复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（练习题）习题十（题目）

习题10.11.讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。(1) S,(x)= e-n(i)xe(0,1),(ii) xe (1,+00) ;(2) Sn(x) =xe-nrxE (0,+o0);(3) S(g) = sin=(i) xE (-00,+00) ,(i) xe[-A, A](A>0);n(4) Sh(x)=arctan nx,(i)xe (0,1)(i)xe (1,+o0) ;1(5) S.(x) =xe (-00,+) ;1x+n(6) Ss(x) = nx(1 - x)" ,xe [0,];(7) S(x) == in三(i) xe (0,1) ,(ii) xe (1,+00));n"n"x"(8) Sn(x) =(①)xe(0,I),(ii) xe (1,+00) ;1+x",(9) S,(x) = (sin x)" ,xe[0,元];(10) Sn(x)=(sin x)"(ii)xe[8,元-] (8>0);(i) xe [0,],(1+)() Sn(x) =(i) xe (-00,+00) ,(ii) xe[-A,A](A>0);n1(12) Sn(x) =(ii)x[8,+00),8 >0 。(i) xe (0,+0),X+A2设S,(x)=n(x"-x2")，则函数序列(S(x)在[0,1]上收敛但不一致收敛，且极限运算与积分运算不能交换，即lim(['s,(x)dx *'lim Sn(x) dxx则3.设Sn(x)=I+n2x2'(1）函数序列(Sm(x))在(-c0,+0)上一致收敛；[只s,(n)]在(-80,+0)上不一致收敛；(2)dx（3）极限运算与求导运算不能交换，即ds.(x)=d lim Sh(x)limn-0 d xdx n-并不对一切xE(-00,+8)成立。.1设Sn(x))=二arctanx"，则函数序列(Sm(x))在(O,+oo)上一致收敛；试问极限运算与求An导运算能否交换，即 s(x) =dlimlim Sn(x)mdxdxn是否成立？5.设S(x)=n"xe-，其中a是参数。求a的取值范围，使得函数序列(S,(x))在[0,1]上(1）一致收敛；1

习 题 10.1 1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 ⑴ Sn(x) = , (i) x −nx e ∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞) ； ⑵ Sn(x) = x , x −nx e ∈ (0,+∞) ； ⑶ Sn(x) = sin n x , (i) x∈ (−∞,+∞) ， (ii) x∈ [−A, A]( A > 0)； ⑷ Sn(x) = arctan nx, (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑸ Sn(x) = 2 2 1 n x + , x∈ (−∞,+∞) ； ⑹ Sn(x) = nx(1 - x) n , x∈ [0,1]； ⑺ Sn(x) = n x ln n x , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞))； ⑻ Sn(x) = n n x x 1+ , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞) ； ⑼ Sn(x) = (sin x) n , x∈ [0,π ]； ⑽ Sn(x) = (sin x) n 1 , (i) x∈ [0,1]， (ii) x∈ [δ ,π − δ ]（δ > 0）； ⑾ Sn(x) = n n x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1+ , (i) x∈ (−∞,+∞) ， (ii) x∈ [−A, A]( A > 0)； ⑿ Sn(x) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n n x 1 , (i) x∈ (0,+∞) , (ii) x ∈[δ ,+∞), δ > 0。 2. 设Sn(x) = n(x n - n x 2 )，则函数序列{S (x)}在 上收敛但不一致收敛，且极限运算与 积分运算不能交换，即 n [0,1] n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx ≠ ∫ →∞ 1 0 lim n Sn(x) dx。 3. 设Sn(x) = 2 2 1 n x x + ，则 ⑴ 函数序列{Sn(x)}在(−∞,+∞) 上一致收敛； ⑵ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( ) d d S x x n 在(−∞,+∞) 上不一致收敛； ⑶ 极限运算与求导运算不能交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 并不对一切 x∈ (−∞,+∞) 成立。 4. 设Sn(x) = n 1 arctan x n ，则函数序列{Sn(x)}在(0,+∞) 上一致收敛；试问极限运算与求 导运算能否交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 是否成立? 5. 设Sn(x) = ，其中a是参数。求a的取值范围，使得函数序列{S a nx n xe − n(x)}在[0,1]上 ⑴ 一致收敛； 1

(2）积分运算与极限运算可以交换，即limS, (x)dx =lim Sn(x) dx;-(3）求导运算与极限运算可以交换，即对一切xe[0,1]成立ddlim -Sn(x) =lim Sn(x) 。n-s dxdx n-6.设S（x）在区间（ab）上连续，Sn(x)=S(x)nSx+n证明：(Sn(x))在(a,b)内闭一致收敛于S(x)。7.设S。(x)在[0,a]上连续，令Sn(x)= I' Sn-I()d t,n=12.....证明：(S,(x))在[0,a]上一致收敛于0。设S(x)在[0,1]上连续，且S(1)=0。证明：(x"S(x))在[0,1]上一致收敛。8.习题10.21.讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性。30Z(-x)x*,(1)xE[0, 1];n=02(-)x,(2)xE[0, 1];n=0xe [0,+]:(3)EO-nx2() xe[0,+00), (i)xe[6,+00) (8 >0);(4)n=0sWx(5)xE(-00, +00);n=01+n'x?sinnx(6)xE(-0, +0):n+xE.(7)xE[0, 1];2-(8)xE(-0,+0):rin+y?,1() xE(0, +0), (i) xE[8,+00) (8 >0);(9)Z2"sin3"xn=0sinxsin nx(10)xE(-00,+00):Vn=l2P(1I)xE(-,+);= (1+x)2

⑵ 积分运算与极限运算可以交换，即 n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx = S ∫ →∞ 1 0 lim n n(x) dx； ⑶ 求导运算与极限运算可以交换，即对一切 x∈[0,1]成立 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 。 6. 设 S '(x)在区间(a,b)上连续， Sn(x) = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ( ) 1 S x n n S x ， 证明：{Sn(x)}在(a,b)内闭一致收敛于S '(x)。 7. 设 S0 (x) 在[0, a]上连续，令 Sn(x) = ∫ − d t， n = 。 x n S t 0 1 ( ) 1,2," 证明：{Sn(x)}在[0, a]上一致收敛于 0。 8. 设S(x)在[0,1]上连续，且S(1) = 0。证明：{x n S(x)}在[0,1]上一致收敛。 习 题 10.2 1. 讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性。 ⑴ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − 0 (1 ) n n x x ⑵ ∑ ， ∞ = − 0 2 (1 ) n n x x x∈[0, 1]； ⑶ ∑ ， x∈ ∞ = − 0 3 2 e n nx x [0,+∞)； ⑷ ∑ ， (i) x∈ ∞ = − 0 2 e n nx x [0,+∞)， (ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑸ ∑ ∞ =0 + 3 2 n 1 n x x ， x∈(-∞, +∞)； ⑹ ∑ ∞ =1 + 3 4 4 sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑺ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − − 0 ( 1) (1 ) n n n x x ⑻ ∑ ∞ = + − 1 2 ( 1) n n n x ， x∈(-∞, +∞)； ⑼ ∑ ∞ =0 3 1 2 sin n n n x ， (i) x∈(0, +∞)，(ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑽ ∑ ∞ =1 sin sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑾ ∑ ∞ =0 + 2 2 n (1 ) n x x ， x∈(-∞, +∞)； 2

Y(12)PxE(-0, +00).(1+ x2)"1=0cosmx在(0,2元)上连续，且有连续的导函数。2.证明：函数f(x)=）h=0n2 +13.证明：函数(x)=ne-㎡在(0,+)上连续，且有各阶连续导数。n二(-1)"4.证明：函数一在（1+）上连续，且有各阶连续导数：函数在（0,+0）上连nnr-续，且有各阶连续导数。xarctan可以逐项求导，即5.证明：函数项级数f(x)=n?n=ld2Ax-f(g) =arctandxidx2a.收效，证明：6.设数项级数n=l2=0(1) limZa.:(2)"dx=a.1nln+]x-→0+=In=1n=17.设un(x),vn(x)在区间(a,b)连续，且|un(x)|≤vn()对一切nEN+成立。证明：若乙v,(x)=在(α,b)上点态收敛于一个连续函数，则u,(x)也必然收敛于一个连续函数。n=lZu,(x)在x=a与x=b收敛，且对一切neNt，u(t)在闭区间[a,b]上单8.设函数项级数n=l1调增加，证明：Zu,(x)在[a,b]上一致收敛。n=l9.设对一切nENt，un(x)在x=a右连续，且Zu,(x)在x=a发散，证明：对任意8>0,n=l4之u,(t)在(a,a+8)上必定非一致收敛。=1+10.证明函数项级数n1+在-α,al上是一致收敛的，其中a是小于2ln22的nlnn7=2任意固定正数。11.设Yf(x)=tan22″证明：f(x）在[0,元/2]上连续；(1)(2）计算f(x)dx。16cosnx12.设f(x)=n+n(1）证明：f(x)在(-00,+)上连续；3

⑿ ∑ ∞ = + − 0 2 2 (1 ) ( 1) n n n x x ， x∈(-∞, +∞)。 2. 证明：函数 ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos ( ) n n nx f x 在(0,2π )上连续，且有连续的导函数。 3. 证明：函数 ∑ 在 ∞ = − = 1 ( ) e n nx f x n (0,+∞) 上连续，且有各阶连续导数。 4. 证明：函数∑ ∞ =1 1 n x n 在(1,+∞) 上连续，且有各阶连续导数；函数 ∑ ∞ = − 1 ( 1) n x n n 在 上连 续，且有各阶连续导数。 (0,+∞) 5. 证明：函数项级数 ∑ ∞ = = 1 2 ( ) arctan n n x f x 可以逐项求导，即 d x d f (x) = ∑ ∞ =1 2 arctan d d n n x x 。 6. 设数项级数 ∑ 收敛，证明： ∞ n=1 n a ⑴ →0+ lim x ∑ ∞ n=1 x n n a = ∑ ； ⑵ = ∞ n=1 an ∫ ∑ ∞ = 1 0 1 a x d x n n n ∑ ∞ n=1 +1 n n a 。 7. 设un (x)，vn (x)在区间(a, b)连续，且│un (x)│≤vn (x) 对一切n∈N+ 成立。证明：若 ∑ 在(a, b)上点态收敛于一个连续函数，则 也必然收敛于一个连续函数。 ∞ =1 ( ) n n v x ∑ ∞ =1 ( ) n n u x 8. 设函数项级数 ∑ 在x = a与x = b收敛，且对一切n∈N ∞ =1 ( ) n n u x + ，un (x)在闭区间 上单 调增加，证明： 在[a, b]上一致收敛。 [a,b] ∑ ∞ =1 ( ) n n u x 9. 设对一切n∈N+ ，un (x)在x= a右连续，且 在x = a发散，证明：对任意δ＞0， 在(a, a +δ)上必定非一致收敛。 ∑ ∞ =1 ( ) n n u x ∑ ∞ =1 ( ) n n u x 10．证明函数项级数∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 ln ln 1 n n n x 在[− a,a]上是一致收敛的，其中 a 是小于 的 任意固定正数。 2ln 22 11．设 ∑ ∞ = = 1 2 tan 2 1 ( ) n n n x f x 。 （1） 证明： f (x) 在[0, π / 2]上连续； （2） 计算 ∫ 2 6 ( ) π π f x dx 。 12．设 ∑ ∞ = + = 1 3 cos ( ) n n n nx f x 。 （1） 证明： f (x) 在(−∞, + ∞) 上连续； 3

(2)记F(x)=[f(t)dt，证明：/21V2F2152（2）7_113.设f(x)=)02"+ x(1)证明f(x)在[0,+)上可导，且一致连续；(2)证明反常积分[f(x)dx发散。习题10.31.求下列幂级数的收敛半径与收敛域。S(1)(2)72142In(n+1)Z(-1)"-(x+ 1)" :(3)-)(4)>n.2″n+1n=ln=lShn'n23(x-1)(5) (6)N2n=2n"(n!)?n!(7)(8)1n=in"台 (2n)!(2n)!!(9)台(2n+1)/2.设a>b>0，求下列幂级数的收敛域。x"hn(2)(1)=la"+b"n-(3)ax+bx+ax3+bx4+.+d"x2n-1+b"x2+*。a,x"与Zb,x"的收敛半径分别为R,和R2，讨论下列幂级数的收敛半径：3.设n=0n=0(a, +b,)x";(1)2(2)n=02.b.(3)=04.应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并指出它们的定义域F2n2m(1)(2)22n+1X77(-1)"- n"x" ;(3)(4)启n(n+ 1)n=4

（2）记 = ∫ ，证明： x F x f t dt 0 ( ) ( ) 2 2 15 2 1 2 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − < π F 。 13．设 ∑ ∞ = + = 0 2 1 ( ) n n x f x 。 （1） 证明 f (x) 在[0, + ∞) 上可导，且一致连续； （2） 证明反常积分 ∫ 发散。 +∞ 0 f (x)dx 习 题 10.3 1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。 ⑴ ∑ ∞ = + − 1 3 ( 2) n n n n x n ; ⑵ n n x n ( 1) 1 2 1 1 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = " ; ⑶ ∑ ∞ = ⋅ − 1 2 2 ( 1) n n n n n x ; ⑷ ∑ ∞ = + + + − 1 ( 1) 1 ln( 1) ( 1) n n n x n n ； ⑸ n n n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = 2 1 ! 3 1 ; ⑹ 2 2 2 ln n n n x n n ∑ ∞ = ; ⑺ n n n x n n ∑ ∞ =1 ! ； ⑻ n n x n n ∑ ∞ =1 2 (2 )! ( !) ; ⑼ n n x n n ∑ ∞ =1 (2 +1)!! (2 )!! 。 2. 设 a＞b＞0，求下列幂级数的收敛域。 ⑴ n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ; ⑵ ∑ ∞ n=1 +n n n a b x ; ⑶ a x + b x 2 + a 2 x 3 + b2 x 4 + . + an x 2n - 1 + bn x 2n + .。 3. 设 ∑ 与 的收敛半径分别为R ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n b x 1和R2, 讨论下列幂级数的收敛半径： (1) ∑ ; (2) ∑ ; ∞ =0 2 n n n a x ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x (3) ∑ 。 ∞ n=0 n n n a b x 4. 应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并指出它们的定义域。 ⑴ ∑ ∞ n=1 n nx ; ⑵ ∑ ∞ =0 + 2 n 2 1 n n x ; ⑶ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n x ; ⑷ ∑ ∞ =1 ( +1) n n n n x ; 4

Fnn(n+1)x"(5)(6) 1 +台 (2n)!n+1(7)1n!=l。则不论≥“在一是否收敏。只要Fa一x"+在x=r收敛，5. 设f(x)=n=0n+1n=0n=0就成立anrn+lf(x)dx =2n=0 n+1并由此证明：1.dx-51n=in31-x x6.证明：x4n满足方程(4)(1)V==y;2= (4n)!F(2) y=满足方程xy"+y'-y=0=0 (n!)27.应用幂级数性质求下列级数的和1MAn(1)(2)2,M2n=l(n+1)n(n+2)(3)(4)224l2n1I2D2(-1(5)(6)2"(n2 -1)3"(2n+1)T=01=22h+l2W!(-1)"(7)(8)n!n!n=I中- W且lim求幂级数=0，A.ak... A.n229. 设f(x)=ANT11证明 (x)在[-1,1上可导：上连续，在(1)2'2][-2'2](2)(x)在x=-二处的左导数是否存在？2习题10.41.求下列函数在指定点的Taylor展开，并确定它们的收敛范围1(1) 1 + 2x - 3x2 + 5x3,xo= 1;(2)Xo= -1;5

⑸ ∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n n x ； ⑹ ∑ ∞ = + 1 2 (2 )! 1 n n n x ; ⑺ ∑ ∞ = + 1 ! 1 n n x n n 。 5. 设 f (x) = ∑ , 则不论 在 x = r 是否收敛，只要 ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n x n a 在 x = r 收敛， 就成立 ∫ r f x x 0 ( )d = ∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n r n a ， 并由此证明： ∫ ⋅ − 1 0 d 1 1 ln x x x =∑ ∞ =1 2 1 n n 。 6. 证明： (1) y = ∑ ∞ =0 4 (4 )! n n n x 满足方程 y (4) = y ; (2) y = ∑ ∞ =0 2 n ( !) n n x 满足方程 x y′′ + y ' - y = 0。 7. 应用幂级数性质求下列级数的和 ⑴ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n ; ⑵ ∑ ∞ = ⋅ 1 2 1 n n n ; ⑶ ∑ ∞ = + + 1 1 4 ( 2) n n n n ; ⑷ ∑ ∞ = + 0 2 2 ( 1) n n n ; ⑸ ∑ ∞ = + − 0 3 (2 1) 1 ( 1) n n n n ; ⑹ ∑ ∞ = − − 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) n n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − 0 1 ! 2 ( 1) n n n n ; ⑻ ∑ ∞ = + 1 ! 1 n n n . 8．设正项级数∑ 发散， ，且 ∞ n=1 n a ∑= = n k n k A a 1 lim = 0 →∞ n n n A a ，求幂级数∑ 的收敛半径。 ∞ n=1 n n a x 9．设 ∑ ∞ = = 1 2 2 ( ) n n n x n f x 。 （1） 证明 f (x) 在 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 , 2 1 上连续，在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 , 2 1 上可导； （2） f (x) 在 2 1 x = 处的左导数是否存在？ 习 题 10.4 1. 求下列函数在指定点的 Taylor 展开，并确定它们的收敛范围： ⑴ 1 + 2x - 3x 2 + 5x 3 ， x0 = 1; ⑵ 2 1 x ， x0 = -1; 5

x元(3)xo= 0;(4)sinx，Xo=62-X-)Y(5)(6)3/4-x2,Inx，Xo=2;xo= 0,x-1(7)(8) (1+x) In (1-x), xo= 0;xo= 1;x+1er1+ x(0)(9) InXo= 0。xo= 0;1-xN1-x2.求下列函数在xo=0的Taylor展开x至x4：(1)(2)esin*至x4;sin x[1+ x(3)ncosx至x:(4)至x4。Vi-x3.利用幂级数展开，计算下列积分，要求精确到0.001。Isinxcosx?dx;(1)dx:(2)fdxarctanx(4) (3)-dx;1+x3xe-l4.应用在x=0的幂级数展开，证明xn1=(n+1)5.求下列函数项级数的和函数2(-1)"-1(2+x(1)台n(n+1)(2-x11(2)1++...+2n)nel(1（提示：考虑）和-ln(1-x)的幂级数展开的乘积）1-x6. 设(a,)是等差数列， b>1,求级数之%的和。n=ib"（提示：考虑幂级数之六"=ib"1Inx7．利用幂级数展开，计算dxJ01-x211(I)应用≥计算元的值，要求精确到10-4；8.=artan +aretang421(2)应用元计算元的值，要求精确到10-4=aresin，61e*dx的值，要求精确到10-。9.利用幂级数展开，计算6

⑶ 2 2 x x x − − ， x0 = 0; ⑷ sin x， x0 = 6 π ; ⑸ ln x ， x0 = 2; ⑹ 3 4 − x 2 ， x0 = 0; ⑺ 1 1 + − x x ， x0 = 1; ⑻ (1+x) ln (1-x), x0 = 0; ⑼ ln x x − + 1 1 ， x0 = 0; ⑽ x x − − 1 e , x0 = 0。 2. 求下列函数在x0 = 0 的Taylor展开 ⑴ x x sin 至 ； 4 x ⑵ sin x e 至 ； 4 x ⑶ ln cos x至 x 6 ； ⑷ x x − + 1 1 至x 4 。 3. 利用幂级数展开，计算下列积分，要求精确到 0.001。 ⑴ ∫ 1 0 d sin x x x ； ⑵ ∫ 1 0 2 cos x d x； ⑶ ∫ 2 1 0 d arctan x x x ； ⑷ ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x 。 4. 应用 x x e −1 在 x = 0 的幂级数展开，证明： ∑ ∞ =1 ( +1)! n n n = 1。 5．求下列函数项级数的和函数 （1）∑ ∞ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − 1 2 1 2 2 ( 1) ( 1) n n n x x n n ； （2）∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + 1 1 2 1 1 n n x n " 。 （提示：考虑 1− x 1 和 − ln(1− x) 的幂级数展开的乘积） 6．设{an }是等差数列，b > 1，求级数∑ ∞ n=1 n n b a 的和。 （提示：考虑幂级数 n n n x b n ∑ ∞ =1 ） 7．利用幂级数展开，计算 ∫ − 1 0 2 1 ln dx x x 。 8． (1) 应用 4 π = arctan 2 1 + arctan 3 1 , 计算π的值，要求精确到10 −4 ； (2) 应用 6 π = arcsin 2 1 , 计算π的值，要求精确到10 −4 。 9．利用幂级数展开，计算 ∫ 3 − 1 1 e dx x 的值，要求精确到10 −4 。 6

习题10.51.求f(x)=x的Bernstein多项式B,(f,x)。2.设f(x)=/x，xE[0,1]，求它的四次Bernstein多项式B4(F,)。3.设f(x)在[a,b]上连续，证明：对任意给定的e>0，存在有理系数多项式P(x)，使得I P(x) - /(x) / <对一切xE[a,b]成立。4.设f(x)在[a,b]上连续，且对任一多项式g(x)成立[" f(x)g(x)dx = 0证明在[a,b]上成立f(x)=0。X2 - P, ()5. 设 P(n)=0, Pu1(n)= P,(n) + 2（n=0,1,2,…),证明：（P,(x))在[-1,1])上一2致收敛于1x|。（提示：应用Dini定理）7

习 题 10.5 1. 求f (x) = x 3 的Bernstein多项式 Bn (f , x)。 2. 设 f (x) = x ，x∈[0, 1]，求它的四次 Bernstein 多项式 B4 (f ,x)。 3. 设 f (x)在[a, b]上连续，证明：对任意给定的ε＞0，存在有理系数多项式 P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切 x∈[a, b]成立。 4. 设 f (x)在[ , a b]上连续，且对任一多项式 g(x) 成立 ( ) ( ) = 0 ∫ b a f x g x dx 。 证明在[ , a b]上成立 f (x) ≡ 0。 5. 设 (x) = 0， (x) = (x) + P0 Pn+1 Pn 2 ( ) 2 2 x P x − n （n = 0,1,2,.），证明：｛ (x)｝在[-1,1]上一 致收敛于｜x｜。 Pn （提示：应用 Dini 定理） 7