复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第三章 函数极限与连续函数 3.1 函数极限 3.2 连续函数

第三章函数极限与连续函数习题3.1函数极限1.按函数极限的定义证明：(1) lim x3 =8;(2) lim Vx = 2;x+11x-1 =1(3) lim(4) lim22;(→02x-1x→3x+1(6) lim e-*=0;(5) limlnx =-00;2x(7) lim(8) lim+00;-8x-→2+ x2 - 400x+1证（1）先取x-20，取=minl1,>0，当00，取=min(4,2)>0，当00，取=min(1,6s)>0，当01，则2x-≥风，于是对任意2x-12-22x-1*2当>X时，成立13的>0，取X=max(1二]>0，<62x-1~2|~22g所以x+1_1lim2x-1234

第三章 函数极限与连续函数 习 题 3.1 函数极限 1. 按函数极限的定义证明： ⑴ lim x→2 x 3 ＝8； ⑵ lim x→4 x = 2； ⑶ lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 ； ⑷ lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 ； ⑸ lim ln x x → +0 = − ∞； ⑹ lim x→+∞ e− x ＝0； ⑺ lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞； ⑻ lim x→−∞ x x 2 +1 = −∞。 证 （1）先取 x − 2 0，取 0 19 min 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε δ ，当0 0 ， 取 δ = min{4,2ε} > 0 ， 当 0 0 ， 取 δ = min{1,6ε}> 0 ， 当 0 1，则 2x −1 ≥ x ， 2 1 2 1 1 − − + x x 2 2 1 3 − = x 2 x 3 ≤ ，于是对任意 的ε > 0，取 0 2 3 max 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε X ，当 x > X 时，成立 2 1 2 1 1 − − + x x ≤ < ε 2 x 3 ， 所以 lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 。 34

（5）对任意的G>0，取=e-G>0，当00,当x>X时,成立01，于是对任意的G>0，取x+22x1112x当0G x2 -4(x+2)(x-2)x-2G所以2xlim=+800X-2+ x2 - 4（8）先取x1，于是对任意的G>0，取X=max(l,G),x+I当x0(1+ 5x +6x2)-1(1+ 2x)(1+ 3x) -1(4)limlim=5.X0xx-0x35

（5）对任意的G > 0，取δ = e−G > 0，当0 ε X ，当 时，成立 ， 所以 x > X ε ε x + x ，于是对任意的G > 0，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = G 1 δ min 1, ，当0 − > + − = − 2 1 ( 2)( 2) 2 4 2 2 ， 所以 lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞。 （8）先取 x x + x ，于是对任意的 ，取 ， 当 时，成立 G > 0 X = max{1,G} x < −X x G x x < < − +1 2 ，所以 lim x→−∞ x x 2 +1 = − ∞。 2. 求下列函数极限： ⑴ lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑵ lim x→∞ x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑶ lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x x x − + − + x ； ⑷ lim x→0 ( ) 1 2 + x x (1+ 3 ) −1 x ； ⑸ lim x→0 ( ) 1 1 + − x x n ； ⑹ lim x→0 ( ) 1 1( ) 2 + − mx + nx x n m ； ⑺ lim x a → sin x a sin x a − − ； ⑻ lim x→0 x x 2 1− cos ； ⑼ lim x→0 cos x x cos x − 3 2 ； ⑽ lim x→0 3 tan sin x x − x 。 解 （1）lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − 1 lim → = x = + + 2 1 1 x x 3 2 。 （2）lim x→∞ = − − − 2 1 1 2 2 x x x 2 1 。 （3）lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x 0 lim → = x x x x − + − + = − + − + 2 4 2 4 3 2 5 3 x x x x 3 2 。 （4）lim x→0 = + + − x (1 2x)(1 3x) 1 lim x→0 = + + − x (1 5x 6x ) 1 2 5。 35

C,x+C2x?+...+x"(1+x)" -1(5)limlim=n。x→0-0xx(1+mx)" -(1+ nx)m(6)limx2x-→0(1+nmx+C,m?x?+...+m"x")-(1+mnx+C2n?x?+...+n"x")= limx2x->01-nm(n-m)。2x+ax-a2cossinsinx-sina22(7)lim= lim=cosa。x-ax-ax-→ax-a2t(8)lim= lim2。10X-→01-cosxx2sin2coSx-cos3x2sin4xsin2x(9)lim=lim4x?x2X→01-→02sinxsin2tanx-sinx-(10)lim= limPlox3r→0xcosxx->03.利用夹逼法求极限：1(1) lim x(2) lim x。-→0:→1n.n当有-解（1）Vx>0，由lim-=1，可知x00n由此得到可知lim=l。x->0-xlim x-1x→0Lx111(2）当n≤x00得到1lim xx =1。x-→+o4利用夹逼法证明：xk=0(1)lim(a>1，k为任意正整数);x-o arIn* x(k为任意正整数）。(2)=0limxX→+36

（5）lim x→0 = + − x x n (1 ) 1 lim x→0 = + + + x C x C x x n n 1 n 2 2 " n。 （6）lim x→0 2 (1 ) (1 ) x mx nx n m + − + 0 lim → = x 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) x nmx C m x m x mnx C n x n x m m m n n + + n +"+ − + + +"+ ( ) 2 1 = nm n − m 。 （7）lim x a → = − − x a sin x sin a lim x a → x a x a x a − + − 2 sin 2 2cos = cosa。 （8）lim x→0 = − x x 1 cos 2 lim x→0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2sin2 2 x x 2。 （9）lim x→0 = − 2 cos cos3 x x x lim x→0 = 2 2sin 4 sin 2 x x x 4。 （10）lim x→0 = − 3 tan sin x x x lim x→0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x x x x cos 2 2sin sin 3 2 2 1 。 3. 利用夹逼法求极限： ⑴ limx→0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 1 ； ⑵ limx→+∞ x x 1 。 解（1）∀x > 0，当 n x n 1 1 1 < ≤ + ，有 1 1 1 ≤⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ < + x x n n 。由 1 1 lim = →∞ n + n n ，可知 →0+ lim x 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。∀x < 0，当 1 1 1 + − < ≤ − n x n ，有 n n x x 1 1 1 + <⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≤ 。由 1 1 lim = + →∞ n n n ， 可知 →0− lim x 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。由此得到 0 lim x→ 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。 （2）当n ≤ x < n +1，有 n x n n x n 1 1 1 1 < < ( +1) + 。由n→∞ lim 1 1 1 = n+ n 与n→∞ lim ( 1) 1 1 + = n n ， 得到 limx→+∞ 1 1 = x x 。 4. 利用夹逼法证明： (1) limx→+∞ x k a x = 0 (a＞1，k 为任意正整数)； (2) limx→+∞ lnk x x = 0 (k 为任意正整数)。 36

xk, ([x] +1)k(n+1)k由 lim解（1）首先有00+X→1+x-→2(2)lim f(x)=-1, lim f(x)=1。（3）D(x)在任意点无单侧极限。(4) lim (x)=0, lim f(x)=1。X-x)2n6.说明下列函数极限的情况：sinx(1)lim(2)lime'sinx;x1lim /1+(3)(4) 1limxasin-+→+o(6)lim(5)道limsinx=0。解（1)limx-x(2)lime"sinx极限不存在，所以limesinx极限不lim e"sinx=0,X-→-00-存在。37

解（1）首先有 [ ] ([ ] 1) 0 x k x k a x a x + < < ，由 0 ( 1) lim = + →∞ n k n a n 即得到 limx→+∞ x a k x = 0。 （2）令ln x = t，则 t k k e t x x = ln ，且当 x → +∞时，有t → +∞。再利用（1） 的结论，即得到 limx→+∞ lnk x x = 0。 5. 讨论单侧极限： (1) f (x) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < < < < ≤ 2 2 3, , 1 2, , 0 1, 2 1 2 x x x x x x 在 x = 0,1,2 三点； (2) f (x) = 2 2 1 1 1 x x + − 1 ， 在 x = 0 点； (3) Dirichlet 函数 D (x) = 在任意点； ⎩ ⎨ ⎧ 0, , 1, , 为无理数 为有理数 x x (4) f (x) = x 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x 1 , 在 x = 1 n （n = 1 2, ,3,"）。 解（1） = +∞ → + lim ( ) 0 f x x ， 2 1 lim ( ) 1 = → − f x x ，lim ( ) 1 1 = → + f x x ，lim ( ) 4 2 = → − f x x ，lim ( ) 4。 2 = → + f x x （2） lim ( ) 1 0 = − → − f x x ， lim ( ) 1 0 = → + f x x 。 （3）D(x)在任意点无单侧极限。 （4） lim ( ) 0 1 = → − f x n x ， lim ( ) 1 1 = → + f x n x 。 6. 说明下列函数极限的情况： (1) limx→∞ sin x x ; (2) limx→∞ e sin x x ; (3) limx→+∞ x x α sin 1 ; (4) limx→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ; (5) limx→∞ x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (6) limx→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 。 解（1）limx→∞ = x sin x 0。 （2） ， x→−∞ lim e sin x = 0 x x→+∞ lim e sin x x 极限不存在，所以limx→∞ e sin x x 极限不 存在。 37

foα1=0，所以lim(4)极限不存limimQX-toX在。(5)lim+(-[)=0, μ([]-2一，则 lim(6）取x=1n+2及限不存在。所以lim7.设函数2+exsinxf(x):[ x |ltex问当x→0时，f(x)的极限是否存在？12+exsinx解由于limf(x)=lim=0+1=1xx-0Y12+exsinx2-1=1，所以lim f(x)= lim41X0-X-→0-x1+ex12+exsinxlim f(x) = lim4[x|x->0→(Itex8.设limf(x）=A（a≥0)，证明：limf(x2）=A证设limf(x)=A（a≥0)，则>0，s>0，x(00，则当0<x-a<8时，首先有If(x)-Al<8。取3=min1+2/a]x+a<1+2a，于是02-al=x+Va)(x-Va)<8，从而[f(x2)-Al<6，这就说明了lim f(x2)=A。9.（1)设lim f(x3）=A，证明：lim f(x)=A。38

（3） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ∞ > = 0，∃δ '> 0，∀x(0 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = a δ δ ，则当 0 < x − a < δ 时，首先有 x + a < 1+ 2 a ，于是 < x − a 2 0 = (x + a)(x − a) < δ ' ，从而 f (x ) − A < ε 2 ，这就说明了 lim x a → f x( ) 2 = A 。 9. (1) 设 = A，证明： = A 。 0 lim x→ ( ) 3 f x 0 lim x→ f (x) 38

(2）设limf(x2）=A，问是否成立limf(x）=A？证（1）设limf(x3）=A，则V>0，8>0，Vx(00，则当00(2)当limf(x2)=A时，不一定成立limf(x)=A。例如：f(x)=10 x0,VN,3n>N:|≥80。(2)3G>0,VN,3n>N:x,≤G。(3) 380 >0,V8 >0,xE(x0,Xo +8):f(x)-A|≥80 0(4) 3G>0, V8>0,3x(xo -,xo):f(x)≤Go o(5) 380 >0,VX >0,3xe(-00,-X):f(x)- A|≥80 。(6) 3G。 >0,VX >0,3xE(X,+): f(x)≥-Go 。11.证明limf(x)=+的充分必要条件是：对于任意从右方收敛于xo的数列(x,)(x,>xo)，成立lim f(x,)=+00 。证必要性：由lim(x)=+，可知G>0，8>0，Vx(0G。因为数列(x,(x>x)收敛于x，对于上述>0，FN，Vn>N：0N时，成立f(x)>G，即lim f(x,)=+o0。充分性：用反证法。设limf(x)=+不成立，则3G>0，V8>0，3x(0<x-xo <): (x)≤Go。取8,=1n=1,2,3,...n对于,=1,3x(0<x-xo<1):f(x)≤Go;39

(2) 设 = A，问是否成立 = A？ 0 lim x→ ( ) 2 f x 0 lim x→ f (x) 证 （1）设 = A，则 0 lim x→ ( ) 3 f x ∀ε > 0 ， ∃δ '> 0 ， ∀x(0 0 ，则当 0 = 0 0 1 0 ( ) x x f x 0 lim x→ ( ) 1 2 f x = 0 lim x→ f (x) 10. 写出下述命题的“否定命题”的分析表述： (1) { xn }是无穷小量； (2) { xn }是正无穷大量； (3) f (x) 在 x0 的右极限是 A； (4) f (x) 在 x0 的左极限是正无穷大量； (5) 当 x → − ∞ , f x( ) 的极限是 A； (6) 当 x→ + ∞ ， f x( ) 是负无穷大量。 解（1） 0 0 ∃ε > 0,∀ ,∃ > : ≥ ε n N n N x 。 （2）∃G0 > 0,∀N,∃n > N : xn ≤ G0。 （3） 0 0 0 0 ∃ε > 0,∀δ > 0,∃x∈(x , x +δ ): f (x) − A ≥ ε 。 （4） 0 0 0 0 ∃G > 0,∀δ > 0,∃x∈(x −δ , x ): f (x) ≤ G 。 （5） 0 0 ∃ε > 0,∀X > 0,∃x∈(−∞,−X ): f (x) − A ≥ ε 。 （6） 0 0 ∃G > 0,∀X > 0,∃x∈(X ,+∞): f (x) ≥ −G 。 11. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意从右方收敛于 的数列{ } ，成立 limx x → +0 f x( ) + ∞ x0 xn ( ) 0 x x n > limn→∞ f xn ( ) =+ ∞。 证 必要性：由 lim = x x → +0 f x( ) + ∞ ，可知∀G > 0，∃δ > 0， (0 ) ∀x G 。因为数列{ xn } (xn > x0 ) 收敛于 x0 ，对于上述δ > 0 ， ， ： ∃N ∀n > N 0 N f (xn ) > G limn→∞ f xn ( ) + ∞ 充分性：用反证法。设 lim = x x → +0 f x( ) + ∞ 不成立，则∃G0 > 0，∀δ > 0， (0 ) ∃x < x − x0 < δ ： f (x) ≤ G0。取 n n 1 δ = ，n = 1,2,3,"： 对于 1 δ 1 = ， (0 1) ∃x1 < x1 − x0 < ： 1 0 f (x ) ≤ G ； 39

对于8,3x2(0xo)收敛于xo，但相应的函数值数列(f(xn)不可能是无穷大量，由此产生矛盾，所以limf(x)=+o成立。12.证明lim(x)=-co的充分必要条件是：对于任意正无穷大量(x,),成立lim f(x,)=-00 。证必要性：由lim(x)==，可知VG>0，X>0，Vx>X：f(x)0，EN，Vn>N：x>X。于是当n>N时，成立f(x,)0，VX>0，3x>X：f(x)≥-Go。取X,=n，n=1,2,3,..:对于X,=1,3x,>1:f(x)≥-Go;对于X,=2，3x2>2：f(x2)≥-Go;.,对于X=k，3x>k：f(x)≥-Go;于是得到数列x为正无穷大量，但相应的函数值数列（f(x）)不可能是负无穷大量，由此产生矛盾，所以limf(x)=-o成立。13.证明limf(x)存在而且有限的充分必要条件是：对于任意正无穷大量(x)，相应的函数值数列(f(x))收敛。证必要性：设limf(x)=A，则V>0，X>0，Vx>X：1(x)-AK。因为数列x是正无穷大量，对于上述X>0，EN，Vn>N：x>X。于是当n>N时，成立If(x）-Ak8，即limf(x）=A。充分性：因为对于任意正无穷大量，x，相应的函数值数列(f(x）)收敛，我们可以断言（f(x，）)收敛于同一个极限。如果存在正无穷大量(x,)与(x",，使得limf(x,）=A，limf(x",）=B，且A+B，则取x2n-1=x,，x2n=x,，（x)仍然是正无穷大量，但相应的函数值数列(f(x,))不收敛。设(f(x))都收敛于同一个极限A，现用反证法证明limf(x)=A。40

对于 2 1 δ 2 = ， ) 2 1 (0 ∃x2 x0 ( ) n f x limx x → +0 f x( ) + ∞ 成立。 12. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{ }, 成立 x→+∞ lim f x( ) − ∞ xn limn→∞ f xn ( ) =− ∞。 证 必要性：由 = x→+∞ lim f (x) − ∞，可知∀G > 0，∃X > 0，∀x > X ： 。 因为数列{ }是正无穷大量，对于上述 ， f (x) 0 ∃N ，∀n > N ： 。 于是当 时，成立 xn > X n > N f (xn ) 0，∀X > 0， ： 。取 ， ： ∃x > X 0 f (x) ≥ −G Xn = n n = 1,2,3," 对于 X1 = 1， 1 ∃x1 > ： 1 0 f (x ) ≥ −G ； 对于 X2 = 2，∃x2 > 2： 2 0 f (x ) ≥ −G ； ", 对于 Xk = k ，∃xk > k ： 0 f (xk ) ≥ −G ； ", 于是得到数列{ }为正无穷大量，但相应的函数值数列{ 不可能 是负无穷大量，由此产生矛盾，所以 = xn f (xn )} x→+∞ lim f (x) − ∞成立。 13. 证明 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意正无穷 大量{ }，相应的函数值数列{ }收敛。 limx→+∞ f x( ) xn f xn ( ) 证 必要性：设 lim ，则 x→+∞ f (x) = A ∀ε > 0，∃X > 0，∀x > X ：| f (x) − A | 0，∃N ，∀n > N ： 。 于是当 时，成立 xn > X n > N | f (x ) − A |< ε n ，即n→∞ lim f (xn ) = A。 充分性：因为对于任意正无穷大量{ xn }，相应的函数值数列 { }收敛，我们可以断言{ }收敛于同一个极限。如果存在正 无穷大量{ }与{ }，使得 f xn ( ) f xn ( ) n x' n x" f x n A n = →∞ lim ( ' ) ， f x n B n = →∞ lim ( " ) ，且 A ≠ B ， 则取 ， ，{ }仍然是正无穷大量，但相应的函数值 数列{ }不收敛。 n n x x' 2 −1 = n n x x" 2 = xn f xn ( ) 设{ f x( n ) }都收敛于同一个极限 A，现用反证法证明 lim 。 x→+∞ f (x) = A 40

设limf(x)=A不成立，则3>0，VX>0，x>X：1f(x)-A80。取X,=n，n=1,2,3,..:对于X,=1，x,>1:1f(x)-A80;对于X2=2，3x2>2:1f(x2)-A80:对于X=，x>:If(x)-A80;于是得到数列(x,)为正无穷大量，但相应的函数值数列(f(x)不收敛于A，由此产生矛盾，所以limf(x)=A。14.分别写出下述函数极限存在而且有限的Cauchy收敛原理，并加以证明：(1) lim f(x); (2) lim F(x); (3) lim J(x)。解（1）极限limf(x)存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的>0，存在>0，对一切x,x"e≤00，38>0，Vx,x"e(00，N，Vn>：0n>时，成立f(xm)-f(x）0，存在8>0，对一切x,x"e刚00，38>0，Vx,x"e例0xo，limx,=xo，则对于条件中的>0，N，Vn>：0n>N时，成立If(xm）-f(xn)<s。这说明函数值数列(f(x,)是基本数列，因而收敛。再根据相应的Heine定理，可知limf(x)存在而且有限。41

设 limx→+∞ f (x) = A不成立，则∃ε 0 > 0，∀X > 0，∃x > X ： 0 | f (x) − A |≥ ε 。 取 Xn = n ，n = 1,2,3,"： 对于 X1 = 1， 1 ∃x1 > ： 1 0 | f (x ) − A |≥ ε ； 对于 X2 = 2，∃x2 > 2： 2 0 | f (x ) − A |≥ ε ； ", 对于 Xk = k ，∃xk > k ： 0 | f (x ) − A |≥ ε k ； ", 于是得到数列{ }为正无穷大量，但相应的函数值数列{ 不收敛 于 xn f (xn )} A，由此产生矛盾，所以 x→+∞ lim f (x) = A。 14．分别写出下述函数极限存在而且有限的 Cauchy 收敛原理，并加 以证明： （1） lim ；（2） ；（3） 。 x x → 0 f x( ) limx x → +0 f x( ) limx→−∞ f x( ) 解 （1）极限 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给 定的 limx x → 0 f x( ) ε > 0，存在δ > 0，对一切 x', x"∈{x 0 0，∃δ > 0， ∀x', x"∈{x 0 0 ， ∃N ， ∀n > N ： 0 n > N 时，成立 ( ) − ( ) 0，存在δ > 0，对一切 x', x"∈{x 0 0，∃δ > 0， ∀x', x"∈{x 0 x0， 0 lim x x n n = →∞ ，则对于条件中 的 δ > 0 ， ∃N ， ∀n > N ： 0 n > N 时，成立 ( ) − ( ) < ε m n f x f x 。这说明函数值数列{f (xn )}是基本数列，因而收敛。 再根据相应的 Heine 定理，可知x x lim → + 存在而且有限。 0 f x( ) 41

（3）limf(x)存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的s>0，存在X>0，对一切x,x"0，X>0，Vx,x"0，FN，Vn>N：x,n>N时，成立|f(xm)-f(xn)<8。这说明函数值数列(f(x)是基本数列，因而收敛。再根据相应的Heine定理，可知limf(x)存在而且有限。15.设f(x)在(0,+)上满足函数方程f(2x)=f(x)，且limf(x)=A，证明f(x)=A, xe(0,+)。证VxoE(0,+oo)，利用f(x)=f(2x)得到f(xo)=f(2"xo)，由于lim f(2"xo)= lim f(x)=A， 得到 f(x)=A, xE(0,+o0)。42

（3）lim 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的 x→−∞ f x( ) ε > 0， 存在 X > 0，对一切 x', x" 0 ， ∃X > 0 ， ∀x', x" 0 ∃N ∀n > N xn n > N ( ) − ( ) < ε m n f x f x 。 这说明函数值数列{ 是基本数列，因而收敛。再根据相应的 Heine 定理，可知 存在而且有限。 f (xn )} limx→−∞ f x( ) 15．设 f (x) 在(0,+∞)上满足函数方程 f (2x) = f (x) ，且 ，证 明 limx→+∞ f (x) = A f (x) ≡ A, x ∈ (0,+∞)。 证 ∀x0 ∈ (0,+∞) ，利用 f (x) = f (2x)得到 f (x0 ) = f (2n x0 )，由于 f x f x A x n n = = →∞ →+∞ lim (2 ) lim ( ) 0 ，得到 f (x) ≡ A, x ∈ (0,+∞)。 42

习题3.2连续函数1.按定义证明下列函数在其定义域连续：(1)y= Vx;(2) y = sin-sinxx+0,(3) yx=0证（1）函数y=/x的定义域是D=[0,+o0）。设x。ED，对任意的s>0，取=2>0，当x-x0，取8=min>0，当x-x0，取Jxo! IxoP>0，当x-xo<8时，成立8=min22(x0|+1)°Jxo sin x- x sin xol xosin x-sin xo| +sin xox-xolsinxsinxo[xxol[xxol中Xo2(x0/ + 1)o<8,[xo0l2sinxx*0,在其定义域连续。所以xlx=02.确定下列函数的连续范围：(2) y(1) y = tanx + csc x ;Vcosx(x - 1)(x - 3)(3)(4) y = [x] In (1+x);x+143

习 题 3.2 连续函数 1. 按定义证明下列函数在其定义域连续： (1) y = x ； (2) y = sin x 1 ； (3) y = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 1, 0. , 0, sin x x x x 证 （1）函数 y= x 的定义域是D = [0,+∞) 。设 x0 ∈ D，对任意的ε > 0， 取δ = ε2 > 0，当 x − x0 0，取 0 2 | | , 2 | | min 2 0 0 > ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ δ = ε x x ，当 x − x0 0，取 0 2( 1) | | , 2 | | min 0 2 0 0 > ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + δ = ε x x x ，当 x − x0 < δ 时，成立 0 0 0 0 0 sin sin sin sin xx x x x x x x x x − − = 0 0 0 0 0 sin sin sin xx x x − x + x x − x ≤ − < ε + < 2 0 0 0 2( 1) x x x x ， 所以 y=⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 1, 0 , 0, sin x x x x 在其定义域连续。 2. 确定下列函数的连续范围： ⑴ y = tan x + csc x ； ⑵ y = 1 cos x ； ⑶ y = ( ) x x( x − − + 1 3 1 ) ； ⑷ y = [x] ln (1+x)； 43