全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2000数学三

2000年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题dz(1) 其中f,g均可微，则设zxVaxVX5+-兰【答】28Oz=f"y+f!+g'【详解】gax7dx设(2)er+e2-元【答】4ee"dxdt11+dx+o【详解】=1-arctan-er +e2-re? +t?eloee' +(er)1(-)-元（2-4)=4e1111（3）已知四阶矩阵A与B相似；矩阵为A的特征值则行列式2'3'4'5BI-E|=【答】241111【详解】因为A与B相似，而相似矩阵有相同的特征值，所以B得四个特征值2'3'4'5又由Bx=,x,0,有(B-E)可见矩阵B-E有特征值--1，即1，2，23，4.从而有行列式B-E=1×2X3X4=24(3)设随机变量X的概率密度为1[5, xe[0. 1]2xe[3,6],若k使得 P(X ≥k)=，则k的取值范围是f(x)=93其他0

2000 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设 , , x y z f xy g y x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 其中 f , g 均可微，则 z x ∂ = ∂ _. 【答】 1 2 2 1 . y yf f g x x ′′ ′ + − 【详解】 2 12 2 2 1 1 . z yy f y f g yf f g x y x xx ∂ ⎛ ⎞ = ⋅ + ⋅ + ⋅− = + − ′ ′ ′ ′′ ′ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ （2） 设 2 1 x x dx e e +∞ − = + ∫ _ 【答】 . 4e π 【详解】 ( ) 2 22 2 11 1 1 arctan 0 x x x x x x dx e dx dt t e t ee et e e e e +∞ +∞ +∞ − +∞ = == + + + ∫∫ ∫ 1 e e 24 4 ⎛ ⎞ π π π = −= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （ 3 ）已知四阶矩阵 A 与 B 相似；矩阵为 A 的特征值 1111 , 2345 则行列式 -1 B -E =_. 【答】 24 【详解】 因为 A 与 B 相似，而相似矩阵有相同的特征值，所以 B 得四个特征值 1111 , 2345 又由 0, Bx = x, λi i λ ≠ 有( ) -1 1 1 i x x λ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ B -E ，可见矩阵 B-E 有特征值 1 1 λi − ，即 1，2， 3，4.从而有行列式 -1 B -E =1×2×3×4＝24 （3） 设随机变量 X 的概率密度为 ( ) [ ] [ ] 1 , 0,1 , 3 2 , 3,6 , 9 0, x fx x ⎧ ∈ ⎪ ⎪ ⎪ = ∈ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 其他 若 k 使得 { } 2 , 3 PX k ≥ = 则k 的取值范围是_

【答】[1,3]2【详解】由题设P[X≥k)，知道3P(X0(1若X=0,（5）假设随机变量X在区间[-1,21上服从均匀分布，随机变量Y=0若x0)=2因此2.11E(Y)=-1×+0×0+1×2333E()=(-1)*×++0° ×0+12×133故 D(M)=E(r")-[E(I)}"=1-↓=99选择题(1)设对任意的x，总有p(x)≤f(x)≤g(x),且lim[g(x)-(x))=0，则limf(x）(A）存在且等于零(B)存在但不一定为零(C）一定不存在(D)不一定存在[【答】[D]【详解】 若令p(x)=1-e-,g(x)=1+e-l,f(x)=1 ，则有

【答】 [1,3] 【详解】 由题设 { } 2 , 3 PX k ≥ = 知道 { } 2 1 1 , 3 3 PX k = 1 0 0 X 0 1 0 x x Y 若 若 若 ， 则方差 DY =_. 【答】 9 8 【详解】因为 X 在区间[−1,2]上服从均匀分布，所以其密度函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ ≤ = 0 其他 1 2 3 1 ( ) x f x 于是 { } 3 1 P{Y = -1} = P X 0 = 因此 3 1 3 2 0 0 1 3 1 E(Y) = −1× + × + × = 1 3 2 0 0 1 3 1 ( ) ( 1) 2 2 2 2 E Y = − × + × + × = 故 9 8 9 1 ( ) ( ) [ ( )] 1 2 2 D Y = E Y − E Y = − = 二、 选择题 （1）设对任意的 x ，总有ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x), 且 lim[ ( ) − ( )] = 0 →∞ g x x x ϕ ，则 lim f (x) x→∞ (A) 存在且等于零 (B)存在但不一定为零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在 【 】 【答】 [ D] 【详解】 若令 ( ) = 1− , ( ) = 1+ , ( ) = 1 − − x e g x e f x x x ϕ ，则有

p(x)≤f(x)≤g(x),且 lim[g(x)-(x))= 0, lim f(x)= 1可排除（A）（C）两个选项又如0(x)=e*-e-l,g(x)=e-l +e*, f(x)=er显然p(x),g(x),f(x)满足题设条件，但limf(x)不存在。因此（B）也可排除，剩下（D）为正确选项(2）设函数f(x)在点x=a处可导，则函数f(x)在点x=a处不可导的充分条件是(B）f(a)=0且f(a)±0(A)f(a)=0且f(a)=0(C) f(a)>0且f(a)>0(D)f(a)0，f(1)>0，但f(x)=x2在点x=1处可导，排除（C);同样，f(x)=-x2在点x=1处，f(1)<0，f(1)<0,但f(x)=x2,在点x=1处可导，排除(D)剩下(B)为正确选项.事实上,当(B)成立,即f(a)=0且f(α)+0时,有[(x)-(a) = - limf(x)lim-f(a)x-ax-→af(x)-f(a)-- 1m[-1(0),limx-→a+x-ax-a可见当f(α)≠0时，|f(x)在点x=α处的左、右导数不相等,因此导数不存在故f(a)=0且(a)0是f(x)在点x=a处不可导的充分条件（3）设a,az,a,是四元非齐次线形方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3,a,=(1,2,3,4),a,+a,=(0,1,2,3),c表示任意常数，则线形方程组

ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x), 且 lim[ ( ) − ( )] = 0, →∞ g x x x ϕ lim ( ) = 1 →∞ f x x 可排除（A）（C）两个选项. 又如 x x x x x x = e − e g x = e + e f x = e − − ϕ( ) , ( ) , ( ) 显然ϕ(x), g(x), f (x)满足题设条件，但 lim f (x) x→∞ 不存在。 因此（B）也可排除，剩下（D）为正确选项. （2）设函数 f ( ) x 在点 x = a 处可导，则函数 f (x) 在点 x = a 处不可导的充分条件是 (A) ( ) 0 ( ) 0 ' f a = 且f a = （B） ( ) 0 ( ) 0 ' f a = 且f a ≠ (C) ( ) 0 ( ) 0 ' f a > 且f a > (D) ( ) 0 ( ) 0 ' f a 0 ， (1) 0 ' f > ，但 2 f (x) = x 在点 x = 1处可导， 排除（C）； 同样， 2 f (x) = −x 在点 x = 1处， f (1) < 0 ， (1) 0 ' f < ,但 2 f (x) = x ,在点 x =1 处可导,排除(D). 剩下(B)为正确选项.事实上,当(B)成立,即 f a() 0 = 且 f a'( ) 0 ≠ 时,有 () () ( ) lim lim '( ) , xa xa fx fa f x f a xa xa → → − − − =− =− − − () () ( ) lim lim '( ) . x a x a fx fa f x f a xa xa → + → + − =− =− − − 可见当 f a'( ) 0 ≠ 时, f (x) 在点 x = a 处的左、右导数不相等,因此导数不存在. 故 f a() 0 = 且 f a'( ) 0 ≠ 是 f (x) 在点 x = a 处不可导的充分条件. （3）设 123 aa a , , 是四元非齐次线形方程组 AX=b 的三个解向量，且秩 (A)=3, 1 (1,2,3,4)T a = , 2 3 (0,1,2,3)T a a + = ,c 表示任意常数，则线形方程组

AX=b得通解X=(1)0(10212(B)(A)3323（4（4)/13213242(C)(D)3435（4）(56)4)【【答】(C)【详解】由题设，r（A)=3，可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个数为4-3=1,即其任一非零解均可作为基础解系又根据解的性质知2α -(αz +α,)=(α -α,)+(α -α,)=(2,3,4,5) ±0为对应齐次线性方程组的解即可作为基础解系，从而线性方程组Ax=b的通解为221323x=α+c4X552故正确选项为(C)（4）设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组（I）：Ax=O和（I）xAx=0，必有（A）（I）的解都是（I）的解，（I）解也是（II）的（B）（II）的解都是（I）的解，但（I）解不是（II）的（C）（I）解不是（I）的，（I）的解不是（I）的解（D）（I）解是（I）的，但I）的解不是（I）的解[】【答】(A)【详解】设x是Ax=0的解，则显然A为Ax=0，即（I）解是（I）的反过来，设x为xAx=0的解，即A为Ax=0，则有x"ATAx=(Ax)' (Ax)=0,从而可以推出Ax=0

AX = b 得通解 X = (A) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 1 1 4 3 2 1 c (B) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 1 0 4 3 2 1 c (C) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 5 4 3 2 4 3 2 1 c (D) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 6 5 4 3 4 3 2 1 c 【 】 【答】 （C） 【详解】. 由题设,r (A)=3, 可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个 数为 4-3=1,即其任一非零解均可作为基础解系. 又根据解的性质知 1 23 12 13 2 ( ) ( ) ( ) (2,3,4,5) 0 T α αα αα αα −+ =−+− = ≠ 为对应齐次线性方程组的解,即可作为基础解系,从而线性方程组 Ax = b 的通解为 1 21 2 32 3 . 43 4 54 5 xc c ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ =+ = + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ α 故正确选项为(C) （4）设 A 为 n 阶实矩阵， T A 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）：Ax = 0 和（Ⅱ） 0 T x Ax = ，必有 （A）（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）解也是（Ⅱ）的. （B）（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）解不是（Ⅱ）的. （C）（Ⅰ）解不是（Ⅱ）的，（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解 （D）（Ⅰ）解是（Ⅱ）的，但Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解 【 】 【答】 （A） 【详解】 设 x 是 Ax = 0 的解，则显然 T A 为 Ax = 0 ，即（Ⅰ）解是（Ⅱ）的；反过来， 设 x 为 0 T x Ax = 的解，即 T A 为 Ax = 0 ，则有 ( )( ) 0, T T T x A Ax Ax Ax = = 从而可以推出 Ax = 0

因为若设Ax=(a,a2,a)则(Ax)（Ax)=a+a,+..+a,=0于是有α=α,==a,=0,即Ax=0，说明（II）的解也是（I）的解.故正确选项为(A)（5）在电炉上安装4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t。，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，设To)≤T2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件(A) (Ta) ≥to)(B) (T(2) ≥ to).(D) (T(4) ≥to) -(C) {T(3) ≥to) *【答】 (C)【详解】，“电炉断电”这一事件E发生，意味着四个温控器至少有两个显示的温度值大于或等于to,即若将4个温控器上的值Ta),T(2),T(s),T(4)从小到大排列的话,排在第3的温度值一定大于或等于to,即有(T(3)≥to),故正确为(C)三、（本题满分6分）求微分方程y"-2y-e2*=0满足条件y(0)=0,y(0)=1的解【详解】对应齐次方程y"-2y=0的特征方程为2-2元=0其特征根为^=0,=2对应的齐次方程的解为y=C,+C,ex由于α==2为单根，因此可设非齐次方程的特解为y=Axe将(y) =(A+2Ax)e?*(y)=4A(1+x)e2*30-1所将y(0)=0,y(0)=1代入通解，求得C,=，从而所求满足初始条件的特解为C2442+le++xe"y=44°+2四、（本题满分6分）

因为若设 ( ) 1 2 , , T n Ax = aa a " ,则( )( ) 22 2 1 2 0, T n Ax Ax = aa a + ++ = " 于是有 1 2 0, n aa a ==== " 即 Ax = 0 ，说明（Ⅱ）的解也是（Ⅰ）的解.故正确选项为(A) （5）在电炉上安装 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两 个温控器显示的温度不低于临界温度 0t ，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”，设 T(1) ≤ T(2) ≤ T(3) ≤ T(4) 为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于事 件 (A) { } (1) 0 T ≥ t . (B) { } (2) 0 T ≥ t . (C) { } (3) 0 T ≥ t . (D) { } (4) 0 T ≥ t . 【 】 【答】(C) 【详解】. “电炉断电”这一事件 E 发生,意味着四个温控器至少有两个显示的温度值大 于或等于 0t ,即若将 4 个温控器上的值 (1) (2) (3) (4) TTTT , 从小到大排列的话,排在第 3 的温度 值一定大于或等于 0t ,即有{ } (3) 0 T ≥ t ,故正确为(C). 三、（本题满分 6 分） 求微分方程 2 2 0 x y ye ′′ ′ −−= 满足条件 y y (0) 0, (0) 1 = ′ = 的解. 【详解】 对应齐次方程 y y ′′ ′ − = 2 0 的特征方程为 2 λ λ − = 2 0. 其特征根为 1 2 λ = = 0, 2 λ 对应的齐次方程的解为 2 1 2 . x y C Ce = + 由于 2 a = = λ 2 为单根，因此可设非齐次方程的特解为 2 . x y Axe ∗ = 将( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 41 . x x y A Ax e y A x e ∗ ∗ ′ ′′ =+ = + 将 y y (0) 0, (0) 1 = = ′ 代入通解，求得 1 2 3 1 , . 4 4 C C = = 从而所求满足初始条件的特解为 31 1 2 2 . 44 2 x x y e xe =+ + 四、（本题满分 6 分）

Vx?+ y?计算二重积分[-do,其中D是由曲线y=-a+a-x（a<0）和直线D4a?-x2-vy=-x围成的区域【详解】积分区域如下图所示，在极坐标下，有ty0Xa-ay=-x厂于是-2[x?+ysinfdadedr4a-14a?-x2-2令r=2asint，于是I= Jdo],°2a (1-cos2t)dt=2a [sin20de-A+n2(元_1-16五、（本题满分6分）假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是Pi=18-29，P3=12-2Qz，其中pi,Pz分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/顿），9和Q，分别表示改产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：顿），并且该企业生产这种产品的总成本函数是C=2Q+5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q=Q1 +Q2(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上改产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化：并比较两种策略的总利润大小

计算二重积分 2 2 222 , D 4 x y d axy σ + − − ∫∫ 其中 D 是由曲线 ( ) 2 2 y a a xa = −+ − < 0 和直线 y x = − 围成的区域. 【详解】 积分区域如下图所示，在极坐标下，有 ( ) , | 0,0 2 sin , 4 Dr r a π θ θ θ ⎧ ⎫ = − ≤ ≤ ≤ ≤− ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 于是 2 2 2 2 sin 4 222 2 0 4 . 4 4 a D x y r I d d dr a x y ar π θ σ θ π − − + = = −− − ∫∫ ∫ ∫ 令 r at = 2 sin ，于是 ( ) 0 0 2 2 0 4 4 1 2 1 cos 2 2 sin 2 2 I d a t dt a d θ π π θ θ θθ − − − ⎛ ⎞ = − = −+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ ∫ 2 2 1 . 16 2 a ⎛ ⎞ π = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 五 、（本题满分 6 分） 假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是 1 1 p = 18 − 2Q ， p3 = 12 − 2Q2 ，其中 1 2 p , p 分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万 元/顿），Q1和Q2分别表示改产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：顿），并且该企业生 产这种产品的总成本函数是 C = 2Q + 5 ，其中 Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即 Q = Q1 + Q2 （1） 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场该产品的销售量和价格，使该 企业获得最大利润； （2） 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上改产品的销售量及其统一 的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种策略的总利润大小

【详解】（1）根据题意，总利润函数为L=R-C= PQ, + P,Q, -(2Q+5)= -292 -Q +169 +10Q, - 5[Lg =-4α, +16 = 0 2Lo=-20,+10=0解得9,=4,Q,=5,对应P=10(万元/吨),P,=7（万元/吨)因驻点（4,5)唯一,且实际问题一定存在最大值,故最大值必在驻点处达到,相应最大利润为L=-2×42=5+16×4+10×5-5=52（万元）(2）若实际价格无差别策略,则p,=P,于是有约束条件29 -Q, = 6.构造拉格朗日函数F(Q1,Q2,2)=-292 -Q +160, +10Q, -5+ (29, -Q, -6)Fg =-40+16+2= 0令Fg=-20,+10-元=0Fo,=29-Q,-6=0解得Q,=5,Q,=4,=2,对应p,=P,=8最大利润L=-2×52-42+16×5+10×4-5=49（万元）由上述结构可知，企业实行差别定价，所得利润总要大于统一价格的利润六、（本题满分7分）+arctan的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线求函数y=(x-1)e2【详解】x? +x +aretanx因为y"=1+x2令y=0得驻点x=0x,=-1列表讨论如下x-10(8, -1)(-1,0)(0, +)

【详解】 (1) 根据题意,总利润函数为 11 2 2 L R C pQ pQ Q = −= + − + (2 5) 2 2 12 1 2 = − −+ + − 2 16 10 5. QQ Q Q 令 1 2 ' 1 ' 2 4 16 0 , 2 10 0 Q Q L Q L Q ⎧ =− + = ⎪ ⎨ ⎪ =− + = ⎩ 解得 1 2 Q Q = = 4, 5,对应 1 p =10(万元/吨), 2 p = 7 (万元/吨). 因驻点(4,5) 唯一,且实际问题一定存在最大值,故最大值必在驻点处达到,相应最大利润为 2 2 L =− × − + × + × − = 2 4 5 16 4 10 5 5 52 (万元). (2) 若实际价格无差别策略,则 1 2 p = p ,于是有约束条件 1 2 2 6. Q Q− = 构造拉格朗日函数 2 2 12 1 2 1 2 1 2 FQ Q Q Q Q Q Q Q ( , , ) 2 16 10 5 (2 6). λ λ =− − + + − + − − 令 1 2 3 ' 1 ' 2 ' 1 2 4 16 2 0 2 10 0 2 60 Q Q Q F Q F Q F QQ ⎧ =− + + = ⎪⎪ ⎨ =− + − = ⎪ ⎪ = − −= ⎩ λ λ 解得 1 2 Q Q = == 5, 4, 2, λ 对应 1 2 p p = = 8. 最大利润 2 2 L =− × − + × + × − = 2 5 4 16 5 10 4 5 49 (万元). 由上述结构可知,企业实行差别定价,所得利润总要大于统一价格的利润. 六、（本题满分 7 分） 求函数 x y x e arctan 2 ( 1) + = − π 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线. 【详解】 因为 2 arctan 2 2 ' ; 1 x x x y e x + + = + π 令 y ' 0, = 得驻点 1 2 x x = =− 0, 1. 列表讨论如下: x ( , 1) −∞ − −1 ( 1,0) − 0 (0, ) +∞

00+yiy极大值极小值个↓个由此可见,递增区间为(-80,-1)(0,+0),递减区间为（-1.0)4极小值为 T(0)=-es;极大值为 F(-1)=-2e,()=e,b = im[(x)-a,x)=-2e,a =lim又因为“x() =1,b, = lim[f(x)-a,x] =-2,a, = limx故所求渐近线为y=ax+b,=e"(x-2),以及y=ax+b,=x-2七、（本题满分6分）设|,=[4sin"xcosxdx,n=0,1,2,",求了1=0【详解】因为(sin x)*sin"xcosxdx=4=n+所以V2V221,=211V2n+lln=o n(-x考虑幂级数 S(x)=，其收敛区间为(-1,1)，则有=i nS(x)=1x1于是 S(x)= S(0)+['s(x)dx=[dx=-In|1- xlV2e(-1,1),得令x2)-)(2+2)八、（本题满分6分）

y ' + 0 − 0 + y ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 由此可见,递增区间为( , 1),(0, ); −∞ − +∞ 递减区间为( 1,0) − . 极小值为 2 f (0) ; = −e π 极大值为 4 f ( 1) 2 . − =− e π 又因为 1 11 ( ) lim , lim[ ( ) ] 2 , x x f x a e b f x ax e →∞ →∞ x = = = − =− π π 2 22 ( ) lim 1, lim [ ( ) ] 2, x x f x a b f x ax →−∞ →−∞ x = = = − =− 故所求渐近线为 1 1 y ax b e x = += − ( 2), π 以及 2 2 y ax b x = + =− 2. 七、（本题满分 6 分） 设 4 0 sin cos , 0,1,2, , n n I x xdx n π = = ∫ " 求 0 . n n I ∞ = ∑ 【详解】 因为 ( ) 1, 1 4 0 1 12 sin cos sin 4 1 12 0 n n n n I x xdx x n n π π + + ⎛ ⎞ == = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ∫ 所以 1 00 0 1 2 12 . 12 2 n n n n nn n I I n n + ∞∞ ∞ == = ⎛⎞ ⎛⎞ = = ⎜⎟ ⎜⎟ + ⎝⎠ ⎝⎠ ∑∑ ∑ 考虑幂级数 ( ) 1 , n n x S x n ∞ = = ∑ 其收敛区间为(−1,1) ，则有 ( ) 1 1 1 , 1 n n Sx x x ∞ − = ′ = = − ∑ 于是 () () () 0 0 1 0 ln 1 , 1 x x S x S S x dx dx x x = + = =− − ′ − ∫ ∫ 令 ( ) 2 1,1 , 2 x = ∈− 得 ( ) 1 1 12 2 2 ln 1 ln 2 2 . 22 2 n n n i I S n ∞ ∞ = = ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ = = =− − = + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ 八、（本题满分 6 分）

设函数f(x)在[0,]上连续，且"F(x)dx=0，f(x)cosxdx=0试证明：在(0,元）内存在两个不同的点51,52，使F(5）=(52)=0【详解】令F(x)=[。f(t)dt,则有F(0)=F(元)=0.又因为0= J° f(x)cos xdx = J。 cos xdF(x)= F(x)cos xl + J F(x)sin xdx= J° F(x)sin xdx.令G(x)= [" F(t)sin tdt,则G(0)=G(π)= 0于是由罗尔定理存在E(0,元),使G()= F()sin= 0因为当e（0,元）,sin0,所以有F()=0.这样就证明了F(0)= F()= F(元)= 0再对F(x)在区间[0,5],[5,元]上分别用罗尔中值定理知，至少存在5 e(0,5),52 e(5,元)使 F(5)=F(52)=0,即 f(5)=f(52)=0九、（本题满分8分）设向量组α,=(a,0,10)，α,=(-2,1,5)，α,=(-1,1,4)，β=(1,b,c)，试问：当a,b,c满足什么条件时，（1）β可由α，α,α线性表出，且表示唯一？（2）β不可由α,α,α,线性表出？（3）β可由α，αz,α,线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式。【详解1】设有一组数x,X2,x,使得xa, +x,a, +xa, =β

设函数 f (x) 在[0,π ]上连续，且 ( ) 0 0 = ∫ π f x dx ， ( ) cos 0 0 = ∫ π f x xdx 试证明：在(0,π ) 内存在两个不同的点 1 2 ξ ,ξ ，使 ( ) ( ) 0 f ξ 1 = f ξ 2 = 【详解】 令 0 F( ) () , x f t dt = ∫ π 则有 F F (0) ( ) 0. = π = 又因为 0 0 0 ( )cos cos ( ) = = f x xdx xdF x ∫ ∫ π π 0 0 = + F( )cos ( )sin x x F x xdx ∫ π π 0 = F( )sin . x xdx ∫ π 令 0 G x F t tdt ( ) ( )sin , = ∫ π 则G G (0) ( ) 0, = π = 于是由罗尔定理存在ξ ∈(0, ), π 使 G F '( ) ( )sin 0. ξ = ξ ξ = 因为当ξ ∈ ≠ (0, ),sin 0, π ξ 所以有 F() 0 ξ = .这样就证明了 FFF (0) ( ) ( ) 0. = ξ = = π 再 对 F x( ) 在区间 [0, ],[ , ] ξ ξ π 上分别用罗尔中值定理知 , 至少存在 ξ1 2 ∈ ∈ ( ) 0, , , . ξ ξ ξπ ( ) 使 1 2 F F '( ) '( ) 0, ξ = ξ = . 即 1 2 f f () () 0 ξ = ξ = 九、（本题满分 8 分） 设向量组 1 ( ,0,10)T α = a ， 2 ( 2,1,5)T α = − ， 3 ( 1,1,4)T α = − ， (1, , )T β = b c ，试问：当 a,b,c 满足什么条件时， （1） β 可由 123 α , , α α 线性表出，且表示唯一？ （2） β 不可由 123 α , , α α 线性表出？ （3） β 可由 123 α , , α α 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式。 【详解 1】 设有一组数 123 x , , x x ,使得 11 2 2 33 xx x α ++= α αβ

[ax -2x, -x, =1即2x+x+=b10x +5x,+4x=c该方程组的系数行列式[α -2 -1[4|=2 1 1=-a-4.1054(1）当α±-4时,行列式A+0,方程组有唯一解，β可由α,αz,α,线性表出，且表示唯一,(2）α=-4,对增广矩阵作初等行变换,有-2：1210:-b-1-4-1A=2.1b002b+1114105:100 0 : 3b-c-1c若3b-C≠1,则秩r(A)+秩r(A),方程组无解，β不可由αi,α2,α,线性表出(3)α=-4且3b-C=1,时。秩r(A)±秩r(A)=2<3,方程组有无穷多解，β可由α,αz,α,线性表出，但表示不唯一解方程组,得x =C,x,=-2C-b-1,,=2b+1(C为任何常数)因此有β=Cα, -(2C+b+1)α, +(2b+1)α,【详解2】设有一组数x,x2,x，使得Xa +x,a, +x,a,=β,即[ax -2x, -x, =12x+x+$=b10x,+5x,+4x=c对方程组的增广矩阵作初等行变换,有[21b11-2-1aabaa2A=2b0.-2221051C00-1c-5ba(1)当-2-+0,即a±-4时，秩r(A)±秩r(A)=3,方程组有唯一解，β可由2

即 1 23 123 12 3 2 1 2 10 5 4 ax x x xxx b x x xc ⎧ − −= ⎪ ⎨ ++= ⎪ ⎩ ++= 该方程组的系数行列式 2 1 2 1 1 4. 10 5 4 a A a − − = =− − (1) 当 a ≠ −4 时,行列式 A ≠ 0,方程组有唯一解, β 可由 123 α , , α α 线性表出, 且表示唯一. (2) a = −4 ,对增广矩阵作初等行变换,有 4 2 1 1 210 1 2 1 1 001 2 1 , 10 5 4 0 0 0 3 1 b Ab b c bc ⎡ ⎤⎡ ⎤ − − − −− ⎢ ⎥⎢ ⎥ = →+ ⎣ ⎦⎣ ⎦ − − # # # # # # 若3 1, b c − ≠ 则秩 rA rA () () ≠ 秩 ,方程组无解, β 不可由 123 α , , α α 线性表出 (3) a = −4 且 3 1, b c − = 时. 秩 rA rA () () 2 3 ≠ 秩 = < ,方程组有无穷多解, β 可由 123 α , , α α 线性表出, 但表示不唯一.解方程组,得 12 3 x = =− − − = + Cx C b x b , 2 1, 2 1(C 为任何常数). 因此有 1 23 β = − ++ + + C Cb b α (2 1) (2 1) . α α 【详解 2】 设有一组数 123 x , , x x ,使得 11 2 2 33 xx x α ++= α αβ , 即 1 23 123 12 3 2 1 2 10 5 4 ax x x xxx b x x xc ⎧ − −= ⎪ ⎨ ++= ⎪ ⎩ ++= . 对方程组的增广矩阵作初等行变换,有 21 1 21 1 211 02 1 1 , 22 2 10 5 4 00 1 5 b a a a ab A b c c b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = → −− −− − ⎣ ⎦ − − ⎣ ⎦ # # # # # # (1) 当 2 0 2 a −− ≠ ,即 a ≠ −4 时, 秩 rA rA () () 3 ≠ 秩 = ,方程组有唯一解, β 可由