全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2003数学三

2003年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题1若x±0,COS-(1)设f(x)其导函数在x=0处连续，则入的取值范围是X若x=0,0.【答】>2【详解】当入>1时，有1xcos-0f(x)-f(0)Xf'(0)= lim= lim xi-1lim=0cOs-x-0X-0x-→0x-0x-→0x11f(x)= Axi-l cos--sin-,x±0.+xxx于是1若x+0x1-1sincOSf(x)xx若x=0,0,显然当>2时，有limf(x)=0=f(0)，即其导函数在x=0处连续（2）已知曲线y=x3-3α2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=【答】4α6【详解】由题设，在切点处有y=3x2-3a2=0，有x=α又在此点y坐标为0，于是有0=x -3a2x +b=0,故b2=x(3a2-x)=α2.4a4=4a[a,若0≤x≤]而D表示全平面，则|=][[ f(x)g(y - x)dxdy =-(3)设a>0, f(x)=g(x)=0，其他，【答】α2【详解】 =[[f(x)g(y-x)dxdy=la? dxdy0≤x1.0≤y=x

2003 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1）设 0, 0, 0, , 1 cos ( ) = ≠ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = x x x x f x 若 λ 若 其导函数在 x=0 处连续，则λ 的取值范围是._ 【答】λ > 2 【详解】 当λ > 1时，有 ( ) () () 1 0 00 1 cos 0 0 1 0 lim lim lim cos 0, x xx 0 0 x fx f x f x xx x λ λ− → →→ − − ′ = = == − − ( ) 1 2 1 1 fx x x x cos sin , 0. x x λ λ λ − − =+ ≠ 于是 0, 0, 0, , 1 sin 1 cos ( ) 1 2 = ≠ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ′ = − − x x x x x x f x 若 λ λ λ 若 显然当λ > 2 时，有lim ( ) 0 (0) 0 f x f x ′ = = ′ → ，即其导函数在 x=0 处连续. （2）已知曲线 y = x − a x + b 3 2 3 与 x 轴相切，则 2 b 可以通过 a 表示为 =2 b _ 【答】 6 4a 【详解】 由题设，在切点处有 3 3 0 2 2 y′ = x − a = ，有 . 2 2 x0 = a 又在此点 y 坐标为 0，于是有 0 3 0 0 3 2 = x0 − a x + b = , 故 (3 ) 4 4 . 2 2 2 4 6 0 2 2 0 2 b = x a − x = a ⋅ a = a （3）设 a>0， ， a x f x g x 其他 若0 1, 0, , ( ) ( ) ≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = 而 D 表示全平面，则 ∫∫ = − D I f (x)g( y x)dxdy = _ 【答】 2 a . 【详解】 ∫∫ = − D I f (x)g( y x)dxdy = a dxdy x y x ∫∫ 0≤ ≤1,0≤ − ≤1 2

dx dy = a? '[(x+ 1)- x]dx = α?:（4）设n维向量α=（a.0,,0,a),a<0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-ααT, B=E+-αα',a其中A的逆矩阵为B，则a=【答】-1【详解】由题设，有1-αα)AB=(E-αα )(E+-a11=E-αα+-ααT-aa.aaaa11=E-αα+-αT-α(α"α)αaa1=E-ααT+-aα1-2aaaa=E+(-1-2a+--)ααT =E,a11-1-2g+=0，即22+a-1=0，解得a:于是有-1.由于A<0,故a=-1:2a（5）设随机变量X和Y的相关系数为0.9.若Z=X-0.4，则Y与Z的相关系数为【答】0.9【详解】因为cov(Y,Z)= cov(Y,X-0.4)=Cov(Y.X)-Cov(Y,0.4)=Cov(Y,X)=Cov(X,Y)且 D(z)= D(X)cov(Y,Z)cov(X,Y)于是有Prz=Px=0.9DYDZDXDY（6）设总体X服从参数为2的指数分布，XX，..X为来自总体X的简单随机样本1n则当n→时，Y==X?依概率收敛于n=1【答】2【详解】这里X,X,X?满足大数定律的条件，且112-1EX? = DX, +(EX,)=因此根据辛钦大数定律有+-，224

= [( 1) ] . 2 1 0 2 1 0 1 2 a dx dy a x x dx a x x = + − = ∫ ∫ ∫ + （4）设 n 维向量 = (a,0, ,0,a) ,a < 0 " T α ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 T A = E −αα ， T a B E αα 1 = + ， 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_ 【答】-1 【详解】 由题设，有 ) 1 ( )( T T a AB = E −αα E + αα = T T T T a a E −αα + αα − αα ⋅αα 1 1 = T T T T a a E αα αα α(α α)α 1 1 − + − = T T T a a E αα αα 2 αα 1 − + − = E a E a T + − − + )αα = 1 ( 1 2 , 于是有 0 1 −1− 2 + = a a ，即 2 1 0 2 a + a − = ，解得 , 1. 2 1 a = a = − 由于 A<0 ,故 a=-1. （5）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 Z = X − 0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为 _ . 【答】 0.9 【详解】 因为 cov( , ) cov( , 0.4) o ( , ) ( ,0.4) Y Z Y X C v Y X Cov Y = −= − =Cov Y X Cov X Y ( ) , (,) = 且 DZ DX ( ) = ( ). 于是有 cov( , ) cov( , ) 0.9. YZ XY YZ XY DY DZ DX DY ρ ρ = = == （6）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X X X n , , , 1 2 " 为来自总体 X 的简单随机样本， 则当 n → ∞ 时， ∑= = n i n Xi n Y 1 1 2 依概率收敛于 _ 【答】 1 2 【详解】这里 2 2 2 2 1 , , , X X " X n 满足大数定律的条件，且 2 2 ( ) EXi = DXi + EXi = 2 1 ) 2 1 ( 4 1 2 + = ，因此根据辛钦大数定律有

ZEX?=1X?依概率收敛于-2ni=lni=l二、 选择题(1）设(x)为不恒等于零的奇函数，且(0)存在，则函数g()=()X(A）在x=0处左极限不存在(B）有跳跃间断点x=0(C）在x=0处右极限不存在.(D）有可去间断点x=0[【答】［D】【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(O)=0于是有( = lim ()-()2=f(0)存在，limg(x)=limx-0x->0xX-0故x=0为可去间断点.（2）设可微函数f(x,y)在点(xo,yo）取得极小值，则下列结论正确的是(A）f(xo,y)在y=y处的导数等于零（B）f(xo,y)在y=y处的导数大于零(D）f(xo,y)在y=yo处的导数不存在(C）f(xo,y)在y=yo处的导数小于零.[】【答】［A】【详解】可微函数f(xy)在点（xo,y）取得极小值，根据取极值的必要条件知f;(xo,J)=O，即f(xo,J)在y=处的导数等于零，故应选(A)a, +la.a, -la.ln=1.2....，则下列命题正确的是(3）设p，qn:22(A）若a,条件收敛，则p,与9都收敛n=ln=ln=l则之(B)若α绝对收敛，贝，与q，都收敛n=ln=ln=l(C）若α，条件收敛，贝则入q，敛散性都不定n=ln=ln=l则(D)若a,绝对收敛，p,与q,敛散性都不定n=ln=ln=l[】

∑= = n i n Xi n Y 1 1 2 依概率收敛于 . 2 1 1 1 2 ∑ = = n i EXi n 二、选择题 （1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f ′(0)存在，则函数 x f x g x ( ) ( ) = (A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0. (C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点 x=0. 【 】 【答】 [ D ] 【详解】 显然 x=0 为 g(x)的间断点，且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 (0) 0 ( ) (0) lim ( ) lim ( ) lim 0 0 0 f x f x f x f x g x x x x = ′ − − = = → → → 存在， 故 x=0 为可去间断点. （2）设可微函数 f(x,y)在点( , ) 0 0 x y 取得极小值，则下列结论正确的是 (A) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数等于零. （B） ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数大于零. (C) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数小于零. (D) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数不存在. 【 】 【答】 [ A ] 【详解】 可微函数 f(x,y)在点 ( , ) 0 0 x y 取得极小值，根据取极值的必要条件知 f y ′(x0 , y0 ) = 0 ，即 ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数等于零, 故应选(A). （3）设 2 n n n a a p + = ， 2 n n n a a q − = ， n = 1,2,"，则下列命题正确的是 (A) 若∑ ∞ n=1 an 条件收敛，则∑ ∞ n=1 pn 与∑ ∞ n=1 qn 都收敛. (B) 若∑ ∞ n=1 an 绝对收敛，则∑ ∞ n=1 pn 与∑ ∞ n=1 qn 都收敛. (C) 若∑ ∞ n=1 an 条件收敛，则∑ ∞ n=1 pn 与∑ ∞ n=1 qn 敛散性都不定. (D) 若∑ ∞ n=1 an 绝对收敛，则∑ ∞ n=1 pn 与∑ ∞ n=1 qn 敛散性都不定. 【 】

【答】［B]若≥α。绝对收效，即之1g收效，当然也有级数≥【详解】乙a，收敛，再根据=ln=la, +la,la, -la,l≥p,与≥4.都收敛，故应选(B)及收敛级数的运算性质知，P.=qn22=I[abb]bab（4）设三阶矩阵A=若A的伴随矩阵的秩为1，则必有[bba](A) a=b或 a+2b=0.(B）a=b或a+2b±0.(C) a±b且a+2b=0.(D)ab且a+2b±0.[】【答】[c]【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩（A)=2，故有labbba b=(a+2b)(a-b)2=0,bba即有a+2b=0或a=b但当a=b时，显然秩(A)±2，故必有a≠b且a+2b=0.应选(C)（5）设α,αz，",α,均为n维向量，下列结论不正确的是(A）若对于任意一组不全为零的数kj,kz,",k,，都有k,α,+k,αz+.+k,α，0，则αα2，""α线性无关(B)若α,α2,"",α,线性相关，则对于任意一组不全为零的数k,kz,",k，都有k,α,+k,α,+..+k,α,=0(C）α,α2,"",α,线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D）α1,α2，",α，线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关[【答】［B]【详解】(A)若对于任意一组不全为零的数k,k2,",k,，都有kα+kαz+….+kα0，则α1α2,"",α必线性无关，因为若αi,α2,,α,线性相关，则存在一组不全为零的数k,k2，",k使得kαi+kzαz+.…+k,α，=0，矛盾.可见（A）

【答】 [ B ] 【详解】 若 ∑ ∞ n=1 an 绝对收敛，即 ∑ ∞ n=1 an 收敛，当然也有级数 ∑ ∞ n=1 an 收敛，再根据 2 n n n a a p + = ， 2 n n n a a q − = 及收敛级数的运算性质知，∑ ∞ n=1 pn 与∑ ∞ n=1 qn 都收敛，故应选(B). （4）设三阶矩阵 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = b b a b a b a b b A ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有 (A) a=b 或 a+2b=0. (B) a=b 或 a+2b ≠ 0. (C) a ≠ b 且 a+2b=0. (D) a ≠ b 且 a+2b ≠ 0. 【 】 【答】[ C ] 【详解】 根据 A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有 ( 2 )( ) 0 2 = a + b a − b = b b a b a b a b b ， 即有 a + 2b = 0 或 a=b. 但当 a=b 时，显然秩(A) ≠ 2 , 故必有 a ≠ b 且 a+2b=0. 应选(C). （5）设α α α s , , , 1 2 " 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 (A) 若对于任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 " ，都有 k1 α1 + k2α 2 +"+ ks α s ≠ 0，则 α α α s , , , 1 2 " 线性无关. (B) 若 α α α s , , , 1 2 " 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 " ，都有 0. k1 α1 + k2α 2 +"+ ks α s = (C) α α α s , , , 1 2 " 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s. (D) α α α s , , , 1 2 " 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. 【 】 【答】[ B ] 【 详 解 】 (A): 若对于任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 " , 都 有 k1 α1 + k2α 2 +"+ ks α s ≠ 0，则α α α s , , , 1 2 " 必线性无关，因为若α α α s , , , 1 2 " 线性相关， 则存在一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 " ,使得 k1 α1 + k2α 2 +"+ ks α s = 0，矛盾. 可见（A）

成立(B)：若αi,α2",α，线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数k,k,,",k,，都有k,α,+k,α,+.+kα=0.(B)不成立(C）α,α2,",α,线性无关,则此向量组的秩为s；反过来，若向量组α,α2",α,的秩为s，则α,α2,,α,线性无关，因此(C)成立(D）αi,α2，",α,线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立综上所述，应选(B)（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A,={掷第一次出现正面)，A,={掷第二次出现正面)，A,={正、反面各出现一次)，A,=(正面出现两次)，则事件(A）AA2,A,相互独立(B）A2,A,A相互独立(C）A,A2,A,两两独立(D）A2,As,A两两独立[[答][ c]【详解】因为111, P(A)=2. P(A)=P(A) =,P(A)=P24且111P(A, A,)=P(A,A,) =P(A,A)=4X41P(A,A)=P(A,A,A,)=0,4可见有P(A,A)= P(A)P(A,),P(A,A)= P(A)P(A,)P(A,A,)= P(A,)P(A,),P(A,A,A,) P(A)P(A,)P(A,) ,P(A,A) P(A,)P(A)故A,A2,A,两两独立但不相互独立；A2,AA不两两独立更不相互独立，应选(C)三、（本题满分8分）设

成立. (B): 若 α α α s , , , 1 2 " 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 " ，都有 0. k1 α1 + k2α 2 +"+ ks α s = (B)不成立. (C) α α α s , , , 1 2 " 线性无关,则此向量组的秩为 s；反过来，若向量组α α α s , , , 1 2 " 的秩为 s，则α α α s , , , 1 2 " 线性无关，因此(C)成立. (D) α α α s , , , 1 2 " 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关， 可见(D)也成立. 综上所述，应选(B). （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： A1 ={掷第一次出现正面}， A2 ={掷第二次出 现正面}， A3 ={正、反面各出现一次}， A4 ={正面出现两次}，则事件 (A) 1 2 3 A , A , A 相互独立. (B) 2 3 4 A , A , A 相互独立. (C) 1 2 3 A , A , A 两两独立. (D) 2 3 4 A , A , A 两两独立. 【 】 【答】[ C ] 【详解】 因为 2 1 ( ) P A1 = ， 2 1 ( ) P A2 = ， 2 1 ( ) P A3 = ， 4 1 ( ) P A4 = ， 且 4 1 ( ) P A1A2 = ， 4 1 ( ) P A1A3 = ， 4 1 ( ) P A2 A3 = ， 4 1 ( ) P A2 A4 = P(A1A2 A3 ) = 0 ， 可见有 ( ) ( ) ( ) P A1A2 = P A1 P A2 ， ( ) ( ) ( ) P A1A3 = P A1 P A3 ， ( ) ( ) ( ) P A2 A3 = P A2 P A3 ， ( ) ( ) ( ) ( ) P A1A2 A3 ≠ P A1 P A2 P A3 ， ( ) ( ) ( ) P A2 A4 ≠ P A2 P A4 . 故 1 2 3 A , A , A 两两独立但不相互独立； 2 3 4 A , A , A 不两两独立更不相互独立，应选(C). 三 、（本题满分 8 分） 设

f(x) =.1sinx元(1-x)X试补充定义f1)使得f(x)在[-,1]上连续n【详解】因为11lim f(x)=lim[-r-1-→sin元x元(1- x)TX11元(1-x)-sin元xlim元→1(1-x)sin x711一元—元OS元X-lim2元X→1-sin元x+(1-x）cosx元sinx-lim+元元→1一元cosx-元cosx-（1-x）元sin元1-元1由于f(x)在[,1)上连续，因此定义(1)=元使f(x)在[11上连续afof=1, 又g(x, ) = [xy,(x2 -y2)],四、设f(u.v)具有二阶连续偏导数，且满足ou?av*+ax+ay?gaf+rof【详解】=y+x-QuOvaxayQuOv故a'g.2 0°fafafaf+2xy=1+ xOu?ax?Ov2vOuoyaf0g=xo'faf_af-2xy+VOu?OvouOv2avOy?+%=(*+y)1+a?f-+(x2 + y2)所以ax20y2au?Ov2

,1). 2 1 , [ (1 ) 1 sin 1 1 ( ) ∈ − = + − x x x x f x π π π 试补充定义 f(1)使得 f(x)在 ,1] 2 1 [ 上连续. 【详解】 因为 lim ( ) 1 f x x→ − = ] (1 ) 1 sin 1 1 lim[ x 1 x x − x + − → − π π π = x x x x x π π π π π (1 )sin (1 ) sin lim 1 1 1 − − − + → − = x x x x x π π π π π π π π sin (1 ) cos cos lim 1 1 1 − + − − − + → − = x x x x x x π π π π π π π π π π cos cos (1 ) sin sin lim 1 1 2 2 1 − − − − + → − = . 1 π 由于 f(x)在 ,1) 2 1 [ 上连续，因此定义 π 1 f (1) = ， 使 f(x)在 ,1] 2 1 [ 上连续. 四 、设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 1 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ v f u f ，又 ( )] 2 1 ( , ) [ , 2 2 g x y = f xy x − y , 求 . 2 2 2 2 y g x g ∂ ∂ + ∂ ∂ 【详解】 v f x u f y x g ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ， . v f y u f x y g ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ 故 v f v f x u v f xy u f y x g ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ， 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v f v f y v u f xy u f x y g ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) v f x y u f x y y g x g ∂ ∂ + + ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂

=x? +y?五、（本题满分8分）计算二重积分[[e-(*+y-m) sin(x? + y?)dxdy.I=1D其中积分区域D=((x,)x2+y2≤元)【详解】作极坐标变换：x=rcos,y=rsinの，有I= e" Jfe-(+*+y) sin(x? + y°)dxdyp17"def.=e" ["re-"sinr?dr.令t=r2，则I = ne* [" e'' sin tdt记A=["e-'sintdt，则A=-]'e"intde" --[e"'sin-] e' cosidi]=-]" coside-" =-[e" cost +J' e-' sinidl]=e-"+1-A因此A=-"(1+e"")2Te"元-(1+e-") =-(l+e")22六、（本题满分9分）(-1)x?求幂级数1+(x<1)的和函数f(x)及其极值2nn=【详解】xF'(x)=Z(-1)" x2n-1 -1+ x2n=l上式两边从0到x积分，得-f,d =-in(+x)f(x)- f(0) = -o1+t

= . 2 2 x + y 五 、（本题满分 8 分） 计算二重积分 sin( ) . ( ) 2 2 2 2 I e x y dxdy D x y = + ∫∫ − + −π 其中积分区域 D={( , ) }. 2 2 x y x + y ≤ π 【详解】 作极坐标变换： x = r cosθ , y = rsinθ ，有 I e e x y dxdy D x y sin( ) ( ) 2 2 2 2 = + ∫∫ π − + = sin . 2 0 0 2 2 e d re r dr r ∫ ∫ − π π π θ 令 2 t = r ，则 I e e tdt t sin ∫0 − = π π π . 记 A e tdt t sin ∫0 − = π ，则 t t A e de − − ∫ = − int 0 π = [ sin cos ] 0 ∫0 − − − − π π e t e tdt t t = ∫ − − π 0 cos t tde = [ cos sin ] 0 0 e t e tdt t t ∫ − − − + π π = e +1− A. −π 因此 (1 ) 2 1 −π A = + e ， (1 ). 2 (1 ) 2 π π π π π e e e I = + = + − 六、（本题满分 9 分） 求幂级数 ∑ ∞ = + − < 1 2 ( 1) 2 1 ( 1) n n n x n x 的和函数 f(x)及其极值. 【详解】 . 1 ( ) ( 1) 1 2 2 1 ∑ ∞ = − + ′ = − = − n n n x x f x x 上式两边从 0 到 x 积分，得 ln(1 ). 2 1 1 ( ) (0) 2 0 2 dt x t t f x f x = − + + − = −∫

由 f(0)-1, 得f(x)=1-=In(1 + x2),(x<1)2令f（x）=0，求得唯一驻点x=0.由于1-x2f"(x)=:(1+x3)2f"(0)=-1<0,可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为f(0)=1.七、（本题满分9分）设 F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-o0,+o0)内满足以下条件：f'(x)=g(x), g'(x)= f(x), 且 f(0)=0, (x)+g(x)=2e(1）求F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出 F(x)的表达式【详解】(1)由F'(x)= f(x)g(x)+ f(x)g(x)=g(x)+ f(x) =[f(x)+g(x)} -2f(x)g(x)=(2e*)2 -2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为F(x)+2F(x) = 4e2x.(2) F()=[4e2dx+C]=e-2[[4e**dx+C] =e2* +Ce-2*将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，得 C=-1.于是F(x)=e2x -e-2x八、设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1.试证必存在≤e(0,3)，使f()=0【详解1】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M

由 f(0)=1, 得 ln(1 ),( 1). 2 1 ( ) 1 2 f x = − + x x < 令 f ′(x) = 0，求得唯一驻点 x=0. 由于 , (1 ) 1 ( ) 2 2 2 x x f x + − ′′ = − f ′′(0) = −1 < 0 ， 可见 f(x)在 x=0 处取得极大值，且极大值为 f(0)=1. 七、（本题满分 9 分） 设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在(−∞,+∞) 内满足以下条件： f ′(x) = g(x) ， g′(x) = f (x) ，且 f(0)=0, ( ) ( ) 2 . x f x + g x = e (1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出 F(x)的表达式. 【详解】 (1) 由 F′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x) = ( ) ( ) 2 2 g x + f x =[ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 2 f x + g x − f x g x =(2 2 ) x e -2F(x), 可见 F(x)所满足的一阶微分方程为 ( ) 2 ( ) 4 . 2x F′ x + F x = e (2) ( ) [ 4 ] 2 2 2 F x e e e dx C dx x dx + ∫ ⋅ ∫ = ∫ − = [ 4 ] 2 4 e e dx C x x + ∫ − = . 2x 2x e Ce− + 将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，得 C=-1. 于是 ( ) . 2x 2x F x e e− = − 八、设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ξ ∈ (0,3) ，使 f ′(ξ ) = 0. 【详解 1】 因为 f(x)在[0，3]上连续，所以 f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值 M

和最小值m，于是m≤f(O)≤M,m≤f(I)≤M,m≤f(2)≤M故m≤ [(0)+)+J(2)≤M.3由介值定理知，至少存在一点cE[0,2]，使(e) = (0) + ()+ (2) =1.3因为f(c)=1=f(3)，且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在(c,3)C(0,3), 使f'()=0【详解2】反证法.设在[0,2]上总有f(x)>1,则f(0)+f(1)+f(2)>3，与已知条件矛盾；类似可得在[0,2]上不可能总有(x)<1.由于f(x)在[0,2]上连续，故根据闭区间上连续函数的介值定理知道至少存在一点ce[0,2],使得f(c)=1.由于(c)=(3)=1,且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，故由罗尔定理可知必存在一点(0,3)使得F()=0.九、已知齐次线性方程组[(a+b)x,+a2x+ax+...+anx.=0axj +(a, +b)x, +agx, +.+anx.=0,ax,+ax2+(ag+b)x+...+a,x=0ax+a2x2+agx+...+(a,+b)x,=0其中a,0.试讨论a,a2",a,和b满足何种关系时，i=l(1）方程组仅有零解：(2）方程组有非零解。在有非零解时，求此方程组的一个基础解系【详解】方程组的系数行列式

和最小值 m，于是 m ≤ f (0) ≤ M ， m ≤ f (1) ≤ M ， m ≤ f (2) ≤ M . 故 . 3 (0) (1) (2) M f f f m ≤ + + ≤ 由介值定理知，至少存在一点c ∈[0,2]，使 1. 3 (0) (1) (2) ( ) = + + = f f f f c 因为 f(c)=1=f(3), 且 f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在 ξ ∈ (c,3) ⊂ (0,3)，使 f ′(ξ ) = 0. 【详解 2】 反证法.设在[0, 2] 上总有 f x( ) >1, 则 f ff (0 1 23 ) + ( ) + > ( ) ，与已知条件 矛盾；类似可得在[0, 2] 上不可能总有 f x( ) <1.由于 f ( x) 在[0, 2] 上连续，故根据闭区间上 连续函数的介值定理知道至少存在一点c∈[0, 2 ,] 使得 f c( ) =1.由于 fc f () () = = 3 1,且 f ( ) x 在[c,3]上连续，在(c,3) 内可导，故由罗尔定理可知必存在一 点ξ ∈( ) 0,3 使得 f ′(ξ ) = 0. 九、已知齐次线性方程组 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 n n n n n n n n a x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x " """""""""" " " " 其中 0. 1 ∑ ≠ = n i ai 试讨论a a an , , , 1 2 " 和 b 满足何种关系时， (1) 方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 【详解】 方程组的系数行列式

a, +ba2a3...anaz +baa3an..[A =as+ba,a2...an:::::a,+ba,a2a3...=bn（(b+La.)i=l"(1）当b0时且b+乙a,0时，秩(A)=n，方程组仅有零解。i=l(2）当b=0时，原方程组的同解方程组为ax,+a,x,+...+a,x,=o由Za,0可知，a,(i=1,2,,n)不全为零.不妨设a,0，得原方程组的一个基础解i=l系为 -。,.,), , -...,), -..),a,a,a,-4 时, b-0. 当b=原方程组的系数矩阵可化为i=l[a-2a.aza,..anas...aan(*)2aa2aaj--an合..:...:Zaa,a2ai=l-将（*)第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以倍，得Sai=l

a a a a b a a a b a a a b a a a b a a a A n n n n + + + + = " # # # # # " " " 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = ( ). 1 1 ∑= − + n i i n b b a (1) 当b ≠ 0时且 0 1 +∑ ≠ = n i b ai 时，秩(A)=n，方程组仅有零解. (2) 当 b=0 时，原方程组的同解方程组为 0. a1 x1 + a2 x2 +"+ an xn = 由 0 1 ∑ ≠ = n i ai 可知，a (i 1,2, ,n) i = " 不全为零. 不妨设 0 a1 ≠ ，得原方程组的一个基础解 系为 T a a ( ,1,0, ,0) 1 2 α1 = − " ， T a a ( ,0,1, ,0) 1 3 α 2 = − " ， , ( ,0,0, ,1) . 1 n T n a a " α = − " 当 ∑= = − n i b ai 1 时，有b ≠ 0，原方程组的系数矩阵可化为 ( ) 1 23 1 12 3 1 1 23 1 123 1 n i n i n i n i n i n i n n i i aa a a a a aa a a a a aa a a a a aa = = = = ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ − ∗ − − ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ " " " ### # " 将 ( ) ∗ 第 1 行的-1 倍加到其余各行，再从第 2 行到第 n 行同乘以 ∑= − n i ai 1 1 倍，得