的（事实上，tanx的幂级数展开的收敛范围是（-，它的证明需要用到复2.2变函数的知识）。“代入法”经常用于复合函数，例如形如ef()，ln(1+f(x))等函数的求幂级数展开问题。例8求f(x)=esinx在x=0的幂级数展开（到x）x3"(-1)"2n+1解以 u=sinx=+..代入=0 (2n + 1)!61.sin"x1f(x)= esinx ==1+sinx++-sin'x+....=sin'x+-sinx+n!2246n=0即可得到1,2.1f(x)=esin* =1+x+L.，xE(-00,+00)。28注对于求函数f(x)=ecosx在x=0的幂级数展开问题，我们不能采用以cos"xx+-..代入(x)-)的方法，请学生思考为什u=cosx=1-24n!1-0么，并思考应该怎样正确使用“代入法”。nsin×的幂级数展开(到x)，其中函数sinx应理解为例9求Inxxsinxx+0f(x)=xLX=0.解首先，利用sinx的幂级数展开，可以得到x2x4sinx15!xu?,u3x2x4令u=代入In(1+u)=u，即得3!5!235

对于例 7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在 1− u 1 = ∑ = 1 + u + u ∞ n=0 n u 2 + . 中，以 u = − +" 2! 4! 2 4 x x 代入，可得到 cos x 1 = 1 + ( − +" 2! 4! 2 4 x x ) + ( − +" 2! 4! 2 4 x x ) 2 + . = 1 + x 2 + 24 5 x 4 + .， 然后求 sin x 与 cos x 1 的 Cauchy 乘积，同样得到上述关于 tan x 的幂级数展开。 需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目 前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x = 的小邻域中，幂级数展开是成立 的（事实上，tan x的幂级数展开的收敛范围是 (- 0 x 2 π , 2 π )，它的证明需要用到复 变函数的知识）。 “代入法”经常用于复合函数，例如形如e f (x) ，ln(1 + f (x))等函数的求幂级数展 开问题。 例 8 求 在 的幂级数展开( 到x x f x esin ( ) = x = 0 4 ) 解 以 = − +" + − = = + ∞ = ∑(2 1)! 6 ( 1) sin 3 2 1 0 x x x n u x n n n 代入 = = ∑ = + + + + +" ∞ = x x x x n x f x e n n x 2 3 4 0 sin sin 24 1 sin 6 1 sin 2 1 1 sin ! sin ( ) ， 即可得到 , ( , ) 8 1 2 1 ( ) 1 sin 2 4 f x = e = + x + x − x + x ∈ −∞ +∞ x " 。 注 对于求函数 f (x) = ecos x 在 x = 0 的幂级数展开问题，我们不能采用以 = = − 2 + 4 −" 24 1 2 1 u cos x 1 x x 代入 ∑ ∞ = = 0 ! cos ( ) n n n x f x 的方法，请学生思考为什 么，并思考应该怎样正确使用“代入法”。 例 9 求ln x sin x 的幂级数展开( 到x 4 )，其中函数 x sin x 应理解为 f (x) = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 1 0. , 0, sin x x x x ， 解 首先，利用 sin x 的幂级数展开，可以得到 x sin x = − + −" 3! 5! 1 2 4 x x 。 令 u = − + −" 3! 5! 2 4 x x 代入 ln (1 + u) = u - + −" 2 3 2 3 u u ，即得 5

XxxIn sin x1+..3!5!23!5!xx2x4:6180利用例9，我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式Ha-r?sinx=n元2)，xn=lx2两边取对数，再分别将In(1-）展开成幂级数，n元？x2x1xIn sinx =Zin(1-)=-台n元+2n元+。2(n元?+l将上式与本例中的结果相比较，它们的x系数，x系数都对应相等，于是就得到等式=冶n?621=元=int90如果我们在计算时更精细些，也就是将lnsin的幂级数展开计算到x，x，…，x还可以获得文一，一二，，·的精确值。ingn=in6"注意点1．如果f(x）在x。邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在xo的Taylor级数（*）；但反之则不然。事实上，我们举出过在x=x。任意阶可导的函数f(x），它在x的Taylor级数并不收敛于f(x）。但一般来说，对于有解析表达式的初等函数f(x)，只要它在x=x。任意阶可导，则它在x。的Taylor级数就是它在x邻域的幂级数展开。要让学生知道，遇到求函数的幂级数展开问题，不要首先想到用（*）式。2.事实上，上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法，比起直接利用公式（*）来都要方便，而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方法。3．一般来说，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们往往只能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数的收敛半径。但是对于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了，例如例9中的问题。关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后就很容易确定。6

ln x sin x = ( − + −" 3! 5! 2 4 x x ) - 2 1 ( − + −" 3! 5! 2 4 x x ) 2 + . = − − −" 6 180 2 4 x x 。 利用例 9，我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式 x sin x = ∏ ∞ = π − 1 2 2 2 (1 ) n n x , 两边取对数，再分别将 ln (1 ) 2 2 2 π − n x 展开成幂级数， ln x sin x = ∑ ∞ = π − 1 2 2 2 ln(1 ) n n x = - ∑ ∞ = + π + 1 π 4 4 4 2 2 2 ) 2 1 ( n n x n x " 。 将上式与本例中的结果相比较，它们的x 2 系数，x 4 系数都对应相等，于是就得到 等式 ∑ ∞ =1 2 1 n n = 6 2 π , ∑ ∞ =1 4 1 n n = 90 4 π 。 如果我们在计算时更精细些，也就是将ln x sin x 的幂级数展开计算到x 6 ，x 8 ，.， 还可以获得∑ ∞ =1 6 1 n n ，∑ ∞ =1 8 1 n n ，.的精确值。 注意点 1． 如果 f (x) 在 邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在 x 0 x 0 的Taylor 级数（*）；但反之则不然。事实上，我们举出过在 0 x = x 任意阶可导的函 数 ，它在 的Taylor级数并不收敛于 。但一般来说，对于有解析 表达式的初等函数 ，只要它在 f (x) 0 x f (x) f (x) 0 x = x 任意阶可导，则它在 的Taylor 级数就是它在 邻域的幂级数展开。 0 x 0 x 2． 要让学生知道，遇到求函数的幂级数展开问题，不要首先想到用（*）式。 事实上，上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法，比起直接利用公式（*） 来都要方便，而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方 法。 3． 一般来说，利用“待定系数法”与“代入法” 求幂级数展开，我们往往只 能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数 的收敛半径。但是对于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了， 例如例 9 中的问题。关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后 就很容易确定。 6