全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1997数学四

1997年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析填空题设y=(Inx)e/()其中了可微，则dy=(1）ie/[1(nx)+ F() (nx) x【答】【详解】dy=d[(Inx)er()]-[df (In x)]-e() + f(n x)der(t)[r(nx)ae+ (Inx)e0 ()a=e/[(Inx)+(x)(Inx) dx(2）若()+(),则()=元【答】3设f"f(x)dx= A,【详解】则(a)=+4)Cxdx01Ax* 1元A=arctanx0444故A=≥30则|A=（3）设n阶矩阵A=0

1997 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设 ( ) ( ) ln f x y f xe = 其中 f 可微，则 dy = _. 【答】 ( ) ( ) () ( ) 1 ln ln f x e f x f x f x dx x ⎡ ⎤ ′ ′ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ln fx fx fx dy d f x e df x e f x de = = ⋅+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ln ln fx fx f x dx e f x e f x dx x ⎡ ⎤ = ⋅+ ⋅ ′ ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) () ( ) 1 ln ln f x e f x f x f x dx x ⎡ ⎤ = + ′ ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （2） 若 ( ) ( ) 1 3 2 0 1 , 1 f x x f x dx x = + + ∫ 则 ( ) 1 0 f x dx = ∫ _. 【答】 3 π 【详解】 设 ( ) 1 0 f x dx A = , ∫ 则 ( ) 1 11 3 2 0 00 1 dx A f x dx A x dx x = =+ + ∫ ∫∫ 4 1 1 arctan 0 0 4 44 Ax A x π = + =+ 故 . 3 A π = （3） 设n 阶矩阵 011 11 101 11 110 11 , 111 01 111 10 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦ # # # # # ### # # # A 则 A = _

【答】(-1)"-l(n-1)【详解】各列对应元素相加后相等.把第2....,n列加到第一列有1-10[A|=(n-1)101第2,3..n行减去第一行得1:...10111-100...0(n-1)0-10=(-1)"-I(n-1)....:...000（4）设A,B是任意两个随机事件,则P((A+B)(A+B)(A+B)(A+B))=【答】0由于【详解】(A+ B)(A+ B)= AA+ AB+ AB+ B= B(A+ B)(A+ B) = B从而 P((A+ B)(A+ B)(A+B)(A+B)= P(BB)= P(Φ)= 0（5）设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布,随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分5布,若 P(X ≥1)=,则P(Y≥)=919【答】275由题设【详解】= P(X ≥1)=1-P(X =0)=1-q2,92故q=1-p=3319从而 P(Y ≥1)=1-P(Y =0)=1-27二、选择题(1）设f(x),p(x)在点x=0的某邻域内连续,且当x→0时，(x)是p(x)的高阶

【答】 1 ( 1) ( 1) n n − − − 【详解】 各列对应元素相加后相等,把第 2, , " n 列加到第一列,有 111 1 101 1 ( 1) 2,3, 110 1 111 0 = −n n " " " " ## # # " A 第 行减去第一行得 1 11 1 1 1 10 0 ( 1) ( 1) ( 1). 00 1 0 00 0 1 n n n − − − =− − − − " " " ## # # " （4） 设 A, B 是任意两个随机事件,则 PABABABAB {( )( )( )( )} ++++ =_. 【答】 0 【详解】 由于 ( )( ) , A+ + = + + += B A B AA AB AB B B ( )( ) A+ += BAB B 从而 P A B A B A B A B P BB P {( )( )( )( )} { } ( ) 0. + + + += = = φ （5） 设随机变量 X 服从参数为(2, ) p 的二项分布,随机变量Y 服从参数为(3, ) p 的二项分 布,若 5 { 1} , 9 P X ≥ = 则 P Y{ 1} ≥ = _. 【答】 19 27 【详解】 由题设 5 2 { 1} 1 { 0} 1 , 9 = ≥ =− = =− PX PX q 故 2 1 3 q p =− = . 从而 2 19 3 { 1} 1 { 0} 1 ( ) . 3 27 PY PY ≥ =− = =− = 二、选择题 （1） 设 f ( ), ( ) x x ϕ 在点 x = 0 的某邻域内连续,且当 x → 0 时， f ( x) 是ϕ ( ) x 的高阶

无穷小则当x→0时，f()sintdt是的(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C）同阶但不等价的无穷小(D)等阶无穷小【答】应选(B)f(x)【详解】由题设lim=0r-=0 p(x)[ f(t)sin tdtf(x)sinxf(x)limlim=0于是limr→0x→0x-0 p(x)xp(x).o(0)dt(2)若f(-x)=f(x)(-o00,且f"(x)0, f"(x)0, f"(x)>0(C)F'(x)0(D) f'(x)0【答】应选(C)【详解】由f(-x)=f(x),得-f'(x)= f'(x), f"(-x)= f'(x)可见当x(0,+o0)时，-xE(-0,0)，且f'(x)=-f'(-x)<0, f"(x)= f(-x)<0所以应选(C).(3)设向量α，αz,α,线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A)a, +α2,α, +ag,α, -αi(B)α, +α,,α, +α,α, +2α, +a(C)a, +2α,,2α, +3α,3α, +a,(D)a,+α +α,2α,-3α,+22α,,3, +5α2-5α

无穷小,则当 x → 0 时, 0 ( )sin x f t tdt ∫ 是的 ( ) A 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 ( ) C 同阶但不等价的无穷小 (D) 等阶无穷小 【答】 应选( ) B 【详解】由题设 0 ( ) lim 0 ( ) x f x → ϕ x = 于是 0 0 00 0 ( )sin ( )sin ( ) lim lim lim 0. () () ( ) x x x xx f t tdt fx x fx xx x → →→ t t dt ϕ ϕ ϕ = == ∫ ∫ （2） 若 f x fx x ( ) ( )( ) − = −∞ 0,且 f x ′′( ) > 0, 0 0, 0 ( ) ( ) () ( ) () () Cf x f x Df x f x ′ ′′ ′ ′′ <> ( ) ( ) () 【答】 应选( ) C 【详解】 由 f ( ) () − = x fx ,得 − = −= f ′ ′ ′′ ′ ( ) x fxf x fx ( ), ( ) ( ) 可见当 x∈ +∞ ( ) 0, 时， − ∈ −∞ x ( ) ,0 ，且 fx f x f x f x ′ ′ ′′ ′ ( ) () =− − < = − < 0, 0 ( ) ( ) 所以应选( ) C . （3） 设向量 123 α , , α α 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( ) 1 22 33 1 A α ++− αα αα α , , ( ) 1 2 2 31 2 3 B α + + ++ αα αα α α , ,2 ( ) 1 2 2 331 C α + ++ 2 ,2 3 ,3 αα ααα ( ) 1 2 31 2 31 2 3 D α ++ − + + α α α α α α α− α ,2 3 22 ,3 5 5

【答】应选(C)【详解】(A):(α +α)-(α, +α,)+(α, -α)= 0(B):(α +α,)-(α, +α)-(α +2α, +α,)=0可见(A)(B)中向量组线性相关，(C)(D)不能直接观察出，对于(C)，令k,(α,+2α,)+k,(2α, +3α,)+k, (3α,+α)=0即(k, +k,)α, +(2k, +2k,)α, +(3k, +3k)α, =0由于αi,αz,α,线性无关，故[k +k,=02k, +2k, =0[3k, +3k, =0[101]因上述齐次线性方程组的系数行列式220=12+0,，033故方程组由惟一零解，即k,=k,=k,=0，故(C)中向量组线性无关，应选(C)(4)非齐次线性方程组Ax=b中未知数的个数为n,方程个数为m，系数矩阵A的秩为r,则(A）r=m时,方程组Ax=b有解(B）r=n时，方程组Ax=b有唯一解(C）m=n时，方程组Ax=b有唯一解(D）r<n时，方程组Ax=b有无穷多解【答】应选(A)【详解】Ax=b有解的充要条件为：r(A)=r(A:b).题设A为mxn矩阵，若r(A)=m.相当于A的m个行向量线性无关,因此添加一个分量后得(A:b)的m个行向

【答】 应选( ) C 【详解】 ( )( ) ( ) A : 0 αα αα αα 12 2 3 31 + −++−= ( ) ( )( ) ( ) B : 20 α α α α −α α α 12 23 1 23 + −+ + += ( ) 可见( )( ) A 、B 中向量组线性相关，(C D )、( )不能直接观察出，对于( ) C ，令 kk k 11 2 2 2 3 3 3 1 ( )( ) α α α α αα + + + + += 2 23 3 0 ( ) 即 ( )( ) kk k k k k 1 31 1 2 2 2 33 + ++ ++ = ααα 22 33 0 ( ) 由于 123 α , , α α 线性无关，故 1 3 1 2 2 3 0 22 0 330 k k k k k k ⎧ + = ⎪ ⎨ + = ⎪ + = ⎩ 因上述齐次线性方程组的系数行列式 101 2 2 0 12 0, 033 = ≠ ， 故方程组由惟一零解，即 123 kkk === 0 ， 故( ) C 中向量组线性无关，应选(C). （4） 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知数的个数为 n ,方程个数为 m ,系数矩阵 A 的秩为 r ,则 (A) r m= 时,方程组 Ax=b 有解. (B) r n = 时, 方程组 Ax=b 有唯一解 (C) m n = 时, 方程组 Ax=b 有唯一解 (D) r n < 时, 方程组 Ax=b 有无穷多解. 【答】 应选( ) A 【详 解】 Ax=b 有解的充要条件为: r rb ( ) ( ). A A = # 题设 A 为 m n × 矩阵,若 rA m () . = 相当于 A 的 m 个行向量线性无关,因此添加一个分量后得( ) A#b 的 m 个行向

量仍线性无关,即有r(A)=r(A:b)所以Ax=b有解.故(A)成立.对于(B)(C),(D)均不能保证r(A)=r(A:b)，既不能保证有解，更谈不上有唯一解或无穷多解(5)设X是一随机变量,E(X)=u,D(X)=α(u,α>0常数),则对任意常数c,必有(A) E(X -c)= E(X°)-c2.(B) E(X -c) = E(X -μ)2(C) E(X -c)?<E(X -μ)2.(D) E(X -c)?≥E(X -μ)?【答】应选(D)E(X-c) =E(X-μ+μ-c))【详解】= E(X-μ)?-E(μ-c)? + 2(μ-c)E(X -μ)E(X -μ)? +(μ-c)? ≥E(X -μ)?故(D)成立三、（本题满分6分）1求极限 lim/--(α?) In(1 + ax)(a±0)x-0"xxax -(1-a2x )In(1+ ax)【详解】原式=limx2-0= lim a+2dxIn(I+ a)-a(l-am)2x2a'x+d2a° In(1 + ax) +a1 + ax=lim22-0四、(本题满分6分)设u=f(x,y,=)有连续偏导数，y=y(x）和z=z(x)分别是由方程e-y=0和#due-xz=0所确定，dxduaf.afdy.afdz()【详解】dxaxOzdxOy dx

量仍线性无关,即有 r rb ( ) ( ). A A = # 所以 Ax=b 有解.故(A)成立.对于(B),(C),(D)均不能保证 r rb ( ) ( ). A A = # ,既不能保证有解,更谈不上有唯一解或无穷多解. (5) 设 X 是一随机变量, 2 EX DX ( ) , ( ) (, 0 = => µ σ µσ 常数),则对任意常数c ,必有 (A) 2 2 EX c EX c ( ) () . − = − (B) 2 2 EX c EX ( ) ( ). −= − µ (C) 2 2 EX c EX ( ) ( ). −< − µ (D) 2 2 EX c EX ( ) ( ). −≥ − µ 【答】 应选( ) D 【详解】 2 2 EX c EX c ()( ) − = −+− µ µ 2 2 = − − −+ − − EX E c cEX ( ) ( ) 2( ) ( ) µ µµ µ 22 2 EX c EX ( ) ( ) ( ). − +− ≥ − µ µ µ 故 (D)成立. 三、(本题满分 6 分) 求极限 2 2 0 1 lim[ ( )ln(1 )] ( 0). x a a ax a → x x − −+ ≠ 【详解】 原式 2 2 2 0 (1 )ln(1 ) limx ax a x ax → x −− + = 2 0 2 ln(1 ) (1 ) limx 2 a a x ax a ax → x + + −− = 3 2 2 2 0 2 2 ln(1 ) 1 lim . x 2 2 a x a ax a ax a → ++ + + = = 四、(本题满分 6 分) 设 u f xyz = ( ) , , 有连续偏导数， y yx = ( ) 和 z zx = ( ) 分别是由方程 0 xy e y − = 和 0 x e xz − = 所确定，求 . du dx 【详解】 , ( ) du f f dy f dz dx x y dx z dx ∂∂ ∂ = +⋅+⋅ ∗ ∂∂ ∂

dydy由e-y=0得ew=0y+xdx)dxy2Jetdydx1-xe1 xy由e'-x=0，得dz=0Z-dxdxdzZNdx-e'-xXz - z代入(*)式得yf+zofdu_dxax1-xy oyXz-XO2五、(本题满分6分)假设某种商品的需求量O是单价p（单位：元）的函数：Q=12000-80p，商品的总成本C是需求量Q的函数：C=25000+50Q，每单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额【详解】以元表示销售利润额，则元=(12000-80p)(p-2)-(25000+50Q)=-80p2+16160p-649000元=-160p+16160，令元=0,得p=101,由于元l=101=-160<0,可见当p=101时，元有极大值，也是最大值（因p=101是唯一驻点）最大利润额元p=o1=167080（元）六、(本题满分7分)求曲线y=x2-2xy=0,x=1,x=3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕

由 0 xy e y − = 得 0 xy dy dy e yx dx dx ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + −= ⎝ ⎠ 2 1 1 xy xy dy ye y dx xe xy = = − − 由 0 x e xz − = ，得 0 z dz dz e zx dx dx −− = z dz z z dx e x xz z = = − − 代入( ) ∗ 式得 2 . 1 du f y f z f dx x xy y xz x z ∂∂ ∂ =+ + ∂ − ∂ −∂ 五、(本题满分 6 分) 假设某种商品的需求量Q 是单价 p（单位：元）的函数：Q p =12000 80 − ，商品的总 成本C 是需求量Q 的函数：C Q = 25000 50 ; + 每单位商品需要纳税 2 元，试求使销售 利润最大的商品单价和最大利润额. 【详解】 以π 表示销售利润额，则 π = − −− + (12000 80 )( 2) (25000 50 ) p p Q 2 =− + − 80 16160 649000, p p π ' 160 16160, =− +p 令 π ' 0, = 得 p =101, 由于 101 " 160 0, p π = =− < 可见当 p =101时，π 有极大值，也是最大值（因 p =101 是唯一驻点）. 最大利润额 101 167080 p π = = （元）. 六、(本题满分 7 分) 求曲线 2 y x xy x x =− = = = 2 , 0, 1, 3 所围成的平面图形的面积 S ，并求该平面图形绕

y轴旋转一周所得旋转体的体积V【详解】-V=X2x12:347如图所示，所求面积S=S+S,(x轴上方为S，下方为S）而S=(2x-x)d=P-1-23Ta-2) t=-r[-rl -S,=L故所求图形的面积S=S,+S,=2,平面图形S绕y轴旋转一周所得旋转体体积11V=元[(1+/1+y)"dy-元=一元6平面图形S，绕v轴旋转一周所得旋转体体积43(1+/1+y）dy-元V,=27元—元元6故所求旋转体体积V=V+V,=9元七、(本题满分7分)设函数f(x)在(-00,+o0)内连续，且F(x)=[(x-2t)f(0)dt,试证：

y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V. 【详解】 如图所示，所求面积 1 2 SS S = + .( x 轴上方为 2 S ，下方为 1 S )而 2 2 2 2 23 1 1 1 1 1 2 (2 ) , 3 3 S x x dx x x = − =− = ∫ 3 3 3 2 32 2 2 2 2 1 4 ( 2) , 3 3 S x x dx x x = − = −= ∫ 故所求图形的面积 1 2 SS S =+ = 2, 平面图形 1 S 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 0 2 1 1 11 (1 1 ) , 6 V y dy π π π − = + + −= ∫ 平面图形 2 S 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 3 2 2 0 43 27 (1 1 ) , 6 V y dy = − + + −= π π ππ ∫ 故所求旋转体体积 1 2 VVV =+ = 9 . π 七、(本题满分 7 分) 设函数 f ( ) x 在(−∞ +∞ , ) 内连续，且 0 ( ) ( 2) () , x F x x t f t dt = − ∫ 试证：

(1）若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数；（2）若f(x）为单调不增，则F(x）单调不减【详解】（1）因为f(-x)=f(x)，则有F(-x)= J. (-x-21)f(0)dt.令1=-u，于是F(-x)=-f(-x+2u)f(-u)du= ['(x-2u)f(u)dh=J (x-21)(0)dt = F(x),(2) F(x)=[xf。 f(0)dt-2]°f(0)di)=J, f(0)dt+xf(x)-2xf(x)=J f(0)dt-xf(x)=x[f()-f(x)],其中介于0与x之间由已知f(x)单调不增，则当x>0时，f()-f(x)≥0，故F(x)≥0;当x=0时，显然F(0)=0,当x<0时，f()-f(x)≤0，故F(x)≥0即 xE(-00,+o0)时,; F(x)≥0 。于是，若f(x)为单调不增，则F(x)单调不减八、(本题满分6分)设D是以点O(0,0),A(1,2),B(2,1)为顶点的三角形区域，求[xdxdyD【详解】

（1）若 f ( ) x 为偶函数，则 F x( )也是偶函数； （2）若 f ( ) x 为单调不增，则 F x( )单调不减. 【详解】 （1）因为 f ( ) () − = x fx ，则有 0 ( ) ( 2) () . x F x x t f t dt − − = −− ∫ 令 t u = − ，于是 0 0 ( ) ( 2)( ) ( 2)() x x F − =− − + − = − x x u f u du x u f u du ∫ ∫ 0 ( 2 ) ( ) ( ), x =− = x t f t dt F x ∫ （2） 0 0 '( ) [ ( ) 2 ( ) ] x x F x x f t dt tf t dt = − ∫ ∫ 0 0 () ( ) 2 ( ) () ( ) x x = +− = − f t dt xf x xf x f t dt xf x ∫ ∫ = − x[ ( ) ( )], f fx ξ 其中ξ 介于 0 与 x 之间. 由已知 f ( ) x 单调不增，则 当 x > 0 时， f fx () () 0 ξ − ≥ ，故 F x'( ) 0 ≥ ； 当 x = 0 时，显然 F '(0) 0; = 当 x < 0 时， f fx () () 0 ξ − ≤ ，故 F x'( ) 0 ≥ 即 x∈(,) −∞ +∞ 时，； F x'( ) 0 ≥ 。 于是，若 f ( ) x 为单调不增，则 F x( )单调不减. 八、(本题满分 6 分) 设 D 是以点O AB (0,0), (1,2), (2,1)为顶点的三角形区域，求 . D xdxdy ∫∫ 【详解】

2.D.RD12r直线OA.OB,和AB的方程相应为y=2x,y=,2J=3-x过点A向x轴作垂线AP，它将D分成D，D两个区域（如图所示），其中点P的横坐标为1。因此，有[ xdxdy =[ xdxdy+ [[ xdxdy0D=I'xdx dy+" xdaxdyL=号xd+(3x-号r)d-1九、（本题满分7分）设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵ED4其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位阵计算并化简PQ(1)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αA-α+b(2）【详解】（1）因为AA=AA*=AE.故

直线OA OB AB , ,和 的方程相应为 2, , 3 . 2 x y xy y x = = =− 过点 A 向 x 轴作垂线 AP ，它将 D 分成 1 2 D D, 两个区域（如图所示），其中点 P 的 横坐标为 1。因此，有 DDD 1 2 xdxdy xdxdy xdxdy = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 12 23 0 1 2 2 x x xdx dy xdx dy x x − = + ∫∫ ∫∫ 1 2 2 2 0 1 3 3 (3 ) 2 2 = +− x dx x x dx ∫ ∫ 1 2 3 23 0 1 1 31 3 [ ]. 2 22 2 = +− = x xx 九、(本题满分 7 分) 设 A 为n 阶非奇异矩阵，α 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 , , T T b ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ E O A P= Q= A A α α α 其中 ∗ A 是矩阵 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶单位阵 （1） 计算并化简 PQ; （2） 证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是 1 . T T A ≠ b − α α 【详解】 （1）因为 , ∗ ∗ A A = AA A E = 故

EaPO-α A'A+b|A1A.A|A(b-α A-'α（2）由（1）可得[PQ=|A (b-α A'α)而[PO=PlQ],且P=A +0故[0|=|A(b-α' A-'α)由此可知O0的充分必要条件为αA-α±b,即矩阵O可逆的充分必要条件是αA-α+b十、(本题满分9分)001-22设矩阵A与B相似，且A：-330（1）求a,b的值：（2）求可逆矩阵P.使得P-LAP=B【详解】（1）A的特征多项式为[元-1 1-]E-A=-2元-4233元-a=(α- 2)[22 -(α+3)+ 3(α-1))由于A～B，故A与B有相同的特征多项式，即E-A=LE-B,于是(α-2)[22 -(a+3)+3(a-1)]=(1-2)(α-b)

T T TT T b b ∗ ∗∗ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α α α −α α −α α EO A A PQ = A A A A+ A A A+ A ( ) 1 . 0 T b − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ α α α A A A （2） 由（1）可得 ( ) 1 , T b − = − 2 PQ A A α α 而 PQ P Q = ⋅ , 且 P A = ≠ 0, 故 ( ) T 1 b − QA A = −α α 由此可知 Q ≠ 0 的充分必要条件为 1 , T b − α α A ≠ 即矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 1 . T T A ≠ b − α α 十、(本题满分 9 分) 设矩阵 A 与 B 相似，且 1 1 1 200 2 4 2, 0 2 0, 3 3 00 a b ⎡ ⎤⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −= ⎣ ⎦⎣ ⎦ − − A B （1）求a b, 的值； （2）求可逆矩阵 P,使得 . -1 P AP = B 【详解】 （1） A 的特征多项式为 11 1 2 42 3 3 E A a λ λ λ λ − − − =− − − 2 = − −+ + − ( 2)[ ( 3) 3( 1)]. λλ λ a a 由于 A ∼ B ，故 A 与 B 有相同的特征多项式，即 λ λ E −= − A EB , 于是 2 2 ( 2)[ ( 3) 3( 1)] ( 2) ( ), λλ λ λ λ − −+ + − = − − aa b