中国矿业大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何

S8.1向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影.1

§8.1 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 •-1-

一、向量的概念向（矢）量：既有大小又有方向的量在数学上，用有向线段来表示向量，它的长度和方向分别表示向量的大小和方向。B如图：以A为起点，B为终点的有向线段所2表示的向量可记为 AB或a.自由向量：与起点无关的向量

向(矢)量：既有大小又有方向的量. 一、向量的概念 在数学上，用有向线段来表示向量，它的长度和方向 分别表示向量的大小和方向。 •-2- AB a 或 .   A 如图： B 以 为起点， 为终点的有向线段所 A B 表示的向量可记为 自由向量： 与起点无关的向量

相等向量：大小相等且方向相同的向量向量的模：向量的大小。向量AB,a的模分别记为AB和a单位向量：模等于1的向量.零向量：模等于0的向量．记作0零向量的方向任意）

向量的模：向量的大小. •-3- 模等于1的向量. 零向量：模等于0的向量. 记作 0.  单位向量： 相等向量：大小相等且方向相同的向量. (零向量的方向任意) 向量 ， 的模分别记为 和 AB a AB a .    

向量的夹角：设a0,6+0称图中的是a和b的夹角，记作C(a.b) 或 (b,a)规定：0≤β≤元.若β=0（或元），称a与b平行（共线），记作a//b若=，称与垂直，记作注：零向量与任何向量都平行：与任何向量都垂直。设有k（k≥3）个向量，若把它们的起点放在同一点时，k个终点和公共起点在一个平面上，称飞个向量共面

向量的夹角： 0 0    设 ，. a b   注：零向量与任何向量都平行；与任何向量都垂直. 规定： 0 .     •-4-  (,) a b   (,) b a  或 

二、向量的线性运算1.向量的加减法加法：+=满足：平行四边形法则a+ba+b16或aa特殊地，若a//b,(1)当a与b同向，则[a+b=lal+|bl(2)当a与b反向，则|a+=al-l注：向量的加法满足交换律和结合律-5-

1.向量的加减法 特殊地，若 // ， a b  或 二、向量的线性运算 •-5- 注：向量的加法满足交换律和结合律

负向量：与大小相等但方向相反的向量，记作一aa+(-a)= 0a-a减法：a-b=a+(-b)166a-ba-b或aa注：①a+≥a+②a-≤a+-6-

或 • - 6 -

2.向量与数的乘法向量a与实数入的乘积是一个向量，记作a，且(1)a>o，aa与a同向，[aa=aal;(2)a<0，a与a反向，[aal=lal(3)a=0,a=0运算规律：(1)结合律：a(ua)=μ(aa)=(au)a；(2)分配律：(a+u)a=aa+uaa(a+b)=aa+ab向量的线性运算：向量的加法+向量与数的乘法-7-

2.向量与数的乘法 运算规律： 向量的线性运算：向量的加法 + 向量与数的乘法. •-7-

例1设M为平行四边形ABCD对角线的交点，且AB=a,AD=b,试用a与b表示MA，MB，MC，MDDC解：M6a+b=AC=2MC=-2MAABb-a=BD=2MD=-2MBa:MA=-(a+b)MB=-(b-a)MC=(a+b)MD=(6-a).-8-

解: AC  2 MC  2 MA BD  2 MD  2MB a  b  b  a  ( ) 21  MA   a  b ( ) 21 MB   b  a ( ) 21 MC  a  b ( ) 21 MD  b  a •-8- M b  a

练习试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形R证：AM=MCbMBBM= MD:.AD = AM + MD = MC + BM -BCAD与BC平行且相等，结论得证。.9

证 AM  MC BM  MD AD  AM  MD  MC  BM BC AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.   A B D C M a  b  . 练习 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形 必是平行四边形 •-9-

设。表示与非零向量a同方向的单位向量由向量与数的乘积的规定可知：aa= [ala=a=a注：一个非零向量除以它的模将得到一个与其同方向的单位向量，这也是由已知向量寻找与其平行的单位向量的常用方法.-10-

由向量与数的乘积的规定可知： 注：一个非零向量除以它的模将得到一个与其同方向 的单位向量，这也是由已知向量寻找与其平行的单位 向量的常用方法. • -10 -