沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第3章 向量与线性方程组 3.6 线性方程组解的结构

8 3.6 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构

§3.6 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构

1.有解的条件(2)=0A一。齐次线性方程组x2.解的性质nxlmxlmxn3.基础解系4.解的结构复习：1.齐次线性方程组（2）有解的条件定理1：齐次线性方程组A1mxnXnxl=0mx1有非零解台r(A)<n定理2：齐次线性方程组AmxnXnxl=0mx只有零解nx1mxnY台r(A)= n推论：齐次线性方程组 Ann~mx1=0mx1只有零解介即A≠0，即系数矩阵A可逆

一. 齐次线性方程组 1 1 0 (2) A x m n n m     复习：1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1：齐次线性方程组 A x m n n m    1 1  0 有非零解   r A n   定理2：齐次线性方程组 A x m n n m    1 1  0 只有零解   r A n   推论：齐次线性方程组 A x n n n n    1 1  0 只有零解  即 A  0, 即系数矩阵A可逆。 1. 有解的条件 2. 解的性质 3. 基础解系 4. 解的结构

线性方程组解的性质(1)0A齐次线性方程组.x.mx1nxlmxn1.齐次线性方程组解的性质(1)若X = 51,X = 52均为（1）的解则x= Si + 52也是（1）的解（2）若×=为（1）的解，k为实数，则x=k 也是（1）的解

一、线性方程组解的性质 1．齐次线性方程组解的性质 （1）若 均为（1）的解则 也是（1）的解 （2）若 为（1）的解， k 为实数，则 也是（1）的解． 1 2 x   , x    1  2 x x   x  k 齐次线性方程组 1 1 0 (1) A x m n n m    

性质3：若1,5，是（2）的解，则x=k,,+k,,仍然是（2）的解。（可推广至有限多个解）证因5i,52 AX =O 的解，所以 A5i =O, A5 =O,从而A(k≤,+k2≤2) = A(k) + A(k22)=kAi +k,A2=k,O+k,O=O故 ki+k2 也是 AX=O 的解

（可推广至有限多个解） 性质3：若   1 2 , 是（2）的解， 则 x k k   1 1 2 2   仍然是（2）的解。 1 2  , AX O 1 2 A O A O     , , 1 1 2 2 1 1 2 2 A k k A k A k ( ) ( ) ( )        1 1 2 2 1 2      k A k A k O k O O   . 1 1 2 2 k k    AX O 的解，所以 从而 故 也是 的解。 证 因

2.基础解系设1,52,,5n-r 是 AX = 0 的解，满足(1) SiS2，· -,n-r 线性无关;(2) AX =0 的任一解都可以由 5i,52,,5n-r线性表示。则称5i,52,…,5"-， 是 AX = 0 的一个基础解系。显然，AX=O 的一个基础解系实际上是 AX=O所有解向量的一个 极大线性无关组

2. 基础解系 设 1 2 , , , n r     是 AX  0 的解，满足 （1 , , , ）   1 2 n r  线性无关； （2 0 ）AX  的任一解都可以由 1 2 , , , n r     线性表示。 则称 1 2 , , , n r     是 AX  0 的一个基础解系。 AX O 的一个基础解系实际上是 AX O 所有解向量的一个 显然， 极大线性无关组

3.求基础解系的方法设 A=[α,,满足AX=O 且秩(A)=r，由方程组求解的知识可知AX=O的解可以表达为：5251Gn-分别记为X, = -Ci,r+iti -...- Cintn-r?X2 = -C2,r+iti -...- C2ntn-r?其中t,,tn-,为任意常数。x =-Cr,r+ifiCrntn-X-C1,r+1-C1,r+2CanXr+1 =ti,-C2,r+1C2n-C2,r+2·..:=t.Xx.-Crn-Cr,r+1-Cr,r+2+t2=t+：+tn-r100Xr+l00Xr+2将此式改写为向量形式00Xn

, ij m n A a       AX O 秩( ) , A r  AX O 1 1, 1 1 1 2 2, 1 1 2 , 1 1 1 1 , , , , , r n n r r n n r r r r rn n r r n n r x c t c t x c t c t x c t c t x t x t                                  1 2 , , , n r t t t  设 满足 且 由方程组求解的知识可知 的解可以表达为： 其中 为任意常数。 将此式改写为向量形式 1 1, 1 1, 2 1 2 2, 1 2, 2 2 , 1 , 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r n r r n r r r r r rn n r r r n x c c c x c c c x c c c t t t x x x                                                                        .     1  2  n r   分 别 记 为 3. 求基础解系的方法

Si,52,,5n-r均为AX=O 的解向量，则齐次线性方程组 AX=O的通解可表为 =t5i +t252 ++tn-r5n-0-1AX=O的任意一个解都可以经51,52,"",5n-r线性表示,这组解向量就是AX=O的一个基础解系秩([ 2 ... n-,D=n-r所以S1,52,",5n-r 线性无关,因此它就是齐次线性方程组 AX=O的一个基础解系= tSi +t2S2 +..·+tn-rSn-r 称为 AX=O 的通解。的基础解系可以不唯一，注意：AX=O但每个基础解系所含向量个数是唯一确定的，均为n-r个

1 2 , , ,    n r  均为 AX O 的解向量，则齐次线性方程组 AX O 1 1 2 2 , n r n r     t t t 的通解可表为       ( )    1 2 n r  n r 秩    这组解向量就是 AX O 的一个基础解系 因此它就是齐次线性方程组 AX O 的一个基础解系 1 1 2 2 n r n r     t t t       称为 AX O 的通解。 AX O 1 2 , , , 的任意一个解都可以经    n r  线性表示， 但每个基础解系所含向量个数是唯一确定的，均为n-r个 AX O 的基础解系可以不唯一， 1 2 , , , 所以    n r  线性无关， 注意：

定理4.4.1设 A是 m×n矩阵，如果 r(A)=r<n,则齐次线性方程组AX O 的基础解系存在,且每个基础解系中含有 n一r个解向量。注：(1)基础解系不是唯一的。(2)当 r(A)=n 时，解空间是{0)当 r(A)= r< n 时，求得基础解系是Si,2,,n-r则x=kS,+k,5,+..+kn-rn-r是AX=0称为通解5.解的结构AX = 0 的通解是 x = k,5 + k,5, +... + kn-r5n-r

定理4.4.1：设 A 是 m n 矩阵，如果 r A r n ( ) ,   则齐次线性方程组 AX  0 的基础解系存在， 且每个基础解系中含有 n r  个解向量。 5. 解的结构 AX  0 的通解是 1 1 2 2 n r n r x k k k          注： (1) 基础解系不是唯一的。 (2) 当 r A n ( )  时，解空间是 {0}. 当 r A r n ( )   时，求得基础解系是 1 2 , , , ,    n r  则 x k k k     1 1 2 2    n r n r   是 AX  0 称为通解

X +x3 - x4 -3x, = 0,X +2x2 - X3 - Xs = 0,例 解方程组1通解用基础解系表示。4x +6x2 -2x -4x4 +3x 5= 0,2xj -2x2 +4x -7x4 +4x, = 0001-61x =-t, +6t2:5500-11初等行变换X2A2 22通解为0001-3Xg = ti,000003t2'X4 =行最简形矩阵对应的方程组为Xs =t2,-6x, = 0x+X3令 Xg =t,X, =t,2X=0X2- X+5其中 t,t 为任意常数。3x, = 0X4-

例 解方程组 1 3 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 0, 2 0, 4 6 2 4 3 0, 2 2 4 7 4 0, x x x x x x x x x x x x x x x x x x                          通解用基础解系表示。 1 0 1 0 6 5 0 1 1 0 2 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 A                 初等行变换 － － ， － 1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 5 2 6 , 5 , 2 , 3 , , x t t x t t x t x t x t                  1 2 t t, 通解为 其中 为任意常数。 行最简形矩阵对应的方程组为 1 3 5 2 3 5 4 5 6 0 2 0 5 3 0 x x x x x x x x                令 3 1 5 2 x t x t  

x =-t +6t26-1xi55tX2 =1X2222写成向量形式为1X3=t,+t2Xg =ti,003t2,x4X4 =30L xs,t.Xs =122故一个基础解系为55i=[-1, 1, 1, 0, 0]”,5,=|6,2≤=t5 +t252,通解为其中 t,t2为任意常数

1 2 3 1 2 4 5 6 1 5 1 2 1 , 0 0 3 0 1 x x x t t x x                                                       1 2   5 1, 1, 1, 0, 0 , 6, , 0, 3, 1 . 2 T T             1 1 2 2 通解为      t t , 写成向量形式为 故一个基础解系为 1 2 其中 t t, 为任意常数。 1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 5 2 6 , 5 , 2 , 3 , , x t t x t t x t x t x t                 