华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第二章 随机变量及其分布 §2.4 随机变量函数的分布

S2.4随机变量函数的分布、问题1. X~ N(u,o′) = P(X≤x)=0("=")Y~ N(01) = (*=")=P(Y≤"=") = P(oY+μ≤ x)=X与αY+μ同分布2. R~U[0,r]= S= 元R2~ ?二、D.R.V.的函数例1(P62例2.19)已知X的分布列，求Yi=2X+1，Y2=X2的分布。-2012-1X21241P1010101010解Y=2X+1Y, = X2YP三、C.R.V.的函数例2设X~N(0.1)，求Y=aX+b的分布。解 Fy(y)= P(Y≤y)=P(aX +b≤y)P(X≤-b)=Φ(-ba>0Z1-Φ(=PCXa0_(y-b)211V2元2a2fr(y)= F(y)Iy-b11/2元lala<0a/2元即 Y~N (b,α2)

§2.4 随机变量函数的分布 一、问题 1. ~ ( , ) 2 X N    P(X  x) ( )      x Y ~ N(0,1)  ( ) ( )          x P Y x  P(Y    x)  X 与σ Y+μ 同分布 2． R ~U[0,r]  ~ 2 S R ? 二、D.R.V.的函数 例 1(P62 例 2.19)已知 X 的分布列，求 Y1=2X+1，Y2=X 2 的分布。 X -2 -1 0 1 2 P 10 1 10 2 10 4 10 2 10 1 解 Y1  2X 1 2 Y2  X Y2 P 三、C.R.V.的函数 例 2 设 X~N (0, 1)，求 Y=aX+b 的分布。 解 F (y) P(Y y) P(aX b y) Y                         ( ) 1 ( ), 0 ( ) ( ), 0 a a y b a y b P X a a y b a y b P X f (y) F (y) Y Y                        , 0 2 1 1 , 0 2 1 1 2 2 ( ) 2 1 2 1 e a a e a a a y b a y b   2 2 2 ( ) 2 1 a y b e a     即 Y~N ( b, a 2 )

定理设R.VX有密度函数fx(x)，函数=g(x)有反函数x-h(x)，且h(x)存在并保号，则RV.Y=g(X)有密度函数α0，即g(x)/yg)F(y)= P(g(X)≤y)= P(X ≤h(y)y-h(y)"fx(x)dxXx=h(y)fr(y) = F'(y) = fx[h(y)]h'(y)g(-) g(+) =fr(y)=0若h(y)<0,即g(x)则当 g(+)<<g(-o)时g(x)F,()= P(g(X)≤y)y= P(X ≥ h(y)Jx(x)dx0x=h()[- fx[h(y)]h'(y), g(+o0) < y< g(-)fr(y)=0,其他例3设X~N(μ,α")，求Y=aX+b(a±0)的分布。解 y=g(x)=ax+b, x= h(y)= μ-bh(y):aQ(-b-u)(y-aμ-b)21112a2g22g2fr(y) :e12元al/2元ga

定理 设 R.V.X 有密度函数 fX(x)，函数 y=g(x)有反函数 x=h(x)，且 h ' (x)存在并保 号，则 R.V. Y=g(X)有密度函数        0 , 其他 [ ( )] ( ), ( ) f h y h y  y  f y X Y 其中   min{g(),g()}，   max{g(),g()} 证明：若 h ' (x) > 0，即 g(x)↗ y g(x) F (y) P(g(X) y) Y    P(X  h(y)) y   ( ) ( ) h y f X x dx x=h(y) x f (y) F (y) f [h(y)]h (y) Y Y X     g()  y  g() ？         1, ( ) 0, ( ) ( ) y g y g F y Y  f Y (y)  0 若 h(y)  0 ，即 g(x) ↘ y 则当 g()  y  g() 时 g(x) F (y) P(g(X) y) Y   y  P(X  h(y))    ( ) ( ) h y f X x dx 0 x=h(y) x          0, 其他 [ ( )] ( ), ( ) ( ) ( ) f h y h y g y g f y X Y 例 3 设 X~N(μ ,σ 2 )，求 Y=aX+b (a≠0)的分布。 解 y  g(x)  ax  b ， a y b x h y   ( )  ， a h y 1 ( )  a f y e a y b Y 1 2 1 ( ) 2 2 2 ( )        2 2 2 2 ( ) 2 1     a y a b e a    

(alo))即 Y=aX+b~N(au+b,线性变换不变性例4设C是以原点为圆心的单位圆周，A为上的任意一点，求A的横坐标X的分布。V解记e为OA与x轴的夹角，由题意e~UT-T,T]，X=cos0Fx(x)= P(cos0≤x)[0x<-1-1≤x<1p1x≥1X.--0.3a :- acos (x)1:-0..160,:-0.5p= P(-元 <0 ≤-arccos x)+P(arccos x<0≤元)一arccosx+元元-arccosx2元2元-arccosx)元元-1<x<1fx(x)= F(x)=元V1-x其他0

即 ~ ( , ( ) ) 2 Y  aX  b N a  b a 线性变换不变性 例 4 设 C 是以原点为圆心的单位圆周，A 为 C 上的任意一点，求 A 的横坐标 X 的 分布。 A 解 记θ 为 OA 与 x 轴的夹角， 由题意θ ~U[-π ,π ]，X=cosθ F (x) P(cos x) X                1 1 1 1 0 1 x p x x x 0.3 a acos ( x) i 0  1 0 i a 2 i  a  3 2 1 0 1 2 3 1 0.5 0.5 1 p  P(   arccos x)  P(arccos x   )     2 arccos 2 arccos x  x     ( arccos ) 1    x              0, 其他 , 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 x x f x F x X X  X θ o

y1:-0.2xl:--5,-4.9.qnorm(y1,0,1)x2 :-qnom(y1,0,1)y2 :-0,0.1..y10.5H11110-4-3-2-1.01N345

y 1 0.2 x 1 5 4.9  qnorm( y 1 0 1) x 2 qnorm( y 1 0 1) y 2 0 0.1  y 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1