全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2003数学四

2003年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析、填空题(1)极限lim[1+In(1+x)【答】e?22 In[1+In(1+x)]【详解】lim[1 + In(1 + x)]*= lime*x-→0elg ntnlaJim 2 In(1+x)Ye2e(2) [.(x+ x)e-ldx=【答】2(1-2e-")【详解】(+x)eldx=xeax+"xeldx-x +2]xex=-2] xde=-2(xe-*|: -J'e*dx) =2(1- 2e).[a,若0≤x≤1,而D表示全平面，则(3) 设 a>0 ， f(x)=g(x)=[o，其他，= [[f(x)g(y-x)dxdy= 【答】 α?a? dxdy【详解】】I = [[ f(x)g(y- x)dxdy=0≤x≤l0≤y-xs=a'f'dx, dy= a'f'[(x+1)- x)dx = a..[2 020401（4）设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵.已知AB=2A+B,B=2/20(A-E)-I=

2003 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、填空题 （1）极限 x x x 2 0 lim[1+ ln(1+ )] → = . 【答】 2 e 【详解】 x x x 2 0 lim[1+ ln(1+ )] → = ln[1 ln(1 )] 2 0 lim x x x e + + → = . 2 2 ln(1 ) lim 2 ln[1 ln(1 )] lim0 0 e e e x x x x x x = = + + + → → （2） x x e dx x ∫− − + 1 1 ( ) = . 【答】 2(1 2 ) −1 − e 【详解】 x x e dx x ∫− − + 1 1 ( ) = xe dx xe dx x x ∫ ∫− − − − + 1 1 1 1 = xe dx − x ∫− 1 1 1 1 0 0 2 2 x x xe dx xde − − + =− ∫ ∫ = 1 1 0 0 2( ) x x xe e dx − − − − ∫ = 2(1 2 ) −1 − e . (3) 设 a>0 ， ， a x f x g x 其他 若0 1, 0, , ( ) ( ) ≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = 而 D 表示全平面，则 ∫∫ = − D I f (x)g( y x)dxdy = . 【答】 2 a 【详解】 ∫∫ = − D I f (x)g( y x)dxdy = a dxdy x y x ∫∫ 0≤ ≤1,0≤ − ≤1 2 = [( 1) ] . 2 1 0 2 1 0 1 2 a dx dy a x x dx a x x = + − = ∫ ∫ ∫ + （4）设 A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知 AB=2A+B,B= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 0 2 0 4 0 2 0 2 ,则 1 ( ) − A − E =

TO01【答】100001【详解】由AB=2A+B.知AB-B=2A-2E+2E,即有(A-E)B-2(A-E)=2E,(A-E)-(B-2E)=E(A-E)(B-2E)=2E,福[0 0 1](A-E)-1可见-(B-2E)=0102100(5）设n维向量α=(a,0,,0,a),a<0：E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-αα', B=E+-αα',0其中A的逆矩阵为B，则a=【答】-1由题设，有【详解】1AB=(E-ααT)E+-aαT)a11=E-αα +-αα"--αaT.αataa11=E-αα+-α_-α(αα)αaa1=E-ααT+-ααT-2aααTa-=E+(-1-2a+-)ααT=E,a1-1-2g+=0，即2a?+a-1=0,于是有d1解得a=,a=-1.由于 a<0,故 a=-1.2（6）设随机变量X和Y的相关系数为0.5，EX=EY=0,EX?=EY?=2，则E(X +Y)=【答】6【详解】因为

【答】 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 【详解】 由 AB=2A+B, 知 AB-B=2A-2E+2E, 即有 (A − E)B − 2(A − E) = 2E ， (A − E)(B − 2E) = 2E ， A − E ⋅ (B − 2E) = E 2 1 ( ) ， 可见 1 ( ) − A − E = ( 2 ) 2 1 B − E = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . （5）设 n 维向量 = (a,0, ,0,a) ,a < 0 " T α ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 T A = E −αα ， T a B E αα 1 = + ， 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= . 【答】 -1 【详解】 由题设，有 ) 1 ( )( T T a AB = E −αα E + αα = T T T T a a E −αα + αα − αα ⋅αα 1 1 = T T T T a a E αα αα α(α α)α 1 1 − + − = T T T a a E αα αα 2 αα 1 − + − = E a E a T + − − + )αα = 1 ( 1 2 , 于是有 0 1 −1− 2 + = a a ，即 2 1 0 2 a + a − = ， 解得 , 1. 2 1 a = a = − 由于 a<0 ,故 a=-1. （6）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.5, EX=EY=0, 2 2 2 EX = EY = , 则 2 E(X + Y) = . 【答】 6 【详解】 因为

E(X + Y)?= EX +2E(XY)+ EY?=4+2[Cov(X,Y)+EX·EY1=4+2px*/DX./DY=4+2×0.5×2=6.二、选择题1（1）曲线y=xex(A）仅有水平渐近线(B）仅有铅直渐近线（C）既有铅直又有水平渐近线(D）既有铅直又有斜渐近线【答】[D]【详解】当x→土oo时，极限limy均不存在，故不存在水平渐近线；I1又因为lim=limer=1,lim(xerx)=0，所以有斜渐近线y=xx-→00X→11另外，在x=0处y=xe无定义，且limxer三:0x-→0可见x=0为铅直渐近线1故曲线y=xe既有铅直又有斜渐近线，应选（D)(2）设函数f(x)=x3-1p(x)，其中p(x)在x=1处连续，则p(1)=0是f(x)在x=1处可导的(A）充分必要条件（B）必要但非充分条件(C）充分但非必要条件：(D）既非充分也非必要条件【答】[A]【详解】因为x3 -1f(x)- f(1)limlim@(x) = 3(1) ,x-1r-→1*x-1tx-1x3-1f(x)- f(I)lim-lim@(x) =-3p(1),-1x-1x-1r可见，f(x)在x=1处可导的充分必要条件是3p(1)=-3p(1)p(1)=0.故应选(A)

2 E(X + Y) = 2 2 EX + 2E(XY) + EY =4+ 2[Cov(X ,Y) + EX ⋅ EY] =4+2 ⋅ DX ⋅ DY = 4 + 2× 0.5× 2 = 6. ρ XY 二、选择题 （1）曲线 2 1 x y = xe (A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线. (C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. 【答】 [ D] 【详解】 当 x → ±∞ 时，极限 y x→±∞ lim 均不存在，故不存在水平渐近线； 又因为 lim lim 1 2 1 = = →∞ →∞ x x x e x y ， lim( ) 0 2 1 − = →∞ xe x x x ，所以有斜渐近线 y=x. 另外，在 x=0 处 2 1 x y = xe 无定义，且 = ∞ → 2 1 0 lim x x xe ， 可见 x=0 为铅直渐近线. 故曲线 2 1 x y = xe 既有铅直又有斜渐近线，应选(D). （2）设函数 ( ) 1 ( ) 3 f x = x − ϕ x ，其中ϕ(x) 在 x=1 处连续，则ϕ(1) = 0 是 f(x)在 x=1 处可导的 (A) 充分必要条件. （B）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 【答】 [ A ] 【详解】 因为 ( ) 3 (1) 1 1 lim 1 ( ) (1) lim 3 1 1 ⋅ϕ = ϕ − − = − − → + → + x x x x f x f x x ， ( ) 3 (1) 1 1 lim 1 ( ) (1) lim 3 1 1 ⋅ϕ = − ϕ − − = − − − → − → − x x x x f x f x x ， 可见，f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是 3ϕ(1) = −3ϕ(1) ⇔ ϕ(1) = 0. 故应选(A)

（3）设可微函数f(x,y)在点（xo,yo）取得极小值，则下列结论正确的是(A）f(xo,Jy)在y=y处的导数等于零：（B）f(xo,y)在y=y处的导数大于零(C）f(xo,y)在y=y处的导数小于零：(D）f(xoJ)在y=y处的导数不存在【答】 [A]【详解】可微函数f(x,y)在点(xo,y）取得极小值，根据取极值的必要条件知f,(xo,J)=0，即f(xo,J)在y=y处的导数等于零，故应选(A)（4）设矩阵[0 0 1]B=010[1 0]已知矩阵A相似于B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于(A)2.(B) 3.(C) 4.(D) 5.【答】[C]【详解】因为矩阵A相似于B，于是有矩阵A-2E与矩阵B-2E相似，矩阵A-E与矩阵B-E相似，且相似矩阵有相同的秩，而[-20100-1=3,秩(B-2E)=秩[ 1-2]0-101000=1,秩(B-E)=秩[10-1可见有秩(A-2E)+秩(A-E)=秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C)（5）对于任意二事件A和B(A）若AB±Φ，则A,B一定独立.(B）若AB±Φ，则A,B有可能独立(C）若AB=Φ，则A,B3一定独立(D）若AB=Φ，则A,B一定不独立【答】[B]【详解】AB+Φ推不出P(AB)=P(A)P(B),因此推不出A,B一定独立，排除(A);若AB=Φ，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D）也不成立，故正确选项

（3）设可微函数 f(x,y)在点( , ) 0 0 x y 取得极小值，则下列结论正确的是 (A) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数等于零. （B） ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数大于零. (C) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数小于零. (D) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数不存在. 【答】 [ A ] 【详解】 可微函数 f(x,y)在点 ( , ) 0 0 x y 取得极小值，根据取极值的必要条件知 f y ′(x0 , y0 ) = 0 ，即 ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数等于零, 故应选(A). （4）设矩阵 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B . 已知矩阵 A 相似于 B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于 (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. 【答】 [ C ] 【详解】 因为矩阵 A 相似于 B，于是有矩阵 A-2E 与矩阵 B-2E 相似，矩阵 A-E 与矩 阵 B-E 相似，且相似矩阵有相同的秩，而 秩(B-2E)=秩 3 1 0 2 0 1 0 2 0 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ， 秩(B-E)=秩 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ， 可见有 秩(A-2E)+秩(A-E)= 秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C). （5）对于任意二事件 A 和 B (A) 若 AB ≠ φ ，则 A,B 一定独立. (B) 若 AB ≠ φ ，则 A,B 有可能独立. (C) 若 AB = φ ，则 A,B 一定独立. (D) 若 AB = φ ，则 A,B 一定不独立. 【答】 [ B ] 【详解】 AB ≠ φ 推不出 P(AB)=P(A)P(B), 因此推不出 A,B 一定独立，排除(A); 若 AB = φ ，则 P(AB)=0，但 P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确选项

为(B).（6）设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则(A）X与Y一定独立(B)(X,Y)服从二维正态分布(C)X与Y未必独立(D)X+Y服从一维正态分布【答】 [C]【详解】只有当（XY）服从二维正态分布时，X与Y不相关X与Y独立本题仅仅已知X和Y服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X与Y一定独立，排除(A)若X和Y都服从正态分布且相互独立，则XY)服从二维正态分布，但题设并不知道XY是否独立，可排除（B）：同样要求X与Y相互独立时，才能推出X+Y服从一维正态分布，可排除(D).故正确选项为(C)三、（本题满分8分）1设 f(x)=sin (1-x)1上连续试补充定义f(0),使得 f(x)在[0,【详解】1x-sinx. + limlim f(x)=-X-0元X→0*xsinx11x-sinx元-元COS元X+ lim+ limx元?→0元2元2x元3→0元sinzx11+ lim2元2x→0+元元由于f(x)在(0,二1上连续，因此定义2f(0)=_1元使f(x)在[0,门上连续四、（本题满分8分）afaf=1,又g(x, )= [xy,(x2 - 2)],设f(uv)具有二阶连续偏导数，且满足ou?Ovn

为(B). （6）设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 (A) X 与 Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布. (C) X 与 Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. 【答】 [ C ] 【详解】 只有当(X,Y) 服从二维正态分布时，X 与 Y 不相关⇔ X 与 Y 独立， 本题仅仅已知 X 和 Y 服从正态分布，因此，由它们不相关推不出 X 与 Y 一定独立，排除(A); 若 X 和 Y 都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道 X,Y 是 否独立，可排除(B); 同样要求 X 与 Y 相互独立时，才能推出 X+Y 服从一维正态分布，可 排除(D).故正确选项为(C). 三 、（本题满分 8 分） 设 ], 2 1 , (0, (1 ) 1 1 sin 1 ( ) ∈ − = − − x x x x f x π π π 试补充定义 f(0),使得 f(x)在 ] 2 1 [0, 上连续. 【详解】 lim ( ) 0 f x x→ + = - . 1 π + x x x x x π π π π sin sin lim 0 − → + = - 2 2 0 sin lim 1 π π π π x x x x − + → + = - x x x 2 0 2 cos lim 1 π π π π π − + → + = - 2 2 0 2 sin lim 1 π π π π x x→ + + = - . 1 π 由于 f(x)在 ] 2 1 (0, 上连续，因此定义 π 1 f (0) = − ， 使 f(x)在 ] 2 1 [0, 上连续. 四 、（本题满分 8 分） 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 1 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ v f u f ，又 ( )] 2 1 ( , ) [ , 2 2 g x y = f xy x − y

求+gax+ay【详解】afafafdg.afg=yX+xyaxavauavOuayafa'gy20f+++2xy故u?Ov2x2avOuoya"g=x0fa"f+vaf_af2.xy+1Ou?ay?Ov2OvouOvaf0'g.o"g++(2 +y3)= (x2 + y2)所以"ay?Ou?v2ax?=x? + y?.五、（本题满分8分）计算二重积分I = Jfe-(r+yp-) sin(x? + y°)dxdy.r其中积分区域D=(x,J)x2+≤元)【详解】作极坐标变换：x=rcoso,y=rsin，有I = e" fe-(+) sin( + y) dxdy-e""'dof" re" sinr'dr.令t=r2，则I = re" f' e' sin tdt.记A=f"e"sintdt，则A = -f" e' int de---[e"'sin-I'e" cosidi]

求 . 2 2 2 2 y g x g ∂ ∂ + ∂ ∂ 【详解】 v f x u f y x g ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ， . v f y u f x y g ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ 故 v f v f x u v f xy u f y x g ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ， 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v f v f y v u f xy u f x y g ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) v f x y u f x y y g x g ∂ ∂ + + ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ = . 2 2 x + y 五 、（本题满分 8 分） 计算二重积分 sin( ) . ( ) 2 2 2 2 I e x y dxdy D x y = + ∫∫ − + −π 其中积分区域 D={( , ) }. 2 2 x y x + y ≤ π 【详解】 作极坐标变换： x = r cosθ , y = rsinθ ，有 I e e x y dxdy D x y sin( ) ( ) 2 2 2 2 = + ∫∫ π − + = sin . 2 0 0 2 2 e d re r dr r ∫ ∫ − π π π θ 令 2 t = r ，则 I e e tdt t sin ∫0 − = π π π . 记 A e tdt t sin ∫0 − = π ，则 t t A e de − − ∫ = − int 0 π = [ sin cos ] 0 ∫0 − − − − π π e t e tdt t t

.costde=-[e"cost + f"e"' sin tdi]=e-+1-AA==(l+e-"),因此TteI =(1+e"*)="(l+e")22六、（本题满分9分）设a>l，f(t)=a-at在(-,+o)内的驻点为t(a).问a为何值时，t(a)最小？并求出最小值【详解】由f(=a'lna-a=0，得唯一驻点InIna(a)=1-Ina考察函数(a)=1-nlna在a>1 时的最小值,令Ina1_linlna1-Inlnat(a)=-aa=0(lna)?a(lna)?a=ee.得唯一驻点当a>e°时，r(a)>0：当a<e°时，r(a)<0，因此t(e)=1-1为极小值，从而2是最小值七、（本题满分9分）设y=f(x）是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(xy)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点，若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBMx3,1的面积之和为，求f(x)的表达式6*3

= ∫ − − π 0 cos t tde = [ cos sin ] 0 0 e t e tdt t t ∫ − − − + π π = e +1− A. −π 因此 (1 ) 2 1 −π A = + e ， (1 ). 2 (1 ) 2 π π π π π e e e I = + = + − 六、（本题满分 9 分） 设 a>1， f t a at t ( ) = − 在(−∞,+∞) 内的驻点为t(a). 问 a 为何值时，t(a)最小？并求 出最小值. 【详解】 由 f ′(t) = a ln a − a = 0 t ，得唯一驻点 . ln ln ln ( ) 1 a a t a = − 考察函数 a a t a ln ln ln ( ) = 1− 在 a>1 时的最小值. 令 0 (ln ) 1 ln ln (ln ) ln ln 1 1 ( ) 2 2 = − = − − ′ = − a a a a a a a t a ， 得唯一驻点 . e a = e 当 e a > e 时，t′(a) > 0 ；当 e a < e 时，t′(a) < 0 ，因此 e t ee 1 ( ) = 1− 为极小值，从而 是最小值. 七、（本题满分 9 分） 设 y=f(x) 是第一象限内连接点 A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一 点，点 C 为 M 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形 OCMA 的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为 3 1 6 3 + x ，求 f(x)的表达式

7A(0,1)M(x,y)bC(x,0) B(1,0)X【详解】根据题意，有x1+ (a) +(t)dt6两边关于x求导，得[1+ f(x)+x[(x)- f(x)=222当x±0时，得f(x)--f(x) :4X此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为1df(x)=e)ddx+Ce-n* dx +CJelnx=6Idx+C) =x? +1+ Cx.x(当x=0时，f(0)=1由于x=1时，f(1)=0，故有2+C=0，从而C=-2.所以f(x)= x2 +1- 2x =(x- 1)2.八、（本题满分8分）设某商品从时刻o到时刻t的销售量为x(t)=kt，te[O,Tl,(k>O).欲在T时将数量为A的该商品销售完，试求(1）t时的商品剩余量，并确定k的值；(2在时间段[0，T]上的平均剩余量

y A(0,1) M( x, y ) O C( x,0 ) B(1,0) x 【详解】 根据题意，有 3 1 6 [1 ( )] ( ) 2 1 3 + + = + ∫x x f x f t dt x . 两边关于 x 求导，得 . 2 1 ( ) ( ) 2 1 [1 ( )] 2 1 2 + f x + xf ′ x − f x = x 当 x ≠ 0 时，得 . 1 ( ) 1 ( ) 2 x x f x x f x − ′ − = 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 ] 1 ( ) [ 1 2 1 e dx C x x f x e dx x dx x + ∫ − ∫ = − − − ∫ = ] 1 [ ln 2 ln e dx C x x e x x + − − ∫ = ) 1 ( 2 2 dx C x x x + − ∫ = 1 . 2 x + + Cx 当 x=0 时，f(0)=1. 由于 x=1 时，f(1)=0 ,故有 2+C=0，从而 C=-2. 所以 ( ) 1 2 ( 1) . 2 2 f x = x + − x = x − 八、（本题满分 8 分） 设某商品从时刻 0 到时刻 t 的销售量为 x(t) = kt ，t ∈[0,T],(k > 0). 欲在 T 时将数量 为 A 的该商品销售完，试求 (1) t 时的商品剩余量，并确定 k 的值； (2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量

【详解】（1）在时刻t商品的剩余量为y(t) = A- x(t)=A-kt,te[0,T]由A-kt=,得=,A(t)=A-因此te[0,T]1A(2）依题意，y(t)在[0，TI上的平均值为y(t)dV:40d=41T(A-2TJ2AA因此在时间段[0，T】上的平均剩余量为2九、（本题满分13分）设有向量组（I)：α,=(1,0,2)，αz=(1,1,3)"，α,=(1-1,a+2)和向量组（II)：β=(1,2,a+3)，β,=(2,1,a+6)，β,=(2,1,a+4)，试问：当a为何值时，向量组（I）与（II）等价？当a为何值时，向量组（I）与（II）不等价？【详解】作初等行变换，有122[111:211:01-1(αi,α2,αg:βi,β2,β,)=[23 0a+2 : a+3a+6ca+4102:-1121101-1:Lo0 a+1 :a-1a+1 a-1(1)当a-1时，有行列式[αα2α,]=a+10，秩（α,α2,α)=3，故线性方程组xα,+x,α,+x,α=β,(i=1,2,3)均有唯一解。所以，βr,β2,β,可由向量组（I)线性表示同样，行列式[ββ2β,]=60，秩（β,β2,β)=3，故αi,α2,α,可由向量组（II）线性表示，因此向量组（I）与（II）等价

【详解】 (1) 在时刻 t 商品的剩余量为 y(t) = A − x(t) = A − kt ， t ∈[0,T]. 由 A − kt =0，得 T A k = ， 因此 ( ) t, T A y t = A − t ∈[0,T]. (2) 依题意， y(t) 在[0，T]上的平均值为 ∫ = T y t dt T y 0 ( ) 1 = ∫ − T t dt T A A T 0 ( ) 1 = . 2 A 因此在时间段[0，T] 上的平均剩余量为 . 2 A 九、（本题满分 13 分） 设有向量组（I）： T (1,0,2) α1 = ， T (1,1,3) α 2 = ， T (1, 1,a 2) α 3 = − + 和向量组（II）： T (1,2,a 3) β1 = + ， T (2,1,a 6) β 2 = + ， (2,1, 4) . 3 T β = a + 试问：当 a 为何值时，向量组 （I）与（II）等价？当 a 为何值时，向量组（I）与（II）不等价？ 【详解】 作初等行变换，有 ( , , , , ) α1 α 2 α 3 β1 β 2 β 3 # = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + − 2 3 2 3 6 4 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 a # a a a # # ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − − − → 0 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 0 2 1 1 1 a # a a a # # . (1) 当 a ≠ −1时，有行列式 [ ] 1 0 α1 α 2 α 3 = a + ≠ ，秩（α1 ,α 2 ,α 3 ) = 3，故线性 方程组 ( 1,2,3) x1 α1 + x2α 2 + x3α 3 = β i i = 均有唯一解. 所以， 1 2 3 β , β , β 可由向量组（I） 线性表示. 同样，行列式 [ ] 6 0 β1 β 2 β 3 = ≠ ，秩（ β1 , β 2 , β 3 ) = 3，故 1 2 3 α ,α ,α 可由向量 组（II）线性表示. 因此向量组（I）与（II）等价

(2)当a=-1 时，有[1 02111(α1,α2,α:β,β2,β)→01-121:0000:-2-2由于秩（α,αz,α）秩（α,α,αβ），线性方程组xα+xα+xα=,无解，故向量β,不能由α1,αz,α线性表示.因此，向量组（I）与（I）不等价十、（本题满分13分）[211][1设矩阵A=121可逆，向量α=是矩阵A的一个特征向量，入是α对应的[11a][1]特征值，其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求ab和入的值【详解】矩阵A属于特征值入的特征向量为α，由于矩阵A可逆，故A可逆于是入+0，A+0，且A'α=Nα两边同时左乘矩阵A，得AA'α= ^Aα,4Aα=-α元即21[-E1gl由此，得方程组

(2) 当 a=-1 时，有 ( , , , , ) α1 α 2 α 3 β1 β 2 β 3 # ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − → 0 0 0 2 0 2 0 1 1 2 1 1 1 0 2 1 1 1 # # # . 由于秩（ 1 2 3 α ,α ,α ） ≠ 秩（ , , ) α1 α 2 α 3 β1 # ， 线性方程组 1 α1 + 2α 2 + 3α 3 = β1 x x x 无解， 故向量 β1不能由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示. 因此，向量组（I）与（II）不等价. 十、（本题满分 13 分） 设矩阵 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = a A 1 1 1 2 1 2 1 1 可逆，向量 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 α b 是矩阵 * A 的一个特征向量，λ 是α 对应的 特征值，其中 * A 是矩阵 A 的伴随矩阵. 试求 a,b 和λ 的值. 【详解】 矩阵 * A 属于特征值λ 的特征向量为α ， 由于矩阵 A 可逆，故 * A 可逆.于是λ ≠ 0 ， A ≠ 0 ，且 α = λα * A . 两边同时左乘矩阵 A，得 AA α = λAα * ， α λ α A A = ， 即 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 b A b a λ ， 由此，得方程组