全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1995数学四

1995年全国硕士研究生入学统一考试经济数四试题详解及评析填空题1+x(1)设lim(te'dt则常数a=x-→【答】2左边=lim[(1+)=e°,【详解】右边=J" te dt=]" de =te'-[" e'dt=αe"-e",由左边=右边，得e"=αe"-e"，解得α=2,f(u)可导，则x+yz,=（2）设z=xy）【答】2z【详解】因为=()+()()=()兰(),=对(9)+()=对()+()于是-)+()+（xz, + yz, = xyf(3)设f'(lnx)=1+x,则f(x)=【答】x+e"+C【详解】令Inx=t,则x=e于是由题设有f'(t)=1+e',即 f'(x)=1+er

1995 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数四试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设 1 lim( ) a ax t x x te dt x →∞ −∞ + = ∫ 则常数 a = _. 【答】 2 【详解】 左边 1 lim[(1 ) ] , x x e x α α →∞ =+= 右边 , t tt t te dt tde te e dt e e αα α α α α α −∞ −∞ −∞ −∞ = = = − =− ∫∫ ∫ 由左边=右边,得e ee , α α α = − α 解得α = 2. （2）设 , () y z xyf f u x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 可导，则 x y xz yz ′ + ′ = _. 【答】 2z 【详解】 因为 2 2 , x y y y yy y z yf xy f yf f x x x xx x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′ ′ = + ⋅ ⋅− = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 , y y y yy z xf xy f xf yf x xx x x ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ′′ ′ = + ⋅ ⋅= + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 于是 2 2 x y y yy y xz yz xyf y f xyf y f x xx x ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ′′ ′ ′ += − + + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 2 2 y xyf z x ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （3）设 f ′( ) ln 1 , x x = + 则 f ( ) x = _. 【答】 x x + + e C 【详解】 令 ln , x = t 则 , t x = e 于是由题设有 () 1 ,t f ′ t e = + 即 ( ) 1 , x f ′ x e = +

故f(x)= [(1+e)dx=x+e*+C100722，A是A的伴随矩阵，则（A"）(4)设A=0134 5]-[0010-10【答】15-532-511210【详解】因为AA"=A|E,从而100101-53-1-50410A2-12L105(1+x若-1≤x≤0（5）设X是一个随机变量，其概率密度为f(x)1-x若0<x≤1，则方差[o其他D(X)=1【答】6[详解] E(X) = [ xf(x)dx= [ xf(x)dx+['x(1- x)dx= 0D(X)= E(X)= [x°f(x)dx=x(1+x)dx+J(-x)dx=6二、选择题()-f(1-x)=-1,则曲线y=f(x)在点（1）设f(x）为可导函数，且满足条件lim2x(1,f(1))处的切线斜率为

故 () 1 . ( ) x x f x e dx x e C = + =+ + ∫ （4）设 100 2 2 0, 345 ∗ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A A 是 A 的伴随矩阵，则( ) −1 ∗ A = _. 【答】 1 0 0 10 1 1 0 . 5 5 3 21 10 5 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解】因为 , ∗ AA AE = 从而 ( ) ( ) 1 1 1 0 0 10 1 1 1 11 0 . 10 5 5 3 21 10 5 2 ∗ − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ A A A= A= A A （ 5 ） 设 X 是一个随机变量，其概率密度为 1 10 ()1 0 1 0 x x fx x x ⎧ + −≤ ≤ ⎪ ⎨ − <≤ ⎪ ⎩ 若 若 其他 ，则方差 D X( ) _. = 【答】 1 6 【详解】 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) (1 ) 0, X xf x dx xf x dx x x dx +∞ −∞ − = = + −= ∫ ∫∫ E 2 2 ( ) ( ) () X X x f x dx +∞ −∞ = = ∫ D E 0 1 2 2 1 0 1 (1 ) (1 ) . 6 x x dx x x dx − = ++ −= ∫ ∫ 二、选择题 （1）设 f ( ) x 为可导函数，且满足条件 0 (1) (1 ) lim 1, x 2 f fx → x − − = − 则曲线 y fx = ( ) 在点 ( ) 1, (1) f 处的切线斜率为

(A)2.(B)-1.(C)(D) - 2.应选(D)【答】【详解】本题实际上是要求(1)，由题设-1(-)-lm -x)-)lim→02x2→0-xf(1)=-1,得f'(1) = -2.（2）下列广义积分发散的是IxAsinxe-rdx(C)L(D)dxxln2x【答】应选(A)11sinx【详解】由于x=0是的间断点，且lim=1根据极限判敛法便知1sinxx-0x1-dx发散.sinx矩阵A=E-αα,B=E+2αα其中E是n阶单位(3)设n维列向量α矩阵，则AB等于(B)-E(C)E(D)E+α"α(A)0.【答】(C)【详解】AB=(E-αα)(E+2αα)=E+2αα-αα-2αα=E+αα-2α(αα)α=E+αα-2._αα=E（4）设矩阵Am的秩为R(A)=m<n,E为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是

() () () ( ) 1 2. 1. . 2. 2 AB C D − − 【答】 应选( ) D . 【详解】 本题实际上是要求 f ′( ) 1 ,由题设 0 0 (1) (1 ) 1 (1 ) (1) lim lim x x 2 2 f f x f xf → → x x − − −− = − ( ) 1 1 1, 2 = =− f ′ 得 f ′( ) 1 2. = − （2）下列广义积分发散的是 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 . . sin 1 A dx B dx x x − − − ∫ ∫ () () 2 2 0 2 1 . . ln x C e dx D dx x x +∞ ∞ − ∫ ∫ 【答】 应选( ) A . 【详解】 由 于 x = 0 是 1 sin x 的间断点，且 0 1 sin lim 1, x 1 x x → = 根据极限判敛法便知 1 1 1 sin dx x ∫− 发散. (3)设 n 维列向量 1 1 ,0, ,0, 2 2 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ α " ，矩阵 T T A = E -αα,B = E + 2αα其中 E 是 n 阶单位 矩阵，则 AB 等于 ( ) A 0. （B）— E （C） E (D) T E +α α 【答】 (C) 【详解】 T T TT T AB E E E =( - )( + 2 )= + 2 - - 2 α α α α α α α α α α T TT = + -2 ( ) E α α α αα α 1 2 . 2 T T =+ − = E αα αα i E （4）设矩阵 Am n× 的秩为 ( ) , R mn A = < Em 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是

(A)A的任意m个列向量必线性无关(B)A的任意m阶子式不等于零(C)A通过初等行变换，必可以化为(Em,O)的形式(D）非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多组解【答】应选(D)【详解】对于Amxn，若r(A)=m,则每个行向量添加一个分量后得(A:b),其秩序仍为m,即 r(A)= r(A:b),,所以Ax=b一定有解,又m0

( ) A A的任意m 个列向量必线性无关. ( ) B A的任意m 阶子式不等于零. ( ) C A 通过初等行变换，必可以化为(Em ,O)的形式. (D) 非齐次线性方程组 Ax b = 一定有无穷多组解. 【答】 应选( ) D . 【详解】 对于 , Am n× 若 r m () , A = 则每个行向量添加一个分量后得 ( ), A#b 其秩序仍为 m ,即 rA r ( ) ( ), = A#b 所以 Ax=b 一定有解,又 m n ⎩ ∫ 试讨论 f ( ) x 在 x = 0 处的连续性和可导性

【详解】(1)由2sinxcosx)= lim lim3→0XX→0"xcos.x?1.xlim =cost'dt=lim=11x→0-→>0+可知limf(x)=1=f(0)于是，函数f(x)在x=0处连续，(2）分别求f(x)在x=0处的左、右导数12(1-cosx)f'(0)= lim -x2x→0~ x2(1-cos x)- x22sinx-2x= lim=limx33x2X-0r-02cosx-2sinx=lim= lim0.6x3X-→03-0f'cos'dt-1f(0)= lim -cost'dt-xcosx?-1= lim Jo-= limx22x>0*x→0*-2xsinx?= lim -=02X-→0*由于左、右导数都等于0，可见f(x)在x=0处可导，且f(O)=0四、(本题满分6分)求不定积分[(arcsin x)~dx【详解】方法一2x arcsin x dx[(arcsin x) dx = x(arcsin x)? - [1-x=x(aresin x) +J resinda(x)/1-x

【详解】 （1）由 ( ) 2 0 0 2 sin lim 1 cos lim 1, x x x x x x → → − − −= = 2 2 0 0 0 1 cos lim cos lim 1, 1 x x x x t dt x → → + + = = ∫ 可知 0 lim ( ) 1 (0). x fx f → = = 于是，函数 f ( ) x 在 x = 0 处连续, （2）分别求 f ( ) x 在 x = 0 处的左、右导数. ( ) 2 0 1 2 1 cos (0) lim 1 x x f x x − → − ⎡ ⎤ − ′ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) 2 3 2 0 0 2 1 cos 2sin 2 lim lim x x 3 x x x x x x → → − − − − − = = 0 0 2cos 2 sin lim lim 0, x x 6 3 x x x → → − − − − = == 2 0 0 1 1 (0) lim cos 1 x x f t dt x x + → + ⎛ ⎞ ′ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 2 2 0 2 0 0 1 cos cos 1 lim lim 2 x x x t dt x x x x x → → + + − − = = ∫ 2 0 2 sin lim 0 x 2 x x → + − = = 由于左、右导数都等于 0，可见 f ( ) x 在 x = 0 处可导，且 f ′(0 0. ) = 四、(本题满分 6 分) 求不定积分 2 (arcsin ) . x dx ∫ 【详解】 方法一: 2 2 2 2 arcsin (arcsin ) (arcsin ) . 1 x x x dx x x dx x = − − ∫ ∫ 2 2 2 arcsin (arcsin ) (1 ) 1 x x x dx x =+ − − ∫

= x(arcsin x) +2/1-x arcsin x-J2dx= x(arcsin x) +2V1-x arcsin x-2x +C.方法二：令u=arcsinx,则 x= sin u,dx= cosuduJ(arcsin x) dx=Ju cosudu=Ju'd sinu= u' sinu+2ucosu-2/ cosudu=u sinu+2ucosu-2sinu+C= x(arcsin x) +2/1-x arcsin x-2x+C.五、(本题满分7分)设f(x)、g(x)在区间[-a,a](a>0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件F(x)+F(-x)=A（A为常数）(1) 证明 " ()g(n)dx= Af。 g(x)dx:（2）利用（1）的结论计算定积分sinxarctane'dx【详解】(1) f (x)g(x)dx= J° f(x)g(x)dx+f f(x)g(x)dx[~ f (x)g(x)dx x=-1 -f°f(-1)g(-1)dt=f° f(-x)g(x)dx于是[" J (x)g(x)dx= f" f(-x)g(x)dx+f" f(x)g(x) dx= J'[(x)+ f(-x)]g(μ)dx= Af° g(x) dx(2) 取 (t)=arctane′,g()=[sinxl,a=号,则 (x)、g(t)在[-号,号上连续2"2g(x)为偶函数，由于

2 2 = +− − x(arcsin ) 2 1 arcsin 2 x x x dx ∫ 2 2 = x(arcsin ) 2 1 arcsin 2 . x x x xC + − −+ 方法二: 令u x = arcsin ,则 x = = sin , cos . u dx udu 22 2 (arcsin ) cos sin x dx u udu u d u = = ∫ ∫∫ 2 =+ − u u u u udu sin 2 cos 2 cos ∫ 2 = + −+ u u u u uC sin 2 cos 2sin 2 2 = + − −+ x(arcsin ) 2 1 arcsin 2 . x x x xC 五、(本题满分 7 分) 设 f () () x gx 、 在区间[− > aa a , 0 ]( ) 上连续， g x( ) 为偶函数，且 f ( x) 满足条件 f () ( ) xfxA + −= （ A 为常数）. （1）证明 ()() () 0 ; a a a f x g x dx A g x dx − = ∫ ∫ （2）利用（1）的结论计算定积分 2 2 sin arctan . x x e dx π π −∫ 【详解】 （1） ()() ()() ()() 0 0 , a a a a f x g x dx f x g x dx f x g x dx − − = + ∫∫∫ ()() 0 a f x g x dx ∫− x = −t ( ) ( ) ( ) () 0 0 . a a − −−= − f t g t dt f x g x dx ∫ ∫ 于是 ()() ( )() ()() 0 0 aa a a f x g x dx f x g x dx f x g x dx − =− + ∫∫ ∫ () ( ) () () 0 0 . a a = +− = ⎡ ⎤ f x f x g x dx A g x dx ∫ ∫ ⎣ ⎦ （2） 取 () () arctan , sin , . 2 x f x e gx xa π = == 则 f ( x gx )、 ( ) 在 , 2 2 ⎡ π π ⎤ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 上连续 g x( ) 为偶函数，由于

(arctane* +arctane) = 0可见arctane+arctane-x=A,令x=0，得2arctane"=A,故A=号.即(t)+(-x)=号C2于是，有sin x arctane'dx =sinxdx =cosx)22六、(本题满分6分）设某产品的需求函数为Q=Q(P),收益函数为R=PQ,其中P为产品价格，Q为需求量（产品的产量），Q(P)是单调减函数.如果当价格为P对应产量为Q.时，边际收益dR，=α>0，收益对价格的边际效应崇=c1.求P和Qo【详解】由收益函数R=PQ,对Q求导，有dpdRdpP=PP+OdgdqdoQdRdq0=Qoab得P。b-1由收益函数R=PQ,对P求导，有doQdRQ+pdo0(-0)=Q(1-E.)dpdpdpP

( ) arctan arctan 0, x x e e− ′ + = 可见arctan arctan , x x e eA − + = 令 x = 0 ，得 2arctan , x e A = 故 . 2 A π = 即 () ( ) . 2 fx f x π + −= 于是，有 ( ) 2 2 0 2 sin arctan sin cos . 2 22 2 0 x x e dx x dx x π π π π π π π − = =− = ∫ ∫ 六、(本题满分 6 分) 设某产品的需求函数为Q QP = ( ), 收益函数为 R = PQ,其中 P 为产品价格，Q 为需求量 （产品的产量），Q P( ) 是单调减函数.如果当价格为 P0 对应产量为Q0时，边际收益 0 0, d a d Q Q = > = R Q ，收益对价格的边际效应 0 0, d c d P P = b 求 P0 和Q0 . 【详解】 由收益函数 R PQ = ,对Q 求导，有 ( ) 1 1 , p d d d d d d ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ = + = +− − = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P R P P PQ P P P QQ E Q Q 0 0 1 1 , d a d b Q Q ⎛ ⎞ = −= ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ R P Q 得 0 . 1 ab b = − P 由收益函数 R PQ = ,对 P 求导，有 ( ) ( ) 1 , p d d d d d d =+ =− − = − Q R Q Q QP Q Q Q E P P P P

dR= Q. (1-b)= c.dPP=PC于是Q0：1-b七、(本题满分5分)设f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)可导，证明：在(a,b)内至少存在一点，使br(b)-qf(a) =- f(5)+f(5)b-a【详解】方法一作辅助函数F(x)=xf(x),则f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,从而在(a,b)内存在一点,使F(b)-F(α) = F(5),b-a由于F(x)=f(x)+xf(x),bf(b)-af(a) = f(5)+εf(5).可见b-a方法二：改为x，得bf(b)-af(a) = f(x)+xf (x),b-abr(b)-af(a) x-[f(x)"=0.即b-a积分得辅助函数为bf(b)-af(a) x- xf(x).F(x)= 4b-a则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0由罗尔定理知,存在e(a,b),使得F()=0,即bf(b)-qf(a) = f(5)+5f(5).b-a八、(本题满分9分)

0 ( ) 0 1 , d b c d P P = −= = R Q P 于是 0 . 1 c b = − Q 七、(本题满分 5 分) 设 f ( ) x 在区间[,] a b 上连续，在(,) a b 可导，证明：在(,) a b 内至少存在一点ξ ，使 ' () () () () bf b af a f f b a ξ ξ ξ − = + − . 【详解】 方法一: 作辅助函数 F x xf x ( ) ( ), = 则 f ( ) x 在[,] a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,从而在 (,) a b 内存在一点ξ ,使 ' () () ( ), Fb Fa F b a ξ − = − 由于 ' F x f x xf x '( ) ( ) ( ) = + , 可见 ' () () () () bf b af a f f b a ξ ξ ξ − = + − . 方法二: 改ξ 为 x ,得 ' () () ( ) ( ), bf b af a f x xf x b a − = + − 即 () () ' [ ( )]' 0. bf b af a x xf x b a − − = − 积分得辅助函数为 () () ( ) ( ). bf b af a F x x xf x b a − = − − 则 F x( )在[,] a b 上连续,在(,) a b 内可导,且 Fa Fb ( ) ( ) 0, = = 由罗尔定理知,存在ξ ∈( , ), a b 使得 ' F ( ) 0, ξ = 即 ' () () () () bf b af a f f b a ξ ξ ξ − = + − . 八、(本题满分 9 分)

求二元函数z=f(x,y)=xy(4-x-y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围城的闭区域D的极值、最大值、最小值【详解】fi(x,y)= 2xy(4-x-y)-xy=0由方程组f,(x,y)=x(4-x-y)-x"y=0得x=0,(0≤y≤6)及点(4,0),(2,1)点(4,0)及线段x=0(0≤y≤6)在D的边界上.只有点(2,1)是可能的极值点f"x=8y-6xy-2y,f",=8x-3x2-4xy,f"m = -2x2,在点(2,1)处A=f"=8y-6xy-2y-6 0,所以点(4,2)是边界上的极小值点,极小值为f(4,2)=-64经比较得最大值为f(2,1)=4,最小值为f(4,2)=-64

求二元函数 2 z f xy xy x y = = −− ( , ) (4 ) 在由直线 x y + = 6， x 轴和 y 轴所围城的闭区域 D 的极值、最大值、最小值. 【详解】 由方程组 ' 2 '2 2 ( , ) 2 (4 ) 0 ( , ) (4 ) 0 x y f x y xy x y x y f xy x x y xy ⎧⎪ = −− − = ⎨ ⎪ = −− − = ⎩ 得 x y = ≤≤ 0,(0 6)及点(4,0),(2,1). 点(4,0)及线段 x y = 0(0 6) ≤ ≤ 在 D 的边界上.只有点(2,1) 是可能的极值点 2 " 8 6 2, xx f =− − y xy y 2 " 8 3 4, xy f =− − x x xy 2 " 2, yy f = − x 在点(2,1)处 2 2 1 " 8 6 2 6 0, xx x y A f y xy y = = = = − − =− 所以点(4,2)是边界上的极小值点,极小值为 f (4,2) 64 = − . 经比较得最大值为 f (2,1) 4, = 最小值为 f (4,2) 64. = −

九、(本题满分8分)对于线性方程组[x +x +x =-3x+x+=-2[X +X + =-2讨论入取何值时，方程组无解，有唯一解和无穷多解，在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解【详解】对方程组的增广矩阵施以初等行变换：[[1111元-31::-2A=元1:-2001元-11-元:L11?-201-元1-2:3(-1)：:[11元-2:元-1001-元>[o0-(+2)(-1) : 3(-1)(1)当+-2且1时,r(A)=r(A)=3,从而方程组有唯一解(2)当入=-2 时，r(A)=3,r(A)=2,由于r(A)±r(A),方程组无解(3）当=1时,有[111:-2A→000:0.000:0可见，r(A)±r(A)=1<3,故方程组有无穷多解又由此可得与原方程组同解的方程组为X, =-2-X2 -X3,令x,=x=0,得其特解u=(-2,0,0)与原方程组的导出组同解的方程组为X =-X -Xg,由此可得基础解系为 =(-1,1,0), v, =(-1,1,0)T于是,原方程组的全部解为

九、(本题满分 8 分) 对于线性方程组 123 1 23 123 3 2 2 xxx x xx xxx λ λ λ ⎧ + + =− ⎪ ⎨ + + =− ⎪ ⎩ + + =− 讨论λ 取何值时，方程组无解，有唯一解和无穷多解，在方程组有无穷多解时，试用其导出 组的基础解系表示全部解. 【详解】 对方程组的增广矩阵施以初等行变换: 2 11 3 1 1 2 1 1 2 0 11 0 1 1 2 0 1 1 3( 1) A λλ λ λ λλ λ λλ λ ⎡ ⎤⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −→ − − ⎣ ⎦⎣ ⎦ − −− − # # # # # # 11 2 0 1 1 0. 0 0 ( 2)( 1) 3( 1) λ λ λ λλ λ ⎡ ⎤ − →− − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ −+ − − # # # (1) 当λ ≠ −2 且λ ≠ 1时,rA rA ( ) ( ) 3, = = 从而方程组有唯一解. (2) 当λ = −2 时, rA rA ( ) 3, ( ) 2, = = 由于 rA rA () () ≠ ,方程组无解. (3) 当λ =1时,有 111 2 0 0 0 0. 000 0 A ⎡ − ⎤ → ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ # # # 可见, rA rA () () 1 3 ≠ =< ,故方程组有无穷多解. 又由此可得与原方程组同解的方程组为 1 23 x =− − − 2 , x x 令 2 3 x x = = 0, 得其特解 0 ( 2,0,0)T u = − 与原方程组的导出组同解的方程组为 1 23 x =− − x x , 由此可得基础解系为 1 2 ( 1,1,0) , ( 1,1,0) . T T v v =− =− 于是,原方程组的全部解为