沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第3章 向量与线性方程组 3.4 向量组的秩与极大无关组

第三章向量与线性方程组83.4向量组的秩与极大无关组向量组的秩与极大线性无关组矩阵与向量组的秩的关系

§3.4向量组的秩与极大无关组 第三章 向量与线性方程组 向量组的秩与极大线性无关组 矩阵与向量组的秩的关系

向量组的秩与极大线性无关组定义1设有向量组A，若(1）A中有 r个向量α,αz,,α,线性无关(2）A中任意r+1个（如果有r+1个向量的话）向量线性相关则称αi,α2，,α,为向量组A的一个极大线性无关组，简称极大无关组.称r为向量组A的秩，记作R(A)或RA

定义 1 设有向量组A , 若 (1) A中有r 个向量   r , , , 1 2  线性无关； (2) A 中任意 r 1个（如果有 r 1个向量的话） 向量线性相关， 则 称    r , , , 1 2  为向量组 A 的一个极 大线性 无关组, 简称极大无关组.称 r 为向量组 A 的秩,记 作 R( ) A 或 RA . 向量组的秩与极大线性无关组

注00本身线性无关，则A本身就是其1、若向量组一个极大无关组：2、只含零向量的向量组，没有极大无关组，规定其秩为0.3、当R(A)=r时， A中任意 r 个线性无关的向量都是A的一个极大无关组，向量组的极大无关组不唯一

1、 若向量组 A 本身线性无关，则 A 2、只含零向量的向量组，没有极大无关组, 规定其秩为0． 3、当R r ( ) A  时, A中任意 r 个线性无关的向 量都是 A 的一个极大无关组，向量组的极大 无关组不唯一. 本身就是其 注 一个极大无关组；

1如，向量组αi2的秩为2,其中α,α,和α,α,都是它的极大无关组又 αi,α2,α线性相关,向量组的极大无关组不是唯一的若R(A)<n相关若R(A)=n←无关

如, 向量组 1 1 0         , 2 0 1         , 3 1 1         , 4 2 2         的秩为2， 其中 1 2  , 和 1 3  , 都是它的极大无关组. 又 1 2 3    , , 线性相关， 向量组的极大无关组不是唯一的. 若R( ) A n   相关 若R( ) A n   无关

224-2-1-1中,例如：在向量组α，=,α2,α3 =354A(-1)首先α1,α2线性无关，又α,α2,α线性相关，所以 αi,α2 组成的部分组是极大无关组。还可以验证 α2,α也是一个极大无关组。向量组的极大无关组不是唯一的若R(A)<n相关若R(A)=n←无关

例如：在向量组 1 2 3 中， 2 4 2 1 2 1 , , 3 5 4 1 4 1                                               1 2 首先  , 线性无关，又 1 2 3    , , 线性相关， 所以 1 2  , 组成的部分组是极大无关组。 还可以验证 2 3  , 也是一个极大无关组。 向量组的极大无关组不是唯一的. 若R( ) A n   相关 若R( ) A n   无关

设向量组A，若A（极大无关组的等价定义）中有个向量α,α,…α,满足：(1)向量组αi,α2,,α,线性无关;(2)向量组A中任意一个向量都可以由向量组α,α2,α,线性表示则称向量组αi,αz,,α,是向量组 A的一个极大线性无关组

（极大无关组的等价定义） 设向量组 A ,若 A 中有r 个向量   r , , , 1 2  满足: (1)向量组   r , , , 1 2  线性无关； (2)向量组 A 中任意一个向量都可以由向量组    r , , , 1 2  线性表示, 则称向量组    r , , , 1 2  是向量组 A的一个 极大线性无关组

向量组A与它的极大无关组α1,α2，,α,可以互相线性表示，由此可得定理1向量组与其任何一个极大无关组等价推论向量组的任意两个极大无关组等价推论：同一向量组的两个极大无关组间是等价的

向量组 A 与它的极大无关组    r , , , 1 2  可以互相线性 表示， 由此可得 定理 1 向量组与其任何一个极大无关组等价. 推论 向量组的任意两个极大无关组等价. 推论：同一向量组的两个极大无关组间是等价的

极大线性无关组的求法例1 已知 α=[1, 0, 2,1]”,α,=[1, 2,0, ],α,=[2,1, 3,2]α=[2,5，-1,4。求α,αz,α,α的极大线性无关组。2211225021[ααα,α]品R,-2R0-2-5-12OR4-R20002411221Rs +R22501ααzαα3<4R342000得出 αi,α2,α3,α4线性相关。0000

  1 1, 0, 2, 1 , T     2 1, 2, 0, 1 , T   3 2, 1, 3, 2 ,  T     4 2, 5, 1, 4 . T    例1 已知 1 2 3 4 求     , , , 的极大线性无关组。     1 2 3 4   1 1 2 2 0 2 1 5 2 0 3 1 1 1 2 4              3 1 4 1 R R2 R R   1 1 2 2 0 2 1 5 0 2 1 5 0 0 0 2                3 2 34 R R R  1 1 2 2 0 2 1 5 0 0 0 2 0 0 0 0             1 2 3 4 ( ) 3 4        R 1 2 3 4 得出     , , , 线性相关。 极大线性无关组的求法

5021ααα,α2,α,α4线性相关。20000000R([α α2 α;])=2<3得出α,αz,α，线性相关。得出α1,α2,α4 线性无关。R[α α α)=3R([ααα])=3得出αi,α3,α4线性无关。故α,α2,α4是α,α2,α,α4的一个极大线性无关组故αj,αg,α4也是 αi,α2,α3,α的一个极大线性无关组,结论：「向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩

    1 2 3 4   1 1 2 2 0 2 1 5 0 0 0 2 0 0 0 0             R( ) 2 3    1 2 3    1 2 3 得出    , , 线性相关。 R( ) 3    1 2 4   1 2 4 得出    , , 线性无关。 R( ) 3    1 3 4   1 3 4 得出    , , 线性无关。 1 2 3 4     , , , 线性相关。 1 2 4    , , 1 2 3 4 故 是     , , , 的一个极大线性无关组. 1 3 4    , , 1 2 3 4 故 也是     , , , 的一个极大线性无关组. 结论：向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。 向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的 秩

22102510002000故α,α2,α4是α,α2,α,α的一个极大线性无关组故α,α,α也是αi,α2,α,α的一个极大线性无关组行阶梯形矩阵中非零行的首非零元所在列对应的向量组成的向量组为原向量组的一个极大无关组

行阶梯形矩阵中非零行的首非零元所在列对应的向 量组成的向量组为原向量组的一个极大无关组。 1 1 2 2 0 2 1 5 0 0 0 2 0 0 0 0             1 2 4    , , 1 2 3 4 故 是     , , , 的一个极大线性无关组. 1 3 4    , , 1 2 3 4 故 也是     , , , 的一个极大线性无关组