复旦大学：《数学分析》精品课程授课教案（讲义）6 用多项式逼近连续函数

教案用多项式逼近连续函数复旦大学陈纪修金路教学内容介绍前苏联数学家Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一种证明。指导思想用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都比较艰深，学生难以理解。我们发现了前苏联数学家Korovkin的一种证明，思想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理解一致收敛的概念。教学安排先给出多项式一致逼近连续函数的定义：定义10.5.1设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，如果存在多项式序列(Pn(x))在[a,b]上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近。应用分析语言，“f(x)在[a,b]上可以用多项式一致逼近”可等价表述为：对任意给定的e>0，存在多项式P(x)，使得I P(x) - f(x) / 0，存在多项式P(x)，使I P(x) - f(x) I<e对一切xE[a,b]成立。证不失一般性，我们设[a,b]为[0,1]。设X是[0,1]上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，现定义映射Bn:X→Yf(t) Bn(F,x)= Z(≤)c, x*(1-x)"-k,k=0n这里B（f，x）表示fEX在映射Bn作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称为Bernstein多项式。关于映射Bn，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式：(1)Bn是线性映射，即对于任意f,gEX及a,βER，成立Bn(af+βg,x)=a Bn(f,x)+β B,(g,x);(2)Bn具有单调性，即对于任意f,gEX，若f(t)≥g(t)（tE[a,b]）成立

教案 用多项式逼近连续函数 复 旦 大 学 陈纪修 金路 教学内容 介绍前苏联数学家 Korovkin 关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass 第 一逼近定理）的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都 比较艰深，学生难以理解。我们发现了前苏联数学家 Korovkin 的一种证明，思 想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理 解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义： 定义 10.5.1 设函数f (x)在闭区间 [a, b] 上有定义，如果存在多项式序列 ｛Pn (x)｝在[a, b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致 逼近。 应用分析语言，“f (x)在 [a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为： 对任意给定的ε＞0，存在多项式 P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切 x∈[a, b] 成立。 这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家 Korovkin 在 1953 年给出的 证明。 定理 10.5.1(Weierstrass 第一逼近定理) 设 f (x) 是闭区间 [a, b] 上的连续 函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式 P(x)，使 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切 x∈[a, b] 成立。 证 不失一般性，我们设 [a, b] 为 [0, 1] 。 设 X 是 [0, 1] 上连续函数全体构成的集合，Y 是多项式全体构成的集合，现 定义映射 Bn : X → Y f (t) 6 Bn (f , x) = ∑= − − n k k k n k n x x n k f 0 ( )C (1 ) ， 这里Bn (f , x) 表示f ∈X在映射Bn 作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称 为Bernstein多项式。 关于映射Bn，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式： (1) Bn 是线性映射，即对于任意f , g ∈X及α,β∈R，成立 Bn (αf +βg, x) = αBn (f , x) +βBn (g, x)； (2) Bn 具有单调性，即对于任意f , g ∈X，若f (t)≥g(t) （t∈[a, b]） 成立

则Bn(f,x) ≥ Bn(g, x)对一切xE[a,b]成立;2c,*(1-x)~-k =[x+(1- x)" = 1;(3) Bn(1, x)=k=0之c+ *(1-x)*=+2c+(1-x)-Bn(t, x)=k=onk=l=x[x+(1- x)]" =x;k2c(1-x)-Ch x(1-x)n-k=Bn(. x) =12onklnk-lcx(-x)"* +>_ck-1 x*(1- x)"-n=2k=nn-1c1 x-(1-x)"-kEch=2 xk-2(1-x)"-k、+ =2nni=x?+*-x?n-1,2+xnnn综合上述三式，考虑函数（t－s在B，映射下的像，注意s在这里被视为常数，我们得到Bn(t - s), x)= Bn(f,x) - 2sBn(t, x)+s'Bn(1, x)2sr+= x-x?=x2+x-x2+(x - s).nn现在我们来证明定理。由于函数f在[0,1]连续，所以必定有界，即存在M>0,对于一切1E[0,1]，成立If() / ≤M:而根据Cantor定理，f在[0.11一致连续，于是对任意给定的：>0，存在8>0，对一切t,s E[0,1],当l-s|<8时，成立1f() - f(s) 1 <=2当1t-s1≥8时，成立150) - () [≤2M ≤(- 。82也就是说，对一切t,sE[0,1]，成立_8_2M,≤-()+。282282考虑上式的左端，中间，右端三式（关于的连续函数）在映射B，作用下的像(关于x的多项式)，注意f(s)在这里被视为常数，即B,(f(s),x)=f(s)，并根据上面性质(1)，(2)与(3)，得到对一切x,SE[0,1]，成立 +(x - s)] ≤B,(C,t) - f(s) ≤+2[-_8_2M,x-x2+(x - s)],282832nn-1，即得令s=x，且注意x(1-x)≤42

则 Bn (f , x) ≥ Bn (g, x) 对一切 x∈[a, b]成立； (3) Bn (1, x) = ∑ = [x + (1- x)] = − − n k k k n k n x x 0 C (1 ) n = 1； Bn (t, x) = ∑= − − n k k k n k n x x n k 0 C (1 ) = x∑= − − − − − n k k k n k n x x 1 1 1 1 C (1 ) = x [x + (1- x)] n = x； Bn (t 2 , x) = ∑= − − n k k k n k n x x n k 0 2 2 C (1 ) = ∑= − − − − n k k k n k n x x n k 1 1 1 C (1 ) = ∑= − − − − − n k k k n k n x x n k 2 1 1 C (1 ) 1 + ∑= − − − − n k k k n k n x x 1 n 1 1 C (1 ) 1 = ∑= − − − − − − n k k k n k n x x x n n 2 2 2 2 2 C (1 ) 1 + ∑= − − − − − n k k k n k n x x n x 1 1 1 1 C (1 ) = 1 2 x n n − + n x = + 2 x n x x 2 − 。 综合上述三式，考虑函数 (t - s) 2 在Bn 映射下的像，注意s在这里被视为常 数，我们得到 Bn ((t - s) 2 , x) = Bn (t 2 , x) - 2sBn (t, x) + s 2 Bn (1, x) = x 2 + n x x 2 − - 2 sx + s 2 = n x x 2 − + (x - s) 2 。 现在我们来证明定理。 由于函数 f 在[0, 1]连续，所以必定有界，即存在 M＞0，对于一切 t ∈[0, 1] ， 成立 ｜f (t)｜≤M； 而根据 Cantor 定理，f 在[0, 1]一致连续，于是对任意给定的ε＞0，存在δ＞0， 对一切 t, s ∈[0, 1]， 当｜t - s｜＜δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜＜ 2 ε ; 当｜t - s｜≥δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜≤2M ≤ 2 2 δ M (t - s) 2 。 也就是说，对一切 t, s ∈[0, 1], 成立 - 2 ε - 2 2 δ M (t - s) 2 ≤ f (t) - f (s) ≤ 2 ε + 2 2 δ M (t - s) 2 。 考虑上式的左端，中间，右端三式(关于t的连续函数)在映射Bn 作用下的像 (关于x的多项式)，注意f (s)在这里被视为常数，即Bn (f (s), x) = f (s)，并根据上面 性质(1)，(2)与(3)，得到对一切x, s ∈[0, 1]，成立 - 2 ε - 2 2 δ M [ n x x 2 − + (x - s) 2 ] ≤Bn (f , x) - f (s) ≤ 2 ε + 2 2 δ M [ n x x 2 − + (x - s) 2 ]， 令 s = x，且注意 x(1 - x)≤ 4 1 , 即得

2)c (1-x)-() ≤号+M22n82福]，当n>N时，取N=[0c(-x)- (<对一切xE[0,1]成立。证毕定理10.5.1还可以表述为：设f在[a，b]连续，则它的Bernstein多项式序列(Bn(f,x)】在[a,b]上一致收敛于f。注意点（1）学生容易误认为：只要将f(x)在[a,b】上展开成幂级数f(x)= Ea,(x-xo)",xE[a,b] ,n=0然后令其部分和函数（多项式）Sn(x) = Za(x-xo)*,k=0则/(x)在[a,b]上就可以由多项式序列(S(x)）一致逼近了。事实上，对任意正整数n，n次多项式Sn(x)只能是在n-1次多项式Sn-1(x)的基础上增加一项an(x-xo)"，而不能更改Sn-1(x)的任何一项。但是这么做需要函数具有很好的分析性质，因为一个函数能展开成幂级数的必要条件之一是它任意次可导，而对仅要求“一个函数可以用多项式一致逼近”来说，这个条件实在是过分强了。究其原因，幂级数的部分和函数序列只是多项式序列的一种特殊情况。如果不是用幂级数，而是用一般的多项式序列来逼近，则对函数的要求就可以弱得多。事实上，Weierstrass首先证明了：闭区间[a，b]上任意连续函数f(x)都可以用多项式一致逼近。（2）定理证明有许多方法，例如还有Bernstein给出的证明等。可以介绍同学自已去阅读相关的资料，对多项式逼近连续函数的不同证明进行比较，扩大知识面，提高学习能力

∑= − ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n k k k n k n x x f x n k f 0 C (1 ) ( ) ≤ 2 ε + 2 2nδ M 。 取 N = [ δ ε 2 M ]，当 n＞N 时, ∑= − ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n k k k n k n x x f x n k f 0 C (1 ) ( ) ＜ε 对一切 x∈[0, 1]成立。 证毕 定理 10.5.1 还可以表述为： 设f 在 [a, b] 连续，则它的Bernstein多项式序 列｛Bn (f , x)｝在 [a, b] 上一致收敛于f 。 注意点 （1）学生容易误认为：只要将 f (x)在 [a, b] 上展开成幂级数 f (x) = ∑ , x∈[a, b] ， ∞ = − 0 0 ( ) n n n a x x 然后令其部分和函数（多项式） Sn (x) = ∑ ， = − n k k k a x x 0 0 ( ) 则f (x)在 [a, b] 上就可以由多项式序列｛Sn (x)｝一致逼近了。 事实上，对任意正整数n，n次多项式Sn (x)只能是在n-1 次多项式Sn -1(x)的基 础上增加一项an (x - x0) n ，而不能更改Sn -1(x)的任何一项。但是这么做需要函数 具有很好的分析性质，因为一个函数能展开成幂级数的必要条件之一是它任意次 可导，而对仅要求“一个函数可以用多项式一致逼近”来说，这个条件实在是过 分强了。究其原因，幂级数的部分和函数序列只是多项式序列的一种特殊情况。 如果不是用幂级数，而是用一般的多项式序列来逼近，则对函数的要求就可以弱 得多。事实上，Weierstrass 首先证明了：闭区间 [a, b]上任意连续函数 f (x)都可 以用多项式一致逼近。 （2）定理证明有许多方法，例如还有 Bernstein 给出的证明等。可以介绍同学自 己去阅读相关的资料，对多项式逼近连续函数的不同证明进行比较，扩大知识面， 提高学习能力