复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题七（题目）

习题7.11.用定义计算下列定积分：ax + b)dx;a*dx (a>0)12)2．证明，若对[a,b]的任意划分和任意5,[x;-1,x,]，极限limZF(5,)Ax,都存在，则f(x)必是[a,b]上的有界函数。3证明Darboux定理的后半部分：对任意有界函数f(x)，恒有limS(P) = 1 。2→4.证明定理7.1.3。5.讨论下列函数在[0,1]的可积性：-1，x为有理数，[-[H], x+ 0,(2) f(x) =(1) f(x)=1.0,x为无理数；x=0;[0,x为有理数,sgn(sin=), x#0,(3)f(x) =(4) f(x)=(o,x= 0.[x，x为无理数；6.设(x)在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足/f(x)m>0（m为常数)，证明f(x)[a,b]上也可积。7.设有界函数f(x)在[a,b]上的不连续点为(x，且limx,存在，证明f(x)在[a,b]上可积。8.设f(x)是区间[a,b]上的有界函数。证明f(x)在[a,b]上可积的充分必要条件是对任意给定的ε>0与>0，存在划分P，使得振幅の,≥的那些小区间[x-1,x,]的长度之和Ar<α（即振幅不能任意小的那些小区间的长度之和可以任意小）。0,269.设f(x)在[a,b]上可积，A≤f(x)≤B,g(u)在[A,B]上连续，证明复合函数g(f(x))在[a.b]上可积。习是题7.21.设f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上定义，且在[a,b]中除了有限个点之外，都有f(x)=g(x)，证明g(x)在[a,b]上也可积，并且有[" f(x)dx = I' g(x)dx 。2.设f(x)和g(x)在[a,b]上都可积，请举例说明一般有' f(x)g(x)dx * (T" f(x)dx) (' g(x)dx)3．证明：对任意实数a,b,c，只要f(x)dx，1f(x)dx和"f(x)dx都存在，就成立J f(x)dx = J. f(x)dx +J' f(x)dx 。4．判断下列积分的大小：(1) Jaxdx 和 Jax2dx:(2)xdx和x2dx;(4) J, sin xdx 和 J, xdx 。(3)[()dx和 ,2*dx;1

习 题 7.1 ⒈ 用定义计算下列定积分： ⑴ ∫ ( ) ax + b dx 0 1 ; ⑵ a dx x 0 1 ∫ ( a > 0 ). ⒉ 证明，若对[ , a b]的任意划分和任意ξ i ∈ [ , x x i−1 i] ，极限 都存在，则 必是[ , 上的有界函数。 ∑= → ∆ n i i i f x 1 0 lim (ξ ) λ f (x) a b] ⒊ 证明 Darboux 定理的后半部分：对任意有界函数 f x( )，恒有 lim ( ) λ→ = 0 S P l 。 ⒋ 证明定理 7.1.3。 ⒌ 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性： ⑴ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = − ≠ = 0, 0; [ ], 0, 1 1 x x x x ⑵ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧− = 1, ; 1, , 为无理数 为有理数 x x ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = , ; 0, , 为无理数 为有理数 x x x ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0. sgn(sin ), 0, x x x π 6. 设 f (x)在[ , a b]上可积，且在[ , a b]上满足| f (x) |≥ m > 0（ m 为常数），证明 ( ) 1 f x 在 [ , a b]上也可积。 7． 设有界函数 在[ , 上的不连续点为{ } ，且lim 存在，证明 在[ , 上可积。 f (x) a b] xn n= ∞ 1 n n x →∞ f x( ) a b] 8． 设 是区间 上的有界函数。证明 在 上可积的充分必要条件是对任 意给定的 f (x) [a,b] f (x) [a,b] ε > 0与σ > 0 ，存在划分 P ，使得振幅ω ≥ ε i 的那些小区间 的长 度之和 （即振幅不能任意小的那些小区间的长度之和可以任意小）。 [ , ] i 1 i x x − ∑≥ ∆ < ω ε σ i i x 9. 设 f (x)在[ , a b]上可积，A f ≤ ( ) x ≤ B , 在[ , 上连续，证明复合函数 在[ , 上可积。 g(u) A B] g f ( (x)) a b] 习 题 7.2 1． 设 在[ , 上可积， 在[ , 上定义，且在[ , 中除了有限个点之外，都有 ，证明 在[ , 上也可积，并且有 f x( ) a b] g x( ) a b] a b] f x( ) = g(x) g x( ) a b] f x dx g x dx a b a b ( ) ( ) ∫ = ∫ 。 2．设 f x( )和 g x( )在[ , a b]上都可积，请举例说明一般有 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≠ ∫ ∫ ∫ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx 。 3． 证明：对任意实数 a,b, c ，只要 a f x dx ， 和 都存在，就成立 b ( ) ∫ f x dx a c ( ) ∫ f x dx c b ( ) ∫ f x dx f x dx f x dx a b a c c b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 。 4．判断下列积分的大小： ⑴ 0 xdx 和 ； 1 ∫ x dx 2 0 1 ∫ ⑵ 1 xdx 和 ； 2 ∫ x dx 2 1 2 ∫ ⑶ ( ) 1 2 2 1 x dx − − ∫ 和 0 2 ； 1 x ∫ dx ⑷ sin xdx 0 2 π ∫ 和 xdx 0 2 π ∫ 。 1

5.设f(x)在[a,b]上连续，f(x)≥0但不恒为0，证明["f(x)dx > 0 。6.设f(x)在[a,b]上连续，且"f2(x)dx=0，证明f(x)在[a,b]上恒为0。7.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且满足22 f(x)dx = f(b)。b-a证明：存在e(a,b)，使得f()=0。8.设p(t)在[0,a)上连续，f(x)在(-0,+o)上二阶可导，且f"(x)≥0。证明(0()dr )≤ f(0(0)dt 。9.设f(x)在[0,1]上连续，且单调减少，证明对任意αe[0,]，成立[ f(x)dx ≥α[, f(x)dx 。10.（Young不等式）设y=f(x)是[0,co）上严格单调增加的连续函数，且f(O)=0，记它的反函数为x=f-(y)。证明I" f(x)dx+ f" f-1(y)dy ≥ ab(a>0.b>0)。11.证明定积分的连续性：设函数f(x)和f(x)=(x+h)在[a,b]上可积，则有lim J"1f,(x)- f(x)ldx = 0 。12.设f(x)和g(x)在[a,b]上都可积，证明不等式（1）（Schwarz不等式）[" f(x)g(x)dx≤ f' f2(x)dx " g'(x)dx :(2) (Minkowski 不等式) ("L()+ g(x)P ax) ≤([" 2(x)ax + ("g*(x)dax)V13.设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，且f(x)≥0，g(x)>0，证明上lim (["Lf(x)" g(x)dx = max f(x) 。asxsb习题7.31.设函数f(x)连续，求下列函数F(x)的导数：f()dt(1) F(x)=b f(t)dt ;(2) F(x)=in'tdt(3)F(xdt1+t22.求下列极限：12Xcost2dtlim(2)(1)lim2dwx→>0xdu(arc tan v)?dy(3)(4)limx→+0V1+x?2udu2

5．设 f x( )在[ , a b]上连续， f x( ) ≥ 0 但不恒为 0，证明 f x dx a b ( ) ∫ > 0 。 6．设 f x( )在[ , a b]上连续，且 a f x dx ，证明 在[ , 上恒为 0。 b 2 ∫ ( ) = 0 f x( ) a b] 7．设函数 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且满足 ( ) ( ) 2 2 f x dx f b b a a b a = − ∫ + 。 证明：存在ξ ∈ (a,b) ，使得 f ′(ξ ) = 0 。 8．设ϕ(t) 在[0, a]上连续， f (x) 在(−∞,+∞) 上二阶可导，且 f ′′(x) ≥ 0 。证明 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ a t dt a f 0 ( ) 1 ϕ ∫ a f t dt a 0 ( ( )) 1 ϕ 。 9．设 f x( )在[0,1]上连续，且单调减少，证明对任意α ∈[0,1]，成立 ∫ ∫ ≥ 1 0 0 f (x)dx α f (x)dx α 。 10．（Young 不等式）设 y f = (x) 是[ , 0 ∞) 上严格单调增加的连续函数，且 ，记 它的反函数为 f (0) = 0 x f = y −1( ) 。证明 + ∫ a f x dx 0 ( ) f y dy ab b − ∫ ≥ 1 0 ( ) （a > 0 0 , b > ）。 11． 证明定积分的连续性：设函数 f x( )和 f x h ( ) = f x( ) + h 在[ , a b]上可积，则有 lim | ( ) ( )| h h a b f x f x dx → ∫ − = 0 0 。 12．设 f x( )和 g x( )在[ , a b]上都可积，证明不等式 (1) （Schwarz 不等式） ； ∫ ∫ ∫ ≤ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 (2) （Minkowski 不等式）{ } { } { }2 1 2 2 1 2 2 1 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ + ≤ + b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 。 13．设 f x( )和 g x( )在[ , a b]上连续，且 f (x) ≥ 0 ， g(x) > 0，证明 lim{ [ ( )] ( ) } max ( ) 1 f x g x dx f x a x b n b a n n→∞ ≤ ≤ = ∫ 。 习 题 7.3 ⒈ 设函数 f x( )连续，求下列函数 F x( ) 的导数： ⑴ F x( ) = f t dt x b ( ) ∫ ; ⑵ F x( ) = f t dt a x ( ) ln ∫ ; ⑶ F x( ) = ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + x tdt a dt t 0 2 sin 2 1 1 . ⒉ 求下列极限： ⑴ lim cos x x t dt → x ∫ 0 2 0 ; ⑵ lim e cos x w x x dw → − ∫ 0 2 1 2 ; ⑶ 2 0 2 1 (arc tan ) lim x v dv x x + ∫ →+∞ ; ⑷ ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ x u x u x e du e du 0 2 2 0 2 2 lim 。 2

tf(t)dt3.设f(x)是[0,+o0)上的连续函数且恒有f(x)>0，证明g(x)是定义在J"f(t)dt[0,+)上的单调增加函数。4.求函数f(x)=(t-1)(t-2)~dt的极值。5利用中值定理求下列极限：n+p sinxEEdt;(2) limdt(peN)x1n6．求下列定积分：2(x - 1)(x2 - x +1)(1)[x2(2 - x2)dx(2)dx2x2(3)(2×+3)dx(4)x(1- 4x2)10 dx ;(x + 1)dx(5)(6)arcsin x dx;1 (x2 +2x + 5)2x4(7)dx:xtan?xdx;(8)fcos?x(9)(10) sin(lnx)dx ;ersin?xdx;(11)(12)e x2 In(x - 1)dx arctanxdxrn2e2/+1dx;(13)(14)x3 e-r dx;dxdx(16)(15)Vi+e2x/(1- x2)3x2 + 1dx(17)(18)dxx4 ±1+1dx2x(19)(20)dx;xV1+x2;1求下列极限：A(123lim(1)n-o(n?n?n?n1P+2P+3P+...+nP(2) lim(p>0);np+1n-2元1(T(n-1)元lim=(3)+ sinsin+sinn-→o n(nnn8.求下列定积分：[" cos" xdx ;(2)「" sin" x dx ;(1)(3)J'(a? - x2)" dx;r2(1-4x2)10 dx;(4)(5)Jx" In m xdx ;(6) J'xln" xdx.9.设f(x)在[0,1]上连续，证明：() (cos x)dx = J f(sin x)dx;2

⒊ 设 f x( )是[ , 0 + ∞) 上的连续函数且恒有 f x( ) > 0 ，证明 g x t f t dt f t dt x x ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 0 0 是定义在 [ , 0 + ∞) 上的单调增加函数。 4. 求函数 的极值。 ∫ = − − x f x t t dt 0 2 ( ) ( 1)( 2) 5 利用中值定理求下列极限： ⑴ lim n n x x dt →∞ + ∫ 1 0 1 ; ⑵ lim sin n n n p x x dt →∞ + ∫ ( p ∈ N ) 。 6. 求下列定积分： ⑴ x x 2 2 2 0 1 ∫ ( ) 2 − dx ; ⑵ ( ) x x( x ) x dx − − + ∫ 1 1 2 2 1 2 2 ; ⑶ ( ) 2 3 2 0 2 x x ∫ + dx ; ⑷ ∫ − 2 1 0 2 10 x(1 4x ) dx ; (5) ( ) ( ) x dx x x + + + −∫ 1 2 5 1 2 2 1 ; (6) arcsin x dx 0 1 ∫ ; (7) x x dx cos2 4 4 −∫ π π ; (8) ∫ 4 0 2 tan π x xdx ; (9) e sin x x dx 2 0 2 π ∫ ; (10) sin(ln ) e x dx 1 ∫ ; (11) ∫ 1 0 2 x arc tan xdx ; (12) x x d 2 1 1 ln( 1) e − + ∫ x 。 (13) x d 3 x 0 2 2 e ln − ∫ x ; (14) ∫ + 1 0 2 1 e dx x ; (15) dx x 1 0 2 1 + ∫ e ; (16) dx ( ) 1 x 2 3 1 2 1 2 − −∫ ; (17) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 − 0 4 1 1 dx x x ; (18) x x dx 2 0 4 1 1 1 + + ∫ ; (19) dx x x 1 1 2 2 + ∫ ; (20) x x x dx 2 0 1 − ∫ ; 7. 求下列极限： ⑴ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + + →∞ 2 2 2 2 1 2 3 1 lim n n n n n n " ; ⑵ lim n p p p p n →∞ n + 1 2 + + 3 + + 1 " p ( p > 0 ); ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + →∞ n n n n n n π π ( 1)π sin 2 sin sin 1 lim " 。 8. 求下列定积分： ⑴ cosn xdx 0 π ∫ ; ⑵ sinn x dx −∫ π π ; ⑶ ( ) a x dn a 2 2 0∫ − x ; ⑷ ∫ − 2 1 0 2 2 10 x (1 4x ) dx ; (5) ∫ 1 0 x ln xdx n m ; (6) ∫ e n x xdx 1 ln . 9. 设 f (x)在[ , 0 1]上连续，证明： ⑴ f x (cos ) dx 0 2 π ∫ = ∫ f (sin x) d 0 2 π x ; 3

(2) J"xf(sin x)dx=f(sinx)dx10.天利用上题结果计算：xsina()("x sin4 x dx;(2)dx1+ cos2 xY(3) 0 1+ sin2 x-dx。11．求下列定积分：(1) Jx[x]dx;(2) J'sgn(x-x3)dx ;(4) J [e* Jdx(3) J’x|x-a|dx;12.设f(x)在[a,b]上可积且关于x=T对称，这里a0有g(x)=[ f(t)dt =常数, xe(0,+o) 。证明：(x)=二，xe(0,+)，其中c为常数。20.设f(x)在(0,+o)上连续，证明+)=(n2+)21.设f(x)在[a,b]上连续。证明()d+(x)ldxmax 1 f(x)0)，且f"(x)≥0，证明：

⑵ xf (sin x) dx 0 π ∫ = π π 2 0∫ f (sin x) dx x 。 10. 利用上题结果计算： ⑴ x sin x d 4 0 π ∫ ; ⑵ x x x dx sin 1 cos 0 2 + ∫ π ; ⑶ x x dx 10 2 + ∫ sin π 。 11. 求下列定积分： ⑴ x x dx 2 0 6 [ ] ∫ ; ⑵ ∫ sgn(x x − ) dx 3 0 2 ; ⑶ ∫ x x| | − a dx 0 1 ; (4) ∫ 2 0 [e ]dx x . 12．设 f x( )在[a b, ]上可积且关于 x = T 对称，这里a 0 有 = ≡ ∫ ax x g(x) f (t)dt 常数， x ∈ (0,+∞) 。 证明： x c f (x) = ， x ∈ (0,+∞) ，其中c 为常数。 20. 设 f x( )在(0,+∞) 上连续，证明 ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 4 1 4 1 2 1 2 (ln 2) 2 ln 2 dx x x x dx f x x x x f 。 21．设 f ′(x) 在[a,b]上连续。证明 ∫ ∫ + ′ − ≤ ≤ ≤ b a b a x b a f x dx f x dx b a f x ( ) | ( ) | 1 max | ( ) | 。 22．设 f x( )在(−∞,+∞) 上连续，证明 f u x u du x ( )( − ) ∫0 = ∫ ∫{ } x u f x dx du 0 0 ( ) 。 23. 设 f (x)在[0, a]上二阶可导（ a > 0 ），且 f ′′(x) ≥ 0 ，证明： 4

" (x)dx ≥ afl24.设函数(x)在[0,1]上二阶可导，且于"(x)≤0，x[0,1]，证明：f'f(x:)dx≤l处的Taylor公式，再将x换成x2。）(提示：考虑f(x)在x=225.设f(x)为[0,2元]上的单调减少函数，证明：对任何正整数n成立f f(x)sin nxdx ≥ 0 。26.设函数f(x)在[0,元]上连续，且f(x)dx=0，[f(x)cosxdx=0。证明：在(0,元)内至少存在两个不同的点5，52，使得f(5）=f(52）=0。（提示：利用反证法。）习题7.41.求下列曲线所围的图形面积：1(1),y=x,x=2;=(2) y2 = 4(x +1), y2 = 4(1-x);(3)y=x，y=x+sin?x,x=0,x=元;(4) y=e*, y=e-x, x=l;(5)y=|lnx,y=0,x=01,x=10;x=2t-12,(6)叶形线0≤1≤2:ly= 2t2 -t3,x= acos3 t,(7)星形线：0≤1≤2元；y=asint,阿基米德螺线r=a0,=00=2元；(8)(9）对数螺线r=ae0=0,0=2元(10）蚌线r=acose+b(b≥a>0)：≤0≤(11)r=3cos0,r=1+coso33(12）双纽线r2=a2cos20：=（13）四叶玫瑰线r=acos20。(14)Descartes叶形线x3+y3=3axy：(15) x4 + y4 = α2(x2 + y2)2.求由抛物线y2=4ax与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值。3.求下列曲线的弧长：(1) y=x3/2, 0≤x≤4;_InyX=(2)l<y≤e:42元(3) y=lncosx,0≤x≤a<25

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ ∫ 2 ( ) 0 a f x dx af a 。 24. 设函数 f (x) 在[0,1]上二阶可导，且 f ′′(x) ≤ 0 ， x ∈[0,1], 证明： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ∫ 3 1 ( ) 1 0 2 f x dx f 。 (提示： 考虑 f (x) 在 3 1 x = 处的 Taylor 公式，再将 x 换成 。) 2 x 25．设 f x( )为[0,2π ]上的单调减少函数, 证明：对任何正整数n 成立 ( )sin 0 2 0 ≥ ∫ f x nxdx π 。 26. 设函数 f (x) 在[0,π ]上连续，且 ( ) 0 ， 。证明：在 0 = ∫ π f x dx ( ) cos 0 0 = ∫ π f x xdx (0,π ) 内至少存在两个不同的点ξ 1，ξ 2 ，使得 ( ) ( ) 0 f ξ 1 = f ξ 2 = 。（提示：利用反证法。） 习 题 7.4 ⒈ 求下列曲线所围的图形面积： ⑴ y x = 1 ， y = x ， x = 2 ； ⑵ y x 2 = 4 1 ( ) + ， y x 2 = 4 1( ) − ； ⑶ y = x ， y x = + sin2 x ， x = 0 ， x = π ； ⑷ y = ex ， y = e− x ， x = 1； ⑸ y x =|ln |， y = 0 ， x = 01. ， x = 10 ； ⑹ 叶形线 ； x t t y t t t = − = − ≤ ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 2 2 0 2 2 2 3 , , ⑺ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π (8) 阿基米德螺线r a = θ, θ = 0, θ = 2π ； (9) 对数螺线r a = e , θ θ = 0, θ = 2π ； (10) 蚌线r a = + cosθ b （b a ≥ > 0 ）； (11) r = 3cosθ ，r = +1 cosθ ( 3 3 π θ π − ≤ ≤ )； (12) 双纽线r 2 = a 2 cos 2θ ； (13) 四叶玫瑰线r a = cos 2θ 。 (14) Descartes 叶形线 x y ax 3 3 + = 3 y ； (15) x y a x y 4 4 2 2 2 + = ( ) + . ⒉ 求由抛物线 y a 2 = 4 x 与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值。 ⒊ 求下列曲线的弧长： ⑴ y x = 3 2/ ，0 4 ≤ x ≤ ； ⑵ x y y = − 2 4 2 ln ，1 ≤ y ≤ e； ⑶ y x = ln cos ，0 2 ≤ ≤ x a < π ； 5

x=acost,0≤1≤2元；(4）星形线y=asin3t,x=a(cost+tsint),(5)圆的渐开线0≤1≤2元：ly=a(sint-tcost),(6)心脏线r=α(1-cos0），0≤0≤2元：(7)阿基米德螺线r=a0,0≤0≤2元；3 0(8)0≤0≤3元。r=asin34.在旋轮线的第一拱上，求分该拱的长度为1：3的点的坐标。5.求下列几何体的体积：(1)正椭圆台：上底是长半轴为α、短半轴为b的椭圆，下底是长半轴为A、短半轴为B的椭圆（A>a,B>b），高为h：x2 y222(2)球体=1;2b22(3）直圆柱面x2+y2=α2和×2+22=α?所围的几何体；(4)球面x2+2+z2=α2和直圆柱面x2+y2=ax所围的几何体。6.证明以下旋转体的体积公式：(1)设f(x)≥0是连续函数，由0≤a≤x≤b,0≤y≤f(x）所表示的区域绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为V = 2元[" xf(x)dx :(2）在极坐标下，由0≤α≤≤β≤元，0≤r≤r(0)所表示的区域绕极轴旋转一周所成的旋转体的体积为2元Vr3(0)sin Odo 。3a7.求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积：x2y2(1)=1，绕x轴：a2+b2(2)y=sinx,y=0,0≤x≤元,①绕x轴，②绕y轴：[x=acos"t,(3)星形线0≤≤元，绕x轴ly=asin3t,x=a(t-sint),(4）旋轮线te[0,2元]，y=0,y = a(l- cost),①绕y轴，②绕直线y=2a：(5)x2+(y-b)2=a2，（0<a≤b)，绕x轴：(6)心脏线r=a(1-cosO)，绕极轴；(7）对数螺线r=ae,0≤0≤元，绕极轴；(8)(x2 +y2)2 =α(x2 -y2), 绕x轴。8.将抛物线y=x(x-a)与y=O所界区域在xe[0,a]和xe[a,c]的部分分别绕x轴旋转一周后，所得到旋转体的体积相等，求c与α的关系。Vx9.记V(E）是曲线y=与y=0所界区域在xE[0,]的部分绕x轴旋转一周所得1+ x2到的旋转体的体积，求常数α使得满足6

⑷ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π ⑸ 圆的渐开线 ； x a t t t y a t t t t = + = − ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ (cos sin ), (sin cos ), 0 2π ⑹ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，0 2 ≤ θ ≤ π ； ⑺ 阿基米德螺线r a = θ, 0 2 ≤ θ ≤ π ； ⑻ 3 sin3 θ r = a ，0 ≤ θ ≤ 3π 。 ⒋ 在旋轮线的第一拱上，求分该拱的长度为 1:3 的点的坐标。 ⒌ 求下列几何体的体积： ⑴ 正椭圆台：上底是长半轴为a 、短半轴为b 的椭圆，下底是长半轴为 A 、短半轴为 B 的椭圆（ A a > , B > b），高为 h ； ⑵ 椭球体 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 + + = 1； ⑶ 直圆柱面 x y 2 2 + = a2 和 x z a 2 2 2 + = 所围的几何体； ⑷ 球面 x y 2 2 + + z 2 = a2 和直圆柱面 x y ax 2 2 + = 所围的几何体。 ⒍ 证明以下旋转体的体积公式： ⑴ 设 f x( ) ≥ 0 是连续函数，由0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x) 所表示的区域绕 轴旋转 一周所成的旋转体的体积为 y V xf x a b = 2π∫ ( )dx ； ⑵ 在极坐标下，由 0 ≤ ≤ α θ ≤ β ≤ π, 0 ≤ r r ≤ (θ) 所表示的区域绕极轴旋转一周所 成的旋转体的体积为 V r = ∫ 2 3 3 d π θ θ α β ( )sin θ 。 ⒎ 求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积： ⑴ x a y b 2 2 2 2 + = 1，绕 x 轴； ⑵ y x = sin ， y = 0 ，0 ≤ x ≤ π， ① 绕 x 轴， ② 绕 y 轴； ⑶ 星形线 ，绕 x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 π x 轴； ⑷ 旋轮线 ， x a t t y a t t = − = − ⎧ ⎨ ⎩ ∈ ( sin ), ( cos ), [ , ] 1 0 2π y = 0 ， ① 绕 y 轴， ② 绕直线 y a = 2 ； ⑸ x y 2 2 + − ( ) b = a2 ，（0 < a ≤ b ），绕 x 轴； ⑹ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，绕极轴； ⑺ 对数螺线r a = e , θ 0 ≤ θ ≤ π ，绕极轴； ⑻ ( ) x y 2 2 + =2 a2 (x 2 − y 2 )，绕 x 轴。 ⒏ 将抛物线 y x = ( ) x − a 与 y = 0 所界区域在 x a ∈[ , 0 ]和 x a ∈[ , c]的部分分别绕 x 轴旋 转一周后，所得到旋转体的体积相等，求c 与a 的关系。 ⒐ 记V(ξ) 是曲线 y x x = 1+ 2 与 y = 0 所界区域在 x ∈[ , 0 ξ] 的部分绕 x 轴旋转一周所得 到的旋转体的体积，求常数a 使得满足 6

V(a)==lim V()。2 →+0x?y210.将椭圆1绕x轴旋转一周围成一个旋转椭球体，再沿x轴方向用半径为ra2+b2（r0)，在t=元/2对应的点。17.求下列曲线的曲率和曲率半径。（1）抛物线y2=2px（p>0)；x2y2双曲线二=1:(2)a2627

V a( ) = lim V( ) →+∞ 1 2 ξ ξ 。 10. 将椭圆 x a y b 2 2 2 2 + = 1绕 x 轴旋转一周围成一个旋转椭球体，再沿 x 轴方向用半径为 r （r 0 ），在t = π / 2 对应的点。 17. 求下列曲线的曲率和曲率半径。 （1） 抛物线 y 2 px （ ）； 2 = p > 0 （2） 双曲线 1 2 2 2 2 − = b y a x ； 7

222(3）星形线x3+y3=α3（a>0);(4）圆的渐开线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost）（a>0)。18.求曲线y=lnx在点(1,0)处的曲率圆方程。19.设曲线的极坐标方程为r=r(の)，e[α,β]([0,2元])，且r()二阶可导。证明它在点(r,①)处的曲率为2 +2r*2-rm"K=(r2 + r'2)3/2习题7.51.一根10米长的轴，密度分布为p(x）=0.3x+6千克/米（0≤x≤10），求轴的质量。2.已知抛物线状电缆y=x2（-1≤x≤1）上的任一点处的电荷线密度与该点到y轴的距离成正比，在（1,1)处的密度为9，求此电缆上的总电量。3.水库的闸门是一个等腰梯形，上底36米，下底24米，高16米，水平面距上底4米，求闸门所受到的水压力（水的比重为1000千克/米3）。4.一个弹簧满足圆柱螺线方程x=acost,y=asint,t>0 (a>0,b>0),z=bt,其上任一点处的密度与它到Oxy平面的距离成正比，试求其第一圈的质量。5.一个圆柱形水池半径10米，高30米，内有一半的水，求将水全部抽干所要做的功。6.半径为r的球恰好没于水中，球的比重为p，现在要将球吊出水面，最少要做多少功？7.半径为r密度为p的球壳以角速度の绕其直径旋转，求它的动能。8.使某个自由长度为1米的弹簧伸长2.5厘米需费力15牛顿，现将它从1.1米拉至1.2米，问要做多少功？9.一物体的运动规律为s=3t3-t，介质的阻力与速度的平方成正比，求物体从t=1运动至t=T时阻力所做的功。10.半径为1米，高为2米的直立的圆柱形容器中充满水，拔去底部的一个半径为1厘米的塞子后水开始流出，试导出水面高度h随时间变化的规律，并求水完全流空所需的时间。（水面比出水口高h时，出水速度v=0.6×2gh。）11．上题中的圆柱形容器改为何种旋转体容器，才能使水流出时水面高度下降是匀速的。12.镭的衰变速度与它的现存量成正比，设t。时有镭Q。克，经1600年它的量减少了一半，求铺的衰变规律。13.将A物质转化为B物质的化学反应速度与B物质的浓度成反比，设反应开始时有B物质20%，半小时后有B物质25%，求B物质的浓度的变化规律。14.设[t,t+dt]中的人口增长量与Pmax-p(t)成正比，试导出相应的人口模型，画出人口变化情况的草图并与Malthus和Verhulst人口模型加以比较。15.核反应堆中，t时刻中子的增加速度与当时的数量N(t)成正比。设N(O)=N。，证明Feh -re].16.一个1000米的大厅中的空气内含有α%的废气，现以1米／分钟注入新鲜空气，混合后的空气又以同样的速率排出，求t时刻空气内含有的废气浓度，并求使废气浓度减少一半所需的时间。计算实习题8

（3） 星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a （ a > 0 ）； （4） 圆的渐开线 x = a(cost + tsin t), y = a(sin t − t cost) （ a > 0 ）。 18. 求曲线 y = ln x 在点(1,0) 处的曲率圆方程。 19. 设曲线的极坐标方程为 r = r(θ ) ，θ ∈[α, β ] (⊂ [0,2π ]) ，且 r(θ ) 二阶可导。证明它 在点(r,θ )处的曲率为 2 2 3 / 2 2 2 ( ) 2 r r r r rr K + ′ + ′ − ′′ = . 习 题 7.5 ⒈ 一根 10 米长的轴，密度分布为ρ( ) x = 0 3. x + 6 千克/米（0 ≤ x ≤ 10 ），求轴的质量。 ⒉ 已知抛物线状电缆 y = x 2 （ −1 ≤ x ≤ 1）上的任一点处的电荷线密度与该点到 轴的 距离成正比，在 处的密度为 q，求此电缆上的总电量。 y ( , 11) ⒊ 水库的闸门是一个等腰梯形，上底 36 米，下底 24 米，高 16 米，水平面距上底 4 米， 求闸门所受到的水压力（水的比重为 1000 千克/米3 ）。 ⒋ 一个弹簧满足圆柱螺线方程 x a t y a t z bt = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ cos , sin , , t > 0 （ a > 0,b > 0）， 其上任一点处的密度与它到 Oxy 平面的距离成正比，试求其第一圈的质量。 ⒌ 一个圆柱形水池半径 10 米，高 30 米，内有一半的水，求将水全部抽干所要做的功。 ⒍ 半径为r 的球恰好没于水中，球的比重为ρ ，现在要将球吊出水面，最少要做多少功？ ⒎ 半径为r 密度为ρ 的球壳以角速度ω 绕其直径旋转，求它的动能。 ⒏ 使某个自由长度为 1 米的弹簧伸长 2.5 厘米需费力 15 牛顿，现将它从 1.1 米拉至 1.2 米，问要做多少功？ ⒐ 一物体的运动规律为 ，介质的阻力与速度的平方成正比，求物体从t 运 动至t s t = 3 −3 t = 1 = T 时阻力所做的功。 ⒑ 半径为 1 米，高为 2 米的直立的圆柱形容器中充满水，拔去底部的一个半径为 1 厘米的 塞子后水开始流出，试导出水面高度 随时间变化的规律，并求水完全流空所需的时间。 （水面比出水口高 时，出水速度 h h v g = × 0 6. 2 h 。） ⒒ 上题中的圆柱形容器改为何种旋转体容器，才能使水流出时水面高度下降是匀速的。 ⒓ 镭的衰变速度与它的现存量成正比，设 时有镭Q 克，经 1600 年它的量减少了一半， 求镭的衰变规律。 t0 0 ⒔ 将 A 物质转化为 B 物质的化学反应速度与 B 物质的浓度成反比，设反应开始时有 B 物 质 20%，半小时后有 B 物质 25%，求 B 物质的浓度的变化规律。 ⒕ 设[t,t + dt]中的人口增长量与 pmax − p t( ) 成正比，试导出相应的人口模型，画出人口 变化情况的草图并与 Malthus 和 Verhulst 人口模型加以比较。 ⒖ 核反应堆中，t 时刻中子的增加速度与当时的数量 N t( ) 成正比。设 N( ) 0 = N0 ，证明 [ ] 1 0 2 ( ) t N N t [ ] 2 0 1 ( ) t N N t = 。 ⒗ 一个 1000 米3 的大厅中的空气内含有a %的废气，现以 1 米3 ／分钟注入新鲜空气，混合 后的空气又以同样的速率排出，求 t 时刻空气内含有的废气浓度，并求使废气浓度减少 一半所需的时间。 计 算 实 习 题 8

（在教师的指导下，编制程序在电子计算机上实际计算）dx1.利用元=01+x2(I）用普通的梯形公式、Simpson公式和Cotes公式，计算圆周率元的近似值并与精确值加以比较；(2)将区间[0,1]分成4、8等份，用复化梯形公式和复化Simpson公式计算元的近似值，并与精确值加以比较；(3）用Romberg方法计算元的近似值，使它的精度达到O(10-8）；(4)分别用n=1,2,4的Gauss-Legendre公式计算元的近似值，并与前面的计算结果加以比较。（单位：米）设河面宽20米，从河的一岸向另一岸每隔2米测得的水深如下：2.80246101214 161820X0.6ylo1.42.02.32.12.51. 91.20.7O求河流的横断面积（图7.6.3)。048121620x123v3.分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算下列积分：(1) f'er dx, m=16;-COS3X￥01-cosxdx，m=8（可看成连续函数于(n)=(2)的积分：）0,x=0X3)f1-x3dx，m=84)dx，m=8。14.用Romberg 方法计算『，精确到小数点后第8位。xe-rdx:5．用一般的积分区间上的Gauss-Legendre公式（取n=4）计算积分I(N）=(I) N=1;(2) N=3;(3) N=10 。并与_V元r?dx=im2的结果相比较。9

（在教师的指导下，编制程序在电子计算机上实际计算） ⒈ 利用 π = + 4∫ 10 2 1 dx x ， ⑴ 用普通的梯形公式、Simpson 公式和 Cotes 公式，计算圆周率 π 的近似值并与精确 值加以比较； ⑵ 将区间[ , 分成 4、8 等份，用复化梯形公式和复化 Simpson 公式计算 的近似值， 并与精确值加以比较； 0 1] π ⑶ 用 Romberg 方法计算 π 的近似值，使它的精度达到 (10 ) ； −8 O ⑷ 分别用 n = 1 2, , 4 的 Gauss-Legendre 公式计算 π 的近似值，并与前面的计算结果加 以比较。 ⒉ 设河面宽 20 米，从河的一岸向另一岸每隔 2 米测得的水深如下：（单位：米） x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 y 0 0.6 1.4 2.0 2.3 2.1 2.5 1.9 1.2 0.7 0 求河流的横断面积(图 7.6.3)。 ⒊ 分别用复化梯形公式和复化 Simpson 公式计算下列积分： 0 4 8 12 16 20 x 1 2 3 y 图 7.6.3 ⑴ ex dx 2 0 1 ∫ ， m = 16 ; ⑵ 1 0 − ∫ cos x x dx π ， m = 8 （可看成连续函数 ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = − 0, 0 , 0, ( ) 1 cos x x f x x x 的积分；） ⑶ 1 3 0 1 ∫ − x dx ， m = 8 ; ⑷ e− + ∫ x x dx 1 0 2 2 ， m = 8 。 ⒋ 用 Romberg 方法计算 dx x 1 2 ∫ ，精确到小数点后第 8 位。 ⒌ 用一般的积分区间上的 Gauss-Legendre 公式（取 n = 4 ）计算积分 I N x dx ： N ( ) = e− ∫ 2 0 ⑴ N = 1; ⑵ N = 3 ; ⑶ N = 10 。 并与 lim e N x N dx →∞ − ∫ = 2 0 2 π 的结果相比较。 9

k元6.按第3圈(2)同样的观点，计算(x)=siat(x=等, =12.-),并作出 (t)JT的大致图形。10

⒍ 按第 3 题⑵同样的观点，计算 , 1,2, 6) 3 ( sin ( ) 0 = ∫ = k = " k dt x t t f x x π ，并作出 的大致图形。 f x( ) 10