沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第5章 二次型 5.3 正定二次型

二次型第五章$ 5.3正定二次型正定二次型的概念、正定二次型的判定三、 小结101018

§5.3 正定二次型 一、 正定二次型的概念 二、 正定二次型的判定 第五章 二次型 三、 小结

，正定二次型的概念定义1设实二次型 f(xi,x2,,x,)=xTAx（其中 AT= A）如果对于任意的x=(x,,",x)0，总有f(X1,X2,, xn) =xT Ax > 0则称该二次型为正定二次型反之，如果对任意的x=(,,,x)≠0总有f(Xi,X2,.,x) = xTAx<0则称该二次型为负定二次型.会差001018

一、正定二次型的概念 定义1 设实二次型 （其中 ）, T 1 2 ( , , , ) n f x x x  x Ax T A A T 1 2 ( , , , ) 0 n f x x x   x Ax 则称该二次型为正定二次型. T 1 2 ( , , , ) n 如果对于任意的 x   x x x 0 ，总有 反之，如果对任意的 总有 T 1 2 ( , , , ) n x   x x x 0 T 1 2 ( , , , ) 0 n f x x x  x Ax < 则称该二次型为负定二次型

正定二次型的矩阵称为正定矩阵，负定二次型的矩阵称为负定矩阵例如，三元二次型f(xi,X2,x)= x +2x +x)是正定二次型.因为对于任意 x≠0，总有 f>0001相应地，矩阵020A=001为正定矩阵00108

正定二次型的矩阵称为正定矩阵，负定二 次型的矩阵称为负定矩阵. 2 2 2 1 2 3 1 2 3 f x x x x x x ( , , ) 2   x  0 f  0 例如，三元二次型 是正定二次型.因为对于任意 ，总有 相应地，矩阵 1 0 0 0 2 0 0 0 1            A 为正定矩阵

二、正定二次型的判定定理1可逆线性变换不改变二次型的正定性设实二次型 f(xi,x2,,x)=xTAx证明（其中AT=A）为正定二次型,有可逆线性变换x=Cy使得 f(x,X2,",x,)=x"Ax= T(CTAC)y对于任意的y=(x,,",x,)0，由于C可逆，有x=Cy≠0，因此yT(CTAC)y = xTAx > 0即二次型T(CTAC)y仍为正定二次型00018

使得 T 1 2 ( , , , ) n f x x x  x Ax T A A x Cy = T T T 1 2 ( , , , ) ( ) n f x x x   x Ax y C AC y T 1 2 ( , , , ) n y   x x x 0 ，由于 C 可逆，有 x Cy = 0  T T T y C AC y x Ax ( ) 0   T T y C AC y ( ) 证明 设实二次型 （其中 ）为正定二次型,有可逆线性变换 对于任意的 ，因此 即二次型 仍为正定二次型. 定理1 可逆线性变换不改变二次型的正定性. 二、正定二次型的判定

实二次型定理2f(x,x2,.,xn)= 4x? +x2 +...+ 2,x,为正定二次型的充分必要条件是 , >0(i=1,2,··,n)证明必要性设 f(x,x2,",xn)= x +x2 +...anxnA-为正定二次型，其中 A=diag(,，,n)则对于任意x=(xi,x2,",x,)0，有f(xi,X2,.,x) = xTAx >0取 x, =(0,...,0,1,0,...,0)T(i =1,2,...,n)则xAx, >2 >0(i=1 2,001018

2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x x x x        1 2 ( , , , ) A  diag   n T 1 2 ( , , , ) n x   x x x 0 T 1 2 ( , , , ) 0 n f x x x   x Ax T (0, ,0,1,0, ,0) ( 1, 2, , ) i x  i n T 0( 1, 2, , ) i i i x Ax     i n 证明 必要性 为正定二次型，其中 则对于任意 ，有 取 则 定理2 实二次型 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x x x x        为正定二次型的充分必要条件是 0( 1, 2, , ) i   i n 设

充分性若 ,>0(i=1,2,,n)，则对任意的x=(X,X2,.",x)T ±0至少有一个分量 x≠0，从而f(xi,X2,*.-,xn)=x +x2 +..+a,x, >0即f(Xi,X2",xn）是正定二次型000?

0( 1, 2, , ) i   i n T 1 2 ( , , , ) n x   x x x 0 0 k x  2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) 0 n n n f x x x x x x         1 2 ( , , , ) n f x x x 充分性 ，则对任意的 至少有一个分量 ，从而 即 是正定二次型. 若

定理3n元二次型f=xAx正定的充分必要条件有1.矩阵A的所有特征值均为正数。2.f的正惯性指数为n。3. A~E4.存在可逆矩阵C,使得A=CTC5.A的各阶顺序主子式都大于零。001018

定理3 n 元二次型 f  x Ax T 正定的充分必要条件有 1. 矩阵A的所有特征值均为正数。 T A C C  2. f的正惯性指数为n。 3. A E 4.存在可逆矩阵C,使得 5. A的各阶顺序主子式都大于零

推论n元二次型f=xTAx正定有下述必要条件1.|A >02.f仲中各变量平方项系数（即矩阵A中主对角线上元）全大于零。000?

推论 n元二次型 正定有下述必要条件 T f  x Ax 1. A  0 2. f中各变量平方项系数（即矩阵 A中主对角线 上元）全大于零

判断f(x,x2,x)=x-x+2x-2xx是否正定例1解?二次型所对应的矩阵00-1A=-102D, =1>0,D,所以已知二次型不是正定二次型001018

例1 判断 是否正定 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 f x x x x x x x x ( , , ) 2 2     解 二次型所对应的矩阵 1 1 0 1 1 0 0 0 2               A 1 2 1 1 1 0, 0 1 1        D D 所以已知二次型不是正定二次型

例2二次型f(xi,X2,x)=x2 +4x2 +4x +2txx2 -2xx3 +4x2x3试问t为何值时，该二次型为正定二次型解?二次型所对应的矩阵24A=124001018

1 2 3 f x x x ( , , )  222 x x x tx x x x x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3      4 4 2 2 4 t 例2 二次型 试问 为何值时，该二次型为正定二次型. 解 二次型所对应的矩阵 1 1 4 2 1 2 4 t t              A