复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十二章 多元函数的微分学 12.2 多元复合函数的求导法则

习题12.2多元复合函数的求导法则1. 利用链式规则求偏导数：，=，求(1) 2=tan(31+2x2 -y2), x=,dt(2)z=e-2y,x=sint, y=，求些di3(3) w=e(y-2)求dwy=asinx,z=cosx,dxa2 +1求兰(4) 2='lnv, u=_,V=3x-2y，axyJ(5) u=er，==y'sinx,求器%axay(6) w=(x+y+)sin(+* +y*+2), x=le', y=e', z=e*",求w,was'ata?z(7) ≥=x*+y +cos(x+y), x=u+v,y=aresinv,求%,Ou'Ovou以下假设f具有二阶连续偏导数。(8)=),求%*axayxoyay;y)(9)u=f(x +y +2),求uuuuuaxOyOz"Ox?"axoy求(10)w=f(x,y,z),x=u+v,y=u-v,z=w,OuOvOuov解（1）记u=3t+2x2-y2，则dzdz dudzouou dxoudydtdudtduataxdtydt11-]sec?u=[3 + 4x·(2)-2g2i4)sec (2t=(2- --dzOz dx Oz dyy= er-2y cost-2er-2y.3 =2(cost-6f°),(2)dtax dtoy dtd?zdzd=(cost -6t3)9(cost - 6t°) = esint-2r [(cost - 6t°) - sin t -12t] 。dt?dtdt1

习题 12.2 多元复合函数的求导法则 1． 利用链式规则求偏导数： （1） y t t z = t + x − y x = , = 1 tan(3 2 ), 2 2 ，求 t z d d ； （2） z = ex−2 y , x = sin t, y = t 3 ，求 2 2 d d t z ； （3） 1 ( ) 2 + − = a e y z w ax ， y = a sin x， z = cos x，求 x w d d ； （4） v x y y x z u ln v, u , 3 2 2 = = = − ，求 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （5） ， ，求 2 2 2 x y z u e + + = z y sin x 2 = y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （6）w = (x + y + z)sin(x 2 + y 2 + z 2 )，x = tes ，y = et ，z = es+t ，求 t w s w ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （7） z = x 2 + y 2 + cos(x + y)， x = u + v， y = arcsin v ，求 v u z u z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , ； 以下假设 f 具有二阶连续偏导数。 （8） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x u f xy, ，求 2 2 2 , , , y u x y u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （9）u = f (x 2 + y 2 + z 2 ) ，求 x y u x u z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 , , , , ； （10）w = f (x, y,z)， x = u + v ， y = u − v， z = uv，求 u v w v w u w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , , 。 解 (1) 记u t = + 3 2x 2 − y 2 ，则 dz dt = ( ) dz du dz u u dx u dy du dt du t x dt y dt ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 2 2 1 1 [3 4 ( ) 2 ]sec 2 x y u t t = + ⋅ − − ⋅ = 2 3 2 4 2 (2 )sec (2t ) t t − + 。 (2) dz dt = 2 2 2 cos 2 3 (cos 6 ) z dx z dy x y x y e t e t z t x dt y dt ∂ ∂ − − + = − ⋅ = − ∂ ∂ 2 t ， 3 2 2 2 sin 2 2 2 2 (cos 6 ) (cos 6 ) [(cos 6 ) sin 12 ] d z dz d t t t t z t t e t t t t dt dt dt − = − + − = − − − 。 1

dw_Owowdy,Owdz(3)dxaxay dxazdxear- ae"(y-2)(-sin x)acosxα2 +1α+1α2 +1=e"sinx。dz_=ouOzdy=2ulnv.1+㎡(4).3dxou axovdxyy3.x224 1(3x-2)+y(3x-2y)yuu=2ulnv(-x(-2)ay"u ayov ay山12x22x2In(3x-2)-P(3x-2)y3Ouou,duoz=u-2x+u.2z.y.cosx(5)oxOxdzox=e++ys*(2x+2y* sinxcos x)u_udu=u-2y+u.2.2ysinxayayd y=e+y+y'si*(2y+4y* sin? x)。(6)记u=x?+y?+z?,v=x+y+z。则Ow_OwaxOwayOwozasaxasayasazas=x(sinu+2xvcosu)+O(sinu+2yvcosu)+z(sinu+2zvcosu)=te'(sinu+2xvcosu)+es+(sinu+2zvcosu)Ow_ Ow OxOw dyOw Ozatax atay atazat=e'(sinu+2xycosu)+y(sinu+2yvcosu)+z(sinu+2zvcosu)=e'(sinu+2xvcosu)+e'(sinu+2yvcosu)+es**(sinu+2zvcosu)。2

(3) dw w w dy w dz dx x y dx z dx ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 2 2 2 ( ) cos ( sin ) 1 1 1 ax ax ax ae y z e e a x x a a a − = + ⋅ − ⋅ − + + + sin ax = e x。 (4) dz z u z dv dx u x v dx ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ 2 1 2 ln 3 u u v y v = ⋅ + ⋅ 2 2 2 2 3 ln(3 2 ) (3 2 ) x x x y y y = − + x − y ， z z u z v y ∂ y u y v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 ln ( ) ( 2) x u u v y v = ⋅ − + ⋅ − 2 2 3 2 2 2 ln(3 2 ) (3 2 ) x x x y y y = − − − x − y 。 (5) u u du z x x dz ∂ ∂ = + ∂ ∂ x x ∂ ∂ 2 = ⋅ u x2 2 + u z ⋅ ⋅ y cos x 224 2 sin 4 (2 2 sin cos ) x y y x e x y x + + = + u u du z y y dz y ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ = ⋅ u y 2 2 + u ⋅ z⋅ 2y sin x 224 2 sin 3 2 (2 4 sin ) x y y x e y y + + = + x 。 (6) 记u = x 2 + y 2 + z 2，v = x + y + z 。则 w w x w y w s x s y s z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z s = x(sin u + 2xv u cos ) + + 0(sin u 2yv u cos ) + + z(sin u 2zv cosu) (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) s s t te u xv u e u zv u + = + + + w w x w y w t x t y t z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z t (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) s = + e u xv u + y u + yv u + z u + zv u (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) (sin 2 cos ) s t s t e u xv u e u yv u e u zv u + = + + + + + 。 2

+=[2x-sin(x+)]-1+[2 -sin(x+)]-0(7) OuaxQuQyOu=2(u+v)-sin(u+v+arcsinv),=_ -()= 2-cos(u+v+arcsin v)(1+OvouOyou11(8）记v=y,w=，则yOu_OuovOuOwxy,二=f+2OwaxaxOv axyOu_OuOvOuOw [ ()=OwayQyav ayVau_a(uaxoyax ay1..x12三)()川P//2y.V17ou_uaye-ay ay(xo1a2xy1bj(9)记v=x +y +2?，则u_f=2f(x ++2),axdv axu_=2f(x++),aydv yu=2f(x+y+2),Ozdv Oz3

(7) z z x z y u ∂ ∂ = − [2x x sin( + y)]⋅1+[2y − sin(x + y)]⋅0 u x u y ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = + 2(u v) − sin(u v + + arcsin v)， 2 ( ) z z v u v u ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ 2 1 2 cos( arcsin )(1 ) 1 u v v v − + + + − 。 (8) 记 , x v xy w y = = ，则 u u v u w x v x w x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 2 1 , , x x yf xy f xy y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , u u v u w y v y w ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ 1 2 2 , , x x x xf xy f xy y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , 2 ( ) u u x y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 1 2 2 2 1 2 1 , , , , x x x x f xy f xy x f xy f xy y y y x y y x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x = 1 2 2 1 , , x x f xy f xy y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + y x f xy y x y x xyf xy, , 11 3 22 , 2 2 ( ) u u y y y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 3 2 2 1 2 2 , , , x x x x f xy x f xy f xy y y y y y y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x y 2 3 2 11 2 , , x x x f xy x f xy y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x f xy y x y x f xy y x , , 2 4 22 2 2 12 2 。 (9) 记v x = +2 2 y + z 2 ，则 u df v x dv x ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 = + 2 ' xf x( y + z ), u df v y dv y ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 = + 2 ' yf (x y + z ) , u df v z dv z ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 = + 2 ' zf (x y + z ) , 3

au=2F(x2 +y2 +23) +2xf(x? +y2 +2)ax2ax=2f(x2+y+2) +4x2 f"(x2 +y2 +z2),ou=2y%(*+y+2)axay2yax=4xyf"(x2 +y2 +2)。Ow_Owax+Oway+Ow Oz(10)=f +f, +y.,ouaxOuayQuOz Ouow_OwaxOwayOwOz=f-f,+u.,avax OvOzOvOyOvaw-0=1.++%OuovOuOyouou"OuaxOuQyOuOzOuxOuQyOuOzOufaxfoyfa+uaxOuyOuazQu=fu+(u+v)fr-fw+(u-v)f+f.+uyf.2.设f(x,j)具有连续偏导数，且f(x,x2)=1，(x,x)=x，求f,(x,x2)。解在等式f(x,x2)=1两边对x求导，有%+%%=(,r)+2对,(xx)=0,axy ax再将f(x,x2)=x代入，即可得到Ss(x,x)=-12°3.设f(x,J)具有连续偏导数，且f(1,1)=1，f,(1,1)=2，J,(1,1)=3。如果p(x)= f(x,f(x,x))，求p(1)。afdy(x)do(=%(x, (x)+解-(x,y(x)dxaxaydx其中4

2 '( ) 2 2 2 2 2 f x y z x u = + + ∂ ∂ 2 2 2 2 ' x f x( y z ) x ∂ + + + ∂ 2 2 2 = + 2 ' f (x y + z ) 4 "( ) 2 2 2 2 + x f x + y + z , 2 u x y ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 ' y f (x y z ) x ∂ = + ∂ + ) 2 2 2 = 4 " xyf (x + y + z 。 (10) w w x w y w z u ∂ ∂ x y f f vf u x u y u z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + z , w w x w y w z v ∂ ∂ x y f f uf v x v y v z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + z , 2 w u v ∂ ∂ ∂ x y z z w f f f f u u v u u u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x x x yyy z fff x y z fff x y f z x u y u z u x u y u z u ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = +++− − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) zzz fff x y z u x u y u z u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) ( ) xx xz yy yz z zz = + f u + v f − f + u − v f + f + uvf 。 2． 设 具有连续偏导数，且 ， ，求 。 f (x, y) ( , ) 1 2 f x x = f x x x x ( , ) = 2 ( , ) 2 f x x y 解 在等式 f (x, x 2 ) = 1两边对 x 求导，有 2 2 ( , ) 2 ( , ) 0 x y f f y f x x xf x x x y x ∂ ∂ ∂ + = + = ∂ ∂ ∂ ， 再将 f x (x, x 2 ) = x 代入，即可得到 2 1 ( , ) 2 f y x x = − 。 3．设 f (x, y)具有连续偏导数，且 f (1,1) = 1， f x (1,1) = 2， 。如 果 f y (1,1) = 3 ϕ(x) = f (x, f (x, x))，求ϕ′(1)。 解 ( ) ( ) ( , ( )) ( , ( )) d x f f dy x x y x x y x dx x y dx ϕ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ， 其中 4

d()=%(x,)+afy(x)= f(x,x),(x,x) dxaxay由于y()=f(,1)=1，以x=1代入上述等式，得到p(1)= J(1,1)+ f,(1,1)(f,(1,1)+ f,(1,1) =17 。y，其中()具有连续导数，且f()0，求！%14.设2f(x?-y)xoxyoyof(x2 - y)-_2xyf (x - y)Ozy解axaxf(x2-y)f(x?-y)1f(x? -y)1Ozy2y f'(x?-y)ayayf(x?-y)f(2-y)f(x?-y)f2(x2 -y2)直接计算可得11 0z,1 0zx axy ayyf(x2- y)5. 设:=arctan三y=u-v，验证x=u+v,yαzzu-vuv"u?+。证_ax,Oz QyOuaxouyOu1111+|山OzOz Ox, Oz OyOvaxOvdyO111xy+x1x? + y?(xx1+y又由于x+=(u+)2+(u-)2=2u2+2，所以2yOz,Oz u-yQuavu+2x+y?6.设β和具有二阶连续导数，验证(1)u=ye(r-y)满足%+ou_二u;+xaxayy(2）u=0(x-al)+(x+an)满足波动方程=α"uax?at?5

y x( ) = f (x, x)， ( ) ( , ) ( , ) dy x f f x x x dx x y x ∂ ∂ = + ∂ ∂ 。 由于 y f (1) = (1,1) =1，以 x =1代入上述等式，得到 '(1) (1,1) (1,1)( (1,1) (1,1)) 17 x y x y ϕ = + f f f f + = 。 4．设 ( ) 2 2 f x y y z − = ，其中 f (t)具有连续导数，且 f (t) ≠ 0，求 y z x y z x ∂ ∂ + ∂ 1 ∂ 1 。 解. z x ∂ = ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 '( ( ) ( y f x y xyf x y f x y x f x y ∂ − − − = − − ∂ − ) ) ， z y ∂ = ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( y f x y y f x y f x y f x y y f x y f x y ∂ − − − = + − − ∂ − − '( ) ) ， 直接计算可得 ( ) 1 1 1 2 2 y yf x y z x y z x − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 5．设 y x z = arctan ， x = u + v ， y = u − v，验证 2 2 u v u v v z u z + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 证 z z x z u x u y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y u 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x y x y y x x x y y ⎛ ⎞ y − = + ⎜ ⎟ − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， z z x z v x v y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y v 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x y x y y x x x y y y + = + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， 又由于 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 x + = y u + v + u − v = u + v ，所以 z z u v ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2y x y = + 2 u v u v 2 − = + 。 6．设ϕ 和ψ 具有二阶连续导数，验证 （1）u = yϕ(x 2 − y 2 )满足 u y x y u x x u y = ∂ ∂ + ∂ ∂ ； （2）u = ϕ(x − at) +ψ (x + at)满足波动方程 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ 。 5

Qu=,op(x?- y")(9证axaxa(x2 - y2)= yp(x2 - y2)2( = 2xyp(x2 - y),axou=0(r-)+yo(r-y)ayay=0(r-y)+yo(x-y)a)=0(x-y)-2/o(r-y),ay所以ou +xu_uo+yox+*ay"y"ouau(2)=@(x-at)+y(x+at),=p"(x-at)+y"(x+at),axax?Qu-ap(x-at)+ay(x+at),atau=a'p"(x-at)+a"y"(x+at),at?所以u=aouat?x?7。设：=(s,)具有二阶连续偏导数，写出+在坐标变换ax2ay2[u=x?- y?,[v=2xy下的表达式。azO= _ z Ou, O= Ov+2y0解=2xQuOvaxou OxOvOx02-202zOuvzOu,0z0+2x(+2yax?Ouax"ouOvouaxOuov axoy?Oxa2=2%+4x%+4y20+8xyOu?OvuOvouOz+2x0OzOzOuOzOvV=-2yOauayQudyOvOy0==-2%-2／(a'z ou.=0)+2x(z Ou,0z0vay?auay"auOvouayOuov Qyav?ay+4y0a'z+4x0-20-8xyOv20Qu?auOvou6

证 （1） 2 2 u x( ) y x x ∂ ∂ϕ − = ∂ ∂ y 2 2 2 2 2 2 ( ) '( ) 2 '( ) x y y x y xy x y x ϕ ϕ ∂ − = − = − ∂ ， 2 2 2 2 ( ) ( ) u x x y y y y ϕ ϕ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ − y 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) '( ) x y x y y x y y ϕ ϕ ∂ − = − + − ∂ 2 2 2 2 2 = − ϕ ϕ ( ) x y y − 2 '( ) x − y ， 所以 u y x y u x x u y = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 （2） '( ) '( ) u x at x at x ϕ ψ ∂ = − + + ∂ ， 2 2 ''( ) ''( ) u x at x at x ϕ ψ ∂ = − + + ∂ ， '( ) '( ) u a x at a x at t ϕ ψ ∂ = − − + + ∂ ， 2 2 2 2 ''( ) ''( ) u a x at a x at t ϕ ψ ∂ = − + + ∂ ， 所以 2 2 2 2 2 u u a t x ∂ ∂ = ∂ ∂ 。 7．设 z = f (x, y) 具有二阶连续偏导数，写出 2 2 2 2 y z x z ∂ ∂ + ∂ ∂ 在坐标变换 ⎩ ⎨ ⎧ = = − v xy u x y 2 , 2 2 下的表达式。 解 z z u z v x u x v ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ x ∂ ∂ 2 2 z z x y u v ∂ ∂ = + ∂ ∂ ， 2 2 2 ) v 2 2 2 2 ( z z z u z x x u u x v u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x ∂ ∂ 2 2 2 2 ( ) z u z v y u v x v x ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 4 8 4 z z z x xy y u u v u ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 z v ， z z u z y u y v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v y = 2 2 z z y x u v ∂ ∂ − + ∂ ∂ ， 2 2 2 ) 2 2 2 2 ( z z z u z y y u u y v u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v y ∂ ∂ 2 2 2 2 ( ) z u z v x u v y v y ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 4 8 4 z z z y xy x u u v u ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 z v 。 6

由于+y2=x+2xy2+y4=(x?+y)，所以+=4(x+y)+)=4/2+(+)。ou2Ou?Ov2ax? oy?ous8.设x)=，求-axoyx ay?yax?af=ye-ry,f解=xe-ry2axayl-2mype-r, -e-2xyer, l-=-2xye-ryax?Ov2Oyax所以xa?f-?o?f+yo?f-2e-xy。yax?axoyx Qy?9.如果函数f(x,y)满足：对于任意的实数t及x,y，成立f(tx,ty)=t" f(x,y) ,那么f称为n次齐次函数。（1）证明n次齐次函数f满足方程x%+y%=f:"axaya（2）利用上述性质，对于：=/+求出x%axay证在等式f(tx,ty)=t"f(x,y)两边对t求导,f(x, ) = xf(x,t)+ f(x,t) = n- (x, ),at将t=1 代入即得到x+y%=f.axay(2)由于z(tx,ty)=tz(x,J)，所以n=1，由（1)+=+axay10.设=其中，具有二阶连续偏导数，g具有二阶L7

由于u v 2 + =2 x 4 + 2x 2 y 2 4 + y = (x 2 + y 2 ) 2，所以 2 2 2 2 y z x z ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 4( )( ) z z x y u v ∂ ∂ = + + ∂ ∂ 4 ( ) 2 2 2 2 2 2 v z u z u v ∂ ∂ + ∂ ∂ = + 。 8．设 = ∫ − ，求 xy t f x y e dt 0 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2 y f x y x y f x f y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ 。 解 2 2 x y f ye x ∂ − = ∂ ， 2 2 x y f xe y ∂ − = ∂ ， 2 2 2 3 2 2 x y f xy e x ∂ − = − ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y f e x y e y x ∂ − − = − ∂ ∂ ， 2 2 2 3 2 2 x y f x ye y ∂ − = − ∂ 。 所以 2 2 2 2 2 2 y f x y x y f x f y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ 2 2 2 x y e− = − 。 9．如果函数 f (x, y)满足：对于任意的实数t及 x, y，成立 f (tx,ty) t f (x, y) n = ， 那么 f 称为n次齐次函数。 （1）证明n次齐次函数 f 满足方程 nf y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ ； （2）利用上述性质，对于 2 2 z = x + y 求出 y z y x z x ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 证 在等式 f (tx,ty) = t n f (x, y) 两边对 t 求导， f ( , tx ty) t ∂ ∂ 1 2 = + xf ( , tx ty) yf (tx t, y) 1 ( , ) n nt f x y − = ， 将 t=1 代入即得到 nf y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 (2) 由于 z t( , x ty) = tz(x, y)，所以 n=1，由（1） 2 2 x y y z y x z x = + ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 10．设 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x g y x z f xy, ，其中 f 具有二阶连续偏导数， g 具有二阶 7

连续导数，求"：axoy军令u=xv==，则解y+=对(,)(u,)-g(0),QyOu dyOv aydv oy0-()()-g0) +(%+(a)%ay+/2(u,+g"()%0[f.(u,v)axrOQ[+xy,18-号811.设向量值函数f：R2→R的坐标分量函数为x=u? +y?,y=u?-y2z = uv.向量值函数g：R2→R2的坐标分量函数为[u=rcose,v=rsine.求复合函数。g的导数。(2u2vcose-rsing解g(r,0):2uf'(u,v)=-21singrcosevu所以(2rcos02rsin(coso-rsing)2rcoso-2rsin0(f og)(r,0)= f'(g(r,0)g(r,0)(singrcosgrsingrcoso02r2rcos20-2r2sin20rsin20rcos2012. 设w=(x,),u=g(y,2), =h(x,),，求%%axayz8

连续导数，求 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 解 令 , x u xy v y = = ，则 z y ∂ = ∂ f u f v dg v ( ) u y v y dv y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 2 ( ) ( ) 2 2 , , x x xf u v f u v g ' v y y = − − ， 2 z x y ∂ ∂ ∂ 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 f u v, , f u v g ' v y y = − − ( , 11 ( ) 12 ( ) , u v x f u v f u v ) x x ∂ ∂ + + ∂ ∂ 21 ( ) 22 ( ) ( ) 2 [ , , '' ] x u v f u v f u v g v y x x ∂ ∂ − + + ∂ ∂ v x ∂ ∂ 1 , x f xy y ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x f xy y , 1 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + y x xyf xy, 11 3 22 , x x f xy y y ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x g y ' 1 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − y x g y x " 3 。 11．设向量值函数 f ： 2 R → 3 R 的坐标分量函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = + . , , 2 2 2 2 z uv y u v x u v 向量值函数 g ： 2 R → 2 R 的坐标分量函数为 ⎩ ⎨ ⎧ = = sin . cos , θ θ v r u r 求复合函数 f D g的导数。 解 ， 2 2 '( , ) 2 2 u v u v u v v u ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f cos sin '( , ) sin cos r r r θ θ θ θ θ ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ g ， 所以 ( )'( , ) = f g'( (r r ,θ ))g '( ,θ ) 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin sin cos r r r r r r θ θ θ θ θ θ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⋅ ⎝ ⎠ cos sin sin cos r r θ θ θ θ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f gD r θ = 2 2 2 0 2 cos 2 2 sin 2 sin 2 cos 2 r r r r r θ θ θ θ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 。 12．设w = f (x,u, v)，u = g( y,z) ，v = h(x, y)，求 z w y w x w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , 。 8

Ow_ofof ov解"=f+fh,axaxvoxowafouafav=fig,+f.hy,ayQuayvyow_arou= f.g..OzQuOzV求dz。13.设z=u"，u=lnx?+y?，=arctan=xOz_OzOuOzOv解OvOxaxuaxx=vu-l+u'Inux+y?ry= vu"-!uInux2+12x? + y2OzOzOuOzOyoyQudyavayytu'lnz=vu"x? + y2yX=vu"-+u'Inux?+ y?x+y2所以= dx+Oz(xx+yy+yx+ulnudz=1dyaxdyx?+ y2x2 +y2其中u=Inx+y，v=arctanx14.设：=(x+y)em，求d和=axayarctan==2xe-1rctan2*+(x?+y)e解ax1+XCtan=(2x+y)e0==2ye-arctan++(x?+y)eay-aretany=(2y-x)e9

解 w f f v x x v ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ x x ∂ ∂ x v = + f f h , w f u f v y ∂ ∂ u y v y y u y v ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = f g + f h , u z w f u f g z u z ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ 。 13．设 z = uv ， 2 2 u = ln x + y ， x y v = arctan ，求dz。 解 z z u z v x u x v x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 2 2 2 2 1 ln 1 v v x y vu u u x y x y x − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 1 2 2 2 ln v v 2 x y vu u u x y x − = − + + y ， z z u z y u y v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v y 1 2 2 2 1 1 ln 1 v v y vu u u x y x y x − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 2 2 ln v y x v vu u u 2 x y x − = + + + y ， 所以 z z dz dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ 1 2 2 2 2 ln v xdx ydy ydx xdy u v x y x y − ⎛ ⎞ + − + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + u u ， 其中 2 2 u = ln x + y ， x y v = arctan 。 14．设 x y z x y e arctan 2 2 ( ) − = + ，求dz和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 解 arctan arctan 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 y y x x z y xe x y e x y x x ∂ − − − ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ − ∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ arctan (2 ) y x x y e − = + ， arctan arctan 2 2 2 1 1 2 ( ) 1 y y x x z ye x y e y x y x ∂ − − − ⎛ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ arctan (2 ) y x y x e − = − ， 9

所以d=% d+%dy=[(2x+ )d +(2y-x)dy]emretanax"oya2z2-xy-x2arctanTCa(2x+y)ex+yOxoy11+15.求下列函数的全微分：(1) u= f(ax2 +by? +cz2);(2) u=f(x+ y,xy);(3) u= f(in(1+x2 +y2 +2°),e++y+=)。解（1）令v=ax+by2+cz2，则avOvOvdxdu= f(v)(dz)12axayOz=2f(ax?+by?+cz(axdx+bydy+czdz)。(2) du=αd+%dyOxdy=(f +yf)dx+(f +xf)dy。oudeoudxou(3) du:dOzaxay2f.(xdx+ ydy+ zdz) +(e+y+=f,)(dx +dy+dz) 。1+ x? + y2 + 2216.设f()具有任意阶连续导数，而u=f(ax+by+cz)。对任意正整数k，求d*u。解当k=1时，成立du= f(ax +by+ cz)d(ax+by+cz) = f'(ax+by+ cz)(adx +bdy+cdz),应用数学归纳法，假设对于k成立dh u = f(k)(ax + by + cz)(adx + bdy + cdz)k,则对于k+1成立dk+lu= d(du) = d[f(k)(ax+ by+ cz)(adx +bdy+cdz))= f(k+1)(ax +by + cz)(adx + bdy + cdz)+I 。由数学归纳法可知对任意正整数k成立10

所以 z z dz dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ [ ] arctan (2 ) (2 ) y x x y dx y x dy e − = + + − ； 2 z x y ∂ ∂ ∂ arctan arctan (2 ) y y x x e x y e − − = + + . 2 1 1 1 y x x − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 arctan 2 2 y x y xy x e x y − − − = + 。 15．求下列函数的全微分： （1）u = f (ax 2 + by 2 + cz 2 )； （2）u = f (x + y, xy)； （3） ( ) x y z u f x y z e + + = ln(1+ + + ), 2 2 2 。 解 (1) 令v a = + x 2 2 by + cz 2，则 '( )( ) v v v du f v dx dy dz x y z ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 2 2 2 = + 2 ' f (ax by + cz )(axdx + bydy + czdz)。 (2) u u du dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ 1 2 1 2 = + ( ) f yf dx + ( f + xf )dy。 (3) u u u du dx dy dz x y z ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ 1 2 2 2 2 ( ) 1 f xdx ydy zdz x y z = + + 2 ( )( x y z e f dx dy dz + + + + + + + + ) 。 16．设 f (t)具有任意阶连续导数，而u = f (ax + by + cz) 。对任意正整数 ， 求 。 k uk d 解 当k = 1时，成立 du = + f '(ax by + cz)d(ax + by + cz) = f '(ax + + by cz)(adx + bdy + cdz) ， 应用数学归纳法，假设对于k 成立 k k k d u f (ax by cz)(adx bdy cdz) ( ) = + + + + ， 则对于k +1成立 1 ( ) k k d u d d u + = ( ) [ ( )( ) k k = + d f ax by + cz adx + bdy + cdz ] ) ( 1) 1 ( )( k k f ax by cz adx bdy cdz + + = + + + + 。 由数学归纳法可知对任意正整数k 成立 10