复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第九章 数项级数 9.1 数项级数的收敛性 9.2 上极限与下极限

第九章数项级数习题9.1数项级数的收敛性1.讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。(1) __2n(2) n(n+2)台3n+1(3) 211=(2"n(n+1)(n+2)3n(6) 2j 51 +4m(5) 1mein32nn=l22m1(7) Z(/n+2-2/n+1+/n);(8) 34na/n=lorcao(Igkl)(9) 2(1111a+2军（1）S,=>所以解k+22n+2k=ik(k+2)n+13S= lim S,=n→002（2）因为limxn所以级数发散。￥0，O-n-0012W热(11111(3) S, =-(1--2.2k+1k+2 k(k+ 1)(k + 2)n+1n+2所以1S= lim S,-.n→00GL(G)11(4) S.=所以13G2k13k2111-1231S=limS,=102n-→00（5）因为limx，=1+0，所以级数发散。1

第九章 数项级数 习 题 9.1 数项级数的收敛性 1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。 ⑴ ∑ ∞ =1 ( + 2) 1 n n n ; ⑵ ∑ ∞ =1 3 +1 2 n n n ; ⑶ ∑ ∞ =1 ( +1)( + 2) 1 n n n n ; ⑷ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 3 1 2 1 n n n ; ⑸ ∑ ∞ =1 1 n n n ; ⑹ ∑ ∞ = − + + 1 2 1 1 3 5 4 n n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − + + 1 ( 2 2 1 ) n n n n ; ⑻ ∑ ∞ = − 1 3 2 1 n n n ; ⑼ 0 cos n n q nθ ∞ = ∑ (| q |< 1). 解 （1） ∑ = + = n k n k k S 1 ( 2) 1 ∑ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − n k 1 k k 2 1 1 2 1 ) 2 1 1 1 2 1 (1 2 1 + − + = + − n n ，所以 4 3 = lim = →∞ n n S S 。 （2）因为 0 3 2 lim = ≠ →∞ n n x ，所以级数发散。 （3） ∑ = + + = n k n k k k S 1 ( 1)( 2) 1 ∑ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = − n k 1 k k k 2 1 1 1 2 2 1 ) 2 1 1 1 2 1 (1 2 1 + + + = − − n n ， 所以 4 1 = lim = →∞ n n S S 。 （4） ∑ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − n k n k k S 1 3 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⋅ n 3 1 1 3 1 1 3 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ n ，所以 2 1 = lim = →∞ n n S S 。 （5）因为 lim = 1 ≠ 0，所以级数发散。 →∞ n n x 1

(S)492541+4k+169(6) S.所以=32k5949k=l1-1-99S= lim S, =3220-(7）S,=/n+2-/n+1-/2+1，所以S= limS, =-/2+1。n>0022k-S2k!n=12k+1则3S,(8）设s,=)两式相减，得到21 3k-13kk=0 3kk=ln-1(G)1-22n-122n-12S, =1+=1+13k33"13"1-3所以S=limS, =l;n>00(geio)n+)niko(9)由lqkl，得到Lq1-qeiok=02geo12geno=lim?1-qein-+ok=0n=0利用Euler公式ei=cosa+isine，对上式两边取实部，得到1-qcoso2g"cosn =1-2qcos6+gn=02.确定x的范围，使下列级数收敛。1(1) (2) Ve(1- x)"Tl(3) Z(1- x).=1解<1解得xE-0,0)U(2,+00)。(1) 由-1<1-x(2）由ex<1解得xE(-0,0)。2

（6） ∑ = − + + = n k k k k Sn 1 2 1 1 3 5 4 9 5 1 9 5 1 9 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⋅ n 9 4 1 9 4 1 9 16 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⋅ n ，所以 20 9 = lim = 3 →∞ n n S S 。 （7）Sn = n + 2 − n +1 − 2 +1，所以 n n S S →∞ = lim = − 2 +1。 （8）设 ∑ = − = n k n k k S 1 3 2 1，则 ∑ = − − = n k n k k S 1 1 3 2 1 3 ∑ − = + = 1 0 3 2 1 n k k k ，两式相减，得到 n n k n k n S 3 2 1 3 2 2 1 1 1 − = + ∑ − − = n n n 3 2 1 3 1 1 3 1 1 3 2 1 1 − − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + ⋅ − ， 所以 = lim = 1 →∞ n n S S ； （9） ( ) ∑ = + − − = n k i n i k ik qe qe q e 0 1 1 1 θ θ θ ，由| q |< 1，得到 ∑ ∞ = = n 0 n in q e θ ∑ = →∞ − = n k i k ik n qe q e 0 1 1 lim θ θ 。 利用 Euler 公式eiθ = cosθ + isinθ ，对上式两边取实部，得到 ∑ ∞ =0 cos n n q nθ 2 1 2 cos 1 cos q q q − + − = θ θ 。 2. 确定 x 的范围，使下列级数收敛。 ⑴ ∑ ∞ =1 (1− ) 1 n n x ; ⑵ ∑ ∞ =1 e n nx ; ⑶ ∑ ∞ = − 1 (1 ) n n x x . 解 （1）由 1 1 1 1 < − − < x 解得 x ∈ (−∞,0) ∪ (2,+∞) 。 （2）由ex < 1解得 x ∈ (−∞,0) 。 2

（3）当x=1时显然级数收敛；当x1时x"(1-x)=(1-x)x"，收敛7=1-范围是xE(-1.1)；所以当xe(-11|时级数收敛。3.求八进制无限循环小数（36.0736073607）：的值。解(36.0736073607...)8478303x8+6+4095（8）X81=4．设x,=['x(1-x)"dx，求级数≥x,的和。121解x,=I"x2(1-x)"dx = fax"(1-x)dx =n+3n+1n+2于是111.1S,=)+=23n+3n+2k=I所以12 lim s. --65.设抛物线1：y=m+！和I,：y=(n+1)x2 +的交点的横坐标1n+J的绝对值为a（n=1,2,…）。(1)求抛物线1.与1所围成的平面图形的面积S,；(2)求级数的和。n=ian解（1）容易求出抛物线1.：y=x2+！和 I'：y=(n+1)x2 +的n+11于是交点的横坐标的绝对值为a=n(n+ 1)4)]lax-ga';[(n+1)x? +-S, =2]In+-n+1n)142-12a2-12(2)3冶n(n+1)=3°3元=lan3

（3）当 x = 1时显然级数收敛；当 x ≠ 1时 ，收敛 范围是 ；所以当 ∑ ∞ = − 1 (1 ) n n x x ∑ ∞ = = − 1 (1 ) n n x x x ∈ (−1,1) x ∈(−1,1]时级数收敛。 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 . )8 的值。 解 (36.0736073607 . )8 ∑ ∞ = + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = × + + 0 4 2 4 3 4 4 8 1 6 8 1 3 8 1 3 8 6 7 n n n n 4095 478 = 30 。 4. 设 ，求级数 的和。 ∫ = − 1 0 2 x x (1 x) dx n n ∑ ∞ n=1 n x 解 ∫ = − 1 0 2 x x (1 x) dx n n = ∫ − 1 0 2 x (1 x) dx n 3 1 2 2 1 1 + + + − + = n n n ， 于是 ∑ = = n k n k S x 1 3 1 2 1 3 1 2 1 + + + = − − n n ， 所以 ∑ ∞ = = n 1 n x 6 1 lim = →∞ n n S 。 5. 设抛物线ln： n y nx 2 1 = + 和 nl′ ： 1 1 ( 1) 2 + = + + n y n x 的交点的横坐标 的绝对值为an（n = 1,2,"）。 (1)求抛物线ln与ln ′ 所围成的平面图形的面积Sn ； (2)求级数∑ ∞ n=1 n n a S 的和。 解 (1) 容易求出抛物线ln： n y nx 2 1 = + 和 nl′ ： 1 1 ( 1) 2 + = + + n y n x 的 交点的横坐标的绝对值为 ( 1) 1 + = n n an ，于是 ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ − + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + an n dx n n x n S nx 0 2 2 1 1 ( 1) 1 2 3 3 4 n = a ； (2) ∑ = ∞ n=1 n n a S ∑ = ∞ =1 2 3 4 n n a 3 4 ( 1) 1 3 4 1 = + ∑ ∞ n= n n 。 3

习题9.2上极限与下极限1.求下列数列的上极限与下极限(2) x, =n+(-1)n +1n2n元，(1)x =cOs2n+1cos53(4)x=/n+1 +sin;(3)x=-n [(-1)" +2];n(n-1)(5)x, =2 (-1)+1 +3(-1) 2。11cos解（1）lim xn =lim x,522℃n->0n->00(2)lim x, = +00 ,limx,=01-0n→0(3)limXnlim xn = -00 0-8.n-0n→oV3lim x, =1- 3(4)=1+limxn =P2-00n-→00(5)limx,=5，limxn=-5。n→0n→002.证明：climxn,c>0,() lim(-x,) = -lim x, ;(2) lim(cx,)climxn,c0，存在正整数N，使得x,>n-对一切n>N成立，且()中有无穷多项，满足xN成立，且(-x)中有无穷多项，满足-x,>--8；于是lim(-x,)=-n=-limx,（2）设c>0，limx,=5，则对任意给定的ε>0，存在正整数N，使得xN成立，且(,)中有无穷多项，满足x,>5-三；于是cx,N成立，且(cx)中有无穷多项，满足cxn>c5-6；所以lim(cx,)=c=clim x,o1-设c0，存在正整数N，使得4

习 题 9.2 上极限与下极限 1. 求下列数列的上极限与下极限 (1) x = n 2n +1 n 5 2 cos nπ ； (2) x = n + (-1) n n n n 1 2 + ； (3) x = -n [ (-1) n n + 2]； (4) x = n n n +1 + sin 3 nπ ； (5) x = 2 (-1) n n+1 +3 2 ( 1) ( 1) − − n n 。 解（1） 2 1 lim = →∞ n n x ， 5 cos 2 1 lim π = − →∞ n n x 。 （2） = +∞ →∞ n n lim x ， lim = 0 →∞ n n x 。 （3） = −∞ →∞ n n lim x ， = −∞ →∞ n n lim x 。 （4） 2 3 lim = 1+ →∞ n n x ， 2 3 lim = 1− →∞ n n x 。 （5） lim = 5 →∞ n n x ， lim = −5 →∞ n n x 。 2. 证明： (1) n→∞ lim (- xn ) = - n→∞ lim xn ； (2) n→∞ lim (c x ) = n ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ →∞ →∞ lim , 0. lim , 0, c x c c x c n n n n 证 仅对{ xn }是有界数列给出证明。 （1） 设n→∞ lim xn =η，则对任意给定的ε >0，存在正整数 N，使得 > η − ε n x 对一切 n > N 成立，且 {xn }中有无穷多项，满足 N 成立，且 {− xn } 中有无穷多项，满足 − > −η − ε n x ；于是 n→∞ lim (- xn )=−η = - n→∞ lim xn 。 （2） 设c > 0，n→∞ lim xn = ξ ，则对任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使 得 c xn ε N 成立，且{xn }中有无穷多项，满足 c xn ε > ξ − ； 于是 cx N 成立，且 {cxn } 中有无穷多项，满足 cx > cξ − ε n ；所以 n→∞ lim ( ) n cx = cξ →∞ = n c lim xn 。 设c 0，存在正整数 N，使得 4

三:于x,>n+三对一切n>N成立，且(,)中有无穷多项，满足x,N成立，且(cx,)中有无穷多项，满足cX,>c5-6；所以lim(cx,)=cn=c lim x,o7-3.证明：(1) lim(x, + y.)≥ lim x, + lim yn;(2）若limx,存在，则lim(x,+yn)=lim x,+lim yn证（1）记limx=h，limy，=h2，则对任意给定的ε>0，存在正整C，>h-，即数N，对一切n>N，成立x>h?aXn+yn,>h, +h, -6,于是lim(x,+y,)≥h +h -8。由ε的任意性，即得到lim(x, + yn,)≥h +h, = lim x, +lim yn o（2）若limx,存在，则由（1)，lim(x, + y.)≥ lim x, +lim yn,n→n→>on>o且lim yn=lim[(xn+yn)-xn]≥lim (xn+yn)+lim (-xn)= lim (x, + yn) - lim Xn,两式结合即得到lim(x,+y.)=lim x,+lim yn4.证明：若limx,=x，-0Nj，成立x-6<x,<x+<0。记limy,=H，limy,=h，则对上述(0<<-x)，存在正整数N2，对5

c xn ε > η + 对一切 n >N 成立，且{xn }中有无穷多项，满足 c xn ε N 成立，且 {cxn } 中有无穷多项，满足 cx > cξ − ε n ；所以 n→∞ lim ( ) n cx = cη = c n→∞ lim xn 。 3. 证明： (1) n→∞ lim ( xn + yn )≥ n→∞ lim xn +n→∞ lim n y ； (2) 若lim 存在，则 n→∞ n x n→∞ lim ( xn + yn )= + n→∞ lim xn n→∞ lim n y 。 证 （1）记n→∞ lim xn 1 = h ，n→∞ lim n y 2 = h ，则对任意给定的ε > 0 ，存在正整 数 N，对一切 n >N，成立 2 1 ε xn > h − ， 2 2 ε yn > h − ，即 + > + − ε h1 h2 x y n n ， 于是 n→∞ lim ( x + ) n n y ≥ + − ε 1 2 h h 。 由ε 的任意性，即得到 n→∞ lim ( x + ) n n y ≥ h1 + h2 = n→∞ lim xn +n→∞ lim n y 。 （2）若lim 存在，则由（1）， n→∞ n x n→∞ lim ( xn + yn ) ≥ + n→∞ lim xn n→∞ lim n y ， 且 n→∞ lim n y →∞ = n lim [( ) ] n n n x + ≥ y − x n→∞ lim ( ) n n x + y +n→∞ lim ( ) n −x →∞ = n lim ( ) n n x + y n n x →∞ − lim ， 两式结合即得到 n→∞ lim ( xn + yn )= + n→∞ lim xn n→∞ lim n y 。 4. 证明：若lim = x， n→∞ xn − ∞ N1，成立 x − ε < xn < x + ε < 0。 记n→∞ lim n y = H ，n→∞ lim n y = h ，则对上述ε (0 < ε < −x)，存在正整数 N2 ，对 5

一切n>N2，成立h-sN时，成立min(x-6)(H +6),(x+8)(H +8)00n-→0由于1lim y, = lim-(xnyn)|≥ lim.lim (xnyn),xn月→n->00[Xn1(xnyn)/≤ lim.lim (xyn),limlimynn>on-00Xnxn7-又得到lim(x,y,)≤ lim xlim yn,lim(xy.)≥limx.limyn将此两式与前面两式结合，即得到lim(x, y,)-lim x,-lim ynlim(x, y,)=lim x, lim y,on→o6

一切 n > N2 ，成立 h − ε N 时，成立 min{ } (x − ε )(H + ε ),(x + ε )(H + ε ) < xn yn < max{(x − ε )(h − ε ),(x + ε )(h − ε )}， 于是 n→∞ lim ( x ) n n y ≥ min{ } (x − ε )(H + ε ),(x + ε )(H + ε ) ， n→∞ lim ( x ) n n y ≤ max{ } (x − ε )(h − ε ),(x + ε )(h − ε ) ， 由ε 的任意性，即得到 n→∞ lim ( x ) n n y ≥ xH = lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y ， n→∞ lim ( x ) n n y ≤ xh →∞ = n lim ⋅ n x n→∞ lim n y 。 由于 n→∞ lim n y ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅ →∞ ( ) 1 lim n n n n x y x ≥ lim n→∞ ⋅ n x 1 n→∞ lim ( ) n n x y ， = →∞ n n lim y n→∞ lim ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅( ) 1 n n n x y x →∞ ≤ n lim ⋅ n x 1 n→∞ lim ( ) n n x y ， 又得到 n→∞ lim ( x ) n n y →∞ ≤ n lim ⋅ n x n→∞ lim n y ， n→∞ lim ( x ) n n y →∞ ≥ n lim ⋅ n x n→∞ lim n y 。 将此两式与前面两式结合，即得到 n→∞ lim ( xn yn )=lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y n→∞ lim ( xn yn )=lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y 。 6