复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第七章 定积分 7.1 定积分的概念和可积条件

第七章定积分习题7.1定积分的概念和可积条件1.用定义计算下列定积分：(2) J’a*dx (a>0)ax + b) dx ;(1)21n-llna(n→), a"→1(n→),2ann(l-a")n1α"(1-a)a-1-1之即所以ar-nInai=ln(1-a")a-1I'a' dx =Ina2．证明，若对[a,b]的任意划分和任意5,e[x-1,x,]，极限lim≥f(5,)Ax,都存在，则f(x)必是[a,bl上的有界函数。证用反证法。设lim之f(5)Ax,=1，则取ε=1,38>0，对任意的划分P就有与任意e[x-,x]，只要=max(Ax)<8，Z f(5,)Ax,/<[|+1 。取定了划分后，n与Ax.(i=1,2...n)也就确定，如果f(x)在[a,bl上无界，则必定存在小区间[xi-,x]，f(x)在[x-1,]上无界。取定203

第七章 定积分 习 题 7.1 定积分的概念和可积条件 1. 用定义计算下列定积分： ⑴ ∫ ( ) ax + b dx 0 1 ; ⑵ a dx x 0 1 ∫ ( a > 0 ). 解 （1）取划分： 1 1 2 1 0 0，对任意的划分 与任意 P 1 [ , i i ]i ξ x x ∈ − ，只要λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x ， 就有 ( ) 1 1 ∑ ∆ < + = f x I n i ξ i i 。 取定了划分后，n与 ( 1, 2, i ∆ = x i "n) ] 也就确定，如果 在[ , 上无 界，则必定存在小区间 f (x) a b] 1 [ , i i x x − ， f (x)在 1 [ , i i x x ] − 上无界。取定 203

5，55,5，必可取到5，使(5,)Ax+1不成立，从而产生矛盾，所以f(x)必是[a,b]上的有界函数。3．证明Darboux定理的后半部分：对任意有界函数f(x)，恒有lim S(P) = 1 证V>0，因为I是S的上确界，所以S(P)eS，使得0≤1-S(P)<号。2°设划分P':a=x<x<x<<x,=b，M,m是f(x)的上、下确界，取t8 = min xi, r,,Axp- (p-1(M - m)对任意一个满足=max(Ar,)<8的划分P:a=xo<xi<x <...<x, =b,记与其相应的小和为S(P)，现将P,P的分点合在一起组成新的划分P"，则由引理7.1.1，S(P)-S(P")≤0。下面来估计S(P")-S(P)：(1）若在(xi-1sx,)中没有P'的分点，则S(P"),S(P)中的相应项相同，它们的差为零；（2）若在(xi-1,x)中含有P"的分点，由于两种划分的端点重合，所以这样的区间至多只有p-1个。由的取法，可知Ax, ≤8≤Ax,i=12,,n, j =1,2,.,p,所以在(x-1,x,)中只有一个新插入的分点x，这时S(P"),S(P)中的相应项的差为[m'(x, -xi--)+m;(x,-x)]-m,(x, -x-1) ≤(M -m)(x, -X-1) <(M -m),204

1 1 1 , , , , , i i n ξ ξ ξ ξ " − + " ，必可取到ξ i，使 ( ) 1 1 ∑ ∆ 0，因为l是S的上确界，所以 ∃S(P′)∈S，使得 2 0 ( ) ε ≤ l − S P′ < 。 设划分P′ : a = x0 ′ < x1 ′ < x2 ′ < " < x′ p = b，M ,m是 f (x)的上、下确界，取 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∆ ′ ∆ ′ ∆ ′ 2( 1)( ) min , , , , 1 2 p M m x x x p ε δ " ， 对任意一个满足λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x 的划分 P a x x x x b : = 0 < 1 < 2 < " < n = ， 记与其相应的小和为 S(P) ，现将 P′, P 的分点合在一起组成新的划分 P′′，则由引理 7.1.1，S(P′) − S(P′′) ≤ 0。 下面来估计S(P′′) − S(P)： （1）若在(xi−1 , xi)中没有P′的分点，则S(P′′), S(P)中的相应项相同， 它们的差为零； （2）若在(xi−1 , xi)中含有P′的分点，由于两种划分的端点重合，所 以这样的区间至多只有 p −1个。由δ 的取法，可知 ∆xi ≤ δ ≤ ∆x′ j , i = 1,2,", n, j = 1,2,", p， 所以在(xi−1 , xi)中只有一个新插入的分点 j x′ ，这时S(P′′), S(P)中的相 应项的差为 [ ( ) ( )] ( ) −1 − − −1 ′ ′ − + ′′ − ′ i j i i i j i i i m x x m x x m x x ( )( ) ≤ − i − i−1 M m x x < (M − m)δ ， 204

2从而 0≤S(P")-S(P)0，存在一种划分p'，使得相应的振幅满足o'Ar'<3.6即(P)-S(P)。取=minAxi,Ar2.,Ar,对任意-33(p-1)(M -m)个满足=max(Ax,)<的划分P:a= xo <x <x <...<x,=b,现将P',P的分点合在一起组成新的划分P"，则由Darboux定理的证明过程，可得0 ≤S(P) - S(P)=[S(P)- S(P"))+[S(P")-S(P))+[S(P')- S(P']+[S(P") - S(P"))+[S(P") - S(P)]<号+0+号+0+号=6,33.3由定理7.1.1，可知f(x)在[a,bl上可积。5.讨论下列函数在[0,1]的可积性：[-[], x0,[-1，x为有理数,(1) f(x) =(2) f(x) =x为无理数;[0,x=0,[1,[0，x为有理数,[sgn(sin), x0,(3) f(x) =(4) f(x) =[o,x，x为无理数;X=0.205

从而 2 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ε ≤ S P′′ − S P 0，存在一种划分P′，使得相应的振幅满足 1 3 ε ∑ω′∆ ′ < = p i i i x ， 即 3 ( ) ( ) ε S P′ − S P′ < 。取 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∆ ′ ∆ ′ ∆ ′ 3( 1)( ) min , , , , 1 2 p M m x x x p ε δ " ，对任意一 个满足λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x 的划分 P : a = x0 < x1 < x2 < " < xn = b， 现将P′, P的分点合在一起组成新的划分P′′，则由 Darboux 定理的证明 过程，可得 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P ′ − ′ + ′ − ′′ + ′′ − ≤ − = − ′′ + ′′ − ′ + ε ε ε ε < + + + + = 3 0 3 0 3 ， 由定理 7.1.1，可知 f (x)在[a,b]上可积。 ⒌ 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性： ⑴ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = − ≠ = 0, 0; [ ], 0, 1 1 x x x x ⑵ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧− = 1, ; 1, , 为无理数 为有理数 x x ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = , ; 0, , 为无理数 为有理数 x x x ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0. sgn(sin ), 0, x x x π 205

...与解：（1）0≤f(x)0，取定m>2，(x)在区间[二,1}上只有有限个不连续点，-所以f(x)在[一,1]上可积，即存在[一,1]的一个划分P，使得1,A,号，将P的分点和 0合在一起，作为[0,1]的划分P"，则2=l416EZo,Ax, =Zo,Ax, +0(At 0，取定m>三，则()在[二,1上只有有限个不连续点,amC所以f(x)在[一,1]上可积，即存在[二,1]的划分P，使得之o,Ax,0（m为常数），206

解：（1）0 ( ≤ f x) 0，取定 ε 2 m > ， f (x)在区间 ,1] 1 [ m 上只有有限个不连续点， 所以 f (x)在 ,1] 1 [ m 上可积，即存在 ,1] 1 [ m 的一个划分P ，使得 1 2 ε ∑ω ∆ ε 0，取定 ε 4 m > ，则 f (x)在 ,1] 1 [ m 上只有有限个不连续点， 所以 f (x)在 ,1] 1 [ m 上可积，即存在 ,1] 1 [ m 的划分P ，使得 1 2 ε ∑ω ∆ 0 （m为常数）， 206

证明六在[a,b]上也可积。f(x)证任取[a,b]的一个划分：a=x0,3>0，当=max(Ax,)0，取C(2M-c-a,b-c]，则 3N>0,当n>N时，1,-d0与>0，存在划分P，使得振幅の,≥的那些小区间[xi-,x,]的长度之和Ax,<α（即振幅不能任意小的那些小207

证明 ( ) 1 f x 在[ , a b]上也可积。 证 任取[ , a b]的一个划分：a = x0 0,∃δ > 0 ，当 λ = ∆ 0 ，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = c − a b − c M , , 12 min ε δ ，则 ∃N > 0，当n > N 时， xn − c 0与σ > 0，存在划分P ，使得振幅ω ≥ ε i 的 那些小区间[xi−1 , xi]的长度之和 ∑≥ ∆ < ω ε σ i i x （即振幅不能任意小的那些小 207

区间的长度之和可以任意小）。证充分性：设|f(x)≤M。V=>0，存在划分P，使得振幅の,≥的那些小区间的长度之和Ax0与。>0，对任意划分P，振幅の,≥80的小区间的长度之和不小于o，于是Z0,Ax, = Z0,Ax,+ Z0,Ax, ≥6. Z4x, 20050,i=l0,0,8>0,Vu,u[A,B]，只要u-8，就成立1-a由于f(x)在[a,b]可积，由习题8,对上述ε>0与>0,存在划分P,使得振幅の,()≥的小区间的长度之和小于，于是4MZo,(gof)ax,= ZEo,(gof)ax, + Zo,(goJ)Ar,ffk00)2668(b-a)+2M .EAx, +2M Zax, <62(b-a)。<4M2(b-a)0,()28即复合函数g(f(x)在[a,b]上可积。208

区间的长度之和可以任意小）。 证 充分性: 设 f (x) ≤ M 。 ∀ε = σ > 0 , 存在划分P , 使得振幅ω ≥ ε i 的那些小区间的长度之和 ∑≥ ∆ 0与σ 0 > 0，对任意划分P ，振幅 0 ω ≥ ε i 的小区间的长度之和不小于σ 0 , 于是 0 0 0 1 0 0 0 ω ω ω ε σ ε ω ε ω ε ω ε ∑ ∆ = ∑ ∆ + ∑ ∆ ≥ ∑∆ ≥ = i 0 ,∃δ > 0 ,∀u',u"∈[A, B], 只要 u'−u" 0与δ > 0 , 存在划分 P ,使得振幅ωi( f ) ≥ δ 的小区间的长度之和小于 4M ε , 于是 ∑ ∑ ∑ = < ≥ ∆ = ∆ + ∆ ω δ ω δ ω ω ω 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f i i f i i n i i i i i g D f x g D f x g D f x ε ε ε ε ω δ ω δ − + ⋅ = − ∆ + ∆ < − < ∑ ∑ < ≥ M b a M b a x M x b a f i f i i i 4 ( ) 2 2( ) 2 2( ) ( ) ( ) ， 即复合函数 g f ( (x))在[ , a b]上可积。 208