复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十六章 Fourier级数 16.3 Fourier级数的性质

习题16.3Fourier级数的性质1．由例16.1.2的结果X~ 2元(-1)*+sinnx,xe(-元,元),nel用逐项积分法求x2和r3的Fourier级数。解由于x在[-元，元l有界可积，其Fourier级数可以逐项积分，[, idt =42((-1)x2 =2sin ntdtmn(cos mt-1)=4≥(-1)=4 (-1)+4-cos nt (习题 16.2.7.(1)n?hn?n=lna/(-1)n元+47cosnx，xe[一元，元]。3 n?n=l对3x2的Fourier级数逐项积分，rx (-1)dt+12x=3tdt=cosntdt3n.= 元°x+12 (-1)"sinnxn=2(-1)(6=*")sinx, x (一元,)。n?二ao++2(a,cosmx+b,sin)是某个2.证明定理16.3.2的推论16.3.1：2n=可积或绝对可积函数的Fourier级数的必要条件是≥收敛。n=in证设f(x) ~ 号 +2(a, cos m + b, sin x),2n=令1

习题 16.3 Fourier 级数的性质 ⒈ 由例 16.1.2 的结果 x ~ ∑ ∞ = + − 1 1 sin ( 1) 2 n n nx n ， x ∈ (−π ,π )， 用逐项积分法求 x 2和 x 3的 Fourier 级数。 解 由于ｘ在[ , −π π ]有界可积，其 Fourier 级数可以逐项积分， 1 2 0 0 1 ( 1) 2 4 sin n x x n x tdt ntdt n ∞ + = − = = ∫ ∫ ∑ 1 2 2 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 4 (cos 1) 4 4 co n n n n n nt nt n n ∞ ∞ + ∞ = = = − − = − ∑ ∑ = + ∑ 2 s n n − (习题 16.2.7.(1)) 2 2 1 ( 1) 4 co 3 n n nx n π ∞ = − = + ∑ s ， x∈[ , −π π ]。 对 2 3x 的 Fourier 级数逐项积分， 3 2 0 3 x x = t dt ∫ 2 2 0 0 1 ( 1) 3 12 cos 3 n x x n dt ntdt n π ∞ = − = + ∫ ∫ ∑ 2 3 1 ( 1) 12 sin n n x nx n π ∞ = − = + ∑ 2 2 3 1 ( 1) (6 ) 2 sin n n n nx n π ∞ = − − = ∑ ， x ∈( , −π π )。 2．证明定理 16.3.2 的推论 16.3.1： a a nx b n n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin x)是某个 可积或绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 b n n n= ∞ ∑ 1 收敛。 证 设 f x( ) ~ a a nx b n n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin x)， 令 1

F(x)根据定理16.3.2的证明过程，F(x)满足Dini-Lipschitz判别法的推论的条件，F(x）可展开为收敛的Fourier级数4+(bansinnxF(x)=cosnx+，xe[-元,元],2nn-，这就说明了级数收敛。令x=0，得到F(0)=2台n二nEsinrsinnx和3.说明级数点点收敛，但不可能是任何可积或Inninnnn=2绝对可积函数的Fourier级数。单调趋于0，解对于任意固定的x有界，sinkxInInnInn"sinnx含需受收效。和根据Dirichlet判别法，LInn7=21因为N和“都是发散的，所以这两个级数不nlnnnln lnn=2n可能是可积或绝对可积函数的Fourier级数。4.利用例16.1.1的结果(x)=f xel-z,0)~1-2si(2n-Dx[0, xe[0,元) ~ 2 元后2n-1元2￥1和Parseval等式，证明之一8=(2n-1)2证因为f(x)在[-元,元]可积且平方可积，由Parseval等式，2(x)dx=x==+(=(元(2n-1)所以-(-()-。2

F x( ) = ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x c dt a f t 2 ( ) 0 。 根据定理 16.3.2 的证明过程， 满足 Dini-Lipschitz 判别法的推 论的条件， 可展开为收敛的 Fourier 级数 F x( ) F x( ) 0 1 ( ) cos sin 2 n n n A b a F x nx nx n n ∞ = ⎛ ⎞ = + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ， x∈[ , −π π ]， 令 x = 0，得到 0 1 (0) 2 n n A b F n ∞ = = − ∑ ，这就说明了级数 b n n n= ∞ ∑ 1 收敛。 3．说明级数 ∑ ∞ =2 ln sin n n nx 和 ∑ ∞ =2 ln ln sin n n nx 点点收敛，但不可能是任何可积或 绝对可积函数的 Fourier 级数。 解 对于任意固定的 x， 1 ln n ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭， 1 ln ln n ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭单调趋于 0， 1 sin n k kx = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ∑ 有界， 根据 Dirichlet 判别法，∑ ∞ =2 ln sin n n nx 和 ∑ ∞ =2 ln ln sin n n nx 收敛。 因为 2 n n b n ∞ = ∑ 2 1 n n n ln ∞ = = ∑ 和 2 1 n n n ln ln ∞ = ∑ 都是发散的，所以这两个级数不 可能是可积或绝对可积函数的 Fourier 级数。 4．利用例 16.1.1 的结果 f x( ) [ ) ⎩ [ ) ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = π π 0, 0, 1, ,0 x x ∑ ∞ = − − − 1 2 1 2 sin(2 1) 2 1 ~ n n n x π 和 Parseval 等式，证明 1 2 1 2 n=1 ( ) n − ∞ ∑ 8 2 π = 。 证 因为 f (x)在[ , −π π ]可积且平方可积，由 Parseval 等式， 2 0 1 1 f ( ) x dx dx 1 π π π −π π = = ∫ ∫ 2 1 1 2 2 ( n π 2n 1 ∞ = ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ∑ ) ， 所以 1 2 1 2 n=1 ( ) n − ∞ ∑ 2 1 1 2 2 ⎛ ⎞⎛ π ⎞ ⎟ ⎠ = − ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ 8 2 π = 。 2

5.利用例16.1.2的结果(x)=+ xe[0 元)元，2(-1)”-1cosnx,-x xe[元,0)~2+元后n?￥1和Parseval等式，求之台(2n-1)4解因为f(x)在[-元,π]可积且平方可积，由Parseval等式，4号-号+2/2["xdx=2-{" f"(x)dx=22-元(2k-1)2所以F2an--(gx-=%66.利用+45(-)*_元?cosnx，xE（-元，元）3n=1和Parseval等式，求！nint解因为f(x)在[-元,π]可积且平方可积，由Parseval等式，(m)==号=2()+2(),所以2-(-)后-%.-7．设f(x)为(-0,+)上以2元为周期，且具有二阶连续导数的函数，记f(x)sinnxdx,b,=-{"]"(x)sinnxdx证明：若一b’绝对收敛，则n=l3

5．利用例 16.1.2 的结果 f x( ) [ ) [ ) ~ ,0 0, ⎩ ⎨ ⎧ − ∈ − ∈ = π π x x x x ∑ ∞ = − − + 1 2 cos 2 ( 1) 1 2 n n nx π n π ， 和 Parseval 等式，求∑ ∞ =1 − 4 (2 1) 1 n n 。 解 因为 f (x)在[ , −π π ]可积且平方可积，由 Parseval 等式， 2 2 2 2 0 1 2 ( ) 3 f x dx x dx π π π π π π − = = ∫ ∫ 2 2 2 1 4 2 (2 1) k k π π ∞ = ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ − ⎦ ∑ ， 所以 ∑ ∞ =1 − 4 (2 1) 1 n n 2 2 2 2 3 2 4 π π π ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 4 96 π = 。 6. 利用 ∑ ∞ = − = + 1 2 2 2 cos ( 1) 4 3 n n nx n x π ， x ∈ (−π ,π ) 和 Parseval 等式，求∑ ∞ =1 4 1 n n 。 解 因为 f (x)在[ , −π π ]可积且平方可积，由 Parseval 等式， 2 4 2 4 0 1 2 ( ) 5 f x dx x dx π π π π π π − = = ∫ ∫ 2 2 2 2 1 4 2 3 n n π ∞ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ， 所以 ∑ ∞ =1 4 1 n n 4 2 2 4 4 1 5 9 16 90 π π π ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 。 7．设 f (x)为(−∞,+∞) 上以 2π 为周期，且具有二阶连续导数的函数， 记 ∫− = π π π b f x nxdx n ( )sin 1 , ∫− ′′ = ′′ π π π b f x nxdx n ( )sin 1 。 证明：若∑ 绝对收敛，则 ∞ = ′′ n 1 bn 3

2/1b,10，存在三角多项式W,()=+2(4 coskx+B, sink),2=使得[1f(x)-,(x) dx<8。证设f(x）的Fourier级数为f(x)~号%+Z(a, cos nx + b, snx) 。24

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ 0，存在三角多项式 ψ n (x) = ∑= + + n k k k A kx B kx A 1 0 ( cos sin ) 2 ， 使得 ψ ε π π − < ∫− f x x dx n | ( ) ( )| 。 证 设 f (x)的 Fourier 级数为 ( ) 0 1 ( ) cos sin 2 n n n a f x a nx b ∞ = ∼ + ∑ + nx 。 4

因为f(x)是周期为2元的连续函数，由Parseval等式()dx=+(a,+b,),02台2元。可知>O，N，V>N,V,()=号+2(a coskx+b sink) (n>N),2k=1则由定理16.3.3，62Z(a2+b)<(x)-,()P dx= )2元3k=n+1于是" 1f(x)-,(x)] dx≤ / 1f(x)-,(x)P dx- J 1 dx= 221()-,(P <6 。5

因为 f (x)是周期为 2π 的连续函数，由 Parseval 等式 1 2 f ( ) x dx π π ∫ −π 2 0 2 2 1 ( ) 2 n n n a a b ∞ = = +∑ + ， 可知∀ > ε 0，∃N ，∀ > n N ， 2 2 2 2 1 ( ) 2 k k k n a b ε π ∞ = + ∑ + N ， 则由定理 16.3.3， 1 2 | ( ) ( )| n f x x dx π π ψ π − − = ∫ 2 2 2 2 1 ( ) 2 k k k n a b ε π ∞ = + ∑ + < 。 于是 2 2 | ( ) ( )| | ( ) ( )| 1 n n f x x dx f x x dx π π π π ψ ψ − − − ≤ − ⋅ ∫ ∫ dx π ∫−π 2 2 1 2 | ( ) ( )| n f x x dx π π π ψ π − = ⋅ − ∫ < ε 。 5